교류 정상상태 전력
IT CookBook, 기초 회로이론(개정판) 2/38Ø
교류전원의 전력이 복소수영역에서 정의됨을 이해
Ø
평균전력, 유효전력, 무효전력, 피상전력의 정의 이해
Ø
역률의 개념 이해와 역률개선 방법 이해
Ø
복소수 영역에서의 전력보존 법칙 이해
Ø
복소전력의 최대전력 전달 원리 이해
Ø
결합 인덕터 및 변압기의 원리와 해석방법 이해
학습목표
3/38
목 차
11.1 교류 정상상태 전력의 정의
11.2 복소전력
11.3 역률 개선
11.4 전력보존 법칙
11.5 복소전력의 최대전력전달 법칙과 역률
11.6 결합 인덕터와 변압기
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
q 교류 정현파 전력 •전력p (t)는 전압v (t)와 전류 i(t)의 곱으로 얻을 수 있다. •전압과 전류가 각각 다음과 같은 파형의 정현파라고 가정하자. •소비전력은5/38
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
•전력p(t)는 평균 상수 값과 또 다른 정현파 함수의 합으로 표현할 수 있다. •식 (11.1)의 정현파 전압 및 전류 함수는 다음과 같은 주기함수가 된다 (주기 ). •따라서 전력p (t)도 또 다른 주기함수가 된다. 6/38Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
11.1.1
11.1.1 평균전력
평균전력
q 평균전력 (P
AV : 유효전력) •단위로 [Watt] = [W]를 사용 •평균전력은 한 주기 동안 전력 평균 값 •평균전력 값은 전압, 전류의 크기에 비례, •전압-전류 값 사이 위상각의 차이에 따라 값이 다르다.7/38
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
q 소자별 평균전력 값 (1) 저항 Φ= θv-θi= 0이 되고 cos값이 1 (2) 인덕터 Φ= θv-θi= 90º 임피던스Z (jω) = V/I= jωL이므로 cosΦ = 0 (3) 커패시터 Φ= θv-θi= -90º 임피던스Z( jω) = V/I= jωL이므로 cosΦ = 0Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
(4) 임피던스 소자 Φ= θv–θi이고 |Z |cosΦ= R, |Z |sinΦ= X 에서 다음과 같은 관계를 얻을 수 있다. 즉, 평균전력 값은 전체 임피던스의 크기 값과 위상각에 의해 구해지고, 그 값은 실수 값, 즉 저항 값에 의해서만 영향을 받는다.9/38
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
11.1.2
11.1.2 실횻값
실횻값
q 실횻값 (RMS 값) •임의의 정현파 주기함수f(t)를f (t) = Fmcos(ωt+ θ )로 가정하면, 10/38Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
•식 (11.8)을 정의에 대입하여f(t)의 실횻값Feff를 다음과 같이 얻을 수 있다. •그러므로 정현파 주기함수v (t)와i(t)의 실횻값은11/38
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
q 실횻값에 의한 소자별 평균전력 (1) 저항 저항회로의 옴의 법칙에 따른 전력의 정의와 같은 형식이 된다.Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
(2) 임피던스 소자 Veff= Vm/√2 , Ieff= Im/√2 의 값을 대입하면 평균전력 값은 다음과 같다. 평균전력은실수 값에 해당하는 R(저항)에 의해서만 발생되는 전력이다.13/38
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
q [참고 11-1] 임피던스와 평균전력, 실횻값과의 관계 14/38Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
q 전력 소모량 계산 [그림 11-4] 회로에서 백열전등 6개를 동시에 사용하면 20A 용량의 퓨즈가 끊어질까? 그리고 퓨즈가 끊어지지 않는 한 최대 몇 개까지의 백열전등을 사용할 수 있을지 계산하라. (단, 백열전등은 순수 저항으로 가정하고, 주어진 전류 값은 크기 값, 소모전력량은 평균전력 값 [Watt]을 뜻한다.)예제 11-1
• 백열등 : R 성분만 존재 (v와 I의 위상차=0) à P=VI • 형광등, 에어컨 : R, L, C 성분이 모두 존재 (위상차 발생) : I는 복소수]
[
]
[
0
110
P
VI
VI
jVI
P
W
jQ
VAR
V
=
Ð
Þ
=
=
r+
m=
+
o15/38 • 백열등 전류 : • 형광등 전류 : (R, L, C 성분이 존재 à 복소수) • 에어컨 전류 : (R, L, C 성분이 존재 à 복소수) • 전체전류 : • 최대허용전류 :
]
[
45
.
5
110
100
6
1A
W
I
=
´
=
Section 11.1
교류 정상상태 전력의 정의
88
.
0
82
.
0
2
.
1
82
.
0
110
90
2 2 2 2 2 2 2 2r=
=
Þ
I
m=
I
-
I
r=
-
=
W
I
88
.
0
82
.
0
2j
I
=
+
\
78
.
8
18
.
8
12
18
.
8
110
900
2 2 2 3 2 3 3 3r=
=
Þ
I
m=
I
-
I
r=
-
=
W
I
78
.
8
18
.
8
2j
I
=
+
\
66
.
9
45
.
14
3 2 1I
I
j
I
I
T=
+
+
=
+
15
.
9
20
66
.
9
9
91
.
0
+
+
Þ
<
Þ\
£
=
m
j
I
m
I
T TSection 11.2
복소전력
q 복소전력(S) •일반적으로 정현파 전압, 전류에 의하여 발생된 복소전력은 유효전력과 무효전력으로 나눌 수 있다. •유효전력 : 실수 값, 평균전력과 같다. 실제로 저항을 통하여 발생되는 유효한 전력 •무효전력 : 허수 값, 커패시터나 인덕터에 의하여 발생 실제 빛이나 열로 표현되는 유효한 전력이 아니라는 뜻17/38
Section 11.2
복소전력
q 피상전력 (apparent power)
•복소전력의 크기 값 |S |를 뜻
•피상전력으로 유효전력과 무효전력을 정의하면,
•피상전력의 크기는 식 (11.13)의Veff· Ieff가 되고, 단위는 [VA]가 된다.
•피상전력의 값은 평균전력P 의 값과 다르다.
18/38
Section 11.3
역률 개선
q 역률 (power factor)
•곱해지는 cosΦ값
q 역률개선 (power factor improvement)
•유효전력의 발생을 많게 하려고 cosΦ의 값을 1에 가깝게 개선하는 것 •평균전력의 수식PAV= 피상전력 × cosΦ(단, Φ = θv-θi= θZ)에서
19/38
Section 11.3
역률개선
q 전송선로의 역률개선 [그림 11-6]에서 발전소와 소비자 간의 전송 선로의 순수저항 값이 5Ω이라 하자. 전송선로의 역률이 1과 0.5일 때의 선로에 의한 전력손실량[W]은 얼마인지 구하라. (단, 발전소에서 공급되는Veff = 200[V]이고, 전송선로와 부하에 의하여 소비되는 전력은 1kW, 위상각은 60º로 가정한다.)예제 11-2
] [ 200 V Veff = ] [ 5 W = R • 전송선로와 부하에 의해 소비되는 전력 : • 선로에 의한 전력손실량[W] :]
[
1
cos
kW
I
V
P
=
eff effq
=
]
[
2R
W
I
P
R=
effSection 11.3
역률개선
• 전송선로의 역률이0.5일 때의 선로에 의한 전력손실량[W] • 전송선로의 역률이1일 때의 선로에 의한 전력손실량[W] • 따라서, 역률 개선이 필요]
[
10
5
.
0
200
1000
cos
A
V
P
I
eff eff=
´
=
=
q
W
R
I
P
R=
eff2=
10
2´
5
=
500
\
]
[
5
0
.
1
200
1000
cos
A
V
P
I
eff eff=
´
=
=
q
W
R
I
P
R=
eff2=
5
2´
5
=
125
\
21/38
Section 11.3
역률 개선
q 역률 개선의 예 [그림 11-7] 회로에서 부하ZL에 병렬로 임의의 리액턴스 소자Z1을 연결하여 역률을 보상하려고 한다. 만약 부하임피던스의 값이 ZL= 100 + j 100, 주파수가ω= 377[rad/초]로 주어졌을 때 (1) 뒤진 역률이 0.95로 개선되기 위한 리액턴스 소자 값과 (2) 뒤진 역률이 1로 개선되기 위한 리액턴스 소자의 값을 구하라.예제 11-3
1 1100
100
jX
Z
j
Z
L=
+
=
22/38(
pf
)
R
X
R
X
pf
p p p p P 1 1cos
tan
tan
cos
cos
-÷
÷
Þ
=
-ø
ö
ç
ç
è
æ
=
=
q
Section 11.3
역률 개선
• 두 병렬소자의 합성 임피던스 • 개선된 역률(
)
(
)(
)
2 1 2 1 1 1 1 1 1)
(
)
(
)
(
R
X
X
X
X
j
R
jX
R
jX
X
X
j
R
jX
jX
R
Z
Z
Z
Z
Z
L L P+
+
+
-+
=
+
+
+
=
+
=
(
)
(
)
(
)
P PjX
R
X
X
R
X
X
XX
X
R
j
RX
X
X
R
X
XX
RX
j
R
jX
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
-+
=
2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1)
(
)
(
1 1(
)
(
)
X
pf
R
X
R
X
pf
RX
X
XX
R
-+
=
Þ
=
+
+
-1 2 2 1 1 1 2 1 2cos
tan
cos
tan
23/38 • 원래 부하(
Z
L= R+jX = 100+j
100)에 의한역률(pf)은 cos45o=0.707 1) 이 역률을 0.95로 개선하기 위한 리액턴스 X1 2) 이 역률을 1.0로 개선하기 위한 리액턴스 X1Section 11.3
역률 개선
(
)
100
tan
(
cos
0
.
95
)
100
297
.
9
100
100
cos
tan
1 2 2 1 2 2 1=
-+
=
-+
=
--X
pf
R
X
R
X
F
C
C
C
j
j
jX
m
w
377
297
.
9
8
.
9
1
377
1
1
9
.
297
1=
´
=
Þ\
=
-=
-=
(
)
100
tan
(
cos
1
.
0
)
100
200
100
100
cos
tan
1 2 2 1 2 2 1=
-+
=
-+
=
--X
pf
R
X
R
X
F
C
C
C
j
j
jX
m
w
377
200
13
.
3
1
377
1
1
200
1=
´
=
Þ\
=
-=
-=
Section 11.4
전력보존 법칙
q 전력보존 법칙25/38
Section 11.4
전력보존 법칙
q 복소전력보존 법칙 [그림 11-8] 회로에서 임피던스 값이 다음과 같이 주어졌을 때 전력보존 법칙이 지켜지는지 검증하라.예제 11-4
26/38Section 11.5
복소전력의 최대전력전달 법칙과 역률
q 복소전력 회로에서 최대전력전달 조건 •단자 a-b 왼쪽 회로에서 최대 전력이 오른쪽 부하회로에 전달되는 조건은27/38
Section 11.5
복소전력의 최대전력전달 법칙과 역률
•유효전력 값은 •P를 최대화하기 위해 위의 식을 각각RL과XL에 대하여 편미분하고 이를 0으로 두면 다음과 같은 식을 얻는다. •여기서XL= -Xs를 얻고, 만약Vs≠ 0이라면 다음 식과 따라서, XL= -Xs 으로부터Rs= RL이 된다.Section 11.5
복소전력의 최대전력전달 법칙과 역률
•복소전력 회로에서 최대전력전달 조건은 다음과 같다. q 임피던스 정합 •앞단 회로와 뒷단 회로의 임피던스를 서로 맞추어 최대 전력이 전달되도록 하는 것 q 복소전력의 최대전력전달 역률 •최대전력이 전달되는 회로에서는 모든 리액턴스 값은 0이 된다. 이는 회로에서 유효전력만을 발생시키는 저항소자만 남아있는 경우이므로 역률이 1이 되는 경우에 해당된다.29/38
Section 11.5
복소전력의 최대전력전달 법칙과 역률
q 부하에 전달되는 최대전력 •모든 리액턴스 값이 상쇄되어 저항만 있는 경우이므로 다음과 같다. 30/38Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
q 결합 인덕터 회로 •자체의 인덕턴스 값에 의하여 생성되는 전압, 전류 외에 서로의 상호 작용으로 인한 전압, 전류가 발생 •상호 인덕턴스의 값을 고려하여 별도의 전압, 전류를 고려해야 한다.31/38
Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
q 자기인덕턴스 •Φ1∝N1i1 즉 자장Φ1은 권선수N1과 전류i1에 비례 •자속 λ1과 전압v1, 자장Φ1의 상호관계에 의해 식(11.21)이 된다. •그러므로 자기인덕턴스L1의 정의에 따라 다음과 같다.Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
q 상호인덕턴스 •Φ2∝Φ1이므로 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. •따라서 상호인덕턴스M 의 정의에 따라 다음 식을 얻는다. •마찬가지로 식 (11.23)을 얻는다.33/38
Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
•그러므로 중첩의 원리에 의하여v1, v2는 각각 다음과 같다. q 결합 인덕터의 심볼 34/38Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
11.6.1
11.6.1 결합
결합 인덕터의
인덕터의 전압
전압,
, 전류
전류 극성
극성
q 코일 위에 찍힌 점 •코일에 입력되는 전류 및 전압의 극성을 나타낸다. •3차원적으로 코일의 권선 방향에 따라 유도자속 방향이 달라지는 것을 2차원 평면에 점으로 표기 •점의 위치에 따라 전류-전압의 방향, 상호 인덕턴스의 부호가 달라진다.35/38
Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
q 점의 위치와 전압 및 전류의 극성 [그림 11-12] 결합 인덕터 회로에서v1, v2, i1, i2에 대한 연립 미분방정식을 유도하라.예제 11-5
Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
q 결합 인덕터의 점의 위치와 전류, 전압의 방향 결정 순서
①모든 전류와 전압의 방향이 점으로 들어가는 방향의 표준형 회로를 만든다. ② 표준형 회로에서 모든 항의 부호가 양수가 되는연립 미분방정식을 유도한다. ③ 문제에 주어진 전류와 전압 방향 중 표준형 회로의 방향과 서로 다른 변수를 찾아 음수 값으로 대체한다. (예: i2대신-i2로, v1대신-v1로 대체) ④ 적절히 양변에 (-) 값을 곱하여 수식을 정리한다.37/38
Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
q 3상 결합 인덕터 회로의 전류, 전압 방향 결정 [그림 11-13] 회로의 연립 미분방정식을 유도하라.예제 11-6
38/38Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
11.6.2
11.6.2 이상적
이상적 변압기
변압기
q 결합상수k
•상호 인덕턴스M과 자기인덕턴스L1, L2간의 비율 표시 •두 개의 결합된 인덕터 간에 결합이 얼마나 잘 되어있는가의 척도 q 이상적 변압기 •k= 1, 즉M = √L1L2인 경우 •완벽하게 결합된 인덕터 쌍39/38
Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
•결합 인덕터가 이상적인 변압기가 되면 권선수 비율으로 전류, 전압의 변화량을 얻을 수 있다. (단, n은 1차 코일의 권선수와 2차 코일의 권선수와의 비율) •또한 v1= nv2= nRLiL= n2RLi1의 관계로 다음과 같은 식이 나온다. 2 1Section 11.6
결합 인덕터와 변압기
•따라서 1차 코일에서의 임피던스 값Z1은 실효부하저항 값n2RL이 된다.41/38
