2.1 변수분리형 미분방정식

제2장) 1계 미분방정식

hylee@silla.ac.kr

2.1 변수분리형 미분방정식

3

2.1 변수분리형 미분방정식

2.1 변수분리형 미분방정식





       



 



 







dx

y dy dx

x f dy y g x

f y y

g

       



 



 









^{f x}  ^dy  ^{f x dx c} _dx ^{dy dx dy}

y y

g

 변수분리를 할 경우 양변을 적분하여 쉽게 해를 구할 수 있음.

가능 조작 구성되도록 만으로

오른쪽은 ,

왼쪽은 미분방정식의

:

y x

나옴 결과가 적분한

로 오른쪽은 ,

왼쪽은 식의

변수분리한 적분하면

로 양변을 미분방정식의

:

x y x

Ex. 1 ^{미분방정식}y'1y^{2을풀어라.}





y

c x y c

dx y dy

y dx dy y

dx dy y

y















 



 



 



 

 

tan

arctan 1

1

1

1 1 /

1 1 '

2

2 2

2 (변수분리형)

(적분)

(정리)

5

2.1 변수분리형 미분방정식

Ex. 2

(1  x dy ydx ) -  0 의 해를 구하여라.

미분방정식

1 1

(1 )

1 1 1 1

0

1 1

1 1

1

ln| | ln |1 | (

x y

dy dx dy dx

y x y x

dy dx c

y x

y x c c



   

 

  



   

 

주어진 미분방정식의 양변을 로 나누면

또는

은임의의 양수)

1 1

ln|1 |

y e

e

(1 x ).

    

(변수분리형)

(적분)

(정리)

Ex. 3 2xyy' y² x²을 풀어라.



 



 







 y

x x y y

x y

xyy 2

' 1 '

2 ^{2 2}



 

 











 y u x u u u

x u y ux

y 1

2 ' 1

' , ,

xdx u du

u u x

u dx du u

u u u

x

u 1

1 2 1 1 2

2 1 1

2

' 1 _{2 2}

2 

 



 

 







 

 





* 2

2 1 ln ln ,

ln

* ln 1 ln 1 *

1

2 _c

e x c

c c c x

x u

c xdx u du

u          





cx y x x

c x

y x

u c      



 



 



 ^{2 2}

2

2 1 1

4 2

2 2

2 c

c y

x   



 

 

(2xy로 나눔)

(변수분리형)

(적분)

(정리)