lim lim lim lim  lim lim lim lim

12주

제5장 수렴성

5.1 점열, 제1가산공간

[정의] 점열, 수렴, 점열연속, 제1가산공간, 축소가산국소기저

(1)



에서의 점열(sequence) _ (혹은  _ ) ⇔  :



→



,    _ [5.1.1정의]

_

 : 점열 _ 의 부분점열(subsequence) ⇔ _ _{  }(∈



^{) [5.1.8정의]}

(2) 위상공간



에서 점열 _ 이 ∈



에 수렴한다(converge) 즉,

lim

→ ∞

_  (

lim

^ ,

_→ ). [5.1.2정의]

⇔ ^∀개집합



∋ ( 의 근방), ^∃_∈



^{, ∀} ≥ _, _∈



⇔ ^∀기저의 원소



∋ , ^∃_∈



, ^∀ ≥ _, _∈



[5.1.4따름정리]

⇔ ^∀ 의 국소기저의 원소



∋ , ^∃_∈



^{, ∀} ≥ _, _∈



^{[5.1.3정리]}

⇔ ^∀부분기저의 원소



∋ , ^∃_∈



, ^∀ ≥ _, _∈



[5.1.5정리]

이때 점열 _의 극한은  라 하고,  를 _의 극한점(limit point)이라 한다.

[예]

• (ℝ ,  )에서 점열 <>은  에 수렴한다.

• 밀착공간



에서 점열 <_>은 임의의 점 ∈



에 수렴한다.

• 이산공간



^에서

lim

^  ⇔ ^∃_∈ℕ , ^∀ ≥ _, _ 

• (ℝ , 여가산위상)에서

lim

_   ⇒ ^∃_∈ℕ , ^∀ ≥ _, _ 

(∵ ) 개집합



^



^ ∈ℕ



^{ }



^{ ∋에 대하여 ∃}∈



^{, ∀} ≥ _, _∈



⇒

∀ ≥ _, _  

(3) 사상  :



→



가 점  에서 점열연속(sequentially continuous at  ) [5.1.6정의]

⇔

lim

_  이면

lim

 _   

 가



의 모든 점에서 점열연속일 때,  는 점열연속함수라고 한다.

[정리] 사상  :



→



가 연속이면,  는 점열연속이다. [5.1.7정리]¹⁾ (∵ ) ^∀∈



,  는  에서 점열연속임을 보이면 된다.

lim

_  이라고 하자.

 가 연속이므로, ^∀개집합



∋ , ∈



 ^{ }



: open in



^.

lim

_  이므로 ^∃_∈



,  ≥ _ ⇒ _∈



⇒  _∈ 



   ^{ }



 ⊂



1)

주의: 역은



가 제1가산공간이 아니면 일반적으로 성립하지 않는다.

12주

따라서

lim

^{ }   이다.

[예] 항등사상  : (ℝ , 여가산위상) → (ℝ , 이산위상)는 임의의 점  ∈ℝ 에서 점열연속이지만, 연속은 아니다.

[예5.1.3]

(4)



: 제1가산공간(first countable space) [5.1.9정의]

⇔ ^∀∈



, ^∃  의 가산국소기저(countable local base at ) [예]

• 거리공간



는 제1가산공간(∵ ^∀∈



, {

 

^{ }





^{| ∈}

^

}은  의 가산국소기저) [예5.1.7]

• 이산공간



는 제1가산공간(∵ ^∀∈



, { }은  의 가산국소기저) [예5.1.8]

(5)



_ {



_| ∈



}: ∈



의 축소가산국소기저(nested countable local base at  ) [5.1.10정의]

⇔



_가  의 가산국소기저 s.t. ^∀∈



,



_ ⊃



_{  }

*



가  의 축소가산국소기저일 때, 다음이 성립한다.

(a) ^∀∈



, _∈



_∈



_이면

lim

_  (∵^∀개집합



∋, ^∃



_

∈



_, ∈



_

⊂



⇒ )

(b)



: 제1가산공간 ⇒ ^∀∈



, ^∃ 의 축소가산국소기저²⁾

[정리]

(a)



가 제1가산공간일 때, 사상  :



→



가 연속 ⇔  가 점열연속 [5.1.11정리]

(⇒ )!!(5.1.7정리)

(⇐ )  가 한 점  에서 연속이 아니라고 하자.

이때  의 축소가산국소기저를



_

 ^





_⋯



_⋯



^{이라 하면,}

∃개집합



⊂



, ^∀∈



,



_⊂^{ }



(즉, ^∃_∈



_ ^{ }



)이다.

∀∈



, _∈



이므로

lim

^   이다. 따라서

lim

^{ }   이어야 한다.(∵  가 점열연속)

그러나 ^∀∈



,  _∈



이므로

lim

 _ ≠  . 모순.

[예]  : ℝ → ℝ 가 연속 ⇔  가 점열연속 (ℝ : 보통위상공간) [예5.1.9]

2) 

_

^, 

_∩



_

^, 

_∩



_∩



_

^,

⋯

12주

(∵ ) 보통위상공간ℝ 는 보통거리에 의해 유도된 거리공간이므로 제1가산공간이다.

(b)



가 제1가산공간,



⊂



일 때, ∈ 



⇔ ^∃



에서의 점열  _ s.t.

lim

^  [5.1.12정리]

 의 축소가산국소기저를



_

 ^





_⋯



_⋯



^{이라 하자.}

(⇒ )^∀∈



^,



∩



≠ ∅ 즉, ^∃_∈



∩



. 이때 점열  _ 은  에 수렴.

(⇐ )^∀개집합



∋, ^∃_∈



,  ≥ _⇒ _∈



. 따라서



∩



≠ ∅ 즉, ∈



*



가 제1가산공간일 때,



⊂



가 폐집합 ⇔

lim

_  , _∈



(∈



)이면 ∈



[예]



: 비가산집합,



: 여가산위상일 때, (



,



)는 제1가산공간이 아니다. [예5.1.10]

(∵ ) 만약 (



,



)가 제1가산공간이라면, 임의의 점 ∈



에 대하여  의 축소가산국소기저



_^

 

_^



_⋯



_⋯



^{가 존재한다. ∀≠ ∈}



^{, ∃}



_^∈



_^,

∈



_ ⊂ ^이므로



  

∞



_ 이다.

따라서



  

^

∞



_



^  

^

∞



_^



 이다. 그러나 _{  }



^∞

^

^{는 가산집합이고}

^

^{ 는}

비가산집합이므로 모순.