 lim 5 장 . 진동 저감을 위한 설계

(1)

5 장. 진동 저감을 위한 설계

서론

본 장에서는 진동 현상이 불필요하고 되도록이면 억제되어야 하는 경우를 다루려 한다.

1 장에서 이미 언급했듯이 진동은 실제로 여러 경우에 바람직하지 않은 결과들을 초래 하는데 예를 들어서 자동차의 운전 시 발생하는 진동은 종종 승객에게 불편과 피로를 주며 항공기나 유도탄 등에 쓰이는 전자 부품의 고장은 많은 경우에 진동으로부터 비롯 된다. 따라서 어떤 부품 또는 시스템이 진동에 얼마나 취약한가 하는 것을 결정하고 그 설계기준을 제공하는 것은 매우 중요한 일이다. 이와 관련하여 세계적으로 알려진 많은 국제적인 규격이 존재하는데 그 중에서도 민간기업의 제품생산에 사용되는 ISO (International Organization of Standards) 규격과 미합중국 군에서 사용하는 MIL SPEC (Military specification) 규격이 가장 유명하다. 우리나라에 KS 규격이 있는 것 같이 세계 각국은 거의 독자적인 규격을 가지고 있으며, 국제적 유명 기업체들도 소비자의 신뢰를 획득하기 위해 공공 규격보다 더 엄격한 자체 규격을 제정해 사용하기도 한다. 실제로 가장 어려운 문제는 진동 정도를 어떻게 규격 및 사양으로 표현할 것인가 하는 점이며 그 규격 및 사양에 근거하여 설계를 하는 것은 상대적으로 더 쉬운 일이라 할 수 있다.

진동의 허용 정도

진동과 관련하여 어떤 기기를 설계할 때는 그것이 만족해야 하는 진동관련 허용정도가 특정 물리량과 관련하여 명확히 제시되어야 한다. 즉 변위, 속도, 혹은 가속도와 관련된 진폭과 주파수가 그것이다. 예를 들어, 공작기계 가공과 관련된 진동의 허용 정도를 결정할 때는 통상 속도를 사용하며 인간의 감지와 관련해서는 가속도가 주로 사용된다.

ISO2372는 제품의 생산자와 소비자를 위한 진동관련 규정인데 변위, 속도, 그리고 가속도의 평균 제곱근 (root mean square) 값을 사용하여 기술되고 있다. 진동의 허용정도를 나타내는 데 가장 널리 편리하게 사용되는 것은 규정선도로서 (Nomograph) 1장에서 이미 이에 관해 설명이 주어졌다. 다음 쪽의 그림은 구조물의 손상, 기계의 진동, 그리고 인간의 감지능력과 관련된 내용을 담고있는 규정선도이다. 규정선도에 사용되는 변위, 속도, 가속도의 값들은 평균 제곱근 값들이다. 즉

x ( t )  A sin  t

라면

2 )

1 ( ²

1

0

lim _T ^x

2

^t ^dt ^A

x

^T

T

rms  



 











규정선도에서 진폭이 아니고 평균제곱근이 사용된다는 점을 반드시 기억해야 한다.

(2)

예제: 노면 미세변위 가진에 의한 차량진동 설계

최초설계 시 3.18Hz 의 고유진동수로 설계된 차량이 진폭 0.1mm 로 가진 될 때, 승객이 이를 느낄 수 있는지 여부를 결정하고, 이를 느끼지 못하게 하려면 설계를 어떻게 변경 해야 하는지 결정하라.

<풀이>

진폭이 0.1mm(100

 m

)일 때 그 rms값은 71

 m

로 위치는 10

 m

와 100

 m

사이의

85.1%에 (녹색선) 위치한다 (

 Log

10⁷¹¹^.⁸⁵¹³). 또한

Log

₁₀3.18 0.5024이므로 그림에서 적색 선이 3.18Hz 에 해당하는 선으로 70

 m

변위와 만나는 점은 감지 한계 선의 위쪽에 위치한다. 이를 감지 한계선 이하로 변경하려면 청색선 위치까지 고유진동 수를 낮추어야 한다. 적색선의 값이 0.5024 라 할 때 청색선의 위치는 대략 0.25 이므로

 

10 ⁰^.²⁵ 1.77 (Hz)

결국 고유진동수를 원 값의 55%까지 감소시켜야 하므로 강성을 원래 값의 30% 정도로 감소시키면 설계목적을 달성할 수 있다. 혹은 질량을 3.3 배 증가시킬 수도 있다. 후자의 방법은 연료 소모를 증가시킬 것이므로 실제 차량설계에서는 사용되지 않을 것이다.

Red Line Blue Line

(Hz) 70

 m

구조

손상

인간

영향

공작기계

진동 정도

(3)

휀더 진동 절연

진동 문제를 해결하는 가장 좋은 방법은 진동을 발생시키는 원천을 (가진력 등) 잘 조절하여 허용한도 이상의 진동이 발생하지 않도록 하는 것이다. 그러나 많은 경우에 진동의 원천을 조절하는 것이 불가능할 때가 있는데, 이 경우는 진동 원천과 진동계 사이에 절연 장치를 설치하는 것이 차선책이다. 진동절연을 위해 통상 사용되는 요소는 고무와 같이 강성 및 감쇠 특성을 동시에 갖는 재료이며 이를 이용한 진동절연에 관한 기초 이론으로는 2 장에서 이미 다룬 바 있는 힘 전달비 및 변위 전달비에 관한 것들이 있다.

예제: 자동차 전자제어 장치 보호를 위한 진동절연 설계

아래 그림은 자동차 차체의 휀더 위에 설치된, 자동차 엔진을 제어하는 전자 장치의 모 습이며 (Engine Control Unit, 통상 ECU 라고 부름) 이 장치는 엔진의 성능을 극대화 하기 위해 연료와 공기의 비율, 점화 시점 등을 종합적으로 제어 조절하는 기능을 한다.

<Q1>

자동차 운행 시 발생하는 휀더의 (Fender) 진동 운동은 대략

y

(

t

)0.01sin35

t

로 파악 되었으며, 그 위에 설치된 전자장치 모듈의 변위가 0.005 보다 작도록 설계하려 한다.

전자 장치 질량을 3kg 라 할 때 요구조건을 만족시킬 수 있는 강성과 감쇠 값을 구하라.

<A1>

01 .

0

Y

,

X

0.005이므로 변위 전달비



_d 

X

/

Y

0.5 이다. 아래 그림의 변위 전달비 곡선에서 이 요구조건을 만족시키는 주파수비

r

과 감쇠비



는 영역으로 존재 한다. 이중에서 감쇠비



를 0.02 로 선정하면 (Mounting 재료의 종류로 결정됨)

5 . ) 0 2 ( ) 1 (

) 2 ( 1

2 2

2

2 





 



r r

r Y

X

d



 

(4)

73 .

1

r

이상에서 변위 전달비의 값이 0.5 이하가 된다.



^~^{이 35 이므로}



^{는 20.23}

이하가 되어야 한다. 따라서

k  m 

²의 관계로부터

k

1228(N/m)임을 알 수 있다.

또 감쇠상수 값은

c  2  m 

의 관계에서 2.428 (kg/s)로 결정되는 것을 알 수 있다.

강성과 감쇠 값의 범위가 정해지면 절연장치를 생산하는 업체가 제공하는 카탈로그를 살펴보고 위에서 결정한 값과 범위 안에서 가깝거나 적절한 값을 선택한다. 만일 적절한 것이 없다면 다른 크기의 감쇠비를 가지고 위 과정을 반복한다. 만일 적절한 값이 여러 개 존재한다면, 비용이나 조립의 용이성, 온도의 허용범위, 공급자의 신뢰성 등까지 추가로 고려하여 부품을 선정한다.

Displacement Transmissibility Ratio



_d Force Transmissibility Ratio



_f

<Q2>

동일한 설계문제에서 전자장비에 가해지는 힘의 크기는 얼마가 될지 구하라.

<A2>

1228

k

(N/m)로 결정한다면,

47 . ) 18

2 ( ) 1 (

) 2 ( 1

2 2

2

2  





  _f

T

kY

r r

kYr r

F 



(N)

가해지는 힘의 크기는 강성 값을 줄일수록 작아질 것이다. 그러나 이 경우 정적 처짐 및 과도(Transient) 반응이 크게 발생하므로 무조건 작은 값을 취하는 것은 곤란하다.

 비고

위 시스템 설계와 관련하여 중력에 의한 처짐 양까지 고려하는 것은 종종 있는 일이다.

처짐의 양이 일정 크기 이상이 되면 주위 부품과 간섭을 일으키기 때문이다. 이 문제의 경우 강성과 질량이 주어졌으므로 처짐 양을 쉽게 계산할 수 있다.

통상 설계선

(5)

진동과 충격 절연을 위한 설계 결과의 상충

휀더의 운동이 일정 진폭을 갖는 조화운동으로 이상화 된 것은 실제의 경우와는 차이가 있다. 즉 실제의 경우 입력은 여러 주파수를 갖는 함수로 주어지기 때문이다. 그러나 휀더의 운동을 조화운동으로 이상화 한 것이 의미가 없는 것은 아니다. 왜냐하면 실제 운동에서 진폭이 아주 작은 경우나 주파수가 높은 경우는 전자 장치의 진동에 영향을 별로 미치지 않기 때문이다. 설계 시 더 일반적인 입력조건으로는 주파수에 대한 파워 밀도함수가 통상 사용되며, 이 때 설계 요구조건으로는 특정 주파수 범위에서 출력인 가속도의 파워밀도함수 값이 (혹은 이를 변형한 형태) 얼마 이하라는 식으로 주어진다.

이번에는 입력운동이 조화함수 대신 충격함수로 주어지는 경우에 대해서 생각해 보자.

입력이 조화함수로 주어지는 경우에는 앞쪽 그림에서 볼 수 있듯이 변위나 힘 전달비를 줄이려면 감쇠비의 값을 감소시켜야 하므로 작은 감쇠비를 갖는 시스템으로 설계된다.

그러나 충격 입력운동의 경우에는 아래 그림에서 관찰할 수 있듯이 가속도의 전달비는 감쇠비가 클수록 작아지는 것을 알 수 있다.

정상상태 진동의 절연을 위해서는 통상 강성과 감쇠비를 모두 감소시켜야 하나 충격절연을 위해서는 강성은 감소시켜도 감쇠비는 증가시켜야 한다는 일반적 설계 원칙을 알 수 있으며, 만일 진동과 충격을 동시에 절연하려 한다면 두 요구가 서로 상충되므로 양쪽의 조건을 동시에 만족시키는 적절한 감쇠비를 정해야 한다.

Shock Response Spectrum 통상 설계선

(6)

진동설계 시 회전수, 정적 처짐, 그리고 전달비 감소량의 관계

진동절연 설계는 앞서 언급되었듯이 그 값을 작게 하기 위해 감쇠비를 작게 하도록 이루어 진다. 그러나 전달 비 곡선들에서 확인할 수 있듯이 감쇠비가 어느 이하로 작아지면 (대략 0.1 이하) 감쇠 변화에 의한 전달비 변화는 미소하므로 전달비는 감쇠를 무시하고 다음과 같은 형태를 사용하여 구하는 방법이 종종 사용된다.

) 3 1 (

1

2 

 

r

d

r



(1)

그런데 회전수는 일반적으로 rpm으로 나타내므로 그 값을

n

이라 하면 가진주파수는 다음과 같이 결정이 된다.

60

~ 2

 n



 (2)

또한 전달 비 감소량을 다음과 같이 정의하면

R

 1



d (3)

(1)과 (3)에서

R r R



  1

2 (4)

그런데





/

~ /

~

g m

r



k

 (5)

여기서



는 정적 처짐 양이다. (2)와 (5)식을 이용하면, )

1 (

) 2 ( 30

R R n g



 





⁽⁶⁾

(6)식의 양변에 Log 를 취해 정리하면



 







 





R

n R

1 9093 2 . 29 log 2log

log 1



(7)

(7) 식을 그린 것이 교재그림 5.9 의 도표이다. 이를 이용하면은 가진주파수와 희망 전달 비 감소량이 주어지면 정적 처짐 양을 구할 수 있으며 그 값을 이용하여 강성설계를 수행한다.

경우에 따라 정적 처짐 양이 설계조건으로도 주어질 수 있으며, 이 경우 전달비 감소량이 계산될 수 있다.

(7)

흡진기

오른쪽 그림은 흡진기를 모델링 한 2 자유도 무감쇠 진동계로서 시스템의 운동방정식은 다음과 같다.

1 1 1 1 2( 1 2) _ocos

m x

 

k x



k x



x



F  t

0

) ( ₂ ₁

2 2

2

x



k x



x



m 

1 1 1 2 2 1

2 2 2 2 2

0 cos

0 0

m x k k k x F

o

t

m x k k x



 

            

      

       



미정계수법에 의해서 ¹ ¹

2 2

x X

cos

x X  t

   

   

    를 위 방정식에 대입하면



















 









0

2 1 2 2 2 2

2 2

1 2

1

F

X X m

k k

k m

k k



따라서

∴ 2

2 2 2 2 2 1 2 1

0 2 2 2

1 ( )( )

) (

k m

k m k k

F m X k





 



2 2 2 2 2 2 1 2 1

0 2

2 (

k k m

)(

k m

)

k

F X k



 



만일 ²

2 2 

 m

k

이면

X

₁0이다. 즉

m

₂와

k

₂를 이용하여 Forcing Function 이

m

₁에

미치는 영향을 없앨 수 있다.

2 2 2 2 1 2 1

1 ,

m k m

k





를 이용하여

X

₁을 나타내면 다음과 같다.

1 2 2

2 2

1 1

2

2 2

0 1 1

) ( 1 ) ( 1

) ( 1

k k k

k F

k X



 

 

 

  



 



 

o

cos

F  t

(8)

1 2

m



m



이고

1 2









이면 다음 관계식이 성립한다.

2

1 2) ( 



k k

이 식을 이용하여 앞에 나온 식을 다시 정리하면 다음과 같다.

2 2

2 2 2

2 2 0

1 1 1

) ( 1 )

( 1

) ( 1

 

 

 



 





 

 

 

  



 



F k X

아래는



0.1,



1.0^{일 때,}



₁의 절대값을 나타내는 그림이다.

흡진기의 설계 시 고려해야 하는 조건은 다음의 3 가지 정도이다.

1.



₁ 값이 적정 값 이하가 되도록 (그림에서 적색 원에 해당하도록)



/



₂ 값의 범위를 결정한다. 즉,

k

₂/

m

₂의 범위를 결정한다.

2.

0 . 05    0 . 25

범위에서 부가질량

m

₂를 결정한다. 부가질량이 원 질량 크기의 25%를 초과하는 것도 바람직하지 않지만 너무 작으면 성능에 문제가 생긴다.

3. 흡진기 자체의 피로 파괴를 막기 위해

X

₂의 크기를 어느 값 이하로 제한한다. 이 경우 흡진기 진동의 최대 진폭은

X

₂ 

F

₀/ k₂의 식을 이용하여 구한다.



2



(9)

앞에서 소개한 흡진기에는 감쇠기가 포함되어 있지 않다. 실제의 경우에 흡진기는 공진에 대한 안정성과 흡진 작동범위를 넓히기 위한 목적으로 감쇠기가 흡진기에 포함되는 경우가 대부분이다. 위와 같이 감쇠기가 달린 흡진기의 운동방정식은 다음과 같다.

0 sin

0 0

a a a a o

a a a a a a a a

m x c c c x k k k x F t

m x c c x k k x



   

                 

         

           

  

 

다음과 같이 해를 가정하면

j t

a a

x X

x X e

    

   

   



위 방정식에 대입하여 해를 구하면,

 

2

0

det 2

a a a

k m c j F

X K M j C

 

   

 

  

 

^X

^a ^ ^det



⁽

^K ^k

^a^^

^

^

^c

²^a

^M ^

^

^{j F}

^⁾

^{j C}

⁰

^

^



위 식에서 알 수 있듯이

X

크기는 앞에서 소개한 무감쇠 흡진기의 경우와는 달리 정확히 0 이 되지 않는다. 만일 주진동계의 감쇠상수 값

c

를 무시할 수 있다면, 다음 같이 정리된 결과를 얻을 수 있다.

2 2 2 2

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

0

( )

( )( ) ( )

a a a

a a a a a a

k m c

X

F k m k m m k k m m c

 

    

 

         

 

    

이제 다음과 같이 정의 되는 고유주파수비, 혼합감쇠비 그리고 질량비를 주파수비와 함께 이용하면

a p

 





2

a m

a p

c

 m



 m

^a

  m

p

r 

 

^

여기서

p

k

  m

_a ^a

a

k

  m

k

a

c

_a

k c

m m

a

x x

a

0

sin

F  _ t

(10)

주진동계의 동확장계수는 다음과 같이 구해질 수 있다.

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0

(2 ) ( )

/ (2 ) ( 1 ) ( 1)( )

m m

r r

X

F k r r r r r r

 

     

 

 

 

       

위에서 확인할 수 있듯이 주진동계의 진동은 흡진기의 질량, 감쇠, 강성 값을 이용하여 정의 되는 고유주파수비, 혼합감쇠비, 질량비 그리고 주파수비에 의해 결정된다. 예를 들어,

  0.25

이고

  1

인 경우 주파수비에 따른 동확장계수를 살펴보면, 강의노트 123 쪽에 나타난 바와 같이 동확장계수가 1 이하로 제한되는 주파수 범위는 0.908 

r

1.118이다.

그러나 감쇠기가 흡진기에 설치되면 아래 그림에서 살펴볼 수 있듯이 더 넓은 범위에서 동 확장계수를 1 이하로 만들 수 있다. 물론 감쇠로 인해 동확장계수를 정확히 0 으로는 만들 수 없다는 대가를 치러야 한다는 점을 기억해야 한다.

그러나 만일



와



값까지 변화시킨다면 더 효과적인 결과를 얻을 수 있다. 예를 들어 아 래 그림은

 

0.25,

 

0.8의 경우의 그래프를 보여주는데

 

_m 0.27일 경우 가장 넓은 영역에서 동확장계수를 1 이하로 제어될 수 있음을 보여준다.

결국은

이 문제는 나중에 설명이 나타나듯이 최적화방법론을 이용하여 수치적인 방법으로 최적해를 구할 수 있다.

(11)

감쇠에 의한 흡진

아래 시스템들은 후데일(Houdaille) 점성감쇠기라고 부른다. 왼쪽은 회전운동, 오른쪽은 병진 운동을 한다. 두 시스템은 동일한 개념에 근거하므로 운동방정식의 형태는 동일하다.

위 좌측 시스템의 운동방정식은 다음과 같다.

0 ) (

)

( ^~





   



 

   



^



  



c J

e M c

k J

d

t j O

미정계수법을 이용하여 해







_o

e

^j^^~^t,







_o

e

^j^^~^t를 방정식에 대입하면,

J

M J

jc J

j c J

k

o o

0

2 ~

)

~ (

~ )

(   

 





   

- (1)

o d o

d

J

jc J

j c    



) ^~

~ ~

( ²  - (2)

(1) 과 (2)식에서

~ )]

~ (

~[

~ )]

~ ( [

~

2 2

2





J k J jc

J k J

jc J

M

_d _d

d o

o







 

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

0 (1 ) 4 [ (1 )]

4

r r

r M

k

_o







 



  





 

여기서

 



 

 J

r c J k J

J

_d

, 2

~ ,

,   

 . 따라서



는



,



,

r

의 함수이다.

0 ,

0 

 

 or

if

₂

1 1



r







 ₂

) 1 ( 1

1

 r



  

 주의: 교재와



의 정의가 다르므로 동확장계수



의 함수 형태도 약간 다르다.

(12)

최적화

진동 문제에서 가장 바람직한 설계변수를 찾는 일은 최적화 문제로 귀착되곤 한다. 우리가 원하는 진동계의 성능을 수식으로 표현할 수 있다면 그 최대값이나 최소값을 구하는 문제가 바로 최적화 문제이다. 이런 경우 최대값이나 최소값은 성능함수를 설계매개변수에 대해서 한번 미분한 값이 0 이 되는 점에서 존재하며, 두 번 미분한 값이 양의 값을 가지면 최소값 이고 음의 값을 가지면 최대값을 갖는다. 그러나 이러한 방법은 설계매개변수들의 범위가 제한되지 않는 경우이며 그 범위가 제한된다든지 할 때는 풀이는 더욱 더 복잡해지게 된다.

이러한 경우의 해를 구하려면 체계적으로 개발된 컴퓨터 프로그램들을 이용하는 것이 좋다.

예제: 후데일 점성감쇠기의 최대 동적 반응을 최소화 하기 앞 절에서 이 감쇠기에 의한 동적 반응은 다음과 같이 주어졌다.

2 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

0 0

) 1 ( ) 1 (

4

4 

 













 

r r

r M

k







 

이 함수는 주파수비

r

과 감쇠 비



의 함수이다. 물론



의 함수이기도 하지만



에 대해서는 단순감소 함수이므로 이에 대한 분석은 할 필요가 없다. 위 함수를

f ( r ,  )

라 하면, 0



r

f

, 0





f

의 두 관계식으로부터

r

과



를 구하여 함수의 최소값을 구하면



  2

2

r

max

) 2 )(

1 ( 2

1



 





_op



이 때,



1 2

op 

f

예를 들어 아래 그림은

  1

인 경우 시스템의 최대 동적 응답을 최소화하는 주파수비 및 감쇠비를 구한 것이다.

(13)

Homework Problems (5.1-5.5)

1, 2, 3, 6, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 24, 25, 27, 29, 35, 37, 43, 44, 46, 48, 50, 51, 53, 56, 60, 62, 64, 66

 lim 5 장 . 진동 저감을 위한 설계

5 장. 진동 저감을 위한 설계

x ( t )  A sin  t

lim T x

t dt A

x



 m

 m

 m

 m

 Log

Log

 m

 

 m

y

t

t

Y

X



X

Y

r





r r

r Y

X



 

r





k  m 

k

c  2  m 





k

kY

r r

kYr r

F 





r

r



n

 n



R



R r R







g m

r

k



R R n g





R

n R



m x

k x

k x

x

F  t

x

k x

x

m 

m x k k k x F

t

lim _T ^x

^t ^dt ^A