)(2)(3)(2)(21211

2 1 2 2 1

1 2 1 1

4 2 6 4

2 3 2 2

x x y dt y

dy

x y dt y

dy

















식(2-1)

y1 과 y2 에 대한 초기조건이 모두 ‘0’ 이므로, 식(2-1) 의 첫번째식을 라플라스 변환하면 다음과 같다.

) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 ) (

2sY₁ s  Y₁ s  Y₂ s  X₁ s Y1(s) 에 대하여 정리하면,

) ) ( 1 ( ) 1 ) ( 1 ( 2

3

) 1 ( 2

) ( 2 ) 1 ( 2

) ( ) 3

(

) ( 2 ) ( 3 ) 2 2 )(

(

1 2

1 1 2

1 2

1

s s X

s s Y

s s X s

s s Y

Y

s X s Y s

s Y

 



 

 



 









식(2-2)

식(2-1) 의 두번째식을 라플라스 변환하면 다음과 같다.

) ( 4 ) ( 2 ) ( 6 ) ( 4 )

( _{1 2 1 2}

2 s Y s Y s X s X s

sY     식(2-3)

식(2-3) 에 식(2-2)을 대입하여 정리하면,

) ( 1 4

) 3 ( )2 ) (

1 (

) 4 )(

3 ) (

(

) ( 4 ) 2

1 ( ) 4 ) (

1 (

12 ) 7

(

) ( 4 ) ( ) 2

1 (

) ( 4 ) 1 ( 6 6 ) (

) ( 4 ) ( 2 ) ( ) 6

1 (

) ( )

1 ( 2

) ( 4 3

) (

2 1

2

2 1

2 2

2 1

1 2

2 1

1 2 2 2

s s X

s s s X

s s s

Y

s s X

s s X

s s s

Y

s X s s X

s X s s

s Y

s X s X s s Y

s X s

s s Y

sY

 

 



 















 



 

 



 













 





 





 











 





 



 

위식을 다시 Y2(s) 에 대하여 정리하면,

) ) ( 4 )(

3 (

) 1 ( ) 4 4 ( ) 2

( _{1 2}

2 X s

s s s s s X

s

Y  

 

  식(2-4)

따라서 Y2(s) 는 X1(s) 과 X2(s) 에 대하여 표현되고, 각각 전달함수

4 2

1  

G s 와

) 4 )(

3 (

) 1 ( 4

2  

 

s s

G s _{를 갖는}

다.

식(2-4) 를 식(2-2) 에 대입하여 정리하면, 2. 다음 모델식의 전달함수를 구하시오.

) ) ( 4 )(

3 ( ) 6 ) ( 4 (

1

) ) ( 4 )(

3 ( ) 6 ) (

1 (

1 ) 4 )(

1 (

3

) 1 (

) ) (

) ( 4 )(

3 (

) 1 ( ) 4 4 ( 2 ) 1 ( 2 ) 3 (

2 1

2 1

1 2

1 1

s s X

s s s X

s s X

s s s X

s s

s s s X

s X s s s s X

s s Y





 

 





 



 





 





 

 



 









 





 

따라서 Y1(s) 또한 X1(s) 과 X2(s) 에 대하여 표현되고, 각각 전달함수

4 1

3  

G s 와

) 4 )(

3 (

6

4  

 

s

G s 를 갖

는다.

상기공정을 블록선도로 나타내면,

이 공정은 질량보존에 의한 물질수지식과 에너지 보존에 의한 에너지수지식으로 모델링할 수 있다.

물질수지식은 유입되는 유량과 유출되는 유량이 같기 때문에, 다음과 같이 표현된다.

0



w w dt

dV

윗식에서 w 는 질량유속 [kg/s] 을 말한다.

에너지 수지식은 유입/유출에너지, 열전달에 의한 열손실, 그리고 외부로부터의 열공급을 고려하여 다음과 같이 모 델링된다.

Q T T UA T T w C

Q T T UA T

T w C T T w dt C

V dT C

a i

p

a r

p r i p p

























) (

) (

) (

) (

)

 (

식(4-1) 4. 연속교반가열 공정을 모델링하고, 정상상태에서 선형화하여 편차변수로 표현하고 전달함수를 구하시오.

G1(s)

X1(s) Y2(s)

Y1(s)

G2(s) X2(s)

G3(s)

G4(s) +

+ +

+

여기에서 Cp,,V,w,A,U,Ta 는 상수이므로, 3개 (T_i,T,Q ) 의 종속변수만 남는다. 편차함수꼴로 만들 기 위해 어떤 정상상태를 식(4-1)로부터 구할 수 있다.

0 )

( )

(     

 _{p is s s a s}

s

p C w T T UAT T Q

dt V dT

C  ^식(4-2)

식(4-1) 에서 식(4-2) 을 빼면, 우변과 좌변은 다음과 같다.



i is s

 

s a a

 

s



p s

p C w T T T T UA T T T T Q Q

dt T T V d

C           

) (

) (

) (

) ) (

 (

식(4-3)

여기에서 편차함수를 다음과 같이 정의하면,

s is i i

s

Q Q Q

T T T

T T T



 



 



 

이 정의식을 식(4-3) 에 대입하면 다음과 같이 표현된다.



T T



UAT Q

w dt C

T V d

C_p   _{p i}    



윗식을 라플라스 변환하면, 전달함수를 얻을 수 있다.

 ( ) ( )  ( ) ( )

)

( s C w T s T s UA T s Q s

T Vs

C

_p

  

_{p i}

      

) (s

T  에 대하여 윗식을 정리하면,

 

 

^{( )}



¹



^{( )}

) (

) ( ) ( )

(

s UA Q w C Vs s C

UA T w C Vs C

w s C

T

s Q s T w C UA w C Vs C s T

p p

i p

p

p

i p p

p

 

 

 

 



 

 



 







식(4-4)

식(4-4) 의 우변을 좀더 쉽게 표현하기 위해 전달함수의 분모와 분자에 (C_pwUA) 로 나눈다.

) ( 1 1

) ( 1 )

( Q s

UAs w C

V C

UA w s C

T UAs

w C

V C

UA w C

w C s

T

p p

p i

p p

p p













 



 













 



 

   ^식(4-5)

윗식에서

UA w C

V C

p p



 은 시간단위를 갖기 때문에 시상수  라고 정의하고, 이득상수들을 다음과 같이 정의하면,

즉, C w UA V C

p p

 

 _,

UA w C

w K C

p p

 

1 , K C w UA

p 

 1

2 .

따라서 식(4-5) 는 다음과 같이 간단히 표현된다.



¹



^{( )}



¹



^{( )}

)

( ^{1 2} Q s

s s K s T

s K

T _i 

 

 

 



 ^식(4-6)

전달함수를 각각 ^{G1 }



^sK11



^{, G2 }



^sK21



라고 표현하면, 다음과 같은 블록선도를 그릴 수 있다.

G1(s) Ti(s)

Q(s)

T(s)

G2(s)

+

+

이문제를 다음 5단계로 나누어 풀어본다.

a) 공정모델링, b) 선형화 c)편차함수화,

d)라플라스 변환, 그리고 e)유입농도에 따른 전달함수

a) 공정모델링: 본공정에서는 에너지수지식 또는 온도변화가 고려되지 않기 때문에 물질수지식만 이용한다.

부피유량, q, 의 유입량과 유출량이 일정하므로, 총괄물질수지식은 다음과 같다.

0



q q dt

dV

하지만, 이 반응기내에는 세개의 성분이 존재하므로 성분별 물질수지식을 세워야 한다. 성분 A 는 유입/유출되는 양 과 첫번째와 두번째 반응에 의해 소멸되는 속도로서 표현된다.

B A A

A Ai

A qC qC VkC Vk C C

dt

V dC    ₁ ² ₂ ^식(7-1)

성분 B 또한 유입/유출되는 양, 첫번째반응에서 생성되는 양, 그리고 두번째 반응에서 소멸되는 양으로 표현된다.

B A A

B Bi

B qC qC VkC Vk C C

dt

V dC    ₁ ² ₂ ^식(7-2)

성분 C 는 유입되는 양이 없으므로, 유출되는 양과 두번째반응에서 생성되는 양으로 표현된다.

B A C

C qC Vk C C

dt

V dC   ₂ ^식(7-3)

따라서 이공정은 세성분의 시간에 따른 농도변화를 구하는 세개의 식으로 구성되어있고, 세성분의 농도(

C B

A C C

C , , ) 는 원료로 주입되는 성분 A 와 B 의 초기농도 (C ,_Ai C_Bi ) 에 의해서 조절되는 전달함수로 표현 할 수 있다.

b) 선형화: 전달함수로 표현하기 위해서는 라플라스변환을 해야하는데, 식(7-1)  식(7-3) 에서 Vk₁C_A² 와

B AC C

Vk₂ 은 변수들의 곱으로 표현된 비선형항이다. 따라서 이항들을 선형화하여 라플라스변환하여야 한다. 선 형화를 위하여 성분 A 와 B 의 정상상태에서의 농도를 각각 C ,_As C_Bs 라고 하면,

 



_{A As}



As As

As A A As A

A

C C C Vk C

Vk

C dC C

C Vk d C

Vk C Vk













1 2

1

2 1 2 1 2 1

2

) (

식(7-4)

       

   



A As



As



B Bs



Bs Bs

As

Bs B B As B As

A A Bs A Bs

As

Bs B B

B As A

A A

B Bs A

As B

A

C C C Vk C

C C Vk C

C Vk

C C C

C C Vk C

C C C C Vk C C Vk

C C C

C C C Vk

C C C C C Vk

C Vk C C Vk











 

 

 

 



 

 

 

 



2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

7. 다음반응기의 전달함수를 구하라.

B A C

A A

C C dt k

r dC C B A

C dt k

r dC B A





















2 2

2 1 1

, ,

식(7-5)

따라서 식(7-1)  식(7-3) 에 식(7-4)와 식(7-5)을 대입하면 다음과 같이 선형화된 모델식을 얻는다.

     



_{A As}



_Bs



_{A As}



_As



_{B Bs}



_{As As Bs}

As A

Ai

Bs B As As

A Bs Bs

As As

A As As

A A Ai

C C Vk C Vk C

C C Vk C

C C Vk C

C C Vk C

C q

C C C Vk C

C C Vk C C Vk C

C C Vk C

Vk qC dt qC

V dC

2 2 1 2

2 1

2 2

2 1

2 1

2 ) (

2









































식(7-6)



A As



Bs



A As



As



B Bs



As As Bs

As B

Bi

B q C C Vk C C C Vk C C C Vk C C C Vk C Vk C C

dt

V dC  (  )2 ₁   ₂   ₂   ₁ ²  ₂

식(7-7)



A As



As



B Bs



Bs Bs

As C

C qC Vk C C Vk C C C Vk C C C

dt

V dC   ₂  ₂   ₂ 

식(7-8)

c)편차함수화: 위에서 구한 선형화된 모델을 편차함수로 표현하기 위해, 식(7-1)  식(7-3) 의 정상상태 모델식을 구하여 각각을 빼준다. 즉, 정상상태에서,

2 0

2

1  





 _{Ais As As As Bs}

As qC qC VkC Vk C C

dt V dC

식(7-9)

2 0

2

1  





 _{Bis Bs As As Bs}

Bs qC qC Vk C Vk C C

dt V dC

식(7-10)

Bs As Cs

Cs qC Vk C C

dt

V dC   ₂ ^식(7-11)

식(7-6) 에서 식(7-9) 를 빼고, 식(7-7) 에서 식(7-10) 를 빼며, 식(7-8) 에서 식(7-11) 를 빼면 상수항은 모두 사 라진다.



^{A As}

 q   C

_Ai

C

_Ais

  C

_A

C

_As

  Vk C

_As

 C

_A

C

_As

 Vk C

_Bs

 C

_A

C

_As

 Vk C

_As

 C

_B

C

_Bs



dt C C

V d           

2 2

2

1



^{B Bs}

 q   C

_Bi

C

_Bis

  C

_B

C

_Bs

  Vk C

_As

 C

_A

C

_As

 Vk C

_Bs

 C

_A

C

_As

 Vk C

_As

 C

_B

C

_Bs



dt C C

V d           

2 2

2

1

식(7-12)



^{C Cs}

 q  C

_C

C

_Cs

 Vk C

_Bs

 C

_A

C

_As

 Vk C

_As

 C

_B

C

_Bs



dt C C

V d        

2 2

편차함수를 다음과 같이 정의하면, CA 



CACAs



, CB 



CB CBs



, CC 



CC CCs



,



Ai Ais



Ai C C

C   , CBi 



CBi CBis



, 식(7-12)의 세식은 다음과 같이 정리된다.



Ai A



As A Bs A As B

A qC C VkC C Vk C C Vk C C

dt C

V d   2 ₁  ₂  ₂

식(7-13)



Bi B



As A Bs A As B

B qC C VkC C Vk C C Vk C C

dt C

V d   2 ₁  ₂  ₂

식(7-14)

B As A

Bs C

C qC Vk C C Vk C C

dt C

V d   ₂  ₂ ^식(7-15)

d)라플라스 변환: 선형화되고, 편차함수화된 모델식을 이젠 라플라스변환하면, 초기값이 모두 “0” 으로 되었기 때 문에, 식(7-13) 은 다음과 같이 라플라스 변환된다.

 

 

  ( )  2  ^{( )}

) 2 (

) ( )

( 2

) (

) ( )

( )

( 2

) ( )

( )

(

2 1

2 2

1

2 2

1

2 2

1

s C C

Vk C

Vk q

Vs

C s Vk

C C Vk C

Vk q

Vs s q

C

s C C Vk s

C q C

Vk C

Vk q

Vs s

C

s C C Vk s

C C Vk s

C C Vk s

C s

C q s

C Vs

B Bs

As As Ai

Bs As

A

B As Ai

Bs As

A

B As A

Bs A

As A

Ai A





 





 





















식(7-16) 윗식에서 시간상수

Bs

As Vk C

C Vk q

V

2 1

1  2 

 , 그리고 이득상수

Bs

As Vk C

C Vk q K q

2 1

1  2  _,

Bs As

As

C Vk C Vk q

C K Vk

2 1

2 2

2 



  라고 하면, 식(7-16) 은 다음과 같이 간단히 표현된다.

 ¹  ^{( )}  ¹  ^{( )}

) (

1 2 1

1

C s

s s K s C

s K

C

_{A Ai B}

 

 





식(7-17)

식(7-14) 도 같은 방법으로 정리하면,

 

 

   

 

^{( )}

) 2 ( )

(

) ( )

( 2

) ( )

(

) ( )

( )

( 2

) ( )

( )

(

2 2 1

2

2 1

2

2 2

1

s C C

Vk q

Vs

C Vk C

s Vk C C

Vk q

Vs s q

C

s C C Vk s

C C Vk s

C q C

Vk q

Vs s

C

s C C Vk s

C C Vk s

C C Vk s

C s

C q s

C Vs

A As

Bs As

Bi As

B

A Bs A

As Bi

As B

B As A

Bs A

As B

Bi B





 



 





















윗식에서 시간상수와 이득상수를 다음과 같이 정의하면,

CAs

Vk q

V

2

2  

 _,

CAs

Vk q K q

2

3   _,

As Bs As

C Vk q

C Vk C

K Vk

2 2 1

4

2



  _,

 ¹  ^{( )}  ¹  ^{( )}

) (

2 4 2

3

C s

s s K s C

s K

C

_{B Bi A}

 

 





^식(7-18)

식(7-15) 도 같은 방법으로 정리하면,

 

  ^{( )}   ^{( )}

) (

) ( )

( )

(

) ( )

( )

( )

(

2 2

2 2

2 2

s q C

Vs C s Vk

q C Vs

C s Vk

C

s C C Vk s

C C Vk q

Vs s

C

s C C Vk s

C C Vk s

C q s

C Vs

B As

A Bs

C

B As A

Bs C

B As A

Bs C

C

 

 















윗식에서 시간상수와 이득상수를 다음과 같이 정의하면, q

V

3 ,

q C K₅ Vk^{2 Bs} ,

q C K₆ Vk^{2 As} ,,

 ¹  ^{( )}  ¹  ^{( )}

) (

3 6 3

5

C s

s s K s C

s K

C

_{C A B}

 

 





^식(7-19)

e)유입농도에 따른 전달함수: 이문제는 각성분의 농도 (C_A(s),C_B(s),C_C(s) ) 와 유입되는 성분 A, B 농도 ( )

( ), (s C s

C_{Ai Bi} ) 와의 관계를 표현하는 전달함수를 구하는 것이므로, 위에서 얻어진 세식, 식(7-17), 식(7-18) 그리고 식(7-19) 로부터 필요한 관계식을 유도해야한다.

식(7-17) 을 식(7-18) 에 대입하면,

    

^_^











^_^



 

  ( )

) 1 1 (

) 1 1 (

) (

1 2 1

1 2

4 2

3 C s

s s K s C

K s

s K s C

s K

C_{B Bi Ai B}









) (s

CB 에 대하여 정리하면,

         

    

        

 1  1  ^{( )}

1 1

1 ) 1

1 ( 1

1 1

) 1 (

) 1 (

) 1 1 (

1 1 1

) (

4 2 2

1

2 1

2 1

4 1 4

2 2

1

2 1

2 3

2 4 1

1 2

3 2

4 1

2

s K C

K s

s

s s

s s

K s K

K C K s

s

s s

s s K C

s s C

K s

s K s C

K s

K s

s K C

Ai Bi

B

Ai Bi

B









 



 









 

 

 

 

 

 

 





 

 

































따라서,

    

 ¹  ¹  ^{1 ( )}

) 1 (

) 1 (

4 2 2

1

1 3 4

2 2

1

4

1

C s

K K s

s

s s K

K C K s

s

K s K

C

_{B Ai Bi}







 





 











^식(7-20)

식(7-20) 을 식(7-17) 에 대입하면,

   

       

        

 ¹  ¹  ¹  ¹  ^{( )}

) 1 (

1 1

1

) 1 1 (

) 1 1 (

1 ) 1

1 ( )

(

1 2 4 2 2

1

1 3 1

2 4 2 2

1

4 1 1

1

1 2 4

2 2

1

4 1 4

2 2

1

1 3 1

1

s s C

K K K s

s

s s K

s C K K K s

s

K K s

K

s s K K C

K s

s

K s K

K C K s

s

s s K

s C s K

C

Bi Ai

Ai Bi

Ai A

 







 

 

 





 





 

 

 



 









 







 

 































따라서,

         

 

   ( )  1  1  ^{( )}

) 1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 (

) 1 (

) 1 1 (

1 1

) 1 (

4 2 2

1

3 2 4

2 2

1 1

4 2 1 1 4 2 2

1

4 2 2

1

3 2 1

2 4

2 2

1

4 1 1

1

s K C

K s

s

K s K

K C K s

s s

K K K K K K s

s

s K C

K s

s

K s K

s C K K

K s

s

K K s

s K C

Bi Ai

Bi Ai

A





 















 





 

 

 





 





 

 



























식(7-21)

식(7-21) 을 식(7-19)에 대입하여 정리하면,

   

     

      

   ^ _ ^

 









 









 



 









 

















 

) 1 (

1 ) 1

1 ( 1

1

) 1 (

) 1 ) (

1 )(

1 ( 1

) 1 )(

1 ( ) 1

(

4 2 2

1

1 3 4

2 2

1

4 1 3

6

4 2 2

1

3 2 4

2 2

1 1

4 2 1 1 4 2 2

1 3

5

s K C

K s

s

s s K

K C K s

s

K K s

K

s K C

K s

s

K s K

K C K s

s s

K K K K K K s

s s

s K C

Bi Ai

Bi Ai

C





























윗식을 재정리하여 다음과 같은 전달함수를 얻는다.

 

 

            

 ¹    ¹  ¹    ¹    ^{1 }  ^{1  1}   ^{( )}

) 1 (

1 1

) 1 )(

1 ( 1 1

) 1 )(

1 ) (

(

4 2 2

1 3

1 6 3 4

2 2

1 3

5 3 2

4 2 2

1 3

6 4 1 4

2 2

1 1

3

4 2 1 1 4 2 2

1 5

s K C

K s

s s

s K K K

K s

s s

K K K

s K C

K s

s s

K K K K

K s

s s

s

K K K K K K s

s s K

C

Bi

Ai C

 

 















 











 



 













 





















 

































식(7-22)

식(7-20), 식(7-21), 식(7-22) 로부터, 본 반응기에서 반응후 농도변화 (C_A(s),C_B(s),C_C(s))는 유입농도 (C_Ai(s), C_Bi(s)) 에 따른 전달함수로 기술된다.

21. 전달함수를 구하시오.

주어진 블록선도로부터 전체전달함수, Y(s)/X(s), 를 찾아내기 위해 다음과 같은 중간전달함수를 설정한다.

중간전달함수는 다음과 같이 정의된다.

2 1

cG Y

bG c

c a b

Y X a













중간전달함수를 순차적으로 대입하여 정리하면,

 

2

1

cG Y

G c Y X c







 식(21-1)

식(21-1) 의 첫번째식에서 c 에 대하여 정리하면,

) )(

1 (

) (

) 1 (

1 1

1 1

Y G X

c G

Y X G G c

 









식(21-2)

식(21-2) 을 식(21-1)의 두번째식에 대입하면,

 

G X G G

G G

G Y G

G X G G G

G Y G

G G Y G X Y

) 1

(

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( ) 1 1 (

) 1 (

2 1 1

1 1

2 1

1 2 1 1

2 1

1 2 1







 

 



 





 

 



따라서,

G X G G

G Y G

) 1

( _{1 1 2}

2 1



 

G1 G1

+ -

+

X + Y

G1 G1

+

- +

X + Y

a b c

여기에서

1 1

1 

G s

 ^{, 그리고} 0.5 1 5 . 0

2  

G s

 ^이므로,

s X

s X s

X s

s

s s

s

s s

X s

s s

s Y s

2 2 2

) 1 (

1

5 . 0 5

. 0

5 . 0

) 1 5 . 0 )(

1 (

5 . 0 ) 1 5 . 0 ( ) 1 5 . 0 )(

1 (

) 1 5 . 0 (

5 . 0 1 1

)) 1 5 . 0 (

5 . 0 1 1 1 1 1

(

) 1 5 . 0 (

5 . 0 1 1

 



 















 

 

 

 

 

 

 















  











따라서 입력변수에 따른 출력변수간의 전달함수 Y(s)/X(s) 는 다음과 같다.

)2

1 (

1 )

( ) (

  s s X

s Y



24. 다음과 같은 액체 교반공정을 고려한다. 모든 유입속도 및 유출속도는 일정한 값으로 유지되며 유입흐름의 농 도는 변화할 수 있다.

(1) 유입흐름이 농도 입력변화에 대한 유출흐름의 농도 응답을 전달함수로 표현하라.

농도의 단위를 질량농도 (C_A [kg/l]), 부피유속을 ^{F [l/min]} 라고 가정하고, 성분에 A에 대하여 물질수지 식을 세우면,

A A

A

F C

A

F C F C dt

V C

d       

3 2 2 1 1

)

(

(1)

여기에서, 모든 부피유속이 일정하게 유지되므로, F₁F₂F₃ 0 dt

dV 이다. 따라서 식 (1) 은 다음과 같이 정

리된다.

A A

A F CA F C F C dt

V dC  ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ (2)

C^'_A1(S)

C^'_A2(S)

C^'_A(S) K₁

K₂ τS+1

τS+1

편차변수를 이용하여 식 (2) 를 표준화하면 다음과 같다.

A A

A F CA F C F C dt

C

V d  ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ⁽³⁾

식 (3) 을 라플라스변환하여 정리하면,

) ( )

( )

( )

(VsF₃ C_A s F₁C_A1 s F₂ C_A2 s

윗식의 양변을 F3 로 나누고,  V/ F3, K1  F1/ F3, K2 F2/ F3 라고 정의하면 다음과 같다.

) 1 (

) 1 (

)

( ¹ ₁ ² C ₂ s

s s K s C

s K

C_{A A}  _A

 

 



 

(2) 위 전달함수에 대응되는 블록 선도를 그려라.

27. 다음 블록선도로부터 전달함수 C(S)/R(S) 및 C(S)/L(S)를 구하여라.

G4

a

C   --- ⓐ

1 5) (R C G G_C

b    --- ⓑ



(b G3 a) G 2 G1



L G2

a    _C    --- ⓒ

a

에 대하여 동류항끼리 묶어 정리하면,

2 2

1 3

2

1 )

1

( G G G b G G L G

a       _C   ---ⓓ

b 에 관련된 ⓑ식을 ⓓ식에 대입하면,

2 2

1 1 5 3

2

1 ) {( ) }

1

( G G G R C G G G G L G

a        _C   _C  

a

_{에 대해 정리하면,}

3 2 1

2 2

1 1 5

1

} )

{(

G G G

G L G G G G C

a R ^{C C}



















  ---ⓔ

ⓐ식에 ⓔ식을 대입하면,

3 2 1

4 2 3

2 1

4 2 1 1 5

1 1

} )

{(

G G G

G G L G

G G

G G G G G C

C R ^{C C}









 

















  ---ⓕ

ⓕ식을 C 의 동류항끼리 묶어 정리를 하면,

1 ) ( 1 )

( 1 )

1 (

3 2 1

4 2 1 1 3

2 1

4 2 3

2 1

5 4 2 1 1

G G G

G G G R G

G G G

G L G

G G G

G G G G

C G^{C C C C}











 

 





 

 











 



5 4 2 1 1 3 2 1

4 2

1 ) (

) (

G G G G G G G G

G G S

L S C

C

C    









 



5 4 1 2 1 3 2 1

4 2 1 1

1 ) (

) (

G G G G G G G G

G G G G S

R S C

C C

C C





















 

