œ = k ³ ‡ A Û ý m Ç  ¨; c" e R X N ËV ê s ; c .U ­ Žz ð ² Žâ ì È8 ý ì Ø Ë× D” ôV ê s

u

œ = k ³ ‡ A  Û ý m Ç  ¨; c" e R X N ËV ê s ; c .U  ­ Žz ð ² Žâ ì È8 ý ì Ø Ë× D”  ôV ê s

b 9 Œ ‰ x 4 w H ^∗

 â

z Œ ™@ /† < Ɠ § l >  1 l x  o/ B N † < Æ Ò,  í ß – 631-701 (2009¸   3 Z 4 9{ 9  ~ à Î6 £ §)

“

¦o  • ¸³ ð   H  \  ¦ : Ÿ x K  % 3 # Q”   Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § _  q & ñ  © œ [ þ t> p u Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦  6   x # Œ ¢ - a  or ç ß –s  ] j2

€

ª œ  o ~ ½ ÓZ O \  _ K  “ : r • ¸_  † < Êà º– Ð" f > í ß –  ) a  . 3-Ÿ í 7 H õ & ñ `  ¦  „ ½ ÓÜ ¼– Ð # Œ > í ß – ô  Ç   õ  ¢ - a  or ç ß –

“ É

r » · ¡ ­“   “ : r • ¸_ ” > r † ½ Óõ  † < Êa  T

⁻⁴

_  “ : r • ¸    o\  ¦
 ? / 9 “ : r • ¸ y Œ ™™ è† < Ê\     7 £ x ô  Ç .

PACS numbers: 67.40.Fd

Keywords: q & ñ  © œ [ þ t> p u Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 , 3-Ÿ í 7 H õ & ñ , ¢ - a  or ç ß –

I. " e  ] Ø

Ó 

o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ §“ É r 2 Ä »^ ‰$ í _    õ – Ð" f 4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç \ P % i † < Æ& h  $ í

| 9

[ þ t`  ¦
 ? /“ ¦ # Œ Q t  6 £ §[ þ t _  „   — ¸× ¼ [1,2] ” > r F

  9 s  Qô  Ç ‰ & ³ © œ\  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨  H l ‘ : r [ þ t> p u \  -t  Û ¼

&

7 ˜à Ô! 3 \    É r î  r1 l x > à º[ þ t _  ¢ - a  o‰ & ³ © œ\  _ ” > r l  M :ë  H

\

 Å Ò  ) a ƒ  ½ ¨ õ ] j ÷ &# Q M ® o  . Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § _   â Ä º î

 r1 l x > à º[ þ t \  % ò † ¾ Ó`  ¦ Šҍ  H l ‘ : r[ þ t> p u  © œ  ñ Œ •6   x [3] Ü ¼– Ð" f 0.3 K < T < 0.8 K “ : r • ¸% ò % i \ " f  H Ÿ í 7 H- – З : r  © œ  ñ Œ • 6

 

x s  ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦  9 T > 0.8 K “ : r • ¸% ò % i \ " f  H 5-

Ÿ

í 7 H  © œ  ñ Œ •6   x, – З : r- – З : r  © œ  ñ Œ •6   x s  ×  æ כ ¹ô  Ç % i ½ + É`  ¦ ô  Ç



. T < 0.3 K_  ± ú “ É r “ : r • ¸ü < ± ú “ É r · ú š§ 4 \ " f_  Ó  o^ ‰ ó ¡ š µ

¢

§ _  \ P % i † < Æ& h  $ í | 9 “ É r l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t î  r X <" f  Œ •“ É r î  r1 l x

|

¾ Ó`  ¦ ”   Ÿ í 7 H[ þ t \  _ K    & ñ ÷ &“ ¦ s [ þ t Ÿ í 7 H[ þ t“ É r & ñ  © œ ì

 r í ß –(normal dispersion)s      q & ñ  © œ ì  r í ß –(anomalous dispersion)`  ¦ ”   \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³ ) a  . Ÿ í 7 H

\

 -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 _  & ñ  © œ ì  r í ß –+ þ Aõ  q & ñ  © œ ì  r í ß –+ þ A_   s

& h “ É r Ÿ í 7 H[ þ t _   © œ  ñ Œ •6   x \  % ò † ¾ Ó`  ¦ Å Ò 9 „     H þ j$ 

  © œ  ñ Œ •6   x Ü ¼– Ð 4-Ÿ í 7 H õ & ñ `  ¦  Ø Ô“ ¦ Ê ê   H 3- Ÿ í 7 H õ 

&

ñ `  ¦   É r  . Khalatnikov 1 p x [4]“ É r & ñ  © œì  r í ß –`  ¦  6   x # Œ î

 r1 l x ~ ½ Ó& ñ d ” `  ¦ Û  … Ü ¼– Ð+ ‹ 6 £ §[ þ t _  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦ ƒ  

½

¨ % i Ü ¼
 œ í6 £ §  _  y Œ ™û Z‰ & ³ © œ\  @ /ô  Ç z  ´+ « > [5]õ  s  : r

&

h “   ƒ  ½ ¨ [6]– РÒ'  & ñ  © œì  r í ß –“ É r ¸ ú ˜3 l w ) a   õ s “ ¦ q & ñ



© œì  r í ß –`  ¦
 ? /  H Ÿ í 7 H \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 s  & ñ S X ‰ ô  Ç \ 



-t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 e ” s  µ 1 ß) €& ’  .   " f & ñ S X ‰ ô  Ç Ÿ í 7 H \  - t

 Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \  › ' a ô  Ç ƒ  ½ ¨  Ö ¸ µ 1 Ïy  ”  ' Ÿ ÷ &% 3 “ ¦, Um 1 p x [7]“ É r s  Qô  Ç q & ñ  © œ Ÿ í 7 H \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦  8¹ ¡ ¤  8 > h

‚

  ) a + þ AI – Ð % 3 l  0 A # Œ “ ¦o  • ¸³ ð   H  (ring-diagram

∗

E-mail: [email protected]

approximation)\  ¦ : Ÿ x K  2 " é ¶ õ  3 " é ¶ \ " f_  q & ñ  © œ [ þ t

>

p

u Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦ % 3 % 3 Ü ¼ 9, ‘ : r ƒ  ½ ¨" é ¶ õ  † < Êa  “ : r • ¸_  † < Êà º

–

Ð" f # Œ Q t  î  r1 l x > à º[ þ t [8] õ  6 £ § _  $ í | 9 [ þ t [9]`  ¦ ƒ  ½ ¨

% i  .

‘

: r  7 Hë  H \ " f  H ‰ & ³F  t   À Ò# Qt t  · ú §€ Œ ¤~   3-Ÿ í 7 H õ 

&

ñ s  ×  æ כ ¹r  ÷ &  H F G $ “ : r \ " f Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § _  q & ñ  © œ

\

 -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \    É r ¢ - a  o‰ & ³ © œ`  ¦ î  r1 l x > à º_  ƒ  ½ ¨

\

 ¦ : Ÿ x K  “ ¦¹ 1 Ï “ ¦  ô  Ç . 5-Ÿ í 7 H õ & ñ x 9  Ÿ í 7 H- – З : r  © œ  

ñ Œ •6   x \  @ /ô  Ç ¢ - a  o ‰ & ³ © œ“ É r Khalatnikov \  _ K  î  r1 l x >  Ã

º_  † ½ ÓÜ ¼– Ð  À Ò# Q& ’ Ü ¼ 9 î  r1 l x > à º[ þ t s  y Œ •y Œ • aT ¹¹ x 9  be ^−2∆/KT _  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦
  · p  [10]. ‘ : r ƒ  

½

¨\   6   x| ¨ c Ÿ í 7 H \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3  [7]“ É r Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § " é ¶



[ þ t _   © œ  ñ Œ •6   x ( J $ ™[ >  B > h  à º[ þ t – Ð" f V ⁰ , ε ^∗ , a – Ð  ) a Lennard-Jones+ þ A ¡ óo \  ¦ ”   ƒ   ( J $ ™[ > 

φ(r) =  V 0 (r < a) ε ^∗ ( ^a _r ) ¹² − ( ^a _r ) ⁶ 

(r ≥ a) (1)

`

 ¦  6   x # Œ “ ¦o  • ¸³ ð   H  \  ¦ : Ÿ x K  % 3 # Q”    6 £ § _  Û ¼& 7 ˜ à

Ô! 3 `  ¦  6   x ô  Ç .

(q) = cq(1 + δ ₁ q ² − δ 2 q ⁴ + · · ·) (2)

#

Œl " f q  H Ÿ í 7 H _  î  r1 l x | ¾ Ós  9, c  H ] X @ /% ò • ¸\ " f_  6 £ § 5

Å q, δ 1 õ  δ ²   H ( J $ ™[ >  B > h  à º[ þ t – РÒ'    & ñ ÷ &  H Ÿ í 7 H _

 ì  r í ß – › ' a > \  ¦ : £ ¤f ç t Ä º  H € ª œ_   © œÃ º[ þ t`  ¦
  · p .

II. R X N ËV ê s ; c .U  ­ Žz ð ² Žâ ì È8 ý ì Ø Ë× D”  ôV ê s

Ó 

o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \ " f_  q & ñ  © œ \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 \  _  ô

 Ç ¢ - a  o‰ & ³ © œ`  ¦ “ ¦¹ 1 Ï l  0 A # Œ  6 £ § õ  ° ú  “ É r x 9 • ¸ ƒ  í ß –



ü < Û ¼º ú ˜  5 Å q • ¸ ƒ  í ß – \  ¦ • ¸{ 9 ô  Ç .

ρ(r, t) = ρ 0 + ρ ⁰ (r, t), (3)

-569-

#

Œl " f ρ ⁰   H ¨ î + þ A x 9 • ¸ ƒ  í ß – s “ ¦ ρ ⁰ (r, t)  H [ O 1 l x x 9 • ¸

ƒ

 í ß – s  9 v(r, t)  H 5 Å q • ¸ ƒ  í ß – s  . s [ þ t ƒ  í ß – [ þ t“ É r

Ÿ

í 7 H ™ èY >  ƒ  í ß –  a ^q ü < Ò q t$ í ƒ  í ß –  a ^† q _  † ½ ÓÜ ¼– Ð  6 £ § õ 

° ú

 s  „  > h | ¨ c à º e ”  .

ρ(r, t) = X

q

i  ρ ₀ ~q 2Ac

 1/2



a q e ^{i(q·r−ωt)} − a ^† _q e ^{−i(q·r−ωt)}  (5) φ(r, t) = X

q

 ~c 2Aρ ₀ q

 ^1/2 

a q e ^{i(q·r−ωt)} + a ^† _q e ^{−i(q·r−ωt)}  (6)

#

Œl " f A  H > _  €  & h s “ ¦ ™ èY >  ƒ  í ß –  a q ü < Ò q t$ í ƒ  í ß –



 a ^† q   H Bose “ § ¨ 8 Š› ' a > \  ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç .

Ó 

o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  ƒ  5 Å q ^ ‰ — ¸4 S q [11]\ " f K x 9 ž Ðm î ß – Hü < ? / Â

Ò\  -t  x 9 • ¸ E(ρ), Õ ªo “ ¦  o† < Æ( J $ ™[ >  µ  H  6 £ § õ  ° ú   s

 Å Ò# Q”   .

H = Z  1

2 v · ρv + E(ρ)



dr, (7) E(ρ) =

Z

n(q)ε(q)dq + E(ρ 0 ), (8)

0 ∂q

#

Œl " f n(q)  H Ÿ í 7 H ì  r Ÿ í† < Êà ºs “ ¦ µ ⁰   H ] X @ /% ò • ¸\ " f_ 



o† < Æ( J $ ™[ > s  . ? / Ò\  -t  x 9 • ¸ E(ρ)\  ¦ ρ ⁰ _  † ½ ÓÜ ¼– Ð

„

 > h “ ¦ \ P % i † < Æ › ' a >  ∂µ/∂ρ = A ² 0 /ρ\  ¦  6   x €    6 £ § _

 K x 9 ž Ðm î ß – H\  ¦ % 3   H  .

H = H 0 + H 3 + H 4 + · · ·, (10) H 0 =

Z  1

2 ρ 0 v · v + 1 2

c ² ρ (ρ ⁰ ) ²



dr, (11) H ₃ =

Z  1

2 v · ρ ⁰ v + 1 3!

∂

∂ρ

 c ² ρ

 (ρ ⁰ ) ³



dr, (12)

H 4 = Z  1

4!

∂ ²

∂ρ ²

 c ² ρ

 (ρ ⁰ ) ⁴



dr. (13)

#

Œl " f H 0   H  Ä » Ÿ í 7 H  © œ_  K x 9 ž Ðm î ß –s “ ¦ H 3 ü < H 4   H [ O

1 l x K x 9 ž Ðm î ß –s  . H 0 , H ₃ , Õ ªo “ ¦ H 4 \  ¦ a q ü < a ^† q _  † ½ Ó Ü

¼– Ð
 ? /€    6 £ § õ  ° ú   .

H 0 = X

q



a ^† _q a q + 1 2



~ω, (14)

H 3 = −2π ² i

 ~ 2A

 ^3/2 X

q,q

₁

,q

₂

"

 cq ρq ₁ q ₂

 ^1/2

(q 1 · q 2 ) + ρ ² ₀ 3c ²

 cqq 1 q 2

ρ ₀

 ^1/2 ∂

∂ρ

 c ρ

 ² #

×[a q a q

₁

a q

₂

δ(q + q 1 + q 2 ) exp{−i(ω + ω 1 + ω 2 )t}

+a ^† _q a q

₁

a ^† _q

₂

δ(q 1 − q 2 − q) exp {−i(ω 1 − ω 2 − ω)t} + · · ·], (15) H ₄ = (2π) ²

4!

 ρ ₀ ~ 2Ac

 ² ∂ ²

∂ρ ²

 c ² ρ

 X

q

X

q

1

X

q

2

X

q

3

(qq ₁ q ₂ q ₃ ) ^1/2 [a _q a _q

₁

a _q

₂

a _q

₃

×δ(q + q 1 + q ₂ + q ₃ ) exp[−i(ω + ω ₁ + ω ₂ + ω ₃ )t] + a _q a ^† _q

1

a ^† _q

2

a _q

₃

×δ(q − q 1 − q 2 + q 3 ) exp[−i(ω 1 − ω 2 − ω 3 + ω 4 )t] + · · ·], (16)

#

Œl " f   É r # Œ$ Á † ½ Ó[ þ t s  a q , a q

1

, a q

2

ü < a ^† q , a ^† _q

₁

, a ^† _q

₂

_ 

 

½ + ËÜ ¼– Ð ~ ½ Ó& ñ d ”  (15)5 Å q \  Ÿ í† < Ê÷ &“ ¦ a ^q , a q

₁

, a q

₂

, a q

₃

ü <

a ^† _q , a ^† _q

1

, a ^† _q

2

, a ^† _q

3

_    ½ + ËÜ ¼– Ð  ) a   É r \ P  Å † ½ Ó[ þ t s  ~ ½ Ó& ñ d ”  (16)5 Å q \  Ÿ í† < ʝ ) a  . ] X @ /% ò • ¸   H % ƒ\ " f  H l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t   s

_  Ø  æ[  tS X ‰Ò  ¦ s  Á ºr ÷ &# Qt “ ¦ ô  Ç Ÿ í 7 H s  ¿ º Ÿ í 7 H Ü ¼– Ð_ 



µ 1 Ï& h “   Ô  æ õ ë ß –s  { 9 # Qè ß – .   " f 3-Ÿ í 7 H õ & ñ \  @ /ô  Ç

œ

íl  © œI  |i >– РÒ'  þ j7 á x  © œI  |f >– Ð_  „  s ”  ; Ÿ ¤“ É r ~ ½ Ó

&

ñ d ”  (10)_  Ä º   Ñ ü t P : † ½ ÓÜ ¼– РÒ'  % 3 `  ¦ à º e ”  . 3-Ÿ í 7 H õ

& ñ “ É r ô  Ç Ÿ í 7 H q  q 1 = q ₂ + q – Ð ~ ½ ÓØ  ¦ ÷ &  H í  H õ & ñ õ  q 2 + q = q 1 ü < ° ú  s  ô  Ç Ÿ í 7 H q  f  ¨ à º÷ &  H % i õ & ñ Ü ¼– Ð

½

¨$ í ÷ & 9 ¿ º õ & ñ \  @ /ô  Ç „  s ' Ÿ § > = כ ¹™ è[ þ t“ É r  6 £ § õ  ° ú   s

 Å Ò# Q”   .

< f |H ₃ |i > _D = 3!

2

(2π~) ²

(2A) ^3/2 δ(q ₁ − q ₂ − q)

"

 c ρ 0

q q 1 q 2

 ^1/2

(q ₁ · q ₂ ) + ρ ² ₀ 3c ²

∂

∂ρ

 c ² ρ

  cq ₁ q ₂ q ρ 0

 ^1/2 #

× q

n q

₁

(n q

₂

+ 1)(n q + 1), (17)

< f |H 3 |i > R = 3!

2

(2π~) ²

(2A) ^3/2 δ(q 1 − q 2 − q)

"

 c ρ 0

q q 1 q 2

 1/2

(q 1 · q 2 ) + ρ ² ₀ 3c ²

∂

∂ρ

 c ² ρ

  cq ₁ q ₂ q ρ 0

 1/2 #

× q

(n _q

₁

+ 1)n _q

₂

n _q . (18)

é

ß –0 Ar ç ß –{ © œ p ì  r Ô  æ õ  S X ‰Ò  ¦“ É r

dW = 2π

~ | < f |H 3 |i > | ² δ(ε f − ε i ) A ² dq ₂ dq

(2π~) ⁴ (19)

–

Ð" f & ñ _ ÷ &“ ¦ ¿ º õ & ñ \  @ /ô  Ç é ß –0 Ar ç ß –{ © œ „  ^ ‰ Ô  æ õ  S X ‰Ò  ¦“ É r  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Q”   .

W D = πc 2~ρ 0

(u + 1) ² Z

q 1 q 2 qn q

₁

(n q

₂

+ 1)(n q + 1)δ( f −  i ) dq 2

(2π~) ² , (20) W R = πc

2~ρ ⁰ (u + 1) ² Z

q 1 q 2 q(n q

1

+ 1)n q

2

n q δ( f −  i ) dq ₂

(2π~) ² , (21)

#

Œl " f u  H Gr¨ uneisen  © œÃ ºs  . 3-Ÿ í 7 H õ & ñ \  @ /ô  Ç Ø  æ[  t& h ì  r J 3ph (n)“ É r í  H õ & ñ õ  % i õ & ñ \  @ /ô  Ç é ß –0 Ar ç ß –{ © œ Ô  æ õ  S X ‰ Ò

 ¦ _  – Ð Å Ò# Qt  9 0 A_  d ” [ þ t – РÒ'  J _3ph (n) = − πc

2~ρ 0

(u + 1) ² Z

q ₁ q ₂ qδn(n _q

₁₀

− n _q

₂₀

)δ( _f −  _i ) dq 2

(2π~) ² (22)

  ) a  . # Œl " f δn“ É r n q − n q

₀

s “ ¦ n ^q

10

ü < n ^q

20

  H î  r1 l x | ¾ Ó q 1 ü < q ² \  ¦ ”   Ÿ í 7 H _  ¨ î + þ A ì  r Ÿ í† < Êà º\  ¦
  · p . 3-Ÿ í



7 H õ & ñ “ É r Ÿ í 7 H à º_     o\  ¦ 4 Rš ¸l  M :ë  H \  Ÿ í 7 H _  ì  r

Ÿ

í† < Êà º  H  o† < Æ( J $ ™[ > \  › ' a > ÷ &  H € ª œ α ⁰ _  † ½ ÓÜ ¼– Ð  6 £ § õ

 ° ú  s  ³ ð‰ & ³ ) a  .

n = h exp 

α ⁰ + ε ph

kT

 − 1 i −1

(23)

¨ î

+ þ A ì  r Ÿ í† < Êà º\  @ /ô  Ç (23)d ” _  ì  r Ÿ í† < Êà º_     o| ¾ ӓ É r α ⁰ _  † ½ ÓÜ ¼– Ð (23)d ” `  ¦ " 4 / å L à º „  > h† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ % 3 # Qt  9

δn = n − n ₀ = −n ₀ (n ₀ + 1)α ⁰ (24)

  ) a  . 3-Ÿ í 7 H õ & ñ _  Ø  æ[  t& h ì  r õ  î  r1 l x > à º  s _  › ' a

>

  H

1 KT

Z

J 3ph (n) dq

(2π~) ² = α ⁰ Γ 3ph . (25)

–

Ð Å Ò# Qt  9 (22)d ” õ  † < Êa  (25)d ” `  ¦ Û  ¦€   3-Ÿ í 7 H õ & ñ _  î

 r1 l x > à º Γ ^3ph (T )  H Γ 3ph = 2!ζ(2)(u + 1) ²

16π ² ~ ⁵ ρ

K ⁵ T ⁵ c ⁶

"

3!ζ(3)−3×5!ζ(5)δ 1

KT c

 ²

−5 × 7!ζ(7)δ ₂  KT c

 ⁴ #

. (26)

s

  ) a  . 6 £ § _  f  ¨ à º> à º_  ƒ  ½ ¨\ " f Khalatnikov [10]  H



© œ  ñ Œ •6   x`  ¦ : £ ¤f ç t Ä º  H ¢ - a  or ç ß –õ  î  r1 l x > à º  s _  › ' a

>

d ” `  ¦ & ñ _  % i Ü ¼ 9 ‘ : r ƒ  ½ ¨\  € 9 כ ¹ô  Ç 3-Ÿ í 7 H õ & ñ \  @ / K

" f  H τ 3ph = 1/Γ _3ph (∂N _ph /∂µ _ph ) – Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  .  



" f (26)d ” õ  Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  \ P % i † < Æ& h  B > h  à º\  ¦  6   x † < Ê Ü

¼– Ð" f ¢ - a  or ç ß – τ 3ph _  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦ ½ ¨ €     6

£

§ õ  ° ú   .

1 τ 3ph

= (u + 1) ² 8π~ ³ ρ 0

K ⁴ T ⁴ c ⁴

"

3!ζ(3) − 3 × 5!ζ(5)δ ₁  KT c

 2

−5 × 7!ζ(7)δ ₂  KT c

 ⁴ #

(27)

III. + s ÇÊ Ý õ m Í À X Ø8 ý

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð ± ú “ É r “ : r • ¸, ± ú “ É r · ú š§ 4 \ " f  H 3- Ÿ í 7 H õ & ñ s  Ó 

o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _  l ‘ : r[ þ t> p u  © œ  ñ Œ •6   x î  r X <" f  © œ Å Ò  ) a % i 

Ó ü

t o & h  ‰ & ³ © œs  e ” Ü ¼ 9 6 £ § _  ”  1 l x à º\  ¦ ω,  © œ  ñ Œ •6   x _  : £ ¤

$ í

r ç ß –`  ¦ τ   ½ + É M : ωτ  1s €   l ‘ : r [ þ t> p u[ þ t  s _  Ø  æ [

 t“ É r ¸ ú “ ¦ ² D G ™ è& h “   ¨ î + þ As  S X ‰ w n ÷ &# Q s  % ò % i “ É r Ä »^ ‰% i 

†

< Æ % ò % i s   Ô  ¦ 2 ; . Õ ª Q
 ωτ  1s €   Ø  æ[  t“ É r Á ºr ÷ &

“

¦ y Œ ™û Z‰ & ³ © œs  Ä »^ ‰% i † < Æ& h    õ \  ¦  Ø Ôt  · ú §  H Ø  æ[  t \ O 



 H % ò % i s   ) a  .   " f Ø  æ[  t \ O   H % ò % i \ " f_  œ í6 £ §  _ 

”

 1 l x à º % ò % i “ É r l ‘ : r[ þ t> p u  s _   © œ  ñ Œ •6   x \  @ /ô  Ç ¢ - a  o r

ç ß –_  > í ß –`  ¦ € 9 כ ¹– Ð ô  Ç .  Å Ò ± ú “ É r “ : r • ¸\ " f Ó  o^ ‰ ó ¡ š µ

¢

§ _  l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t“ É r Ÿ í 7 H[ þ t s  9 œ í6 £ §  _  ¢ - a  o‰ & ³ © œ\  @ / ô

 Ç Ä »{ 9 ô  Ç B j m 7 £ §“ É r þ j$    © œ  ñ Œ •6   x Ü ¼– Ð" f 3-Ÿ í 7 H õ 

&

ñ s  . · ú ¡ ] X \ " f  H ] j2 € ª œ  o ~ ½ ÓZ O `  ¦  6   x # Œ 3-Ÿ í



7 H õ & ñ \  @ /ô  Ç Ø  æ[  t& h ì  r s  % 3 # Q& ’ Ü ¼ 9 î  r1 l x > à ºü < ¢ - a  o r

ç ß –  s _  › ' a > d ” `  ¦ : Ÿ x K  ¢ - a  or ç ß – τ 3ph _  “ : r • ¸\   

 É

r    o % 3 # Q& ’  . ¢ - a  or ç ß – τ ^3ph _  à º& h “   K $ 3 `  ¦ 0 A

# Œ Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § € 9 2 £ § \  @ /ô  Ç Bretz 1 p x _  8 £ ¤& ñ u \  ¦ ì  r$ 3 ô  Ç B

> h  à º[ þ t _  ° ú כ [12]Ü ¼– Ð { 9  x 9 • ¸ 2.79 × 10 ⁻² ˚ A \  @ / ô

 Ç 6 £ §5 Å q 164.4 m/sec ü < Gr¨uneisen  © œÃ º_  ° ú כ [13]`  ¦ 1.8 – Ð

× þ

˜ % i  .

s

[ þ t B > h  à º[ þ t _  ° ú כ`  ¦ (27)d ” \  @ /{ 9  €   3-Ÿ í 7 H õ 

&

ñ _  ¢ - a  or ç ß – τ 3ph _   © œ Å Ò  ) a “ : r • ¸ _ ” > r † ½ ӓ É r 1

τ 3ph

= 5.14 × 10 ⁹ T ⁴ (28) Ü

¼– Ð Å Ò# Qt  9 “ : r • ¸ y Œ ™™ è† < Ê\     τ ^3ph   H / å L5 Å q y  7 £ x

ô  Ç . l ^ ‰_  î  r1 l x : r \ " f ¢ - a  or ç ß –_  “ : r • ¸\    É r 7 £ x

  H & h $ í > à º_  “ : r • ¸\    É r 7 £ x \  ¦ _ p   9 & h $ í >  Ã

º_  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦ \ V8 £ ¤ ½ + É Ã º e ”  . 7 £ ¤, & h $ í > à º



 H η = (  © œÃ º)ρ ^nph c ² τ 3ph – Ð Å Ò# Qt  9 # Œl " f ρ ^nph   H & ñ



© œÄ »^ ‰ x 9 • ¸_  Ÿ í 7 H  Òì  r`  ¦
  · p .   " f Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ §

€ 9

2 £ § \ " f_  & ñ  © œÄ »^ ‰ x 9 • ¸ ρ ^nph  T ³ \  q Y V Ù ¼– Ð & h 

$ í

> à º η  H T ⁻¹ _  “ : r • ¸_ ” > r`  ¦
  · p .

€

ª œ Ó  o^ ‰\ " f_  l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t  s _   © œ  ñ Œ •6   x \  _ ô  Ç Ä

»ô  Çô  Ç ¢ - a  or ç ß –“ É r ¿ º õ & ñ Ü ¼– РÒ' 
 è ß – . 
  H l

‘ : r[ þ t> p u[ þ t  s _  Ø  æ[  t – РÒ' 
 
  H õ & ñ s “ ¦   É r


  H l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t _   µ 1 Ï& h “   Ô  æ õ õ & ñ \  _ K 
 è ß –



. ] X @ /% ò • ¸   H % ƒ_  B Ä º ± ú “ É r “ : r • ¸\ " f  H l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t _

 à º  Œ •“ ¦ Ø  æ[  tS X ‰Ò  ¦“ É r % ò \  ] X   H ô  Ç .   " f B Ä º ± ú 

“ É

r “ : r • ¸\ " f  H Ø  æ[  t õ & ñ “ É r Á ºr ÷ &“ ¦  µ 1 Ï& h “   Ô  æ õ õ & ñ ë

ß –s  ×  æ כ ¹  . Ó  o^ ‰ ó ¡ šµ ¢ § _   â Ä º ] X @ /% ò • ¸   H % ƒ\ " f_  Å

Ò  ) a l ‘ : r[ þ t> p u[ þ t“ É r Ÿ í 7 H[ þ t s  9 q & ñ  © œ Ÿ í 7 H \  -t  Û ¼

&

7 ˜à Ô! 3 Ü ¼– РÒ' 
 
  H þ j$   Ô  æ õ õ & ñ Ü ¼– Ð" f 3-Ÿ í



7 H õ & ñ ë ß –s  ×  æ כ ¹  .

 

 : r& h Ü ¼– Ð ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H q & ñ  © œ “ : r • ¸_ ” > r Ÿ í 7 H \ 



-t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 `  ¦  6   x # Œ 3-Ÿ í 7 H õ & ñ \  _ ô  Ç ¢ - a  o‰ & ³ © œ

`

 ¦ ƒ  ½ ¨ô  Ç   õ  ¢ - a  or ç ß –s  » · ¡ ­“   “ : r • ¸_ ” > r † ½ Ó[ þ t – Ð  ) a T ⁻⁴ _  “ : r • ¸\    É r    o\  ¦
 ? / 9 “ : r • ¸ y Œ ™™ è† < Ê\ 



  / å L5 Å q y  7 £ x † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ” % 3  .

‘

: r ƒ  ½ ¨  H 2009¸  • ¸  â z Œ ™@ /† < Ɠ § † < ÆÕ ü tƒ  ½ ¨ © œ 9F K _  t 

"

é

¶ Ü ¼– Ð s À Ò# Q& ’ 6 £ §`  ¦ y Œ ™  × ¼w n m  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] I. M. Khalatnikov and D. M. Chernikova, Soviet Phys. JETP 23, 274 (1966); R. Rosenbaum, G. A.

Williams, D. Herkerman, J. Marcus, D. Scholler, J.

Maynard and I. Rudnick, J. Low Temp. Phys. 37, 663 (1979); D. Heckerman, R. Rosenbaum, S. Put- terman and G. A. Williams, J. Low Temp. Phys. 38, 629 (1980).

[2] S. Putterman, D. Heckerman, R. Rosenbaum and G.

A. Williams, Phys. Rev. Lett. 42, 580 (1979); G. J.

Jelatis, J. A. Roth and J. D. Maynard, Phys. Rev.

Lett. 19, 1285 (1979); M. Revzen, B. Shapiro, C.

G. Kuper and J. Rudnick, Phys. Rev. Lett. 33, 143 (1974).

[3] C. I. Um, C. W. Jun, W. H. Kahng and T. F.

George, Phys. Rev. B 38, 8838 (1988).

[4] K. H. Bennemann and J. B. Ketterson, The Physics of Liquid and Solid Helium (Wiley, New York, 1976), Part 1.

[5] B. M. Abraham, Y. Eckstein, J. B. Ketterson, M.

Kuchnir and J. H. Vigos, Phys. Rev. 181, 347 (1969); B. M. Abraham, Y. Eckstein, J. B. Ket- terson and J. H. Vigos, Phys. Rev. Lett. 16, 1039 (1966).

[6] H. J. Maris and W. E. Massey, Phys. Rev. Lett. 27, 2200 (1970); H. J. Maris, Phys. Rev. 8, 2629 (1973).

[7] C. I. Um, H. G. Oh, J. H. Cho, C. W. Jun and T.

F. George, J. Korean Phys. Soc. 42, 437 (2003); C.

I. Um, W. H. Kahng and A. Isihara, Physica B 100, 74 (1980); B 114, 191 (1982); A. Isihara and C. I.

Um, Phys. Rev. B 19, 5725 (1979).

[8] C. I. Um and C. W. Jun, J. Korean Phys. Soc. 26, 187 (1993); C. I. Um , C. W. Jun, H. J. Shin and T. F. George, J. Low Temp. Phys. 78, 51 (1990); C.

I. Um , C. W. Jun and T. F. George, Phys. Rev. B 46, 5746 (1992); C. W. Jun, J. Korean Phys. Soc.

44, 501 (2004); C. I. Um, J. R. Kahng and C. W.

Jun, J. Korean Phys. Soc. 32, 747 (1998).

[9] C. W. Jun, C. I. Um, J. J. Park and J. R. Kahng, J. Korean Phys. Soc. 33, 66 (1998); A. Isihara, C. I.

Um, C. W. Jun, W. H. Kahng and S. T. Choh, Phys.

Rev. B 37, 7348 (1988); C. I. Um and C. W. Jun, J. Korean Phys. Soc. 29, 814 (1996); C. W. Jun, J.

Korean Phys. Soc. 41, 261 (2002); C. W. Jun and C. I. Um, J. Korean Phys. Soc. 36, 125 (2000).

[10] J. Wilks, The Properties of Liquid and Solid Helium (Oxford University Press, Oxford, 1967), p. 188.

[11] R. N. Bhatt and W. L. McMillan, Phys. Rev. A 10, 1591 (1974).

[12] M. Bretz, J. G. Dash, D. C. Hickernell, E. D. Mclean and D. E. Vilches, Phys. Rev. A 8, 1589 (1973); C.

I. Um, W. H. Kahng, H. K. Oh and S. T. Choh, J.

Korean Phys. Soc. 17, 129 (1984).

[13] R. Jones and P. D. Taylor, J. Phys. C 15, 6709 (1982).

Relaxation Phenomena of the Anomalous Energy Spectrum in Liquid Helium Films

Chul-Won Jun ^∗

School of Mechanical Engineering and Automation, Kyungnam University, Masan 631-701 (Received 9 March 2009)

Using the temperature-dependent anomalous excitation spectrum of liquid helium films derived within the ring-diagram approximation, we evaluated the relaxation time explicitly as a function of temperature via a second quantization method. Based on the three-phonon processes, the relaxation time exhibited a dependence of T

⁻⁴

, with additional temperature-dependent terms, and increased with decreasing temperature.

PACS numbers: 67.40.Fd

Keywords: Anomalous excitation spectrum, Three-phonon processes, Relaxation time

∗

E-mail: [email protected]