환과 체 (Rings and fields)
현대대수학1 <제18절>
이상준 교수
(덕성여대 수학과)
교재 : 현대대수학(제7판)
John B. Fraleigh 지음, 강영욱, 강병련 옮김 강의 슬라이드 : 이상준, 조유진(13)
환 (Rings)
동기: ℤ는 두개의 연산 +와 " 를 가진다.
+와 " 을 동시에 가지는 수학적 대상을 정의하는 것이 자연스럽다.
정의18.1: 환 𝑅, +, " 은 2개의 이항연산 +와 " 을 가지며 다음 공리를 만족한다.
① 𝑅, + 는 가환군이다.
② " (곱셈)은 결합법칙을 만족한다.
③ 분배법칙을 만족한다.
𝑎 " 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 " 𝑏 + 𝑎 " 𝑐
𝑎 + 𝑏 " 𝑐 = 𝑎 " 𝑐 + 𝑏 " 𝑐
예제18.2: ℤ , +, " , ℚ ,+, " , ℝ , +, " , ℂ , +, " 는 환이다.
예제18.3: R이 환이라고 하자.
𝑀/(𝑅)은 R의 원소를 행렬의 성분으로 가지는 모든 𝑛×𝑛 행렬들의 모임이다.
그러면 𝑀/(𝑅)은 환이다.
예제18.4: 함수 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ 들의 집합을 F 라고 하자.
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹에 대해서 𝑓 + 𝑔 ∶ ℝ ⟶ ℝ𝑥 ⟼ 𝑓 + 𝑔 𝑥 ∶= 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹에 대해서 𝑓 " 𝑔 ∶ ℝ ⟶ ℝ𝑥 ⟼ 𝑓 " 𝑔 𝑥 ∶= 𝑓 𝑥 " 𝑔 x
그러면 𝐹 , +, " 은 환이다.
예제18.5: 𝑛ℤ , +, " 은 환이다.
예제18.7: 𝑅=가 환이라고 하자.
𝑎>,𝑎?,⋯ , 𝑎/ + 𝑏>,𝑏?, ⋯ , 𝑏/ = 𝑎> + 𝑏>, ⋯ , 𝑎/ + 𝑏/
𝑎>,𝑎?,⋯ , 𝑎/ 𝑏>,𝑏?, ⋯ , 𝑏/ = 𝑎>𝑏>,⋯ , 𝑎/𝑏/
그러면, 𝑅>×𝑅?×⋯×𝑅/은 환이다.기호: 정수배
기호: 𝑛 ∈ ℤ , 𝑎 ∈ 𝑅라 하자.
𝑛 " 𝑎 =𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎
/개
𝑛 > 0 0 𝑛 = 0 −𝑎 + ⋯ + −𝑎
/개
𝑛 < 0
예제: ℤE×ℤF
4 1,2 = 4,8 = 4,0
−3 3,2 = −9,−6 = ( 1,2 ) 정리18.8: 환 R의 덧셈항등원을 0이라 하고, 𝑎, 𝑏 ∈ R 이라 하자.
① 0𝑎 = 𝑎0 = 0
② 𝑎 −𝑏 = −𝑎 𝑏 = − 𝑎𝑏
③ −𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏
증명:
① 0𝑎 = 0 + 0 𝑎 = 0𝑎 + 0𝑎
0𝑎 = 0𝑎 + 0
소거법칙을 사용하면 0𝑎 = 0이다.
마찬가지로 𝑎0 = 0.
② 𝑎 −𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑎 −𝑏 + 𝑏 = 𝑎0 = 0
−𝑎 𝑏 + 𝑎𝑏 = −𝑎 + 𝑎 𝑏 = 0𝑏 = 0
③ −𝑎 −𝑏 = −𝑎 −𝑏 = − −𝑎𝑏 = 𝑎𝑏
환 준동형사상 (Ring homomorphism)
정의18.19: 𝑅, 𝑅O이 환이라고 하자.
𝜙 ∶ 𝑅 ⟶ 𝑅O이 모든 𝑎, 𝑏 ∈ R에 대해 다음 조건을 만족하면 환 준동형사상(ring homomorphism)이라 한다.①
𝜙 𝑎 + 𝑏 = 𝜙 𝑎 + 𝜙 𝑏②
𝜙 𝑎𝑏 = 𝜙(𝑎)𝜙(𝑏)
사실: 군 준동형사상 중 환 준동형사상이 아닌 것이 있다.
𝜙 ∶ ℤ ⟶ 2ℤ는 군 준동형사상이다. 하지만…𝑥 ⟼ 2𝑥
𝜙 𝑥𝑦 = 2𝑥𝑦
𝜙 𝑥 𝜙 𝑦 = 2𝑥 " 2𝑦 = 4𝑥𝑦
그러므로 환 준동형사상이 아님!
예제18.10: F가 함수 𝑓 ∶ ℝ ⟶ ℝ들의 환이라고 하자.
𝜙R ∶ 𝐹 ⟶ ℝ 은 환 준동형사상이다.𝑓 ⟼ 𝑓(𝑟)
예제18.11: 𝜙 ∶ ℤ ⟶ ℤ/ 은 환 준동형사상이다.𝑚 ⟼ 𝑚 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)
