2021 내신콘서트 수학 중1-2 기말 답지 정답

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(1)

001

: 두 반지름과 호로 이루어진 도형이므로 부채꼴이다.: 원 위의 두 점을 잇는 선분이므로 현이다.: 호와 현으로 이루어진 도형이므로 활꼴이다. 답 ㉠: 부채꼴, ㉡: 현, ㉢: 활꼴

002

ㄷ. 활꼴은 호와 현으로 이루어진 도형이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답ㄱ, ㄴ 포인트 원의 중심을 지나는 현을 지름이라 하고, 지름은 길이가 가장 긴 현이다.

003

④ 원의 중심 O를 지나는 현은 지름이다. 답 ④

004

부채꼴과 활꼴이 같아지는 경우는 반원일 때이므로 구하 는 중심각의 크기는 180ù이다. 답 ⑤

005

OAÓ, OBÓ는 원 O의 반지름이므로 OAÓ=OBÓ=ABÓ 따라서 △AOB는 정삼각형이므로 부 채꼴 AOB의 중심각의 크기는 60ù이 다. 답 ③

006

호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 ⑴ 60:15=8:x   4:1=8:x   4x=8   ∴ x=230:90=x:15   1:3=x:15   3x=15   ∴ x=510:5=80:x   2:1=80:x   2x=80   ∴ x=403:9=(x+5):45   1:3=x+5:45   3(x+5)=45   3x=30   ∴ x=10 답⑴ 2 ⑵ 5 ⑶ 40 ⑷ 10

007

호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 30:70=6:µ CD O B A

1

원과 부채꼴

본문 008~024쪽 3:7=6:µ CD 3µ CD=42 ∴ µ CD=14(cm) 14`cm

008

µAC의 길이가 µAB의 길이의 3배이므로 ∠AOC의 크기도 ∠AOB의 크기의 3배이다. ∠AOC=90ù이므로 ∠AOB=30ù이다. ∴ ∠BOC=∠AOC-∠AOB=90ù-30ù=60ù 60ù

009

한 원의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 호의 길이는 중심각 의 크기에 정비례하므로 45:360=6:x 1:8=6:xx=48(cm) 답 ②

010

호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 25:125=4:x, 1:5=4:xx=20 중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 25:y=4:8, 25:y=1:2y=50x+y=70 답 ⑤

011

중심각의 크기는 호의 길이에 정비례하므로 ∠x:∠x+20ù=12:20 12(∠x+20ù)=20∠x 12∠x+240ù=20∠x 8∠x=240ù ∴ ∠x=30ù 답 ③

012

CDÓ는 원 O의 지름이므로 ∠BOC=180ù-∠BOD=165ù ∠AOC=∠BOD=15ù (맞꼭지각) 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 15:165=2:µ BC 1:11=2:µ BC ∴ µ BC=22(cm) 답 ①

013

µAB:µ BC=5:4이므로 ∠AOB:∠BOC=5:4 ∴ ∠AOB=180ù_ 55+4 =100ù 답 ⑤

014

∠AOC:∠BOC=µAC:µ BC=3:7이므로 ∠COB=180ù_ 73+7 =126ù 따라서 △COB는 OCÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OCB=;2!;_(180ù-126ù)=27ù 답 27ù

(2)

019

△AOB는 OAÓ=OBÓ이므로 이등변삼각형이다. ∴ ∠OAB=∠OBA=;2!;_(180ù-140ù)=20ù ABÓ∥CDÓ이므로 ∠AOC=∠BAO=20ù (엇각) 따라서 µAC의 길이는 원 O의 둘레의 길이의 20ù 360ù =;1Á8;() ;1Á8;배

020

OCÓ∥BDÓ이므로 26`cm O 25± 25± 25± 25± 130± B A C D ∠OBD =∠AOC =25ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으 면 ODÓ=OBÓ이므로 ∠ODB=25ù OCÓ∥BDÓ이므로 ∠DOC=∠ODB=25ù (엇각) 따라서 130:25=26:µ CD이므로 26:5=26:µ CD, 26µ CD=130 ∴ µ CD=5(cm) 5`cm

021

ACÓ∥ODÓ이므로 B 15± 15± 15± 15± 150± D C A O ∠CAO=∠DOB=15ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그 으면 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OCA=15ù, ∠AOC=150ù ACÓ∥ODÓ이므로 ∠COD=∠OCA=15ù (엇각) ∴ µAC:µ CD:µ DB =∠AOC:∠COD:∠DOB =150:15:15=10:1:1 답④

022

ABÓ=CDÓ=DEÓ이므로 ∠AOB=∠COD=∠DOE=35ù ∴ ∠x=35ù+35ù=70ù 답④

023

현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다. 따라서 ADÓ의 길이는 알 수 없다. 답④

024

부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례하므로 ⑴ 6:24=30:x   1:4=30:x   ∴ x=12012:18=x:150   2:3=x:150   3x=300   ∴ x=10042:126=5:x   1:3=5:x   ∴ x=15105:140=x:28   3:4=x:28

015

∠AOC=∠OCD=30ù (엇각) △OCD는 OCÓ=ODÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ODC=∠OCD=30ù ∴ ∠COD=180ù-(30ù+30ù)=120ù 따라서 µAC:µ CD=30:120이므로 3:µ CD=1:4 ∴ µ CD=12(cm) 12`cm

016

OCÓ∥`BDÓ이므로 O 35± 35± B A C D 35± 110± ∠OBD =∠AOC =35ù (동위각) 오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으 면 △BOD는 이등변삼각형이다. ∴ ∠OBD=∠ODB=35ù ∴ ∠BOD =180ù-(35ù+35ù) =110ù 답 ① 포인트 보조선을 그어 이등변삼각형 만들기 반원 O에서 ACÓ∥ODÓ이면 보조선을 그어 동위각과 엇각, 이등변삼각형의 성질을 이용한다. O A B D C x O A B D C x x x x

017

△ODE는 이등변삼각형이므로 O A B E 30± 30± 60± 90± D C ∠BOD=30ù △OCD에서 ∠ODC=60ù이고 ODÓ=OCÓ이므로 ∠OCD=60ù ∴ ∠COD=60ù ∴ ∠AOC=180ù-(30ù+60ù)=90ù µ CD=2µ BD=10p(cm) µAC=3µ BD=15p(cm) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤

018

△OPC에서 CPÓ=COÓ이므로 ∠COP=∠x △OPC에서 ∠OCD=∠OPC+∠COP=∠x+∠x=2∠x △OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠ODC=∠OCD=2∠x △OPD에서 ∠OPD+∠ODP=∠x+2∠x=75ù 3∠x=75ù ∴ ∠x=25ù 25ù

(3)

  4x=84 ∴ x=21 답 ⑴ 120 ⑵ 100 ⑶ 15 ⑷ 21

025

원 O의 중심각은 360ù이므로 원 O의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 30:360=15:S, 1:12=15:SS=180(cmÛ`) 답 ④

026

∠BOC=180ù-110ù=70ù이고, 부채꼴 BOC의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 14:70=8:S, 1:5=8:SS=40(cmÛ`) 답 ⑤

027

△AOC에서 OAÓ=OCÓ이므로 ∠OAC=∠OCA=;2!;_(180ù-120ù)=30ù ∴ ∠BOD=∠OAC=30ù (동위각) 부채꼴 BOD의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 120:30=32:S, 4:1=32:S 4S=32 ∴ S=8(cmÛ`) 답 ②

028

① 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. ③ ∠BOC의 크기는 알 수 없다. ④ 중심각의 크기와 삼각형의 넓이는 무관하다. 답②, ⑤

029

원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면2pr=8p ∴ r=4(cm)2pr=12p ∴ r=6(cm) ⑶ prÛ`=25p, rÛ`=25 ∴ r=5(cm) ⑷ prÛ`=81p, rÛ`=81 ∴ r=9(cm) 답 ⑴ 4`cm ⑵ 6`cm ⑶ 5`cm ⑷ 9`cm

030

큰 원의 반지름의 길이는 5`cm, 작은 원의 반지름의 길이3`cm이므로 색칠한 부분의 둘레의 길이는 (2p_5)+(2p_3)=16p(cm) 16p`cm

031

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_12_;2!;+2p_6=24p(cm) 답 ③

032

구하는 색칠한 부분의 넓이는 가장 큰 원에서 두 원 O, O' 의 넓이를 빼면 된다. 가장 큰 원의 반지름의 길이는 8`cm이므로 그 넓이는 p_8Û`=64p(cmÛ`) 원 O의 넓이는 p_5Û`=25p(cmÛ`) 원 O'의 넓이는 p_3Û`=9p(cmÛ`)(색칠한 부분의 넓이) =64p-(25p+9p)=30p(cmÛ`) 답 ①

033

오른쪽 그림에서 어두운 부분의 6`cm 6`cm 둘레의 길이는 정사각형의 네 변 의 길이와 반지름의 길이가 6`cm 인 반원의 호의 길이를 더한 것과 같으므로 4_6+2p_6_;2!; =24+6p(cm) 답 ③

034

색칠한 부분의 둘레의 길이는 반지름의 길이가 각각 2`m, 4`m인 원의 둘레의 길이와 직선 부분의 길이의 합과 같으 므로 (2p_2)+(2p_4)+(6_4) =12p+24(m) 답 ②

035

(색칠한 부분의 넓이) =p_10Û`_;4!;-p_5Û`_;2!; =25p-:ª2°:p =:ª2°:p(cmÛ`) 답 ③

036

오른쪽 그림과 같이 이동하면 구 하는 넓이는 반지름의 길이가 3`cm인 반원의 넓이와 같으므로 p_3Û`_;2!;=;2(;p(cmÛ`) 답 ①

037

l=2p_12_;3£6¼0;=2p(cm)   S=p_12Û`_;3£6¼0;=12p(cmÛ`)l=2p_16_;3¢6°0;=4p(cm)   S=p_16Û`_;3¢6°0;=32p(cmÛ`)l=2p_6_;3!6@0);=4p(cm)   S=p_6Û`_;3!6@0);=12p(cmÛ`)l=2p_9_;3@6$0);=12p(cm)   S=p_9Û`_;3@6$0);=54p(cmÛ`) 답⑴ l=2p`cm, S=12p`cmÛ`l=4p`cm, S=32p`cmÛ`l=4p`cm, S=12p`cmÛ`l=12p`cm, S=54p`cmÛ`

038

;2!;_8_10p=40p(cmÛ`) 40p`cmÛ` 3`cm 3`cm 3`cm

(4)

045

EBÓ=ECÓ=CBÓ=10`cm이므로 10`cm B C A E D 30± 30± 10`cm △EBC는 정삼각형이다. ∠EBC=∠ECB=60ù ∴ ∠ABE=∠DCE=30ù(색칠한 부분의 넓이) =10_10-p_10Û`_;3£6¼0;_2 =100-:°3¼:p(cmÛ`) 답②

046

ABÓ=BCÓ=CAÓ=3(cm)이므로 ADÓ=3+3=6(cm) BEÓ=3+6=9(cm) 세 부채꼴의 중심각의 크기는 정삼각형의 한 외각의 크기 인 120ù이므로 (부채꼴 BCD의 넓이)=p_3Û`_;3!6@0);=3p(cmÛ`) (부채꼴 DAE의 넓이)=p_6Û`_;3!6@0);=12p(cmÛ`) (부채꼴 EBF의 넓이)=p_9Û`_;3!6@0);=27p(cmÛ`)(색칠한 부분의 넓이)=3p+12p+27p=42p(cmÛ`)42p`cmÛ`

047

원기둥 모양의 통조림 6개 4`cm 8`cm 16`cm 를 둘러싸는 곡선 부분의 길이는 2p_4=8p(cm) 직선 부분의 길이는 (16_2)+(8_2) =48(cm) 따라서 끈의 최소 길이는 8p+48(cm) (8p+48)`cm

048

동전이 지나간 자리는 오른쪽 그림과 같으므로 (①+②+③+④의 넓이) =p_2Û``=4p(cmÛ`) 따라서 동전이 지나간 자리의 넓이는 4p+14_2_2+8_2_2=4p+88(cmÛ`) (4p+88)`cmÛ`

049

작은 원이 지나간 자리의 넓이는 반지름의 길이가 8`cm인 원의 넓이에서 반지름의 길이가 4`cm인 원의 넓이를 뺀 것과 같으므로 (p_8Û`)-(p_4Û`)=48p(cmÛ`) 답②

050

점 A가 움직인 거리는 다음 그림과 같다. 14`cm 8`cm A D B C ① ④ ② ③

039

µAB=8p`cm이므로 2p_20_;36{0;=8p ;9Ò;x=8px=72 72

040

반지름의 길이가 r, 호의 길이가 l인 부채꼴의 넓이를 S라 하면 S=;2!;rl이므로 (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_8_9=36(cmÛ`) 답 ⑤

041

SÁ=p_6Û`_;3!6%0);=15p(cmÛ`) Sª=;2!;_10_4p=20p(cmÛ`)Sª-SÁ=5p 답 ④ 포인트 부채꼴의 호의 길이와 넓이 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 xù인 부채꼴의 호의 길이를 l, 넓이를 S라 하면 ⑴ 중심각의 크기가 주어진 경우 l=2pr_;36{0;, S=prÛ`_;36{0; ⑵ 중심각의 크기가 주어지지 않은 경우 S=;2!;rl

042

정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2) 5 =108ù(색칠한 부분의 넓이) =p_4Û`_;3!6)0*; =:ª5¢:p(cmÛ`) 답 ②

043

부채꼴의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 ;2!;_r_p=3pr=6(cm) 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_6_;36{0;=p에서 x=30(ù) 답 ①

044

부채꼴의 호의 길이를 l cm라하면 60p=;2!;_5_ll=24p(cm) 따라서 부채꼴의 호의 길이는 24p cm이다. 답 ④

(5)

A 120± B A' 120± C l 7`cm ∴ 2p_7_;3!6@0);_2=:ª3¥:p(cm) :ª3¥:p`cm 포인트 도형을 회전시켰을 때 움직인 거리 구하기 ⑴ 한 점을 중심으로 도형을 회전시켰을 때의 점이 움직인 거리를 구할 때  호의 길이를 구한다. ⑵ 도형이 움직인 자리의 넓이를 구할 때  부채꼴의 넓 이, 직사각형의 넓이로 각각 나누어 구한다.

051

닭이 움직일 수 있는 영역의 넓이는 오른쪽 그림의 어 두운 부분의 넓이와 같다. 따라서 구하는 영역의 넓 이는 p_10Û`_;4#;+p_2Û`_;4!; +p_4Û`_;4!; =75p+p+4p=80p(mÛ`) 80p`mÛ`

052

∠FOD=∠EOC=20ù (맞꼭지각)이므로 20:30=µ CE:9 2:3=µ CE:9 3µ CE=18 µCE=6(cm)a=6 yy 가 ∠EOB=180ù-50ù=130ù이므로 30:130=9:µ EB 3:13=9:µ EB 3µ EB=117 µ EB=39(cm)b=39 yy 나 ∴ b-a=33 yy 다 답 33 단계 채점 요소 배점 가 a=6 구하기 1점b=39 구하기 1점 다 답 구하기 2점

053

µAB:µ BC=3a:5a이므로 yy 가

9:µ BC=3:5 3µ BC=45 ∴ µ BC=15(cm) yy 나 답15`cm A 8`m 10`m 4`m 4`m 2`m 6`m 2`m 단계 채점 요소 배점 가 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례함을 이 용하여 비례식 세우기 2점 나 답 구하기 2점

054

∠AOC는 평각이고 µAB:µ BC=1:3이므로 ∠AOB:∠BOC=1:3 ∴ ∠AOB=180ù_;4!;=45ù yy 가 △AOB는 OAÓ=OBÓ인 이등변삼각형이므로 ∠BAO=;2!;_(180ù-45ù) =67.5ù yy 나 답67.5ù 단계 채점 요소 배점 가 ∠AOB=45ù 구하기 2점 나 답 구하기 2점

055

△CAO는 ACÓ=COÓ=AOÓ인 정삼각형이므로 ∠AOC=60ù, ∠COD=180ù-(60ù+80ù)=40ù yy 가 따라서 60:40=18:µCD이므로 yy 나 3:2=18:µCD 3µ CD=36 ∴ µ CD=12(cm) yy 다 답 12`cm 단계 채점 요소 배점 가 △CAO는 정삼각형임을 이용하여 ∠AOC=60ù, ∠COD=40ù 구하기 2점 나 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례함을 이 용하여 비례식 세우기 2점 다 답 구하기 2점

056

∠BOD=∠a라 하면 B D C A O 8`cm a a a a ACÓ∥`ODÓ이므로

∠OAC=∠a (동위각) yy

△AOC는 이등변삼각형이므로

∠OAC=∠OCA=∠a yy 나

또, ∠COD=∠OCA=∠a (엇각) yy 다

따라서 같은 크기의 중심각에 대한 현의 길이는 같으므로 BDÓ=8(cm) yy 라 답 8`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠BOD=∠a라 하고 ∠OAC=∠a임을 찾기 1점 나 ∠OAC=∠OCA=∠a임을 찾기 1점 다 ∠COD=∠OCA=∠a임을 찾기 1점 라 답 구하기 3점

057

µAB:¨APC=4:5이므로

(6)

060

10`cm 6`cm 8`cm 10`cm 10`cm = + + -8`cm 6`cm yy 가 ∴ (색칠한 부분의 넓이) ={p_3Û`_;2!;}+{p_4Û`_;2!;}+{;2!;_6_8} -{p_5Û`_;2!;} yy =;2(;p+8p+24-:ª2°:p=24(cmÛ`) yy 다 답 24`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 도형을 몇 개의 도형으로 나누어 표현하기 3점 나 각각의 넓이를 구한 후 넓이를 더하거나 빼기 3점 다 답 구하기 2점

061

BEÓ=BCÓ=CEÓ=14(cm)이 므로 △EBC는 정삼각형이다. ∠EBC=60ù이므로 ∠ABE=90ù-60ù=30ù 같은 방법으로 ∠FBC=30ù yy 가 따라서 부채꼴 BEF의 중심각의 크기는 30ù이고 µ EF의 길 이는 2p_14_;3£6¼0;=;3&;p(cm) yy 나 ∴ (색칠한 부분의 둘레의 길이) =;3&;p_4=:ª3¥:p(cm) yy 다 답 :ª3¥:p`cm 단계 채점 요소 배점 가 △EBC가 정삼각형임을 알고 ∠ABE=30ù, ∠FBC=30ù 구하기 2점µ EF의 길이는 ;3&;p`cm임을 구하기 2점 다 답 구하기 2점

062

∠BEC=60ù, ∠ABE=90ù-60ù=30ù yy 가

△ABE는 이등변삼각형이므로 ∠AEB=;2!;_(180ù-30ù)=75ù ∠AED=360ù-(75ù+60ù+75ù)=150ù yy 나 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=p_12Û`_;3!6%0); =60p(cmÛ`) yy 14`cm 14`cm 14`cm 14`cm A D C B F E ∠AOB:∠AOC=4:5 yy 가 부채꼴 AOB의 넓이를 S`cmÛ`라 하면 4:5=S:45, 5S=180 yy 나 ∴ S=36(cmÛ`) yy 다 답36`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 부채꼴의 호의 길이의 비는 중심각의 크기의 비와 같음 을 알기 2점 나 부채꼴 AOB의 넓이를 S라 두고 비례식 세우기 2점 다 답 구하기 2점

058

(색칠한 부분의 넓이) =(㉠의 넓이)_4 =(4_4-p_2Û`)_4 yy =64-16p(cmÛ`) yy 나 답 (64-16p)`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ㉠의 넓이는 한 변의 길이가 4`cm인 정사각형에서 반 지름의 길이가 2`cm인 원을 뺀 것과 같음을 알고 식 세우기 3점 나 답 구하기 3점

059

오른쪽 그림에서 A와 B의 넓이 가 같으므로 A+C=B+C yy 가 즉, 직사각형의 넓이와 부채꼴의 넓이가 같으므로 4_x=;4!;_p_4Û`x=p yy 나 답p 단계 채점 요소 배점 가 A+C=B+C임을 알기 3점 나 답 구하기 3점 포인트 색칠한 부분의 넓이 구하기 ⑴ 도형 옮기기 주어진 도형의 일부분을 넓이가 같은 부분으로 이동하 여 색칠한 부분의 넓이를 구한다. ⑵ 도형 쪼개기 주어진 도형을 몇 개의 도형으로 나누고 각각의 넓이를 더하거나 빼서 색칠한 부분의 넓이를 구한다. 4`cm 4`cm ㉠ 4`cm x`cm A C B

(7)

60p`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 ∠BEC=60ù, ∠ABE=30ù 구하기 2점 나 ∠AEB=75ù, ∠AED=150ù 구하기 2점 다 답 구하기 2점

063

⑴ 원이 지나간 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같고 (①+②+③의 넓이) =p_2Û` =4p(cmÛ`) yy 가 ∴ (원이 지나간 부분의 넓이) =10_2+8_2+6_2+4p =20+16+12+4p=48+4p(cmÛ`) yy 나 ⑵ 원의 중심이 지나간 자리는 오 른쪽 그림과 같고 (①+②+③의 길이) =2p(cm) yy 다 ∴ (원의 중심이 움직인 거리) =10+8+6+2p =24+2p(cm) yy 라 답⑴ (48+4p)`cmÛ` ⑵ (24+2p)`cm 단계 채점 요소 배점 가 (①+②+③의 넓이)=4p`(cmÛ`) 구하기 2점(원이 지나간 부분의 넓이)=(48+4p)`cmÛ` 구하기 2점(①+②+③의 길이)=2p`(cm) 구하기 2점(원의 중심이 움직인 거리)=(24+2p)`cm 구하기 2점

064

오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면 △OAD는 OAÓ=ODÓ인 이등변삼 각형이므로 ∠OAD=∠ODA COÓ∥ADÓ이므로 ∠COA=∠OAD (엇각) △OAD에서 ∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠COA 따라서 부채꼴 BOD의 중심각의 크기는 부채꼴 COA의 중심각의 크기의 두 배이므로 µ BD=10`cm 10`cm

065

µAB:µ BC:¨CDA=2:3:7이므로 ∠AOB:∠BOC:∠AOC=2:3:7 ∴ ∠AOB=360ù_2+3+7 =602 ù 답60ù 포인트 문제의 주어진 그림을 참고하면 µAB는 보통 작은 쪽의 호를 나타내고, 큰 쪽의 호는 그 호 위의 한 점 D를 잡아 ¨CDA와 같이 나타낸다. 10`cm 8`cm 6`cm 2`cm ① ③ ② 10`cm 8`cm 6`cm 1`cm ① ③ ② 5`cm O C B A D

066

오른쪽 그림과 같이 생각하면 B E D C A 10`cm 10`cm 색칠한 부분의 넓이는 사분원의 넓이에서 삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_10Û`_;4!;-10_10_;2!; =25p-50(cmÛ`) 답 ⑤

067

색칠한 부분의 둘레의 길이는 지름의 길이가 각각 9`cm, 3`cm인 원의 둘레의 길이의 합이므로 2p_;2(;+2p_;2#;=9p+3p=12p(cm) 답 ③

068

14`cm 14`cm 4`cm 4`cm 4`cm + = 4`cm ∴ (색칠한 부분의 넓이) =;2!;_14_4+{p_4Û`_;4!;-;2!;_4_4} =28+(4p-8)=20+4p(cmÛ`) (20+4p)`cmÛ`

069

오른쪽 그림에서 A와 B의 넓이가 같으므로 A+C=B+C 즉, 삼각형의 넓이와 사분원 의 넓이가 같으므로 ;2!;_x_16=p_16Û`_;4!;, 8x=64px=8p 8p

070

∠B=∠C=;2!;_(180ù-56ù)=62ù △MDB와 △MEC는 이등변삼각형이므로 ∠MDB=∠MEC=62ù ∠BMD=∠CME=180ù-(62ù+62ù)=56ù 따라서 부채꼴`MDE의 중심각의 크기는 180ù-(56ù+56ù)=68ù이므로 구하는 넓이는 p_3Û`_;3¤6¥0;=;1!0&;p(cmÛ`) ;1!0&;p`cmÛ`

071

오른쪽 그림과 같이 도형을 이동 하면 구하는 넓이는 중심각의 크 기가 60ù인 부채꼴 3개의 넓이의 합과 같다. ∴ (색칠한 부분의 넓이) =p_2Û`_;3¤6¼0;_3=2p(cmÛ`) 2p`cmÛ` 16`cm B C x`cm A C 60± 60± 60± B A

(8)

포인트 한 원 또는 합동인 두 원에서 부채꼴의 ⑴ 중심각의 크기가 같다. ⇐ ⇐ 호의 길이가 같다. ⇐ ⇐ 현의 길이가 같다. ⇐ ⇐ 넓이가 같다. ⑵ 중심각의 크기가 a배이다. ⇐ ⇐ 호의 길이가 a배이다. ⇐ ⇐ 넓이가 a배이다.

077

OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=;2!;_(180ù-140ù)=20ù yy 가 ABÓCDÓ이므로

∠AOC=∠OAB=20ù (엇각) yy 나

따라서 원 O의 둘레의 길이를 x`cm라 하면 20:360=2:x yy 다 20x=720x=36(cm) yy 라 답36`cm 단계 채점 요소 배점 가 ∠OAB=20ù 구하기 1점 나 ∠AOC와 ∠OAB가 엇각임을 이용하여 ∠AOC=20ù 구하기 1점 다 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례함을 이용하여 비 례식 세우기 1점 라 답 구하기 1점

078

∠OBA=∠COB=45ù (엇각)이므로 OAÓ=OBÓ, ∠OAB=∠OBA=45ù ∴ ∠AOB=180ù-(45ù+45ù)=90ù ∴ µAB:µ BC =∠AOB:∠BOC =90ù:45ù =2:1 답①

079

µAC:µ BC=4:1이므로 ∠AOC:∠BOC=4:1 ∴ ∠AOC=180ù_ 44+1 =144ù △AOC는 OAÓ=OCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠OAC=;2!;_(180ù-144ù)=18ù 답①

080

∠AOC=∠COE =∠BOD=∠DOF 이므로 µAC=µCE=µBD=µDF 답⑤

081

x:∠y=4:5이므로 µ BC:µAC=4:5 O 42± B E F D C A 42± 42± 42± 42± 42± 42± 42±

072

정사각형, 정오각형, 정육각형의 한 내각의 크기는 각각 90ù, 108ù, 120ù이다. 따라서 색칠한 부분의 넓이는 중심각의 크기가 318ù인 부 채꼴의 넓이와 같으므로 p_10Û`_;3#6!0*;= 2653 p(cmÛ`) 2653 p`cmÛ`

073

정육각형의 한 외각의 크기는 360ù 6 =60ù이므로 색칠한 부분의 넓이는 중심각의 크 기가 60ù이고 반지름의 길이가 각각 6`cm, 12`cm, 18`cm인 부채꼴의 넓이의 합과 같으므로 p_6Û`_;3¤6¼0;+p_12Û`_;3¤6¼0;+p_18Û`_;3¤6¼0; =6p+24p+54p =84p(cmÛ`) 답 ④

074

색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 A'CA의 넓이에서 부채꼴 B'CB의 넓이를 뺀 것과 같다. ∠ACB=∠A'CB'=60ù이므로 ∠A'CA=∠B'CB=120ù(색칠한 부분의 넓이) =p_4Û`_;3!6@0);-p_2Û`_;3!6@0); =4p(cmÛ`) 답 ①

075

원의 중심이 지나간 자리는 오른쪽 그림과 같고 (①의 길이) =2p_15_;3!6@0); =10p(cm) (③+⑤의 길이) =9_2=18(cm) (②+④+⑥의 길이) =2p_6_;3»6¼0;_2+2p_6_;3¤6¼0; =8p(cm) 따라서 원의 중심이 움직인 거리는 10p+18+8p=18+18p(cm) (18+18p)`cm

076

∠AOD+∠BOC=60ù이므로 µAD+µBC의 길이는 중심 각의 크기가 60ù인 부채꼴의 호의 길이와 같다. 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 120:60=14:(µAD+µBC) 2:1=14:(µAD+µBC) 2(µAD+µBC)=14 ∴ µAD+µBC=7(cm) 답 ② A B C D 6`cm 18`cm 6`cm E F 60± 60± 60± 12`cm 9`cm 60± 6`cm ① ⑥ ⑤ ④ ③ ② 9`cm 120± 6`cm 6`cm

(9)

∴ µAB:µBC:µAC=3:4:5 µAC=20`cm이므로 µAB의 길이는 20_;5#;=12(cm) 답 ②

082

ㄱ. 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로 µ CD=2µAB (참) ㄴ. 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않으므로 CDÓ+2ABÓ (거짓) ㄷ. ∠BOC의 크기는 알 수 없다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다. 답 ① 포인트 중심각의 크기와 현의 길이 사이의 관계 한 원 또는 합동인 두 원에서 ⑴ 중심각의 크기가 같은 두 현의 길이는 서로 같다. ⑵ 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례하지 않는다.

083

x:∠x+10ù=32:40, ∠x:∠x+10ù=4:5 yy 5∠x=4(∠x+10ù), 5∠x=4∠x+40ù ∴ ∠x=40ù yy 나 답40ù 단계 채점 요소 배점 가 알맞은 비례식 세우기 2점 나 답 구하기 2점

084

① 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않는다. ③ 중심각의 크기와 삼각형의 넓이는 무관하다. ⑤ △AOB와 △COD의 넓이를 알 수 없으므로 활꼴의 넓 이도 알 수 없다. 답②, ④

085

처음 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 둘레의 길이는 2pr`cm이고 반지름의 길이를 `;#;`cm만큼 늘인 원의 둘레 의 길이는 2p{r+;#;}`cm이므로 x=2p{r+;#;}-2pr=2pr+6-2pr=6 답 ①

086

⑴ 색칠한 부분의 둘레의 길이는 지름의 길이가 각각 12`cm, 6`cm인 원의 둘레의 길이의 합이므로 2p_6+2p_3=12p+6p=18p(cm) yy 가 ⑵ 색칠한 부분의 넓이는 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다. ADÓ=18`cm이므로 ABÓ=6`cm, ACÓ=12`cm(색칠한 부분의 넓이) =p_6Û`-p_3Û` =36p-9p =27p(cmÛ`) yy 나 A B C D

시험에 꼭 나오는 문제

답⑴ 18p`cm ⑵ 27p`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 색칠한 부분의 둘레의 길이 구하기 3점 나 색칠한 부분의 넓이 구하기 3점

087

(색칠한 부분의 둘레의 길이) =2p_10_;4!; +{2p_5_;4!;}_2 =5p+5p=10p(cm) 답 ③

088

= -8`cm 8`cm 4`cm 4`cm ∴ (색칠한 부분의 넓이) =;4!;_8_8-{;4!;_p_4Û`-;2!;_4_4} =16-(4p-8) =24-4p(cmÛ`) 답 ②

089

부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 p_6Û`_;36{0;=24p, ;1É0;x=24px=240(ù) 답 ⑤

090

두 부채꼴의 반지름의 길이를 각각 2r, 3r라 하면 작은 부채꼴의 호의 길이는 2p_2r_;3¤6¼0;=12p, :ª3É:r=12pr=18(cm) 따라서 큰 부채꼴의 호의 길이는 2p_3r_;3¤6¼0;=2p_54_;3¤6¼0; =18p(cm) 답 ②

091

PAÓ=PBÓ=PQÓ=QAÓ=QBÓ이므로 △APQ, △BPQ는 정삼각형이다. yy 가 따라서 ∠AQP=∠BQP=60ù이므로 µAP=2p_6_;3¤6¼0;=2p(cm) yy 나 ∴ (어두운 부분의 둘레의 길이) =2p_4=8p(cm) yy 다 답8p`cm 10`cm 5`cm A 60±60± B Q P

(10)

001

구, 원뿔, 원기둥은 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형 이 아니다. 따라서 다면체인 것은 ㄴ, ㅁ, ㅂ이다. 답ㄴ, ㅁ, ㅂ

002

④ 원뿔은 곡면으로 둘러싸여 있으므로 다면체가 아니다. 답④

003

다면체는 ㄴ, ㄹ, ㅂ의 3개이다. 3개

004

각기둥은 두 밑면이 서로 평행하며 그 모양이 합동인 다각 형이고 옆면의 모양이 모두 직사각형인 다면체이다. 주어진 입체도형 중 각기둥은 ②이다. 답②

005

각뿔은 밑면의 모양이 다각형이고 옆면의 모양이 모두 삼 각형인 다면체이다. 따라서 각뿔의 개수는 ㄱ, ㅁ의 2이다. 답②

006

주어진 다면체는 오각뿔대이고 옆면의 모양은 사다리꼴이 다. 답③

007

③ 육각뿔의 옆면의 모양은 삼각형이다. 답③

008

주어진 다면체의 밑면의 모양과 옆면의 모양은 각각 다음 과 같다. ① 삼각형, 직사각형 ② 삼각형, 삼각형 ③ 사각형, 직사각형 ④ 사각형, 삼각형 ⑤ 삼각형, 사다리꼴 답②

009

⑴ 삼각뿔의 면의 개수는 3+1=4이므로 사면체이다. ⑵ 사각기둥의 면의 개수는 4+2=6이므로 육면체이다. ⑶ 사각뿔의 면의 개수는 4+1=5이므로 오면체이다. ⑷ 육각기둥의 면의 개수는 6+2=8이므로 팔면체이다. 답 ⑴ 4, 사면체 ⑵ 6, 육면체 5, 오면체 ⑷ 8, 팔면체

010

⑴ 삼각뿔대의 면의 개수는 3+2=5 ⑵ 삼각뿔대의 모서리의 개수는 3_3=9 ⑶ 삼각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_3=6 답⑴ 5 ⑵ 9 ⑶ 6

011

주어진 입체도형의 면의 개수가 5이므로 오면체이다. 답②

012

각 다면체의 면의 개수는

2

다면체와 회전체

본문 026~046쪽 단계 채점 요소 배점 가 △APQ, △BPQ가 정삼각형임을 알기 2점µAP=2p 구하기 2점 다 답 구하기 2점

092

18`cm A B B' 60± A A = + -B A B B' B' A = B B' 색칠한 부분의 넓이는 부채꼴 B'AB의 넓이와 같으므로 p_18Û`_;3¤6¼0;=54p(cmÛ`) 답 ①

093

점 C가 지나간 자리는 다음 그림과 같다.

B A 150± C B A C A C 12`cm 6`cm yy 가 따라서 점 C가 움직인 거리는 2p_12_;3!6%0);+2p_6_;3»6¼0; yy 나 =10p+3p=13p(cm) yy 다 답13p`cm 단계 채점 요소 배점 가 점 C가 지나간 자리를 그림으로 나타내기 3점 나 점 C가 움직인 거리에 대한 알맞은 식 세우기 3점 다 답 구하기 2점 포인트 한 점이 움직인 거리 구하기 도형을 회전시켰을 때 점이 움직인 거리는 다음 순서로 구 한다. ① 점이 지나간 경로를 따라 호를 그린다. ② 반지름의 길이에 따라 호를 분리하고, 각각의 중심각의 크기를 구한다. ③ 호의 길이를 구하여 더한다.

(11)

3+1=4 ② 4+2=6 ③ 5+1=67+2=9 ⑤ 8+2=10 따라서 면의 개수가 9인 다면체는 ④ 칠각뿔대이다. 답 ④ 포인트 (다면체의 면의 개수)=(옆면의 개수)+(밑면의 개수)

013

①, ②, ③, ⑤의 모서리의 개수는 모두 12이다. ④ 오각뿔대의 모서리의 개수는 15이다. 답 ④

014

각 다면체의 꼭짓점의 개수는 ① 2_3=6 ② 2_6=12 ③ 2_5=102_7=14 ⑤ 8+1=9 따라서 다면체와 그 꼭짓점의 개수가 바르게 짝지어진 것 은 ②이다. 답 ②

015

육각뿔의 면의 개수는 6+1=7이므로 a=7 육각뿔대의 면의 개수는 6+2=8이므로 b=8a+b=7+8=15 답 ⑤

016

① 삼각뿔의 모서리의 개수는 2_3=6 답 ①

017

① 면의 개수: 5+1=6, 모서리의 개수: 2_5=10 ② 면의 개수: 8+1=9, 모서리의 개수: 2_8=16 ③ 면의 개수: 5+2=7, 모서리의 개수: 3_5=15 ④ 면의 개수: 7+1=8, 모서리의 개수: 2_7=14 ⑤ 면의 개수: 5+2=7, 모서리의 개수: 3_5=15 따라서 면의 개수가 9이고, 모서리의 개수가 16인 다면체 는 ② 팔각뿔이다. 답 ②

018

각 다면체의 꼭짓점의 개수는 ① 2_3=6 ② 8 ③ 5+1=6 6 2_3=6 따라서 꼭짓점의 개수가 나머지 넷과 다른 하나는 ② 정육 면체이다. 답 ②

019

① 꼭짓점의 개수: 2_4=8, 면의 개수: 4+2=6 ② 꼭짓점의 개수: 4+1=5, 면의 개수: 4+1=5 ③ 꼭짓점의 개수: 2_8=16, 면의 개수: 8+2=10 ④ 꼭짓점의 개수: 2_7=14, 면의 개수: 7+2=9 ⑤ 꼭짓점의 개수: 2_8=16, 면의 개수: 8+2=10 따라서 꼭짓점의 개수와 면의 개수가 같은 다면체는 ② 사 각뿔이다. 답 ②

020

주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 n+1=7 ∴ n=6 즉, 주어진 각뿔은 육각뿔이다. 육각뿔의 모서리의 개수는 2_6=12이므로 a=12 육각뿔의 꼭짓점의 개수는 6+1=7이므로 b=7a+b=12+7=19 답 ①

021

주어진 각뿔대를 n각뿔대라 하면 3n=27 ∴ n=9 즉, 주어진 각뿔대는 구각뿔대이다. 구각뿔대의 면의 개수는 9+2=11이므로 a=11 구각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_9=18이므로 b=18b-a=18-11=7 답 ②

022

주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 n각기둥의 모서리의 개수는 3n, 면의 개수는 (n+2)이므로 3n+(n+2)=34 4n=32 ∴ n=8 즉, 주어진 각기둥은 팔각기둥이다. 따라서 팔각기둥의 꼭짓점의 개수는 2_8=16 답 ③

023

⑤ 밑면과 평행하게 자를 때 생기는 단면의 모양은 팔각형 이다. 답 ⑤

024

⑤ 밑면에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 직사각형이다. 답 ⑤

025

ㄱ. 각뿔대의 두 밑면은 서로 평행하다. (참) ㄴ. 각기둥의 두 밑면은 합동이지만 각뿔대의 두 밑면은 합동이 아니다. (참) ㄷ. 각뿔대의 밑면의 모양에 따라 사다리꼴 모양의 옆면은 합동일 수도 있고, 아닐 수도 있다. (거짓) ㄹ. 모서리의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의 3 배이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답 ①

026

두 조건 ㈏, ㈐에서 두 밑면이 서로 평행하고 옆면의 모양 이 직사각형이므로 각기둥이다. 주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 조건 ㈎에서 n+2=12 n=10 따라서 조건을 만족시키는 입체도형은 십각기둥이다. 답 ④

027

주어진 전개도로 만든 입체도형은 오른 쪽 그림과 같이 사각뿔대이다. ③ 사각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_4=8 답 ③

(12)

028

⑴, ⑵ 정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고 각 꼭 짓점에 모인 면의 개수가 모두 같은 다면체이다. ⑶ 정다면체의 한 면이 될 수 있는 다각형은 정삼각형, 정 사각형, 정오각형이다. 답⑴ ◯ ⑵ ◯ ⑶ _

029

정다면체는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 5가지뿐이다. 답 ⑤

030

각 면이 정오각형으로 이루어진 정다면체는 정십이면체이 다. 답 ④

031

①, ③, ⑤ 정사면체, 정팔면체, 정이십면체의 면의 모양은 정삼각형이다. ② 정육면체의 면의 모양은 정사각형이다. ④ 정십이면체의 면의 모양은 정오각형이다. 답②, ④

032

조건 ㈎에서 각 면의 모양이 정삼각형인 정다면체는 정사 면체, 정팔면체, 정이십면체이다. 조건 ㈏에서 정사면체, 정팔면체, 정이십면체 중 면의 개 수가 4인 정다면체는 정사면체이다. 따라서 구하는 정다면체는 정사면체이다. 답정사면체

033

정팔면체의 모서리의 개수는 12이므로 a=12 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이므로 b=20 정이십면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 5이므로 c=5a+b-c=12+20-5=27 답 ④

034

조건 ㈎에서 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3인 정다면체 는 정사면체, 정육면체, 정십이면체이다. 조건 ㈏에서 정사면체, 정육면체, 정십이면체 중 모서리의 개수가 30인 정다면체는 정십이면체이다. 따라서 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이다. 답 ⑤

035

① 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이다. ② 정육면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3이다. ③ 정다면체의 면의 모양은 정삼각형, 정사각형, 정오각형 이다. ④ 면의 모양이 삼각형인 것은 정사면체, 정팔면체, 정이 십면체이다. 답 ⑤

036

⑤ 정십이면체의 꼭짓점의 개수는 20이다. 답 ⑤

037

정육면체의 각 면인 정사각형의 두 대각선의 교점을 연결 하여 만든 입체도형은 각 면의 중심을 꼭짓점으로 하는 입 체도형이므로 구하는 입체도형은 정팔면체이다. 답 ③

038

정이십면체의 면의 개수는 20이므로 주어진 입체도형은 꼭짓점의 개수가 20인 정십이면체이다. 따라서 구하는 모서리의 개수는 30이다. 30 포인트 정다면체의 각 면의 한가운데 점을 연결하면 또 하 나의 정다면체가 만들어진다. 이때 (바깥쪽 정다면체의 면의 개수) =(안쪽 정다면체의 꼭짓점의 개수) ⑴ 정사면체è  정사면체 ⑵ 정육면체è  정팔면체 ⑶ 정팔면체èè  정육면체 ⑷ 정십이면체èè  정이십면체 ⑸ 정이십면체èè  정십이면체

039

주어진 전개도로 정사면체를 만들 면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 AEÓ와 꼬인 위치에 있는 모서리는 DFÓ이다. 답②

040

주어진 전개도로 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 점 E와 겹치는 꼭짓 점은 점 G와 점 K이다. 답점 G, 점 K

041

정육면체의 전개도는 다음과 같이 11가지가 있다. ③의 전개도에서 오른쪽 그림과 같이 어두 운 면이 겹치므로 정육면체를 만들 수 없 다. 답③ A(B,`C) D E F " . + ) # % -$ & ( , ' * /

(13)

050

주어진 정사면체를 세 점 A, B, C를 지나는 평면으로 자를 때, 오른쪽 그림 과 같이 모두 4개의 점을 지나는 단면 이 생긴다. 따라서 잘린 단면의 모양은 사각형이다. 답 ③

051

구와 원기둥은 회전체이다. 따라서 회전체인 것은 ㄴ, ㅂ이다. 답ㄴ, ㅂ

052

⑤ 삼각뿔은 다면체이다. 답 ⑤

053

주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 원뿔대이다. 답 원뿔대

054

①의 반원을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시키면 반구 가 된다. 답 ①

055

주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 은 회전축에서 떨어져 있는 원이므로 ③을 1회전 시킨 것 이다. 답 ③

056

회전축을 포함하는 평면으로 잘랐을 때의 단면을 생각해 본다. ㄱ. l ㄴ. l 따라서 평면도형과 회전체를 바르게 짝지은 것은 ㄷ, ㄹ이다. 답ㄷ, ㄹ 포인트 ⑴ 회전체는 평면도형을 한 직선을 회전축으로 하 여 1회전 시킨 입체도형이다. ⑵ 평면도형이 회전축에서 떨어져 있으면 가운데가 빈 회 전체가 만들어진다. " $ #

042

주어진 전개도로 입체도형을 만 들면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 점 B와 겹치는 꼭짓점은 점 E이다. 답 ④

043

① 점 A와 점 K는 겹친다. ② 점 E와 점 G는 겹친다. ④ 선분 AN과 선분 DE는 꼬인 위치에 있다. ⑤ 선분 AB와 선분 CF는 평 행하다. 답 ③

044

주어진 전개도로 만들어진 정다면체는 정팔면체이므로 a=6, b=12b-a=12-6=6 답 ①

045

면 A와 마주 보는 면에 있는 눈의 수가 2이므로 면 A의 눈의 수는 7-2=5 ∴ a=5 면 B와 마주 보는 면에 있는 눈의 수가 4이므로 면 B의 눈의 수는 7-4=3 ∴ b=3 면 C와 마주 보는 면에 있는 눈의 수가 6이므로 면 C의 눈의 수는 7-6=1 ∴ c=1a+b-c=5+3-1=7 7

046

주어진 전개도로 만든 정다면체는 정이십면체이다. ③ 정이십면체의 꼭짓점의 개수는 12이다. 답 ③

047

세 꼭짓점 A, B, C를 지나는 평면으 로 자를 때 생기는 단면의 모양은 오 른쪽 그림과 같은 직사각형이다. 답 ④

048

BCÓ=BFÓ=CFÓ이므로 △BFC는 정삼각형이다. ∴ ∠BFC=60ù 답 ③

049

세 점 D, M, F를 지나는 단면은 오 른쪽 그림과 같이 HGÓ의 중점 N을 지나는 사각형 DMFN이다. 따라서 DMÓ=MFÓ=FNÓ=DNÓ이므 로 사각형 DMFN은 마름모이다. 답 ⑤ A(F) B(E) C D A(K) B(J) C(I) D(H) E(G) L(N) M F A B C A M B F G H N D E C

(14)

057

주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 오 른쪽 그림과 같다. 답 ②

058

CDÓ를 회전축으로 하여 1회전 시키면 원뿔대를 만들 수 있 다. 답 CDÓ

059

⑴ 원 ⑵ 원 답 ⑴ 원 ⑵ 원

060

④ 원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 이등변삼각형이다. 답 ③

061

다음 그림과 같이 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 사다리꼴이고 회전축에 수 직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 원이다. 답 ⑤

062

ACÓ를 회전축으로 하여 1회전 시킨 회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 회 전축을 포함하는 평면으로 자른 단면 의 모양은 ④이다. 답 ④ C B A

063

구는 어떤 평면으로 잘라도 단면의 모양이 항상 원이다. 답

064

① 원기둥을 자른 단면의 모양으로 이등변삼각형은 나올 수 없다. 답①

065

② 원뿔대의 단면의 모양은 사다리꼴이다. 답②

066

① ② ③ ④ ⑤ 원뿔을 자른 단면의 모양으로 사다리꼴은 나올 수 없 다. 답⑤

067

⑤ 구의 회전축은 무수히 많다. 답⑤

068

가운데가 빈 원기둥이므로 회전축을 포함하는 평면으로 잘라서 생기는 단면은 두 개의 직사각형이므로 그 넓이는 (5_2)_2=20`(cmÛ`) 20`cmÛ` 포인트 회전체의 단면의 넓이 ⑴ 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이 è  원의 넓이를 구하는 공식을 이용한다. ⑵ 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 넓이 è  회전시키기 전의 평면도형의 변의 길이를 이용한다.

069

답⑴ 4`cm 9`cm ⑵ 3`cm 8`cm ② ⑤ ④ ③

(15)

070

색칠한 밑면의 둘레의 길이는 µAB의 길이와 같다. 답 ④

071

주어진 전개도의 입체도형은 원기둥 위에 원뿔이 있는 모 양이다. 따라서 ③의 평면도형을 1회전 시키면 주어진 전개도로 만 든 입체도형을 얻을 수 있다. 답 ③

072

부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므 로 2p_5=10p`(cm) 10p`cm

073

주어진 전개도는 원뿔대의 전개도이다. 따라서 원뿔대를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생 기는 단면의 모양은 사다리꼴이다. 답 ③

074

오각뿔의 모서리의 개수는 2_5=10이므로 a=10 yy 가 칠각뿔대의 모서리의 개수는 3_7=21이므로 b=21 yy 나 ∴ a+b=10+21=31 yy 다 답 31 단계 채점 요소 배점 가 a=10 구하기 1점b=21 구하기 1점 다 답 구하기 2점

075

주어진 입체도형의 꼭짓점의 개수는 12이므로 v=12 yy 가 모서리의 개수는 20이므로 e=20 yy 나 면의 개수는 10이므로 f=10 yy 다 ∴ v-e+f=12-20+10=2 yy 라 답 2 단계 채점 요소 배점 가 v=12 구하기 1점e=20 구하기 1점f=10 구하기 1점 라 답 구하기 1점

076

주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 면의 개수가 10이므로 n+1=10 ∴ n=9 yy 가 즉, 주어진 각뿔은 구각뿔이다. 구각뿔의 모서리의 개수는 2_9=18이므로 a=18 yy 나 구각뿔의 꼭짓점의 개수는 9+1=10이므로 b=10 yy 다 ∴ a-b=18-10=8 yy 라 답 8 단계 채점 요소 배점 가 n=9 구하기 2점a=18 구하기 1점b=10 구하기 1점 라 답 구하기 2점

077

주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 n(n-3) 2 =77, n(n-3)=154=14_11n=14 yy 가 즉, 주어진 각뿔은 십사각뿔이다. 십사각뿔의 꼭짓점의 개수는 14+1=15이므로 x=15 yy 나 십사각뿔의 모서리의 개수는 2_14=28이므로 y=28 yy 다 ∴ x+y=15+28=43 yy 라 답43 단계 채점 요소 배점 가 n=14 구하기 2점x=15 구하기 1점y=28 구하기 1점 라 답 구하기 2점

078

정육각형의 한 내각의 크기는 120ù이므로 yy 가 한 꼭짓점에 3개의 정육각형이 모이면 360ù가 되어 평면이 되므로 입체도형이 만들어지지 않는다. yy 나 답풀이 참조 단계 채점 요소 배점 가 정육각형의 한 내각의 크기는 120ù임을 알기 3점 나 정다면체를 만들 수 없는 이유를 간단히 서술하기 3점 포인트 정다면체는 입체도형이므로 ⑴ 한 꼭짓점에서 3개 이상의 면이 만나야 한다. ⑵ 한 꼭짓점에서 모인 각의 크기의 합이 360ù보다 작아야 한다. 따라서 정다면체의 면의 모양이 될 수 있는 다각 형은 정삼각형, 정사각형, 정오각형뿐이다.

079

주어진 축구공 모양의 다면체는 12개의 정오각형과 20개 의 정육각형으로 이루어져 있다. 한 꼭짓점에 3개의 면이 모이므로 꼭짓점의 개수는 5_12+6_20 3 =60 a=60 yy 가 또한 모서리에 2개의 면이 모이므로 모서리의 개수는 5_12+6_20 2 =90 b=90 yy 나 ∴ a+b=60+90=150 yy 다 답150

(16)

단계 채점 요소 배점 가 a=60 구하기 3점b=90 구하기 3점 다 답 구하기 2점

080

⑴ 면의 개수가 6이고 면의 모양이 정사각형이므로 정육면체이다. yy 가 ⑵ 점 D와 겹치는 꼭짓점은 점 H이다. yy 나 ⑶ BCÓ와 겹치는 모서리는 JIÕ이다. yy 다 답 ⑴ 정육면체 ⑵ 점 H ⑶ JIÕ 단계 채점 요소 배점 가 주어진 정다면체의 이름 알기 2점 나 점 D와 겹치는 꼭짓점 구하기 2점 다 BCÓ와 겹치는 모서리 구하기 2점

081

주어진 정육면체를 선분 AC와 선분 MN을 지나는 평면 으로 잘랐을 때 생기는 입체도형 중 작은 입체도형은 오면 체, 큰 입체도형은 칠면체이다. 따라서 큰 입체도형인 칠면체의 면의 개수는 7이므로 a=7 yy 가 모서리의 개수는 13이므로 b=13 yy 나 꼭짓점의 개수는 8이므로 c=8 yy 다 ∴ a+b+c=7+13+8=28 yy 라 답28 단계 채점 요소 배점 가 a=7 구하기 1점b=13 구하기 1점c=8 구하기 1점 라 답 구하기 1점

082

회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같은 사다리꼴이므로 구하 는 넓이는 yy 가 ;2!;_(4+12)_6=48`(cmÛ`) yy 나 답48`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 찾기 3점 나 답 구하기 3점

083

주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생 기는 단면의 모양은 직사각형이므로 단면의 넓이는 6_7=42`(cmÛ`) ∴ a=42 yy 가 회전축과 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 A(K) B(J) M D(H) E(G) L(N) F C(I) 6`cm 12`cm 4`cm 원이므로 단면의 넓이는 p_3Û``=9p`(cmÛ`) ∴ b=9 yy 나 ∴ a+b=42+9=51 yy 다 답51 단계 채점 요소 배점 가 a=42 구하기 2점b=9 구하기 2점 다 답 구하기 2점

084

주어진 회전체를 회전축을 포 함하는 평면으로 잘랐을 때 생 기는 단면의 모양은 오른쪽 그 림과 같이 합동인 사다리꼴 2개 가 나오므로 그 넓이는 yy 가 [;2!;_(8+10)_4]_2=72`(cmÛ`) yy 나 답 72`cmÛ` 단계 채점 요소 배점 가 주어진 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 찾기 3점 나 답 구하기 3점

085

주어진 원뿔대의 전개도는 다음 그림과 같다. 14`cm 13`cm 9`cm (윗면의 둘레의 길이)=2p_9=18p`(cm) yy 나 (아랫면의 둘레의 길이)=2p_14=28p`(cm) yy 다 ∴ (옆면의 둘레의 길이) =18p+28p+13_2 =46p+26`(cm) yy 라 답(46p+26)`cm 단계 채점 요소 배점 가 주어진 원뿔대의 전개도 알기 2점 나 윗면의 둘레의 길이 구하기 2점 다 아랫면의 둘레의 길이 구하기 2점 라 답 구하기 2점

086

두 조건 ㈎, ㈏에서 옆면이 모두 삼각형이므로 각뿔이고 면의 개수가 7이므로 주어진 다면체는 육각뿔이다. 따라서 육각뿔의 꼭짓점의 개수는 6+1=7 7

087

주어진 입체도형에서 꼭짓점의 개수는 12이므로 a=12 모서리의 개수는 18이므로 b=18 면의 개수는 8이므로 c=8 10`cm 8`cm 4`cm yy 가

(17)

a-b+c=12-18+8=2 2 포인트 다면체에서 꼭짓점의 개수를 v, 모서리의 개수를 e, 면의 개수를 f라 하면 v-e+f=2 가 성립한다. 이 공식을 오일러 공식(Euler's formula) 이라 하고, 이것은 구와 연결 상태가 같은 다면체에서만 성립한다.

088

세 조건 ㈎, ㈏, ㈐에서 옆면이 모두 삼각형이므로 각뿔이 고, 밑면의 모양이 오각형이므로 오각뿔이다. 오각뿔의 면의 개수는 5+1=6이므로 a=6 모서리의 개수는 2_5=10이므로 b=10 꼭짓점의 개수는 5+1=6이므로 c=6a+b-c=6+10-6=10 10

089

n각뿔대의 모서리의 개수는 3n, 면의 개수는 (n+2)이므로 3n-(n+2)=18, 2n-2=18n=10 즉, 주어진 각뿔대는 십각뿔대이다. 따라서 십각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_10=20 답 ②

090

n각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2n이므로 a=2n 모서리의 개수는 3n이므로 b=3n 면의 개수는 (n+2)이므로 c=n+2a+b+c=2n+3n+(n+2)=6n+2 답 ⑤

091

주어진 전개도는 삼각뿔대의 전개도이다. ④ 삼각뿔대이므로 밑면은 삼각형이다. 답 ④

092

v-e+f=2에 e=;2#;v, f=;5#;v를 대입하면 v-;2#;v+;5#;v=2, ;1Á0;v=2v=20f=;5#;_20=12 따라서 면의 개수가 12이므로 구하는 정다면체는 정십이 면체이다. 답 ④

093

주어진 전개도로 만들 수 있는 정다면체는 정십이면체이다. ④ 정십이면체의 모서리의 개수는 30이다. 답 ④

094

주어진 전개도를 이용하여 만든 정육면 체는 오른쪽 그림과 같다. 각 꼭짓점에서 만나는 세 면의 적힌 수의 합은 3+4+1=8, 4+5+1=10, 2+5+1=8, 3+2+1=6, 3+4+6=13, 4+5+6=15,         2+5+6=13, 3+2+6=11 따라서 각 꼭짓점에서 만나는 세 면에 적힌 수의 합 중에 서 가장 큰 값은 15이다. 답 ⑤

095

점 P가 꼭짓점 G 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 1>과 같이 삼각형, 점 P가 FGÓ 또는 GHÓ 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 2>와 같이 사각형, 점 P가 EFÓ 또는 EHÓ 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 3>과 같이 육각형, 점 P가 꼭짓점 E 위에 있을 때 구하는 단면의 모양은 <그림 4>와 같이 오각형이다. D A E F P M N G C H B <그림 1> D A E FP M N G C H B <그림 2> D A E P F M N G C H B <그림 3> D A EP F M N G C H B <그림 4> 따라서 단면의 모양이 될 수 없는 것은 ⑤ 팔각형이다. 답 ⑤

096

회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면 중에서 넓 이가 가장 큰 경우는 <그림 1>과 같이 자를 때이고, 그 단면 의 모양은 <그림 2>와 같다. M ADN ADN ADN ADN BADN ADN <그림 1> <그림 2> 이때 a`cm는 회전시키기 전 밑변을 25`cm로 하는 직각삼 각형의 높이와 같으므로 ;2!;_15_20=;2!;_25_a, ;;ª2°;;a=150a=12 따라서 구하는 단면의 넓이는 p_(a+5)Û`-p_5Û` =p_17Û`-p_5Û` =289p-25p  =264p`(cmÛ`) 264p`cmÛ`

097

실의 길이가 가장 짧은 경로는 원기둥의 전개도에서 옆면 인 직사각형의 대각선으로 나타낸다. 답 ②

098

①, ④ 각기둥의 옆면의 모양은 직사각형이다.

(18)

③, ⑤ 각뿔의 옆면의 모양은 삼각형이다. 답 ②

099

각 다면체의 면의 개수는 ① 5+2=7 ② 5+2=7 ③ 4+2=68+2=10 ⑤ 9+1=10 따라서 면의 개수가 가장 적은 다면체는 ③ 사각기둥이다. 답 ③

100

ㄱ. 사각기둥 - 육면체 ㄴ. 삼각뿔대 - 오면체 ㄷ. 사각뿔 - 오면체 ㄹ. 오각뿔 - 육면체 따라서 오면체는 ㄴ, ㄷ이다. 답 ③

101

주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 2n=18 ∴ n=9 즉, 주어진 각기둥은 구각기둥이다. 따라서 구각기둥의 밑면의 모양은 구각형이다. 답 ④

102

ㄱ. 삼각뿔대의 면의 개수는 3+2=5 (거짓) ㄴ. 삼각뿔대의 모서리의 개수는 3_3=9 (거짓) ㄷ. 삼각뿔대의 꼭짓점의 개수는 2_3=6 (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다. 답 ③

103

주어진 각뿔을 n각뿔이라 하면 면의 개수는 (n+1), 모서리의 개수는 2n이므로 (n+1)+2n=25, 3n=24n=8 yy 가 즉, 주어진 각뿔은 팔각뿔이다. 따라서 팔각뿔의 꼭짓점의 개수는 8+1=9 yy 나 답 9 단계 채점 요소 배점 가 n=8 구하기 2점 나 답 구하기 2점

104

두 조건 ㈎, ㈏에서 두 밑면이 서로 평행하고, 옆면의 모양 이 사다리꼴이므로 각뿔대이다. yy 가 조건 ㈐에서 면의 개수가 8이므로 육각뿔대이다. yy 나 답육각뿔대 단계 채점 요소 배점 가 두 조건 ㈎, ㈏에서 각뿔대임을 알기 2점 나 답 구하기 2점 포인트 조건을 만족시키는 다면체 구하기 ⑴ 밑면이 1개이면 각뿔, 2개이면 각기둥 또는 각뿔대이다. ⑵ 옆면의 모양이 삼각형이면 각뿔, 옆면의 모양이 직사각 형이면 각기둥, 사다리꼴이면 각뿔대이다.

105

n각뿔대는 (n+2)면체이다. n각기둥의 꼭짓점의 개수는 밑면인 다각형의 꼭짓점의 개수의 2배이다. 답②, ⑤

106

ㄱ. 정사면체의 꼭짓점의 개수는 4이다. (거짓) ㄷ. 정팔면체의 모서리의 개수는 12이다. (거짓) ㄹ. 정십이면체의 한 꼭짓점에 모인 면의 개수는 3이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㅁ의 2개이다. 답②

107

정사면체의 각 모서리의 중점을 연 결하면 오른쪽 그림과 같이 정팔면 체가 된다. 답 정팔면체

108

주어진 전개도로 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다. yy 가 따라서 EFÓ와 꼬인 위치에 있 는 모서리는 BCÓ(또는 JIÓ), BKÓ(또는 JAÓ), MDÓ(또는 MHÓ), MLÓ(또는 MNÓ)의 4개이다. yy 나 답4개 단계 채점 요소 배점 가 주어진 전개도를 입체도형으로 나타내기 3점 나 답 구하기 3점

109

주어진 정육면체를 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양 은 다음과 같다. ㄱ. 정삼각형 ㄴ. 이등변삼각형 ㄷ, ㄹ. 마름모, 평행사변형 ㅁ. 사다리꼴 B(J) C(I) D(H) E(G) L(N) K(A) M F

(19)

ㅂ. 오각형 ㅅ. 육각형 따라서 정육면체의 단면의 모양이 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ, ㅅ의 7개이다. 답 ④

110

주어진 삼각형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 오른쪽 그림과 같다. 답 ④

111

직사각형의 대각선을 지나는 직선 l을 회전축으로 하여 1 회전 시킬 때 생기는 회전체는 다음과 같다. l l 답 ①

112

ㄷ. 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면의 모 양은 원기둥은 직사각형, 원뿔은 이등변삼각형, 원뿔 대는 사다리꼴, 구는 원이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다. 답ㄱ, ㄴ, ㄹ 포인트 구의 성질 ⑴ 회전축이 무수히 많다. ⑵ 구는 어느 방향으로 잘라도 그 단면의 모양은 항상 원 이다. ⑶ 구의 단면이 가장 큰 경우는 구의 중심을 지나는 평면 으로 잘랐을 때이다.

113

주어진 원을 직선 l을 회전축으로 하90ù만큼 회전한 입체도형을 원의 중심 O를 지나면서 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 모양은 오른쪽 그림과 같다. yy 가 따라서 구하는 단면의 넓이는 반지름의 길이가 16`cm, 중 심각의 크기가 90ù인 부채꼴의 넓이에서 반지름의 길이가 6`cm, 중심각의 크기가 90ù인 부채꼴의 넓이를 뺀 것과 같으므로 p_16Û`_ 90360-p_6Û`_ 90360 yy 나 =64p-9p=55p`(cmÛ`) yy 다 답 55p`cmÛ` M ADN ADN 단계 채점 요소 배점 가 주어진 조건에 맞는 그림 찾기 3점 나 알맞은 식 세우기 3점 다 답 구하기 2점

114

⑴ 그림 ㈎를 직선 l을 회전축으 로 하여 1회전 시켜 얻은 회전 체는 오른쪽 그림과 같다. ∴ a=10, b=6 yy 가 ∴ a+b=16 yy 나 ⑵ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 호의 길이는 밑면 인 원의 둘레의 길이와 같으므로 2p_6=12p`(cm) yy 다 ⑶ 원뿔의 전개도에서 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_10_ x360=12p yy 라  ∴ x=216(ù) yy 마 답 ⑴ 16 ⑵ 12p`cm ⑶ 216ù 단계 채점 요소 배점 가 a=10, b=6 구하기 1점a+b=16 구하기 1점 다 부채꼴의 호의 길이 구하기 2점 라 알맞은 식 세우기 1점 마 부채꼴의 중심각의 크기 구하기 1점 A C B 6`cm 8`cm 10`cm

(20)

001

(밑넓이)=;2!;_4_3=6`(cmÛ`)(옆넓이)=(3+4+5)_4=48`(cmÛ`)(겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이) =6_2+48=60`(cmÛ`)(부피)=(밑넓이)_(높이)=6_4=24`(cmÜ`) 답⑴ 6`cmÛ` ⑵ 48`cmÛ` ⑶ 60`cmÛ` ⑷ 24`cmÜ`

002

(밑넓이)=;2!;_(3+9)_4=24`(cmÛ`) (옆넓이)=(3+9+5+5)_8=176`(cmÛ`)(겉넓이)=24_2+176=224`(cmÛ`) 답 ⑤

003

(3_4)_2+(4+3)_2_x=52 24+14x=52, 14x=28x=2 2

004

(부피)=(밑넓이)_(높이)=25_9=225`(cmÜ`) 답 ③

005

삼각기둥의 높이를 h`cm라 하면 {;2!;_4_3}_h=48, 6h=48h=8`(cm) 답 ⑤

006

정육면체의 한 모서리의 길이를 x`cm`(x>0)라 하면 (x_x)_6=216, xÛ`=36x=6`(cm) 답 ③

007

(밑넓이)=6_(3+3)-2_3=36-6=30`(cmÛ`) (옆넓이)=(6+6+4+3+2+3)_7=168`(cmÛ`)(겉넓이)=30_2+168=228`(cmÛ`) 답 ④ 포인트 기둥의 일부를 잘라 낸 입체도형의 부피와 겉넓이 ⑴ (기둥의 일부를 잘라 낸 입체도형의 부피) =(큰 기둥의 부피)-(잘라 낸 기둥의 부피)(기둥의 일부를 잘라 낸 입체도형의 겉넓이) =(두 밑넓이의 합)+(옆넓이)  잘린 부분의 면을 이동하여 생각한다.

008

주어진 입체도형의 겉넓이는 한 면의 넓이가 2_2=4`(cmÛ`) 인 정사각형 34개의 넓이의 합과 같으므로 (겉넓이)=4_34=136`(cmÛ`) 답 ④

009

오각기둥의 높이를 h`cm라 하면 22_h=198h=9`(cm) 9`cm

3

입체도형의 겉넓이와 부피

본문 048~068쪽

010

정육면체 한 모서리의 길이를 a`cm라 하면 12a=96 ∴ a=8`(cm)(부피)=8_8_8=512`(cmÜ`) 답①

011

사각기둥의 높이를 h`cm라 하면 [;2!;_(4+7)_6]_h=231, 33h=231h=7`(cm) 답②

012

주어진 전개도의 입체도형은 오 른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이) ={;2!;_6_8}_2 +(6+8+10)_8 =48+192=240`(cmÛ`)a=240 (부피)={;2!;_6_8}_8=192`(cmÜ`)b=192a-b=240-192=48 답③

013

(밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`)(옆넓이)=2p_4_6=48p`(cmÛ`)(겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이) =16p_2+48p=80p`(cmÛ`)(부피)=(밑넓이)_(높이)=16p_6=96p`(cmÜ`) 답 ⑴ 16p`cmÛ` ⑵ 48p`cmÛ` ⑶ 80p`cmÛ` ⑷ 96p`cmÜ`

014

(밑넓이)=p_2Û`=4p`(cmÛ`) (옆넓이)=(2p_2)_6=24p`(cmÛ`)(겉넓이)=4p_2+24p=32p`(cmÛ`) 답③

015

원기둥의 높이를 h`cm라 하면 (p_4Û`)_2+(2p_4)_h=88p 32p+8ph=88p, 8ph=56ph=7`(cm) 답②

016

(밑넓이)=(p_3Û`)_;2!;=;2(;p`(cmÛ`)(부피)=;2(;p_8=36p`(cmÜ`) 답②

017

(밑넓이)=p_4Û`=16p`(cmÛ`) (옆넓이)=(2p_4)_9=72p`(cmÛ`)(겉넓이)=16p_2+72p=104p`(cmÛ`) 답④ 8`cm 8`cm 6`cm 10`cm

(21)

018

(밑넓이)=p_4Û`-p_3Û`=7p`(cmÛ`) (옆넓이)=(2p_4)_12+(2p_3)_12=168p`(cmÛ`)(겉넓이) =7p_2+168p=182p`(cmÛ`) 답 ⑤

019

(작은 원기둥의 옆넓이)=(2p_2)_2=8p`(cmÛ`) (큰 원기둥의 겉넓이) =(p_4Û`)_2+(2p_4)_5=72p`(cmÛ`)(겉넓이) =8p+72p=80p`(cmÛ`) 답 ④

020

(밑넓이)=p_3Û`_;3!6@0);=3p`(cmÛ`) (옆넓이)=(3_8)_2+{2p_3_;3!6@0);}_8 =48+16p`(cmÛ`)(겉넓이) =3p_2+(48+16p) =48+22p`(cmÛ`) 답 ④ 포인트 밑면이 부채꼴인 기둥의 부피와 겉넓이 밑면의 반지름의 길이가 r, 중심각의 크기가 xù인 부채꼴이고 높이가 h인 기둥의 겉넓이 와 부피는 다음을 이용하여 구한다. ⑴ (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이) ={prÛ`_ x360 }_2+{2pr_ x360+2r}_h(부피)=(밑넓이)_(높이)={prÛ`_ x360 }_h

021

원기둥의 높이를 h`cm라 하면 (p_4Û`)_h=176p, 16ph=176ph=11`(cm) 답 ④

022

원기둥 B의 높이를 h`cm라 하면 (원기둥 A의 부피)=(원기둥 B의 부피)이므로 (p_2Û`)_5=(p_4Û`)_h, 16ph=20ph=;4%;`(cm) 답 ④

023

회전체는 밑면의 반지름의 길이가 4`cm, 높이가 10`cm인 원기둥이므로 (부피)=(p_4Û`)_10=160p`(cmÜ`) 답 ①

024

{p_6Û`_;3£6¼0;}_6=18p`(cmÜ`) 답 ⑤

025

(밑넓이)=5_5=25`(cmÛ`)(옆넓이)={;2!;_5_7}_4=70`(cmÛ`)(겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)=25+70=95`(cmÛ`) I S 답⑴ 25`cmÛ` ⑵ 70`cmÛ` ⑶ 95`cmÛ`

026

(밑넓이)=5_5=25`(cmÛ`) (옆넓이)={;2!;_5_10}_4=100`(cmÛ`)(겉넓이) =25+100=125`(cmÛ`) 답 ①

027

4_4+{;2!;_4_x}_4=56 16+8x=56, 8x=40x=5 답 ③

028

삼각뿔의 높이를 h`cm라 하면 ;3!;_36_h=180, 12h=180h=15`(cm) 답 ③

029

(밑넓이)=6_6=36`(cmÛ`) (옆넓이)=(정사각뿔의 옆넓이)+(정사각기둥의 옆넓이) ={;2!;_6_5}_4+(6_10)_4 =60+240=300`(cmÛ`)(겉넓이)=36+300=336`(cmÛ`) 336`cmÛ`

030

주어진 사각형 ABCD를 접어서 생기는 입체도형은 △EBF를 밑면으로 생각하면 높이가 ADÓ인 삼각뿔이므로 (부피)=;3!;_{;2!;_3_3}_6=9`(cmÜ`) 답 ④

031

△BAF를 밑면으로 생각하면 높이가 BCÓ이므로 (부피)=;3!;_{;2!;_4_3}_6=12`(cmÜ`) 답 ②

032

(작은 입체도형의 부피) =(삼각뿔 B-AFC의 부피) =;3!;_{;2!;_6_6}_6=36`(cmÜ`) (큰 입체도형의 부피) =(정육면체의 부피)-(삼각뿔 B-AFC의 부피) =(6_6)_6-36=180`(cmÜ`) 따라서 큰 입체도형의 부피는 작은 입체도형의 부피의 180Ö36=5(배) 답 ④

033

(그릇 ㈎에 들어 있는 물의 양) =;3!;_{;2!;_4_6}_5=20`(cmÜ`) (그릇 ㈏에 들어 있는 물의 양) ={;2!;_5_x}_4=10x`(cmÜ`) 두 그릇 ㈎, ㈏에 들어있는 물의 양이 같으므로 10x=20 ∴ x=2 답 ②

(22)

034

⑴ µAB =(밑면의 둘레의 길이)=2p_3=6p`(cm)(옆넓이)=;2!;_(모선의 길이)_(호의 길이) =;2!;_5_6p=15p`(cmÛ`)(원뿔의 겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이) =p_3Û`+15p=24p`(cmÛ`) 답 ⑴ 6p`cm ⑵ 15p`cmÛ` ⑶ 24p`cmÛ`

035

(밑넓이)=p_4Û` =16p`(cmÛ`) (옆넓이)=p_4_6 =24p`(cmÛ`)(겉넓이)=16p+24p =40p`(cmÛ`) 답 ⑤

036

모선의 길이를 l`cm라 하면 p_2Û`+p_2_l=20p, 2pl=16pl=8`(cm) 8`cm

037

원뿔의 높이를 h`cm라 하면 ;3!;_(p_3Û`)_h=21p, 3ph=21ph=7`(cm) 답 ⑤

038

(밑넓이)=prÛ``cmÛ` l=2r이므로 (옆넓이)=p_r_l =p_r_2r =2prÛ``(cmÛ`) 따라서 원뿔의 겉넓이는 prÛ`+2prÛ`=3prÛ`=42prÛ`=14 14

039

원뿔의 밑넓이를 S`cmÛ`라 하면 ;3!;_S_6=116p, 2S=116pS=58p`(cmÛ`) 답 ①

040

처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r, 높이를 h라 하면 (처음 원뿔의 부피)=;3!;_(p_rÛ`)_h =;3!;prÛ`h (나중 원뿔의 부피)=;3!;_{p_(3r)Û`}_h =9_;3!;prÛ`h 4`cm 6`cm r`cm 2r`cm 따라서 나중 원뿔의 부피는 처음 원뿔의 부피의 9배이다. 답④

041

주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으 로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체 는 오른쪽 그림과 같으므로 (부피)=(원기둥의 부피) +(원뿔의 부피) =(p_4Û`)_3+;3!;_(p_4Û`)_3 =48p+16p=64p`(cmÜ`) 답③

042

(원뿔 모양의 그릇의 부피) =;3!;_(p_6Û`)_12=144p`(cmÜ`) (원기둥 모양의 그릇의 부피) =(p_6Û`)_12=3_144p`(cmÜ`) 따라서 원기둥 모양의 그릇에 물을 가득 채우려면 원뿔 모 양의 그릇으로 3번 부어야 한다. 3번 포인트 밑넓이와 높이가 각각 같은 기둥과 뿔의 부피의 비 는 3`:`1이다.

043

(옆넓이)=(큰 부채꼴의 넓이)-(작은 부채꼴의 넓이) =;2!;_10_(2p_6)-;2!;_5_(2p_3) =60p-15p=45p`(cmÛ`)(두 밑넓이의 합) =p_3Û`+p_6Û` =9p+36p=45p`(cmÛ`)(겉넓이) =(두 밑넓이의 합)+(옆넓이) =45p+45p=90p`(cmÛ`)(부피)=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피) =;3!;_(p_6Û`)_8-;3!;_(p_3Û`)_4 =96p-12p=84p`(cmÜ`) 답 ⑴ 45p`cmÛ` ⑵ 90p`cmÛ` ⑶ 84p`cmÜ`

044

(두 밑넓이의 합)=5_5+8_8=89`(cmÛ`) (옆넓이)=[;2!;_(5+8)_7]_4=182`(cmÛ`)(겉넓이)=89+182=271`(cmÛ`) 답①

045

주어진 원뿔대의 전개도는 오 른쪽 그림과 같다. (두 밑넓이의 합) =p_5Û`+p_10Û` =125p`(cmÛ`) (옆넓이) =p_10_20-p_5_10 =200p-50p=150p`(cmÛ`)(겉넓이)=125p+150p=275p`(cmÛ`) 275p`cmÛ` 3`cm 4`cm 3`cm 10`cm 10`cm 10`cm 5`cm

수치

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참조

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