001
㉠: 두 반지름과 호로 이루어진 도형이므로 부채꼴이다. ㉡: 원 위의 두 점을 잇는 선분이므로 현이다. ㉢: 호와 현으로 이루어진 도형이므로 활꼴이다. 답 ㉠: 부채꼴, ㉡: 현, ㉢: 활꼴002
ㄷ. 활꼴은 호와 현으로 이루어진 도형이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답ㄱ, ㄴ 포인트 원의 중심을 지나는 현을 지름이라 하고, 지름은 길이가 가장 긴 현이다.003
④ 원의 중심 O를 지나는 현은 지름이다. 답 ④004
부채꼴과 활꼴이 같아지는 경우는 반원일 때이므로 구하 는 중심각의 크기는 180ù이다. 답 ⑤005
OAÓ, OBÓ는 원 O의 반지름이므로 OAÓ=OBÓ=ABÓ 따라서 △AOB는 정삼각형이므로 부 채꼴 AOB의 중심각의 크기는 60ù이 다. 답 ③006
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 ⑴ 60：15=8：x 4：1=8：x 4x=8 ∴ x=2 ⑵ 30：90=x：15 1：3=x：15 3x=15 ∴ x=5 ⑶ 10：5=80：x 2：1=80：x 2x=80 ∴ x=40 ⑷ 3：9=(x+5)：45 1：3=x+5：45 3(x+5)=45 3x=30 ∴ x=10 답⑴ 2 ⑵ 5 ⑶ 40 ⑷ 10007
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 30：70=6：µ CD O B A1
원과 부채꼴
본문 008~024쪽 3：7=6：µ CD 3µ CD=42 ∴ µ CD=14(cm) 답 14`cm008
µAC의 길이가 µAB의 길이의 3배이므로 ∠AOC의 크기도 ∠AOB의 크기의 3배이다. ∠AOC=90ù이므로 ∠AOB=30ù이다. ∴ ∠BOC=∠AOC-∠AOB=90ù-30ù=60ù 답 60ù009
한 원의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 호의 길이는 중심각 의 크기에 정비례하므로 45：360=6：x 1：8=6：x ∴ x=48(cm) 답 ②010
호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 25：125=4：x, 1：5=4：x ∴ x=20 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 25：y=4：8, 25：y=1：2 ∴ y=50 ∴ x+y=70 답 ⑤011
중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠x：∠x+20ù=12：20 12(∠x+20ù)=20∠x 12∠x+240ù=20∠x 8∠x=240ù ∴ ∠x=30ù 답 ③012
CDÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BOC=180ù-∠BOD=165ù ∠AOC=∠BOD=15ù (맞꼭지각) 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 15：165=2：µ BC 1：11=2：µ BC ∴ µ BC=22(cm) 답 ①013
µAB：µ BC=5：4이므로 ∠AOB：∠BOC=5：4 ∴ ∠AOB=180ù_ 55+4 =100ù 답 ⑤014
∠AOC：∠BOC=µAC：µ BC=3：7이므로 ∠COB=180ù_ 73+7 =126ù 따라서 △COB는 OCÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OCB=;2!;_(180ù-126ù)=27ù 답 27ù019
△AOB는 OAÓ=OBÓ이므로 이등변삼각형이다. ∴ ∠OAB=∠OBA=;2!;_(180ù-140ù)=20ù ABÓ∥CDÓ이므로 ∠AOC=∠BAO=20ù (엇각) 따라서 µAC의 길이는 원 O의 둘레의 길이의 20ù 360ù =;1Á8;(배) 답;1Á8;배020
OCÓ∥BDÓ이므로 26`cm O 25± 25± 25± 25± 130± B A C D ∠OBD =∠AOC =25ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으 면 ODÓ=OBÓ이므로 ∠ODB=25ù OCÓ∥BDÓ이므로 ∠DOC=∠ODB=25ù (엇각) 따라서 130：25=26：µ CD이므로 26：5=26：µ CD, 26µ CD=130 ∴ µ CD=5(cm) 답 5`cm021
ACÓ∥ODÓ이므로 B 15± 15± 15± 15± 150± D C A O ∠CAO=∠DOB=15ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그 으면 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OCA=15ù, ∠AOC=150ù ACÓ∥ODÓ이므로 ∠COD=∠OCA=15ù (엇각) ∴ µAC：µ CD：µ DB =∠AOC：∠COD：∠DOB =150：15：15=10：1：1 답④022
ABÓ=CDÓ=DEÓ이므로 ∠AOB=∠COD=∠DOE=35ù ∴ ∠x=35ù+35ù=70ù 답④023
현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다. 따라서 ADÓ의 길이는 알 수 없다. 답④024
부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 ⑴ 6：24=30：x 1：4=30：x ∴ x=120 ⑵ 12：18=x：150 2：3=x：150 3x=300 ∴ x=100 ⑶ 42：126=5：x 1：3=5：x ∴ x=15 ⑷ 105：140=x：28 3：4=x：28015
∠AOC=∠OCD=30ù (엇각) △OCD는 OCÓ=ODÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ODC=∠OCD=30ù ∴ ∠COD=180ù-(30ù+30ù)=120ù 따라서 µAC：µ CD=30：120이므로 3：µ CD=1：4 ∴ µ CD=12(cm) 답 12`cm016
OCÓ∥`BDÓ이므로 O 35± 35± B A C D 35± 110± ∠OBD =∠AOC =35ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으 면 △BOD는 이등변삼각형이다. ∴ ∠OBD=∠ODB=35ù ∴ ∠BOD =180ù-(35ù+35ù) =110ù 답 ① 포인트 보조선을 그어 이등변삼각형 만들기 반원 O에서 ACÓ∥ODÓ이면 보조선을 그어 동위각과 엇각, 이등변삼각형의 성질을 이용한다. O A B D C x O A B D C x x x x017
△ODE는 이등변삼각형이므로 O A B E 30± 30± 60± 90± D C ∠BOD=30ù △OCD에서 ∠ODC=60ù이고 ODÓ=OCÓ이므로 ∠OCD=60ù ∴ ∠COD=60ù ∴ ∠AOC=180ù-(30ù+60ù)=90ù µ CD=2µ BD=10p(cm) µAC=3µ BD=15p(cm) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤018
△OPC에서 CPÓ=COÓ이므로 ∠COP=∠x △OPC에서 ∠OCD=∠OPC+∠COP=∠x+∠x=2∠x △OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠ODC=∠OCD=2∠x △OPD에서 ∠OPD+∠ODP=∠x+2∠x=75ù 3∠x=75ù ∴ ∠x=25ù 답 25ù4x=84 ∴ x=21 답 ⑴ 120 ⑵ 100 ⑶ 15 ⑷ 21
025
원 O의 중심각은 360ù이므로 원 O의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 30：360=15：S, 1：12=15：S ∴ S=180(cmÛ`) 답 ④026
∠BOC=180ù-110ù=70ù이고, 부채꼴 BOC의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 14：70=8：S, 1：5=8：S ∴ S=40(cmÛ`) 답 ⑤027
△AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=;2!;_(180ù-120ù)=30ù ∴ ∠BOD=∠OAC=30ù (동위각) 부채꼴 BOD의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 120：30=32：S, 4：1=32：S 4S=32 ∴ S=8(cmÛ`) 답 ②028
① 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. ③ ∠BOC의 크기는 알 수 없다. ④ 중심각의 크기와 삼각형의 넓이는 무관하다. 답②, ⑤029
원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ⑴ 2pr=8p ∴ r=4(cm) ⑵ 2pr=12p ∴ r=6(cm) ⑶ prÛ`=25p, rÛ`=25 ∴ r=5(cm) ⑷ prÛ`=81p, rÛ`=81 ∴ r=9(cm) 답 ⑴ 4`cm ⑵ 6`cm ⑶ 5`cm ⑷ 9`cm030
큰 원의 반지름의 길이는 5`cm, 작은 원의 반지름의 길이 는 3`cm이므로 색칠한 부분의 둘레의 길이는 (2p_5)+(2p_3)=16p(cm) 답16p`cm031
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_12_;2!;+2p_6=24p(cm) 답 ③032
구하는 색칠한 부분의 넓이는 가장 큰 원에서 두 원 O, O' 의 넓이를 빼면 된다. 가장 큰 원의 반지름의 길이는 8`cm이므로 그 넓이는 p_8Û`=64p(cmÛ`) 원 O의 넓이는 p_5Û`=25p(cmÛ`) 원 O'의 넓이는 p_3Û`=9p(cmÛ`) ∴ (색칠한 부분의 넓이) =64p-(25p+9p)=30p(cmÛ`) 답 ①033
오른쪽 그림에서 어두운 부분의 6`cm 6`cm 둘레의 길이는 정사각형의 네 변 의 길이와 반지름의 길이가 6`cm 인 반원의 호의 길이를 더한 것과 같으므로 4_6+2p_6_;2!; =24+6p(cm) 답 ③034
색칠한 부분의 둘레의 길이는 반지름의 길이가 각각 2`m, 4`m인 원의 둘레의 길이와 직선 부분의 길이의 합과 같으 므로 (2p_2)+(2p_4)+(6_4) =12p+24(m) 답 ②035
(색칠한 부분의 넓이) =p_10Û`_;4!;-p_5Û`_;2!; =25p-:ª2°:p =:ª2°:p(cmÛ`) 답 ③036
오른쪽 그림과 같이 이동하면 구 하는 넓이는 반지름의 길이가 3`cm인 반원의 넓이와 같으므로 p_3Û`_;2!;=;2(;p(cmÛ`) 답 ①037
⑴ l=2p_12_;3£6¼0;=2p(cm) S=p_12Û`_;3£6¼0;=12p(cmÛ`) ⑵ l=2p_16_;3¢6°0;=4p(cm) S=p_16Û`_;3¢6°0;=32p(cmÛ`) ⑶ l=2p_6_;3!6@0);=4p(cm) S=p_6Û`_;3!6@0);=12p(cmÛ`) ⑷ l=2p_9_;3@6$0);=12p(cm) S=p_9Û`_;3@6$0);=54p(cmÛ`) 답⑴ l=2p`cm, S=12p`cmÛ` ⑵ l=4p`cm, S=32p`cmÛ` ⑶ l=4p`cm, S=12p`cmÛ` ⑷ l=12p`cm, S=54p`cmÛ`038
;2!;_8_10p=40p(cmÛ`) 답40p`cmÛ` 3`cm 3`cm 3`cm045
EBÓ=ECÓ=CBÓ=10`cm이므로 10`cm B C A E D 30± 30± 10`cm △EBC는 정삼각형이다. ∠EBC=∠ECB=60ù ∴ ∠ABE=∠DCE=30ù ∴ (색칠한 부분의 넓이) =10_10-p_10Û`_;3£6¼0;_2 =100-:°3¼:p(cmÛ`) 답②046
ABÓ=BCÓ=CAÓ=3(cm)이므로 ADÓ=3+3=6(cm) BEÓ=3+6=9(cm) 세 부채꼴의 중심각의 크기는 정삼각형의 한 외각의 크기 인 120ù이므로 (부채꼴 BCD의 넓이)=p_3Û`_;3!6@0);=3p(cmÛ`) (부채꼴 DAE의 넓이)=p_6Û`_;3!6@0);=12p(cmÛ`) (부채꼴 EBF의 넓이)=p_9Û`_;3!6@0);=27p(cmÛ`) ∴ (색칠한 부분의 넓이)=3p+12p+27p=42p(cmÛ`) 답42p`cmÛ`047
원기둥 모양의 통조림 6개 4`cm 8`cm 16`cm 를 둘러싸는 곡선 부분의 길이는 2p_4=8p(cm) 직선 부분의 길이는 (16_2)+(8_2) =48(cm) 따라서 끈의 최소 길이는 8p+48(cm) 답(8p+48)`cm048
동전이 지나간 자리는 오른쪽 그림과 같으므로 (①+②+③+④의 넓이) =p_2Û``=4p(cmÛ`) 따라서 동전이 지나간 자리의 넓이는 4p+14_2_2+8_2_2=4p+88(cmÛ`) 답 (4p+88)`cmÛ`049
작은 원이 지나간 자리의 넓이는 반지름의 길이가 8`cm인 원의 넓이에서 반지름의 길이가 4`cm인 원의 넓이를 뺀 것과 같으므로 (p_8Û`)-(p_4Û`)=48p(cmÛ`) 답②050
점 A가 움직인 거리는 다음 그림과 같다. 14`cm 8`cm A D B C ① ④ ② ③039
µAB=8p`cm이므로 2p_20_;36{0;=8p ;9Ò;x=8p ∴ x=72 답72040
반지름의 길이가 r, 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이를 S라 하면 S=;2!;rl이므로 (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_8_9=36(cmÛ`) 답 ⑤041
SÁ=p_6Û`_;3!6%0);=15p(cmÛ`) Sª=;2!;_10_4p=20p(cmÛ`) ∴ Sª-SÁ=5p 답 ④ 포인트 부채꼴의 호의 길이와 넓이 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 xù인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 ⑴ 중심각의 크기가 주어진 경우 l=2pr_;36{0;, S=prÛ`_;36{0; ⑵ 중심각의 크기가 주어지지 않은 경우 S=;2!;rl042
정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_4Û`_;3!6)0*; =:ª5¢:p(cmÛ`) 답 ②043
부채꼴의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_r_p=3p ∴ r=6(cm) 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_6_;36{0;=p에서 x=30(ù) 답 ①044
부채꼴의 호의 길이를 l cm라하면 60p=;2!;_5_l ∴ l=24p(cm) 따라서 부채꼴의 호의 길이는 24p cm이다. 답 ④A 120± B A' 120± C l 7`cm ∴ 2p_7_;3!6@0);_2=:ª3¥:p(cm) 답:ª3¥:p`cm 포인트 도형을 회전시켰을 때 움직인 거리 구하기 ⑴ 한 점을 중심으로 도형을 회전시켰을 때의 점이 움직인 거리를 구할 때 호의 길이를 구한다. ⑵ 도형이 움직인 자리의 넓이를 구할 때 부채꼴의 넓 이, 직사각형의 넓이로 각각 나누어 구한다.
051
닭이 움직일 수 있는 영역의 넓이는 오른쪽 그림의 어 두운 부분의 넓이와 같다. 따라서 구하는 영역의 넓 이는 p_10Û`_;4#;+p_2Û`_;4!; +p_4Û`_;4!; =75p+p+4p=80p(mÛ`) 답 80p`mÛ`052
∠FOD=∠EOC=20ù (맞꼭지각)이므로 20：30=µ CE：9 2：3=µ CE：9 3µ CE=18 µCE=6(cm) ∴ a=6 yy 가 ∠EOB=180ù-50ù=130ù이므로 30：130=9：µ EB 3：13=9：µ EB 3µ EB=117 µ EB=39(cm) ∴ b=39 yy 나 ∴ b-a=33 yy 다 답 33 단계 채점 요소 배점 가 a=6 구하기 1점 나 b=39 구하기 1점 다 답 구하기 2점053
µAB：µ BC=3a：5a이므로 yy 가9：µ BC=3：5 3µ BC=45 ∴ µ BC=15(cm) yy 나 답15`cm A 8`m 10`m 4`m 4`m 2`m 6`m 2`m 단계 채점 요소 배점 가 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례함을 이 용하여 비례식 세우기 2점 나 답 구하기 2점
054
∠AOC는 평각이고 µAB：µ BC=1：3이므로 ∠AOB：∠BOC=1：3 ∴ ∠AOB=180ù_;4!;=45ù yy 가 △AOB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BAO=;2!;_(180ù-45ù) =67.5ù yy 나 답67.5ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠AOB=45ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점055
△CAO는 ACÓ=COÓ=AOÓ인 정삼각형이므로 ∠AOC=60ù, ∠COD=180ù-(60ù+80ù)=40ù yy 가 따라서 60：40=18：µCD이므로 yy 나 3：2=18：µCD 3µ CD=36 ∴ µ CD=12(cm) yy 다 답 12`cm 단계 채점 요소 배점 가 △CAO는 정삼각형임을 이용하여 ∠AOC=60ù, ∠COD=40ù 구하기 2점 나 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례함을 이 용하여 비례식 세우기 2점 다 답 구하기 2점056
∠BOD=∠a라 하면 B D C A O 8`cm a a a a ACÓ∥`ODÓ이므로∠OAC=∠a (동위각) yy 가
△AOC는 이등변삼각형이므로
∠OAC=∠OCA=∠a yy 나
또, ∠COD=∠OCA=∠a (엇각) yy 다
따라서 같은 크기의 중심각에 대한 현의 길이는 같으므로 BDÓ=8(cm) yy 라 답 8`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠BOD=∠a라 하고 ∠OAC=∠a임을 찾기 1점 나 ∠OAC=∠OCA=∠a임을 찾기 1점 다 ∠COD=∠OCA=∠a임을 찾기 1점 라 답 구하기 3점
057
µAB：¨APC=4：5이므로060
10`cm 6`cm 8`cm 10`cm 10`cm = + + -8`cm 6`cm yy 가 ∴ (색칠한 부분의 넓이) ={p_3Û`_;2!;}+{p_4Û`_;2!;}+{;2!;_6_8} -{p_5Û`_;2!;} yy 나 =;2(;p+8p+24-:ª2°:p=24(cmÛ`) yy 다 답 24`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 도형을 몇 개의 도형으로 나누어 표현하기 3점 나 각각의 넓이를 구한 후 넓이를 더하거나 빼기 3점 다 답 구하기 2점
061
BEÓ=BCÓ=CEÓ=14(cm)이 므로 △EBC는 정삼각형이다. ∠EBC=60ù이므로 ∠ABE=90ù-60ù=30ù 같은 방법으로 ∠FBC=30ù yy 가 따라서 부채꼴 BEF의 중심각의 크기는 30ù이고 µ EF의 길 이는 2p_14_;3£6¼0;=;3&;p(cm) yy 나 ∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이) =;3&;p_4=:ª3¥:p(cm) yy 다 답 :ª3¥:p`cm 단계 채점 요소 배점 가 △EBC가 정삼각형임을 알고 ∠ABE=30ù, ∠FBC=30ù 구하기 2점 나 µ EF의 길이는 ;3&;p`cm임을 구하기 2점 다 답 구하기 2점062
∠BEC=60ù, ∠ABE=90ù-60ù=30ù yy 가△ABE는 이등변삼각형이므로 ∠AEB=;2!;_(180ù-30ù)=75ù ∠AED=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù yy 나 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_12Û`_;3!6%0); =60p(cmÛ`) yy 14`cm 14`cm 14`cm 14`cm A D C B F E ∠AOB：∠AOC=4：5 yy 가 부채꼴 AOB의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 4：5=S：45, 5S=180 yy 나 ∴ S=36(cmÛ`) yy 다 답36`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 부채꼴의 호의 길이의 비는 중심각의 크기의 비와 같음 을 알기 2점 나 부채꼴 AOB의 넓이를 S라 두고 비례식 세우기 2점 다 답 구하기 2점
058
(색칠한 부분의 넓이) =(㉠의 넓이)_4 =(4_4-p_2Û`)_4 yy 가 =64-16p(cmÛ`) yy 나 답 (64-16p)`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ㉠의 넓이는 한 변의 길이가 4`cm인 정사각형에서 반 지름의 길이가 2`cm인 원을 뺀 것과 같음을 알고 식 세우기 3점 나 답 구하기 3점059
오른쪽 그림에서 A와 B의 넓이 가 같으므로 A+C=B+C yy 가 즉, 직사각형의 넓이와 부채꼴의 넓이가 같으므로 4_x=;4!;_p_4Û` ∴ x=p yy 나 답p 단계 채점 요소 배점 가 A+C=B+C임을 알기 3점 나 답 구하기 3점 포인트 색칠한 부분의 넓이 구하기 ⑴ 도형 옮기기 주어진 도형의 일부분을 넓이가 같은 부분으로 이동하 여 색칠한 부분의 넓이를 구한다. ⑵ 도형 쪼개기 주어진 도형을 몇 개의 도형으로 나누고 각각의 넓이를 더하거나 빼서 색칠한 부분의 넓이를 구한다. 4`cm 4`cm ㉠ 4`cm x`cm A C B답 60p`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ∠BEC=60ù, ∠ABE=30ù 구하기 2점 나 ∠AEB=75ù, ∠AED=150ù 구하기 2점 다 답 구하기 2점
063
⑴ 원이 지나간 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같고 (①+②+③의 넓이) =p_2Û` =4p(cmÛ`) yy 가 ∴ (원이 지나간 부분의 넓이) =10_2+8_2+6_2+4p =20+16+12+4p=48+4p(cmÛ`) yy 나 ⑵ 원의 중심이 지나간 자리는 오 른쪽 그림과 같고 (①+②+③의 길이) =2p(cm) yy 다 ∴ (원의 중심이 움직인 거리) =10+8+6+2p =24+2p(cm) yy 라 답⑴ (48+4p)`cmÛ` ⑵ (24+2p)`cm 단계 채점 요소 배점 가 (①+②+③의 넓이)=4p`(cmÛ`) 구하기 2점 나 (원이 지나간 부분의 넓이)=(48+4p)`cmÛ` 구하기 2점 다 (①+②+③의 길이)=2p`(cm) 구하기 2점 라 (원의 중심이 움직인 거리)=(24+2p)`cm 구하기 2점064
오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면 △OAD는 OAÓ=ODÓ인 이등변삼 각형이므로 ∠OAD=∠ODA COÓ∥ADÓ이므로 ∠COA=∠OAD (엇각) △OAD에서 ∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠COA 따라서 부채꼴 BOD의 중심각의 크기는 부채꼴 COA의 중심각의 크기의 두 배이므로 µ BD=10`cm 답10`cm065
µAB：µ BC：¨CDA=2：3：7이므로 ∠AOB：∠BOC：∠AOC=2：3：7 ∴ ∠AOB=360ù_2+3+7 =602 ù 답60ù 포인트 문제의 주어진 그림을 참고하면 µAB는 보통 작은 쪽의 호를 나타내고, 큰 쪽의 호는 그 호 위의 한 점 D를 잡아 ¨CDA와 같이 나타낸다. 10`cm 8`cm 6`cm 2`cm ① ③ ② 10`cm 8`cm 6`cm 1`cm ① ③ ② 5`cm O C B A D066
오른쪽 그림과 같이 생각하면 B E D C A 10`cm 10`cm 색칠한 부분의 넓이는 사분원의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_10Û`_;4!;-10_10_;2!; =25p-50(cmÛ`) 답 ⑤067
색칠한 부분의 둘레의 길이는 지름의 길이가 각각 9`cm, 3`cm인 원의 둘레의 길이의 합이므로 2p_;2(;+2p_;2#;=9p+3p=12p(cm) 답 ③068
14`cm 14`cm 4`cm 4`cm 4`cm + = 4`cm ∴ (색칠한 부분의 넓이) =;2!;_14_4+{p_4Û`_;4!;-;2!;_4_4} =28+(4p-8)=20+4p(cmÛ`) 답 (20+4p)`cmÛ`
069
오른쪽 그림에서 A와 B의 넓이가 같으므로 A+C=B+C 즉, 삼각형의 넓이와 사분원 의 넓이가 같으므로 ;2!;_x_16=p_16Û`_;4!;, 8x=64p ∴ x=8p 답 8p070
∠B=∠C=;2!;_(180ù-56ù)=62ù △MDB와 △MEC는 이등변삼각형이므로 ∠MDB=∠MEC=62ù ∠BMD=∠CME=180ù-(62ù+62ù)=56ù 따라서 부채꼴`MDE의 중심각의 크기는 180ù-(56ù+56ù)=68ù이므로 구하는 넓이는 p_3Û`_;3¤6¥0;=;1!0&;p(cmÛ`) 답;1!0&;p`cmÛ`071
오른쪽 그림과 같이 도형을 이동 하면 구하는 넓이는 중심각의 크 기가 60ù인 부채꼴 3개의 넓이의 합과 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_2Û`_;3¤6¼0;_3=2p(cmÛ`) 답 2p`cmÛ` 16`cm B C x`cm A C 60± 60± 60± B A포인트 한 원 또는 합동인 두 원에서 부채꼴의 ⑴ 중심각의 크기가 같다. ⇐ ⇐ 호의 길이가 같다. ⇐ ⇐ 현의 길이가 같다. ⇐ ⇐ 넓이가 같다. ⑵ 중심각의 크기가 a배이다. ⇐ ⇐ 호의 길이가 a배이다. ⇐ ⇐ 넓이가 a배이다.
077
OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=;2!;_(180ù-140ù)=20ù yy 가 ABÓ∥CDÓ이므로∠AOC=∠OAB=20ù (엇각) yy 나
따라서 원 O의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 20：360=2：x yy 다 20x=720 ∴ x=36(cm) yy 라 답36`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠OAB=20ù 구하기 1점 나 ∠AOC와 ∠OAB가 엇각임을 이용하여 ∠AOC=20ù 구하기 1점 다 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례함을 이용하여 비 례식 세우기 1점 라 답 구하기 1점
078
∠OBA=∠COB=45ù (엇각)이므로 OAÓ=OBÓ, ∠OAB=∠OBA=45ù ∴ ∠AOB=180ù-(45ù+45ù)=90ù ∴ µAB：µ BC =∠AOB：∠BOC =90ù：45ù =2：1 답①079
µAC：µ BC=4：1이므로 ∠AOC：∠BOC=4：1 ∴ ∠AOC=180ù_ 44+1 =144ù △AOC는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OAC=;2!;_(180ù-144ù)=18ù 답①080
∠AOC=∠COE =∠BOD=∠DOF 이므로 µAC=µCE=µBD=µDF 답⑤081
∠x：∠y=4：5이므로 µ BC：µAC=4：5 O 42± B E F D C A 42± 42± 42± 42± 42± 42± 42±072
정사각형, 정오각형, 정육각형의 한 내각의 크기는 각각 90ù, 108ù, 120ù이다. 따라서 색칠한 부분의 넓이는 중심각의 크기가 318ù인 부 채꼴의 넓이와 같으므로 p_10Û`_;3#6!0*;= 2653 p(cmÛ`) 답 2653 p`cmÛ`073
정육각형의 한 외각의 크기는 360ù 6 =60ù이므로 색칠한 부분의 넓이는 중심각의 크 기가 60ù이고 반지름의 길이가 각각 6`cm, 12`cm, 18`cm인 부채꼴의 넓이의 합과 같으므로 p_6Û`_;3¤6¼0;+p_12Û`_;3¤6¼0;+p_18Û`_;3¤6¼0; =6p+24p+54p =84p(cmÛ`) 답 ④074
색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 A'CA의 넓이에서 부채꼴 B'CB의 넓이를 뺀 것과 같다. ∠ACB=∠A'CB'=60ù이므로 ∠A'CA=∠B'CB=120ù ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_4Û`_;3!6@0);-p_2Û`_;3!6@0); =4p(cmÛ`) 답 ①075
원의 중심이 지나간 자리는 오른쪽 그림과 같고 (①의 길이) =2p_15_;3!6@0); =10p(cm) (③+⑤의 길이) =9_2=18(cm) (②+④+⑥의 길이) =2p_6_;3»6¼0;_2+2p_6_;3¤6¼0; =8p(cm) 따라서 원의 중심이 움직인 거리는 10p+18+8p=18+18p(cm) 답(18+18p)`cm076
∠AOD+∠BOC=60ù이므로 µAD+µBC의 길이는 중심 각의 크기가 60ù인 부채꼴의 호의 길이와 같다. 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 120：60=14：(µAD+µBC) 2：1=14：(µAD+µBC) 2(µAD+µBC)=14 ∴ µAD+µBC=7(cm) 답 ② A B C D 6`cm 18`cm 6`cm E F 60± 60± 60± 12`cm 9`cm 60± 6`cm ① ⑥ ⑤ ④ ③ ② 9`cm 120± 6`cm 6`cm∴ µAB：µBC：µAC=3：4：5 µAC=20`cm이므로 µAB의 길이는 20_;5#;=12(cm) 답 ②
082
ㄱ. 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 µ CD=2µAB (참) ㄴ. 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로 CDÓ+2ABÓ (거짓) ㄷ. ∠BOC의 크기는 알 수 없다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. 답 ① 포인트 중심각의 크기와 현의 길이 사이의 관계 한 원 또는 합동인 두 원에서 ⑴ 중심각의 크기가 같은 두 현의 길이는 서로 같다. ⑵ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.083
∠x：∠x+10ù=32：40, ∠x：∠x+10ù=4：5 yy 가 5∠x=4(∠x+10ù), 5∠x=4∠x+40ù ∴ ∠x=40ù yy 나 답40ù 단계 채점 요소 배점 가 알맞은 비례식 세우기 2점 나 답 구하기 2점084
① 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. ③ 중심각의 크기와 삼각형의 넓이는 무관하다. ⑤ △AOB와 △COD의 넓이를 알 수 없으므로 활꼴의 넓 이도 알 수 없다. 답②, ④085
처음 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 둘레의 길이는 2pr`cm이고 반지름의 길이를 `;#;`cm만큼 늘인 원의 둘레 의 길이는 2p{r+;#;}`cm이므로 x=2p{r+;#;}-2pr=2pr+6-2pr=6 답 ①086
⑴ 색칠한 부분의 둘레의 길이는 지름의 길이가 각각 12`cm, 6`cm인 원의 둘레의 길이의 합이므로 2p_6+2p_3=12p+6p=18p(cm) yy 가 ⑵ 색칠한 부분의 넓이는 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다. ADÓ=18`cm이므로 ABÓ=6`cm, ACÓ=12`cm ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_6Û`-p_3Û` =36p-9p =27p(cmÛ`) yy 나 A B C D시험에 꼭 나오는 문제
답⑴ 18p`cm ⑵ 27p`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 색칠한 부분의 둘레의 길이 구하기 3점 나 색칠한 부분의 넓이 구하기 3점087
(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_10_;4!; +{2p_5_;4!;}_2 =5p+5p=10p(cm) 답 ③088
= -8`cm 8`cm 4`cm 4`cm ∴ (색칠한 부분의 넓이) =;4!;_8_8-{;4!;_p_4Û`-;2!;_4_4} =16-(4p-8) =24-4p(cmÛ`) 답 ②
089
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 p_6Û`_;36{0;=24p, ;1É0;x=24p ∴ x=240(ù) 답 ⑤090
두 부채꼴의 반지름의 길이를 각각 2r, 3r라 하면 작은 부채꼴의 호의 길이는 2p_2r_;3¤6¼0;=12p, :ª3É:r=12p ∴ r=18(cm) 따라서 큰 부채꼴의 호의 길이는 2p_3r_;3¤6¼0;=2p_54_;3¤6¼0; =18p(cm) 답 ②091
PAÓ=PBÓ=PQÓ=QAÓ=QBÓ이므로 △APQ, △BPQ는 정삼각형이다. yy 가 따라서 ∠AQP=∠BQP=60ù이므로 µAP=2p_6_;3¤6¼0;=2p(cm) yy 나 ∴ (어두운 부분의 둘레의 길이) =2p_4=8p(cm) yy 다 답8p`cm 10`cm 5`cm A 60±60± B Q P001
구, 원뿔, 원기둥은 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형 이 아니다. 따라서 다면체인 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다. 답ㄴ, ㅁ, ㅂ002
④ 원뿔은 곡면으로 둘러싸여 있으므로 다면체가 아니다. 답④003
다면체는 ㄴ, ㄹ, ㅂ의 3개이다. 답3개004
각기둥은 두 밑면이 서로 평행하며 그 모양이 합동인 다각 형이고 옆면의 모양이 모두 직사각형인 다면체이다. 주어진 입체도형 중 각기둥은 ②이다. 답②005
각뿔은 밑면의 모양이 다각형이고 옆면의 모양이 모두 삼 각형인 다면체이다. 따라서 각뿔의 개수는 ㄱ, ㅁ의 2이다. 답②006
주어진 다면체는 오각뿔대이고 옆면의 모양은 사다리꼴이 다. 답③007
③ 육각뿔의 옆면의 모양은 삼각형이다. 답③008
주어진 다면체의 밑면의 모양과 옆면의 모양은 각각 다음 과 같다. ① 삼각형, 직사각형 ② 삼각형, 삼각형 ③ 사각형, 직사각형 ④ 사각형, 삼각형 ⑤ 삼각형, 사다리꼴 답②009
⑴ 삼각뿔의 면의 개수는 3+1=4이므로 사면체이다. ⑵ 사각기둥의 면의 개수는 4+2=6이므로 육면체이다. ⑶ 사각뿔의 면의 개수는 4+1=5이므로 오면체이다. ⑷ 육각기둥의 면의 개수는 6+2=8이므로 팔면체이다. 답 ⑴ 4, 사면체 ⑵ 6, 육면체 ⑶ 5, 오면체 ⑷ 8, 팔면체010
⑴ 삼각뿔대의 면의 개수는 3+2=5 ⑵ 삼각뿔대의 모서리의 개수는 3_3=9 ⑶ 삼각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_3=6 답⑴ 5 ⑵ 9 ⑶ 6011
주어진 입체도형의 면의 개수가 5이므로 오면체이다. 답②012
각 다면체의 면의 개수는2
다면체와 회전체
본문 026~046쪽 단계 채점 요소 배점 가 △APQ, △BPQ가 정삼각형임을 알기 2점 나 µAP=2p 구하기 2점 다 답 구하기 2점092
18`cm A B B' 60± A A = + -B A B B' B' A = B B' 색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 B'AB의 넓이와 같으므로 p_18Û`_;3¤6¼0;=54p(cmÛ`) 답 ①
093
점 C가 지나간 자리는 다음 그림과 같다.B A 150± C B A C A C 12`cm 6`cm yy 가 따라서 점 C가 움직인 거리는 2p_12_;3!6%0);+2p_6_;3»6¼0; yy 나 =10p+3p=13p(cm) yy 다 답13p`cm 단계 채점 요소 배점 가 점 C가 지나간 자리를 그림으로 나타내기 3점 나 점 C가 움직인 거리에 대한 알맞은 식 세우기 3점 다 답 구하기 2점 포인트 한 점이 움직인 거리 구하기 도형을 회전시켰을 때 점이 움직인 거리는 다음 순서로 구 한다. ① 점이 지나간 경로를 따라 호를 그린다. ② 반지름의 길이에 따라 호를 분리하고, 각각의 중심각의 크기를 구한다. ③ 호의 길이를 구하여 더한다.
① 3+1=4 ② 4+2=6 ③ 5+1=6 ④ 7+2=9 ⑤ 8+2=10 따라서 면의 개수가 9인 다면체는 ④ 칠각뿔대이다. 답 ④ 포인트 (다면체의 면의 개수)=(옆면의 개수)+(밑면의 개수)
013
①, ②, ③, ⑤의 모서리의 개수는 모두 12이다. ④ 오각뿔대의 모서리의 개수는 15이다. 답 ④014
각 다면체의 꼭짓점의 개수는 ① 2_3=6 ② 2_6=12 ③ 2_5=10 ④ 2_7=14 ⑤ 8+1=9 따라서 다면체와 그 꼭짓점의 개수가 바르게 짝지어진 것 은 ②이다. 답 ②015
육각뿔의 면의 개수는 6+1=7이므로 a=7 육각뿔대의 면의 개수는 6+2=8이므로 b=8 ∴ a+b=7+8=15 답 ⑤016
① 삼각뿔의 모서리의 개수는 2_3=6 답 ①017
① 면의 개수: 5+1=6, 모서리의 개수: 2_5=10 ② 면의 개수: 8+1=9, 모서리의 개수: 2_8=16 ③ 면의 개수: 5+2=7, 모서리의 개수: 3_5=15 ④ 면의 개수: 7+1=8, 모서리의 개수: 2_7=14 ⑤ 면의 개수: 5+2=7, 모서리의 개수: 3_5=15 따라서 면의 개수가 9이고, 모서리의 개수가 16인 다면체 는 ② 팔각뿔이다. 답 ②018
각 다면체의 꼭짓점의 개수는 ① 2_3=6 ② 8 ③ 5+1=6 ④ 6 ⑤ 2_3=6 따라서 꼭짓점의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ② 정육 면체이다. 답 ②019
① 꼭짓점의 개수: 2_4=8, 면의 개수: 4+2=6 ② 꼭짓점의 개수: 4+1=5, 면의 개수: 4+1=5 ③ 꼭짓점의 개수: 2_8=16, 면의 개수: 8+2=10 ④ 꼭짓점의 개수: 2_7=14, 면의 개수: 7+2=9 ⑤ 꼭짓점의 개수: 2_8=16, 면의 개수: 8+2=10 따라서 꼭짓점의 개수와 면의 개수가 같은 다면체는 ② 사 각뿔이다. 답 ②020
주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 n+1=7 ∴ n=6 즉, 주어진 각뿔은 육각뿔이다. 육각뿔의 모서리의 개수는 2_6=12이므로 a=12 육각뿔의 꼭짓점의 개수는 6+1=7이므로 b=7 ∴ a+b=12+7=19 답 ①021
주어진 각뿔대를 n각뿔대라 하면 3n=27 ∴ n=9 즉, 주어진 각뿔대는 구각뿔대이다. 구각뿔대의 면의 개수는 9+2=11이므로 a=11 구각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_9=18이므로 b=18 ∴ b-a=18-11=7 답 ②022
주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 n각기둥의 모서리의 개수는 3n, 면의 개수는 (n+2)이므로 3n+(n+2)=34 4n=32 ∴ n=8 즉, 주어진 각기둥은 팔각기둥이다. 따라서 팔각기둥의 꼭짓점의 개수는 2_8=16 답 ③023
⑤ 밑면과 평행하게 자를 때 생기는 단면의 모양은 팔각형 이다. 답 ⑤024
⑤ 밑면에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 직사각형이다. 답 ⑤025
ㄱ. 각뿔대의 두 밑면은 서로 평행하다. (참) ㄴ. 각기둥의 두 밑면은 합동이지만 각뿔대의 두 밑면은 합동이 아니다. (참) ㄷ. 각뿔대의 밑면의 모양에 따라 사다리꼴 모양의 옆면은 합동일 수도 있고, 아닐 수도 있다. (거짓) ㄹ. 모서리의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의 3 배이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ①026
두 조건 ㈏, ㈐에서 두 밑면이 서로 평행하고 옆면의 모양 이 직사각형이므로 각기둥이다. 주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 조건 ㈎에서 n+2=12 ∴ n=10 따라서 조건을 만족시키는 입체도형은 십각기둥이다. 답 ④027
주어진 전개도로 만든 입체도형은 오른 쪽 그림과 같이 사각뿔대이다. ③ 사각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_4=8 답 ③028
⑴, ⑵ 정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭 짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다면체이다. ⑶ 정다면체의 한 면이 될 수 있는 다각형은 정삼각형, 정 사각형, 정오각형이다. 답⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _029
정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지뿐이다. 답 ⑤030
각 면이 정오각형으로 이루어진 정다면체는 정십이면체이 다. 답 ④031
①, ③, ⑤ 정사면체, 정팔면체, 정이십면체의 면의 모양은 정삼각형이다. ② 정육면체의 면의 모양은 정사각형이다. ④ 정십이면체의 면의 모양은 정오각형이다. 답②, ④032
조건 ㈎에서 각 면의 모양이 정삼각형인 정다면체는 정사 면체, 정팔면체, 정이십면체이다. 조건 ㈏에서 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 중 면의 개 수가 4인 정다면체는 정사면체이다. 따라서 구하는 정다면체는 정사면체이다. 답정사면체033
정팔면체의 모서리의 개수는 12이므로 a=12 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이므로 b=20 정이십면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 5이므로 c=5 ∴ a+b-c=12+20-5=27 답 ④034
조건 ㈎에서 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3인 정다면체 는 정사면체, 정육면체, 정십이면체이다. 조건 ㈏에서 정사면체, 정육면체, 정십이면체 중 모서리의 개수가 30인 정다면체는 정십이면체이다. 따라서 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이다. 답 ⑤035
① 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이다. ② 정육면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3이다. ③ 정다면체의 면의 모양은 정삼각형, 정사각형, 정오각형 이다. ④ 면의 모양이 삼각형인 것은 정사면체, 정팔면체, 정이 십면체이다. 답 ⑤036
⑤ 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이다. 답 ⑤037
정육면체의 각 면인 정사각형의 두 대각선의 교점을 연결 하여 만든 입체도형은 각 면의 중심을 꼭짓점으로 하는 입 체도형이므로 구하는 입체도형은 정팔면체이다. 답 ③038
정이십면체의 면의 개수는 20이므로 주어진 입체도형은 꼭짓점의 개수가 20인 정십이면체이다. 따라서 구하는 모서리의 개수는 30이다. 답30 포인트 정다면체의 각 면의 한가운데 점을 연결하면 또 하 나의 정다면체가 만들어진다. 이때 (바깥쪽 정다면체의 면의 개수) =(안쪽 정다면체의 꼭짓점의 개수) ⑴ 정사면체è 정사면체 ⑵ 정육면체è 정팔면체 ⑶ 정팔면체èè 정육면체 ⑷ 정십이면체èè 정이십면체 ⑸ 정이십면체èè 정십이면체039
주어진 전개도로 정사면체를 만들 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 AEÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 DFÓ이다. 답②040
주어진 전개도로 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 점 E와 겹치는 꼭짓 점은 점 G와 점 K이다. 답점 G, 점 K041
정육면체의 전개도는 다음과 같이 11가지가 있다. ③의 전개도에서 오른쪽 그림과 같이 어두 운 면이 겹치므로 정육면체를 만들 수 없 다. 답③ A(B,`C) D E F " . + ) # % -$ & ( , ' * /
050
주어진 정사면체를 세 점 A, B, C를 지나는 평면으로 자를 때, 오른쪽 그림 과 같이 모두 4개의 점을 지나는 단면 이 생긴다. 따라서 잘린 단면의 모양은 사각형이다. 답 ③051
구와 원기둥은 회전체이다. 따라서 회전체인 것은 ㄴ, ㅂ이다. 답ㄴ, ㅂ052
⑤ 삼각뿔은 다면체이다. 답 ⑤053
주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 원뿔대이다. 답 원뿔대054
①의 반원을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시키면 반구 가 된다. 답 ①055
주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 은 회전축에서 떨어져 있는 원이므로 ③을 1회전 시킨 것 이다. 답 ③056
회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때의 단면을 생각해 본다. ㄱ. l ㄴ. l 따라서 평면도형과 회전체를 바르게 짝지은 것은 ㄷ, ㄹ이다. 답ㄷ, ㄹ 포인트 ⑴ 회전체는 평면도형을 한 직선을 회전축으로 하 여 1회전 시킨 입체도형이다. ⑵ 평면도형이 회전축에서 떨어져 있으면 가운데가 빈 회 전체가 만들어진다. " $ #042
주어진 전개도로 입체도형을 만 들면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 점 B와 겹치는 꼭짓점은 점 E이다. 답 ④043
① 점 A와 점 K는 겹친다. ② 점 E와 점 G는 겹친다. ④ 선분 AN과 선분 DE는 꼬인 위치에 있다. ⑤ 선분 AB와 선분 CF는 평 행하다. 답 ③044
주어진 전개도로 만들어진 정다면체는 정팔면체이므로 a=6, b=12 ∴ b-a=12-6=6 답 ①045
면 A와 마주 보는 면에 있는 눈의 수가 2이므로 면 A의 눈의 수는 7-2=5 ∴ a=5 면 B와 마주 보는 면에 있는 눈의 수가 4이므로 면 B의 눈의 수는 7-4=3 ∴ b=3 면 C와 마주 보는 면에 있는 눈의 수가 6이므로 면 C의 눈의 수는 7-6=1 ∴ c=1 ∴ a+b-c=5+3-1=7 답 7046
주어진 전개도로 만든 정다면체는 정이십면체이다. ③ 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 12이다. 답 ③047
세 꼭짓점 A, B, C를 지나는 평면으 로 자를 때 생기는 단면의 모양은 오 른쪽 그림과 같은 직사각형이다. 답 ④048
BCÓ=BFÓ=CFÓ이므로 △BFC는 정삼각형이다. ∴ ∠BFC=60ù 답 ③049
세 점 D, M, F를 지나는 단면은 오 른쪽 그림과 같이 HGÓ의 중점 N을 지나는 사각형 DMFN이다. 따라서 DMÓ=MFÓ=FNÓ=DNÓ이므 로 사각형 DMFN은 마름모이다. 답 ⑤ A(F) B(E) C D A(K) B(J) C(I) D(H) E(G) L(N) M F A B C A M B F G H N D E C057
주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 오 른쪽 그림과 같다. 답 ②058
CDÓ를 회전축으로 하여 1회전 시키면 원뿔대를 만들 수 있 다. 답 CDÓ059
⑴ 원 ⑵ 원 답 ⑴ 원 ⑵ 원060
④ 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 이등변삼각형이다. 답 ③061
다음 그림과 같이 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 사다리꼴이고 회전축에 수 직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 원이다. 답 ⑤062
ACÓ를 회전축으로 하여 1회전 시킨 회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 회 전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 의 모양은 ④이다. 답 ④ C B A063
구는 어떤 평면으로 잘라도 단면의 모양이 항상 원이다. 답⑤064
① 원기둥을 자른 단면의 모양으로 이등변삼각형은 나올 수 없다. 답①065
② 원뿔대의 단면의 모양은 사다리꼴이다. 답②066
① ② ③ ④ ⑤ 원뿔을 자른 단면의 모양으로 사다리꼴은 나올 수 없 다. 답⑤067
⑤ 구의 회전축은 무수히 많다. 답⑤068
가운데가 빈 원기둥이므로 회전축을 포함하는 평면으로 잘라서 생기는 단면은 두 개의 직사각형이므로 그 넓이는 (5_2)_2=20`(cmÛ`) 답 20`cmÛ` 포인트 회전체의 단면의 넓이 ⑴ 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이 è 원의 넓이를 구하는 공식을 이용한다. ⑵ 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이 è 회전시키기 전의 평면도형의 변의 길이를 이용한다.069
답⑴ 4`cm 9`cm ⑵ 3`cm 8`cm ② ⑤ ④ ③070
색칠한 밑면의 둘레의 길이는 µAB의 길이와 같다. 답 ④071
주어진 전개도의 입체도형은 원기둥 위에 원뿔이 있는 모 양이다. 따라서 ③의 평면도형을 1회전 시키면 주어진 전개도로 만 든 입체도형을 얻을 수 있다. 답 ③072
부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므 로 2p_5=10p`(cm) 답10p`cm073
주어진 전개도는 원뿔대의 전개도이다. 따라서 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생 기는 단면의 모양은 사다리꼴이다. 답 ③074
오각뿔의 모서리의 개수는 2_5=10이므로 a=10 yy 가 칠각뿔대의 모서리의 개수는 3_7=21이므로 b=21 yy 나 ∴ a+b=10+21=31 yy 다 답 31 단계 채점 요소 배점 가 a=10 구하기 1점 나 b=21 구하기 1점 다 답 구하기 2점075
주어진 입체도형의 꼭짓점의 개수는 12이므로 v=12 yy 가 모서리의 개수는 20이므로 e=20 yy 나 면의 개수는 10이므로 f=10 yy 다 ∴ v-e+f=12-20+10=2 yy 라 답 2 단계 채점 요소 배점 가 v=12 구하기 1점 나 e=20 구하기 1점 다 f=10 구하기 1점 라 답 구하기 1점076
주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 면의 개수가 10이므로 n+1=10 ∴ n=9 yy 가 즉, 주어진 각뿔은 구각뿔이다. 구각뿔의 모서리의 개수는 2_9=18이므로 a=18 yy 나 구각뿔의 꼭짓점의 개수는 9+1=10이므로 b=10 yy 다 ∴ a-b=18-10=8 yy 라 답 8 단계 채점 요소 배점 가 n=9 구하기 2점 나 a=18 구하기 1점 다 b=10 구하기 1점 라 답 구하기 2점077
주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 n(n-3) 2 =77, n(n-3)=154=14_11 ∴ n=14 yy 가 즉, 주어진 각뿔은 십사각뿔이다. 십사각뿔의 꼭짓점의 개수는 14+1=15이므로 x=15 yy 나 십사각뿔의 모서리의 개수는 2_14=28이므로 y=28 yy 다 ∴ x+y=15+28=43 yy 라 답43 단계 채점 요소 배점 가 n=14 구하기 2점 나 x=15 구하기 1점 다 y=28 구하기 1점 라 답 구하기 2점078
정육각형의 한 내각의 크기는 120ù이므로 yy 가 한 꼭짓점에 3개의 정육각형이 모이면 360ù가 되어 평면이 되므로 입체도형이 만들어지지 않는다. yy 나 답풀이 참조 단계 채점 요소 배점 가 정육각형의 한 내각의 크기는 120ù임을 알기 3점 나 정다면체를 만들 수 없는 이유를 간단히 서술하기 3점 포인트 정다면체는 입체도형이므로 ⑴ 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 한다. ⑵ 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기의 합이 360ù보다 작아야 한다. 따라서 정다면체의 면의 모양이 될 수 있는 다각 형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이다.079
주어진 축구공 모양의 다면체는 12개의 정오각형과 20개 의 정육각형으로 이루어져 있다. 한 꼭짓점에 3개의 면이 모이므로 꼭짓점의 개수는 5_12+6_20 3 =60 ∴ a=60 yy 가 또한 모서리에 2개의 면이 모이므로 모서리의 개수는 5_12+6_20 2 =90 ∴ b=90 yy 나 ∴ a+b=60+90=150 yy 다 답150단계 채점 요소 배점 가 a=60 구하기 3점 나 b=90 구하기 3점 다 답 구하기 2점
080
⑴ 면의 개수가 6이고 면의 모양이 정사각형이므로 정육면체이다. yy 가 ⑵ 점 D와 겹치는 꼭짓점은 점 H이다. yy 나 ⑶ BCÓ와 겹치는 모서리는 JIÕ이다. yy 다 답 ⑴ 정육면체 ⑵ 점 H ⑶ JIÕ 단계 채점 요소 배점 가 주어진 정다면체의 이름 알기 2점 나 점 D와 겹치는 꼭짓점 구하기 2점 다 BCÓ와 겹치는 모서리 구하기 2점081
주어진 정육면체를 선분 AC와 선분 MN을 지나는 평면 으로 잘랐을 때 생기는 입체도형 중 작은 입체도형은 오면 체, 큰 입체도형은 칠면체이다. 따라서 큰 입체도형인 칠면체의 면의 개수는 7이므로 a=7 yy 가 모서리의 개수는 13이므로 b=13 yy 나 꼭짓점의 개수는 8이므로 c=8 yy 다 ∴ a+b+c=7+13+8=28 yy 라 답28 단계 채점 요소 배점 가 a=7 구하기 1점 나 b=13 구하기 1점 다 c=8 구하기 1점 라 답 구하기 1점082
회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같은 사다리꼴이므로 구하 는 넓이는 yy 가 ;2!;_(4+12)_6=48`(cmÛ`) yy 나 답48`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 찾기 3점 나 답 구하기 3점083
주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생 기는 단면의 모양은 직사각형이므로 단면의 넓이는 6_7=42`(cmÛ`) ∴ a=42 yy 가 회전축과 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 A(K) B(J) M D(H) E(G) L(N) F C(I) 6`cm 12`cm 4`cm 원이므로 단면의 넓이는 p_3Û``=9p`(cmÛ`) ∴ b=9 yy 나 ∴ a+b=42+9=51 yy 다 답51 단계 채점 요소 배점 가 a=42 구하기 2점 나 b=9 구하기 2점 다 답 구하기 2점084
주어진 회전체를 회전축을 포 함하는 평면으로 잘랐을 때 생 기는 단면의 모양은 오른쪽 그 림과 같이 합동인 사다리꼴 2개 가 나오므로 그 넓이는 yy 가 [;2!;_(8+10)_4]_2=72`(cmÛ`) yy 나 답 72`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 찾기 3점 나 답 구하기 3점085
주어진 원뿔대의 전개도는 다음 그림과 같다. 14`cm 13`cm 9`cm (윗면의 둘레의 길이)=2p_9=18p`(cm) yy 나 (아랫면의 둘레의 길이)=2p_14=28p`(cm) yy 다 ∴ (옆면의 둘레의 길이) =18p+28p+13_2 =46p+26`(cm) yy 라 답(46p+26)`cm 단계 채점 요소 배점 가 주어진 원뿔대의 전개도 알기 2점 나 윗면의 둘레의 길이 구하기 2점 다 아랫면의 둘레의 길이 구하기 2점 라 답 구하기 2점086
두 조건 ㈎, ㈏에서 옆면이 모두 삼각형이므로 각뿔이고 면의 개수가 7이므로 주어진 다면체는 육각뿔이다. 따라서 육각뿔의 꼭짓점의 개수는 6+1=7 답7087
주어진 입체도형에서 꼭짓점의 개수는 12이므로 a=12 모서리의 개수는 18이므로 b=18 면의 개수는 8이므로 c=8 10`cm 8`cm 4`cm yy 가∴ a-b+c=12-18+8=2 답 2 포인트 다면체에서 꼭짓점의 개수를 v, 모서리의 개수를 e, 면의 개수를 f라 하면 v-e+f=2 가 성립한다. 이 공식을 오일러 공식(Euler's formula) 이라 하고, 이것은 구와 연결 상태가 같은 다면체에서만 성립한다.
088
세 조건 ㈎, ㈏, ㈐에서 옆면이 모두 삼각형이므로 각뿔이 고, 밑면의 모양이 오각형이므로 오각뿔이다. 오각뿔의 면의 개수는 5+1=6이므로 a=6 모서리의 개수는 2_5=10이므로 b=10 꼭짓점의 개수는 5+1=6이므로 c=6 ∴ a+b-c=6+10-6=10 답 10089
n각뿔대의 모서리의 개수는 3n, 면의 개수는 (n+2)이므로 3n-(n+2)=18, 2n-2=18 ∴ n=10 즉, 주어진 각뿔대는 십각뿔대이다. 따라서 십각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_10=20 답 ②090
n각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2n이므로 a=2n 모서리의 개수는 3n이므로 b=3n 면의 개수는 (n+2)이므로 c=n+2 ∴ a+b+c=2n+3n+(n+2)=6n+2 답 ⑤091
주어진 전개도는 삼각뿔대의 전개도이다. ④ 삼각뿔대이므로 밑면은 삼각형이다. 답 ④092
v-e+f=2에 e=;2#;v, f=;5#;v를 대입하면 v-;2#;v+;5#;v=2, ;1Á0;v=2 ∴ v=20 ∴ f=;5#;_20=12 따라서 면의 개수가 12이므로 구하는 정다면체는 정십이 면체이다. 답 ④093
주어진 전개도로 만들 수 있는 정다면체는 정십이면체이다. ④ 정십이면체의 모서리의 개수는 30이다. 답 ④094
주어진 전개도를 이용하여 만든 정육면 체는 오른쪽 그림과 같다. 각 꼭짓점에서 만나는 세 면의 적힌 수의 합은 3+4+1=8, 4+5+1=10, 2+5+1=8, 3+2+1=6, 3+4+6=13, 4+5+6=15, 2+5+6=13, 3+2+6=11 따라서 각 꼭짓점에서 만나는 세 면에 적힌 수의 합 중에 서 가장 큰 값은 15이다. 답 ⑤095
점 P가 꼭짓점 G 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 1>과 같이 삼각형, 점 P가 FGÓ 또는 GHÓ 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 2>와 같이 사각형, 점 P가 EFÓ 또는 EHÓ 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 3>과 같이 육각형, 점 P가 꼭짓점 E 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 4>와 같이 오각형이다. D A E F P M N G C H B <그림 1> D A E FP M N G C H B <그림 2> D A E P F M N G C H B <그림 3> D A EP F M N G C H B <그림 4> 따라서 단면의 모양이 될 수 없는 것은 ⑤ 팔각형이다. 답 ⑤096
회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면 중에서 넓 이가 가장 큰 경우는 <그림 1>과 같이 자를 때이고, 그 단면 의 모양은 <그림 2>와 같다. M ADN ADN ADN ADN BADN ADN <그림 1> <그림 2> 이때 a`cm는 회전시키기 전 밑변을 25`cm로 하는 직각삼 각형의 높이와 같으므로 ;2!;_15_20=;2!;_25_a, ;;ª2°;;a=150 ∴ a=12 따라서 구하는 단면의 넓이는 p_(a+5)Û`-p_5Û` =p_17Û`-p_5Û` =289p-25p =264p`(cmÛ`) 답264p`cmÛ`097
실의 길이가 가장 짧은 경로는 원기둥의 전개도에서 옆면 인 직사각형의 대각선으로 나타낸다. 답 ②098
①, ④ 각기둥의 옆면의 모양은 직사각형이다.③, ⑤ 각뿔의 옆면의 모양은 삼각형이다. 답 ②
099
각 다면체의 면의 개수는 ① 5+2=7 ② 5+2=7 ③ 4+2=6 ④ 8+2=10 ⑤ 9+1=10 따라서 면의 개수가 가장 적은 다면체는 ③ 사각기둥이다. 답 ③100
ㄱ. 사각기둥 - 육면체 ㄴ. 삼각뿔대 - 오면체 ㄷ. 사각뿔 - 오면체 ㄹ. 오각뿔 - 육면체 따라서 오면체는 ㄴ, ㄷ이다. 답 ③101
주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 2n=18 ∴ n=9 즉, 주어진 각기둥은 구각기둥이다. 따라서 구각기둥의 밑면의 모양은 구각형이다. 답 ④102
ㄱ. 삼각뿔대의 면의 개수는 3+2=5 (거짓) ㄴ. 삼각뿔대의 모서리의 개수는 3_3=9 (거짓) ㄷ. 삼각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_3=6 (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. 답 ③103
주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 면의 개수는 (n+1), 모서리의 개수는 2n이므로 (n+1)+2n=25, 3n=24 ∴ n=8 yy 가 즉, 주어진 각뿔은 팔각뿔이다. 따라서 팔각뿔의 꼭짓점의 개수는 8+1=9 yy 나 답 9 단계 채점 요소 배점 가 n=8 구하기 2점 나 답 구하기 2점104
두 조건 ㈎, ㈏에서 두 밑면이 서로 평행하고, 옆면의 모양 이 사다리꼴이므로 각뿔대이다. yy 가 조건 ㈐에서 면의 개수가 8이므로 육각뿔대이다. yy 나 답육각뿔대 단계 채점 요소 배점 가 두 조건 ㈎, ㈏에서 각뿔대임을 알기 2점 나 답 구하기 2점 포인트 조건을 만족시키는 다면체 구하기 ⑴ 밑면이 1개이면 각뿔, 2개이면 각기둥 또는 각뿔대이다. ⑵ 옆면의 모양이 삼각형이면 각뿔, 옆면의 모양이 직사각 형이면 각기둥, 사다리꼴이면 각뿔대이다.105
② n각뿔대는 (n+2)면체이다. ⑤ n각기둥의 꼭짓점의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의 2배이다. 답②, ⑤106
ㄱ. 정사면체의 꼭짓점의 개수는 4이다. (거짓) ㄷ. 정팔면체의 모서리의 개수는 12이다. (거짓) ㄹ. 정십이면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ의 2개이다. 답②107
정사면체의 각 모서리의 중점을 연 결하면 오른쪽 그림과 같이 정팔면 체가 된다. 답 정팔면체108
주어진 전개도로 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. yy 가 따라서 EFÓ와 꼬인 위치에 있 는 모서리는 BCÓ(또는 JIÓ), BKÓ(또는 JAÓ), MDÓ(또는 MHÓ), MLÓ(또는 MNÓ)의 4개이다. yy 나 답4개 단계 채점 요소 배점 가 주어진 전개도를 입체도형으로 나타내기 3점 나 답 구하기 3점109
주어진 정육면체를 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 은 다음과 같다. ㄱ. 정삼각형 ㄴ. 이등변삼각형 ㄷ, ㄹ. 마름모, 평행사변형 ㅁ. 사다리꼴 B(J) C(I) D(H) E(G) L(N) K(A) M Fㅂ. 오각형 ㅅ. 육각형 따라서 정육면체의 단면의 모양이 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ의 7개이다. 답 ④
