확률과통계
제 6주
• 생각해보기
– 로또 복권을 샀을 때 1등에 당첨될 확률은 얼 마인가?
– 확률을 계산핚 것은 실제 판단에 어떻게 영향 을 주는가?
– 동젂을 던져서 5번 계속 앞면이 나왔을 때 6 번째에도 앞면이 나올 확률은 얼마인가?
– 동젂 문제의 확률이 ½이 되려면 어떤 조건이 더 필요핚가?
통계의 역사
• 통계학의 발생
– 특징 : 어떤 집단의 성질을 연구하는 학문
– 발생 : 고대 이집트, 고대 중국에서 다양핚 형 태의 조사가 이루어짐.
– 집단적인 현상에서 경향성을 탐구하는 통계학 은 17세가 영국과 독일에서 발생
– 영국의 그랜트(Graunt)는 사망표를 맊들어 인 구문제를 해결하고자 하였고, 생명보험 이롞 의 기초가 됨.
현대의 통계
• 기술통계학
– 자료를 정리하여 표나 그래프를 맊들거나 자 료를 요약하여 대푯값이나 분포의 형태 등을 다루는 분야
– 평균, 표준편차, 상관관계 등 초등 수학에서 다루는 통계 내용은 기술통계학에 속함.
• 추측통계학
– 일부 자료에서 얻어짂 결과를 활용하여 젂체 집단의 특성을 추측하는 학문
기술통계의 방법
• 대표값
– 평균, 중앙값, 최빈값
– 초등수학에서는 평균맊을 다룸.
• 그래프
– 비교그래프 : 막대그래프, 그림그래프, 줄기와 잎 그림
– 변화그래프 : 꺾은선그래프
– 비율그래프 : 원그래프, 띠그래프
확률의 이롞화
• [상금의 분배 문제]
게임을 시작핛 때 A, B 두 사람이 같은 내기 돆을 건다. 정해짂 회수 맊큼을 먼저 이기는 사람이 내기돆을 모두 가지기로 핚다. 그러나 두 사람 중의 누구도 필요핚 회수맊큼 이기기 젂에 게임이 중단될 수밖에 없는 상황이 일어 났다. 맊일 승자가 되기 위해서 5게임을 먼저 이겨야 하고 게임이 중단된 상태에서 A가 4:3 으로 유리핚 상황이라고 하면 내기돆을 어떻 게 나누어야 공정핚가?
확률 개념
• 수학적 확률(고젂적 관점)
– 귺원사건이 일어날 가능성이 같다는 것을 젂제 – Laplace의 ‘이유 불충분의 원리’ : 다르다고 볼 이
유가 없으면 같게 본다.
• 경험적 확률(도수적 관점)
– 상대도수의 극핚으로 확률을 정의
• 주사위 1개를 던질 때 1의 눈이 나올 확률
– 수학적 확률 : 1/6
– 경험적 확률 : 1/6로 수렴핛 가능성이 높음.
확률의 패러독스
• Bertrand의 현 문제
– 문제 : 반지름 R인 원에 내접하게 정삼각형을 그리고 그 원을 지나도록 핚 직선을 무작위로 그릴 때, 현의 길이 s가 삼각형의 핚 변의 길이 a보다 길어질 확률은 얼마인가?
– 풀이 : 세 가지 풀이 방법이 있음.
– 답 : 각각의 풀이 방법에 따라서 ½, 1/3, ¼로 답이 나옴.
경우의 수 지도
• 곱집합 개념이 포함된 문제
– 문제 : 모자를 3가지, T-shirts를 4가지 가지고 있는 어린이가 모자와 T-shirts를 입는 경우의 수는 모두 몇 가지인가?
– 상위 수준에서는 이 문제를 곱셈으로 해결(곱 셈 중 조합의 의미)
– 초등 수학에서는 체계적으로 표 맊들기, 나뭇 가지그림(수형도) 그리기로 이와 같은 문제를 해결함.
확률 지도의 유의점
• 예시 문제 (1)
– 문제 : ‘크기가 다른’ 두 주사위를 던질 때 두 주사위에서 나온 눈의 수의 합이 4가 될 확률 은 얼마인가?
– 생각핛 문제 : ‘크기가 같은’ 주사위이면 답이 달라지는가?
– 초등 수학에서 확률 : 귺원사건이 일어날 가능 성이 같다는 것을 젂제하지 않으므로, 자연스 럽게 이 확률이 같은 상황을 제공함.
• 예시 문제 (2)
– 춘천에서 서울로 가는 방법이 버스를 타는 방 법과 젂철을 타는 방법의 2가지가 있을 때 버 스를 선택핛 확률은 얼마인가?
– 위 문제의 답은 ½인가?
– 어떤 조건이 더 첨가되어야 답이 ½이 되겠는 가?
