핵심개념특강편
정답 및 풀이
10~11쪽 개・념・확・인 01⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#; ⑷ ;5$; ⑸ ;5#; ⑹ ;3$; 02⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ ⑷ 03⑴ 0.85 ⑵ 0.52 ⑶ 1.66 04⑴ 0 ⑵ 0 05⑴ 0.3584 ⑵ 0.9205 ⑶ 0.4040 1 3 '3 401. 삼각비의 값
삼각비
Ⅴ
핵심유형1
피타고라스 정리에 의해 AB”="√13¤ -5¤ =12이므로 cos A= =;1!3@;, sin C= =;1!3@; ∴ cos A+sin C=;1!3@;+;1!3@;=;1@3$; AB” AC” AB” AC”1
-1 ∠B=90˘, tan A= 이므로 오른쪽 그림과 같이 AB”=2, BC”='∂21인 직각삼 각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AC”="√2¤ +('∂21)¤ =5이므로 sin A= =1
-2 cos A= = 이므로 AC”=2'2 피타고라스 정리에 의해 BC”="√6¤ -(2'2)¤ =2'71
-3 △ABC에서 피타고라스 정리에 의해 AC”="√17¤ -8¤ =15 △AEDª△ACB(AA 닮음)이므로 ∠x=∠B ∴ tan x=tan B= =:¡8∞: 핵심유형2
△ABC에서 tan 60˘= = ='3이므로 BC”='6 cm △DBC에서 tan 45˘= = =1이므로 CD”='6 cm2
-1 ② sin 45˘+cos 45˘= + ='2 ③ = ÷;2!;='3 ④ tan 60˘_tan 30˘='3_ =1 ⑤ cos 60˘-tan 45˘=;2!;-1=-;2!;2
-2 sin A= 이므로 ∠A=60˘ ∴ cos A÷tan A=cos 60˘÷tan 60˘=;2!;_ =
2
-3 sin 60˘= = = 이므로 AB”=8 cm tan 60˘= = ='3이므로 AC”=4 cm ∴ AB”+AC”=8+4=12(cm) 4'3 AC” BC” AC” '3 2 4'3 AB” BC” AB” '3 6 1 '3 '3 2 '3 3 '3 2 cos 30˘ sin 30˘ '2 2 '2 2 '6 CD” BC” CD” BC” '2 BC” AB” AC” BC” '2 3 AC” 6 '∂21 5 BC” AC” A B C 2 '21 '∂21 2 12~13쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 1-1③ 1-22'7 1-3 핵심유형 2 '6 cm 2-1③ 2-2 2-312 cm 핵심유형 3 ⑤ 3-1⑤ 3-2④ 3-30 핵심유형 4 42˘ 4-1⑤ 4-28.09 cm '3 6 15 8 24 130
2
⑴ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1 ⑵ (주어진 식)= - =0 ⑶ (주어진 식)= _;2!;= ⑷ (주어진 식)= ÷'3=;3!;0
4
⑴ (주어진 식)=0+0=0 ⑵ (주어진 식)=1_0=0 '3 3 '3 4 '3 2 '2 2 '2 2 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지02핵심유형
3
① sin x= =AB” ② tan x= =CD” ③ sin y= =OB” ④ cos y= =AB” ⑤ tan z= =3
-1 ① sin 55˘= =0.82 ② cos 55˘= =0.57 ③ tan 55˘= =1.43 ④ ∠OAB=35˘이므로 sin 35˘= =0.57 ⑤ cos 35˘= =0.823
-2 ① sin 0˘=0 ② cos 90˘=0 ③ tan 0˘=0 ④ tan 60˘='3, 2 sin 60˘=2_ ='3 ④∴ tan 60˘=2 sin 60˘⑤ sin 90˘_cos 90˘-tan 60˘_cos 0˘ =1_0-'3_1=-'3
3
-3 0˘<A<90˘일 때, cos A<1이므로cos A-1<0, 1-cos A>0 ∴ "(√cos √A-≈ç1)¤ -"(√1-c√os Aç)¤
=-(cos A-1)-(1-cos A) =-cos A+1-1+cos A=0
핵심유형
4
sin 31˘=0.5150이므로 x=31˘ tan 11˘=0.1944이므로 y=11˘ ∴ x+y=31˘+11˘=42˘4
-1 ⑤ cos y=0.8660일 때, y=30˘4
-2 ∠A=36˘이므로 ∠C=54˘ sin 54˘= = =0.8090이므로 AB”=10_0.8090=8.09(cm) AB” 10 AB” AC” '3 2 AB” OA” OB” OA” CD” OD” OB” OA” AB” OA” 1 CD” OD” CD” AB” OA” OB” OA” CD” OD” AB” OA”0
1
피타고라스 정리에 의해 AC”="√5¤ +('2)¤ =3'3이므로 cos A= = =0
2
tan A= =;5@;이므로 AB”=10 ∴ △ABC=;2!;_10_4=200
3
△ADC에서 AC”="√5¤ -3¤ =4 △ABC에서 BC”="√(4'5)¤ -4¤ =8 ∴ tan B= =;8$;=;2!;0
4
정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 △DFH에서 FD”='3a, DH”=a이므로 sin x= = = =0
5
일차함수의 식에 y=0을 대입하면 x=3이므로 점 A의 좌표 는 (3, 0)이고, x=0을 대입하면 y=4이므로 점 B의 좌표는 (0, 4)이다. △BOA에서 AB”="√3¤ +4¤ =5이므로 sin A= =;5$;0
6
ㄱ. sin 30˘-cos 60˘=;2!;-;2!;=0 (거짓) ㄴ. tan 45˘-'2 sin 45˘=1-'2_ =0 (참) ㄷ. sin 45˘÷cos 45˘-tan 30˘_cos 30˘ ㄷ. = ÷ - _ =1-;2!;=;2!; (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.0
7
tan 60˘='3이므로 x+30˘=60˘ ∴ x=30˘∴ sin x-cos 2x=sin 30˘-cos 60˘=;2!;-;2!;=0 '3 2 '3 3 '2 2 '2 2 '2 2 OB” AB” '3 3 1 '3 a '3a DH” FD” AC” BC” 4 AB” 5'3 9 5 3'3 AB” AC” 14~15쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01③ 02③ 03;2!; 04② 05② 06⑤ 07③ 08④ 09② 101.24 11③ 1241˘ 13⑤ 14;5$; 15 3'38 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지03
0
8
△ABD에서 tan 60˘= ='3이므로 x=3'3 △ADC에서 ∠C=30˘이므로 tan 30˘= = 이므로 y=9 ∴ xy=3'3_9=27'30
9
삼각형의 세 내각의 크기 중 가장 작은 각의 크기는 A=180˘_ =30˘이므로sin A : cos A : tan A=sin 30˘ : cos 30˘ : tan 30˘ sin A : cos A : tan A=;2!; : :
sin A : cos A : tan A=3 : 3'3 : 2'3='3 : 3 : 2
10
cos 52˘= =0.62 ∠OAB=90˘-52˘=38˘이므로 sin 38˘= =0.62 ∴ cos 52˘+sin 38˘=0.62+0.62=1.2411
sin a= = , cos a= =;2!;이므로 ∠a=60˘12
BC”=1이므로 CD”=1-BD”=0.2453 ∴ BD”=0.7547 cos x= =0.7547이므로 ∠x=41˘13
cos 45˘_(sin 45˘-tan 0˘)+cos 60˘_sin 90˘ = _{ -0}+;2!;_1=;2!;+;2!;=114
[단계❶] 피타고라스 정리에 의해 BC”="√6¤ +8¤ =10 [단계❷] △ABCª△HBA(AA 닮음)이므로 ∠BCA=∠BAH=x △ABCª△HAC(AA 닮음)이므로 ∠CBA=∠CAH=y[단계❸] △ABC에서 sin x=sin C= =;1§0;=;5#; tan y=tan B= =;6*;=;3$;
[단계❹] ∴ sin x_tan y=;5#;_;3$;=;5$; AC” AB” AB” BC” '2 2 '2 2 BD” BA” OB” OA” '3 2 AB” OA” OB” OA” OB” OA” '3 3 '3 2 1 1+2+3 '3 3 3'3 y x 3
15
sin 60˘= =AB”= , tan 60˘= =CD”='3,cos 60˘= =OB”=;2!; yy❶ ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△COD-△AOB ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_OD”_CD”-;2!;_OB”_AB” ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_1_'3-;2!;_;2!;_ ∴ (색칠한 부분의 넓이)='32 -'38 =3'38 yy❷ '3 2 OB” OA” CD” OD” '3 2 AB” OA” ❶ BC”의 길이 구하기 ❷ ∠BCA=x, ∠CBA=y임을 알기 ❸ sin x, tan y의 값 구하기 ❹ sin x_tan y의 값 구하기
10 % 40 % 40 % 10 % 채점 기준 배점 ❶ AB”, CD”, OB”의 길이 구하기 ❷ 색칠한 부분의 넓이 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점
02. 삼각비의 활용
16~18쪽 개・념・확・인 01 ⑴ 6.4 cm ⑵ 7.7 cm 02 ⑴ 3 cm ⑵ 3'3 cm ⑶ 2'3 cm ⑷ '∂21 cm 03 ② 04 ⑴ h ⑵ h ⑶ 5(3-'3) 05 ⑴ 12 cm¤ ⑵ 15'2 cm¤ 06 ⑴ 6'2 cm¤ ⑵ 24 cm¤ '3 30
1
⑴ AC”=10_sin 40˘=10_0.64=6.4(cm) ⑵ BC”=10_cos 40˘=10_0.77=7.7(cm)0
2
⑴ AH”=6_sin 30˘=6_;2!;=3(cm) ⑵ BH”=6_cos 30˘=6_ =3'3 (cm) ⑶ CH”=BC”-BH”=5'3-3'3=2'3 (cm) '3 2 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지04⑷ △AHC에서 피타고라스 정리에 의해 AC”="√(2'3)¤ +3¤ ='∂21 (cm)
0
3
(나무의 높이)=15_tan 30˘=15_ =5'3 (m)0
4
⑴ ∠BAH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h ⑵ ∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h ⑶ 10= h+h, { }h=10 ∴ h=10_ =5(3-'3)0
5
⑴ △ABC=;2!;_6_8_sin 30˘05
⑴ △ABC=;2!;_6_8_;2!;=12(cm¤ ) ⑵ △ABC=;2!;_10_6_sin (180˘-135˘) ⑵ △ABC=;2!;_10_6_ =15'2 (cm¤ )0
6
⑴ ABCD=3_4_sin 45˘=3_4_ =6'2 (cm¤ ) ⑵ ABCD=;2!;_8_4'3_sin 60˘ ⑵ ABCD=;2!;_8_4'3_'3 =24(cm¤ ) 2 '2 2 '2 2 3 3+'3 '3+3 3 '3 3 '3 3 '3 3 19~21쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ①, ⑤ 1-1⑤ 1-210'3 1-3⑤ 핵심유형 2 2'∂21 cm2-12'∂10 cm 2-2② 2-3(3+3'3)cm 핵심유형 3 37.5 m 3-118 m 3-240 m 3-3⑤ 핵심유형 4 6(3-'3)m 4-175('3-1)m 4-26(3+'3)cm 4-330'3 m 핵심유형 5 16 cm¤ 5-1135˘ 5-2'2 cm¤ 5-312 cm 핵심유형 6 ③ 6-130˘ 6-212'3 cm¤ 6-34'3 cm 핵심유형1
AC”=AB”_sin 37˘=10 sin 37˘ ∠A=90˘-37˘=53˘이므로 AC”=AB”_cos 53˘=10 cos 53˘1
-1 ⑤ b=c cos에서1
-2 △DBC에서 ∠DBC=30˘이므로 x= =10÷ =10'31
-3 FG”=4 cos 30˘=4_ =2'3 (cm) GC”=4 sin 30˘=4_;2!;=2(cm) 따라서 직육면체의 부피는 2'3_3_2=12'3 (cm‹ ) 핵심유형2
△ADC에서 AD”=8_sin 60˘=8_ =4'3 (cm) CD”=8_cos 60˘=8_;2!;=4(cm) BD”=10-4=6(cm) △ABD에서 피타고라스 정리에 의해 AB”="√6¤ +(4'3)¤ =2'∂21 (cm)2
-1 ∠B=180˘-135˘=45˘ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 AH”=4_sin 45˘ AH”=4_ =2'2 (cm) BH”=4_cos 45˘=4_ =2'2 (cm) ∴ CH”=6'2-2'2=4'2 (cm) △AHC에서 AC”="√(4'2)¤ +(2'2)¤ =2'∂10 (cm)2
-2 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △BCH에서 CH”=10'2_sin 45˘ CH”=10'2_ =10(cm) ∠CAB=180˘-(45˘+75˘)=60˘이므로 △AHC에서 AC”= =10÷ = = (cm)2
-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AH”=6_sin 60˘ AH”=6_'3 =3'3 (cm) 2 A B 60©H 45© C 6`cm 20'3 3 20 '3 '3 2 CH” sin 60˘ '2 2 A H B 45© C 60© 75© 10'2`cm '2 2 '2 2 A B H C D 135© 6'2`cm 4`cm '3 2 '3 2 '3 3 10 tan 30˘ 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지05BH”=6_cos 60˘=6_;2!;=3(cm) △AHC에서 CH”=AH”=3'3 (cm) ∴ BC”=BH”+HC”=3+3'3 (cm) 핵심유형
3
직각삼각형 PAD에서 PD”=AD”_tan20˘=100_0.36=36(m)이므로 (건물의 높이)=PD”+CD”=36+1.5=37.5(m)3
-1 오른쪽 그림에서 AB”=6'3_tan 30˘ AB”=6'3_ =6(m) AC”= =6'3÷ =12(m) ∴ (나무의 높이)=AB”+AC”=6+12=18(m)3
-2 AC”= =20÷0.5=20_2=40(m)3
-3 오른쪽 그림에서 AC”= = AC”=8000(m) 따라서 비행기가 착륙하는 데 걸리는 시간은 8000÷200=40(초) 핵심유형4
AH”=h m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h (m) △AHC에서 ∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h (m) BC”=BH”+CH”이므로 12={1+ }h ∴ h= =6(3-'3)4
-1 AH”=h m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=45˘이므로BH”=h tan 45˘=h (m) △AHC에서 ∠CAH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3 h (m) BC”=BH”+CH”이므로 150=(1+'3)h ∴ h= 150 =75('3-1) '3+1 36 3+'3 '3 3 '3 3 2800 0.35 2800 sin 21˘ 2800`m 21© A B C 20 sin 28˘ '3 2 6'3 cos 30˘ '3 3 6'3`m 30© A B C
4
-2 AH”=h cm라 하면 ∠BAH=45˘, ∠CAH=30˘이므로BH”=h tan 45˘=h(cm) CH”=h tan 30˘= h(cm) h- h=12이므로 h=12 ∴ h= =6(3+'3)
4
-3 AH”=h m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3 h(m) △ACH에서 ∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h(m) BC”=BH”-CH”이므로 60={'3- }h ∴ h=60_ =30'3 핵심유형5
∠A=180˘-2_75˘=30˘이므로 (구하는 넓이)=;2!;_8¤ _sin 30˘ (구하는 넓이)=;2!;_64_;2!;=16(cm¤ )5
-1 ;2!;_6_8_sin (180˘-∠C)=12'2 sin (180˘-∠C)= 따라서 180˘-∠C=45˘이므로 ∠C=135˘5
-2 △ABC=;2!;_4_3_sin 45˘ △ABC=;2!;_4_3_ △ABC=3'2 (cm¤ ) ∴ △AGC=;3!;△ABC ∴ △AGC=;3!;_3'2 ∴ △AGC='2 (cm¤ )5
-3 ;2!;_8_BC”_sin 60˘=24'3이므로 ;2!;_8_BC”_ =24'3, 2'3_BC”=24'3 ∴ BC”=12 cm '3 2 '2 2 '2 2 3 2'3 '3 3 '3 3 36 3-'3 3-'3 3 '3 3 '3 3 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지06핵심유형
6
AC”와 BD”의 교점을 O라 하면 ∠BOC=180˘-(55˘+80˘)=45˘ ∴ ABCD=;2!;_7_6_sin 45˘ ∴ ABCD=;2!;_7_6_ ∴ ABCD= (cm¤ )6
-1 5_8_sin x=20, sin x=;2!; ∴ ∠x=30˘6
-2 ABCD=12_8_sin 60˘ ABCD=12_8_ =48'3 (cm¤ ) ∴ △AOD=;4!;_ ABCD ∴ △AOD=;4!;_48'3=12'3 (cm¤ )6
-3 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 서로 같으므로 AC”=BD” ;2!;_BD” ¤ _sin 45˘=12'2, ;2!;_BD” ¤ _ =12'2 BD”¤ =48 ∴ BD”=4'3 cm '2 2 '3 2 21'2 2 '2 20
1
원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 12_cos 60˘=12_;2!;=6(cm) 원뿔의 높이는 12_sin 60˘=12_'32 =6'3 (cm) 22~23쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02 m 03④ 04③ 052'∂19 06(2+2'3) m 0750('3+1) 08② 09④ 10② 118 cm 12③ 134 cm 14 7(1+'3) 1556'3 cm¤ 10(3+'3) 3 ∴ (부피)=;3!;_p_6¤ _6'3=72'3p(cm‹ )0
2
오른쪽 그림에서 DH”=10 tan 30˘=10_ = (m) EH”=10 tan 45˘=10_1=10(m) ∴ (B건물의 높이)=DH”+EH” ∴ (B건물의 높이)= (m)0
3
오른쪽 그림의 △OBH에서 OH”=50_cos 60˘ OH”=50_;2!;=25(cm)이므로 AH”=OA”-OH”=50-25=25(cm) 따라서 A지점과 B지점에서의 추의 높이의 차는 25 cm이다.0
4
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △AHC에서 AH”=3'2_sin 45˘=3'2_ =3, HC”=3'2_cos 45˘ HC”=3'2_ =3이므로 BH”=8-3=5 △ABH에서 AB”="√5¤ +3¤ ='∂340
5
꼭짓점 D에서 BC”의 연장선에 내린 수 선의 발을 H라 하면 ∠DCH=60˘, DC”=4이므로 △DCH에서 DH”=4_sin 60˘=4_ =2'3, CH”=4_cos 60˘=4_;2!;=2, BH”=6+2=8 △DBH에서 BD”="√8¤ +(2'3)¤ =2'∂190
6
꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 △BCH에서 BH”=2'2_cos 45˘ BH=2'2_ =2(m) CH”=2'2_sin 45˘=2'2_ =2(m) △ACH에서 ∠A=90˘-60˘=30˘이므로 '2 2 '2 2 B H C A 60© 45© 45© 2'2 m '3 2 A D B 6 4 C H 60© '2 2 '2 2 B B' A H O 50`cm 60© 60© 10(3+'3) 3 10'3 3 '3 3 C E H D 10`m 30© 45© A B H C 8 3'2 45© 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지07AH”= =2÷ =2'3(m) ∴ AB”=AH”+BH”=2+2'3 (m)
0
7
△ABC에서 ∠ACH=45˘△ACH에서 ∠CAH=45˘이므로 CH”=x tan 45˘=x(m) △ABH에서∠BAH=60˘이므로 BH”=x tan 60˘='3x(m) BC”=BH”-CH”이므로 '3x-x=100 ∴ x= =50('3+1)
0
8
△AHC에서 ∠ACH=45˘이므로 AH”=CH”_tan 45˘=CH” △CHB에서 ∠BCH=90˘-75˘=15˘이므로 BH”=CH”_tan 15˘ AB”=AH”+BH”이므로 50=CH”(1+tan 15˘) ∴ CH”=0
9
cos B=;2!;이므로 ∠B=60˘ ∴ △ABC=;2!;_8_10_sin 60˘ ∴ △ABC=;2!;_8_10_ =20'310
정육각형은 한 변의 길이가 2 cm인 6개의 합동인 정삼각형으로 나누어진다. ∴ (정육각형의 넓이)=6_{;2!;_2_2_sin 60˘} ∴ (정육각형의 넓이)=6_{;2!;_2_2_ }=6'3 (cm¤ )11
∠D=180˘-120˘=60˘이므로 AD”_6_sin 60˘=24'3, AD”_6_ =24'3 ∴ AD”=8 cm12
△ABC에서 AC”="√(2'5)¤ +4¤ =6이므로 ABCD=;2!;_6_6'3_sin 60˘ ABCD=;2!;_6_6'3_ =2713
△ABC=△ABD+△ADC이므로 ;2!;_12_6_sin (180˘-120˘) =;2!;_12_AD”_sin 60˘+;2!;_AD”_6_sin 60˘ '3 2 '3 2 '3 2 '3 2 50 1+tan 15˘ 100 '3-1 '3 3 2 tan 30˘ ;2!;_12_6_ =;2!;_12_AD”_ +;2!;_AD”_6_ 36=6AD”+3AD” ∴ AD”=4 cm14
[단계❶] △ABH에서 BH”=14_cos 60˘=14_;2!;=7 [단계❷] △AHC에서 CH”=7'6_cos 45˘=7'6_ =7'3 [단계❸] BC”=BH”+CH”=7+7'3=7(1+'3)15
AC”를 그으면 △ABC=;2!;_4'3_8_sin (180˘-150˘) △ABC=;2!;_4'3_8_;2!;=8'3 (cm¤ ) yy ❶ △ACD=;2!;_12_16_sin 60˘ △ACD=;2!;_12_16_ =48'3 (cm¤ ) yy ❷ ∴ ABCD=△ABC+△ACD ∴ ABCD=8'3+48'3=56'3 (cm¤ ) yy ❸ '3 2 '2 2 '3 2 '3 2 '3 2 ❶ △ABC의 넓이 구하기 ❷ △ACD의 넓이 구하기 ❸ ABCD의 넓이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ BH”의 길이 구하기 ❷ CH”의 길이 구하기 ❸ BC”의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지0824~25쪽 개・념・확・인 01⑴ 2 ⑵ 6 ⑶ 12 02⑴ 12 ⑵ 3 03⑴ 이등변삼각형 ⑵ 64˘ 04⑴ 10 ⑵ 12 05⑴ 3 ⑵ 6 ⑶ 4 ⑷ 26 06⑴ 8 ⑵ 10
03. 원과 직선
원의 성질
Ⅵ
0
1
⑶ x=2_"√10¤ -8¤ =2_6=120
3
⑴ OM”=ON”이므로 AB”=AC”이다. 따라서 △ABC는 이등변삼각형이다. ⑵ ∠A=52˘이므로 ∠B=;2!;_(180˘-52˘)=64˘0
4
⑵ 직각삼각형 PBO에서 피타고라스 정리에 의해 x="√13¤ -5¤ =120
5
⑷ 2_(3+4+6)=260
6
⑴ 7+5=4+x ∴ x=8 ⑵ 6+12=x+8 ∴ x=10 핵심유형1
AD”=;2!;AB”=15OA”=OC”=x라 하면 직각삼각형 OAD에서 OD”=x-9 피타고라스 정리에 의해 x¤ =(x-9)¤ +15¤ , 18x=306 ∴ x=17
1
-1 OA”=5 cm, AM”=;2!;AB”=4(cm)이므로 직각삼각형 OAM에서 x="√5¤ -4¤ =3 26~27쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 17 1-13 1-24'5 cm 1-310 핵심유형 2 6 2-112 cm 2-296˘ 2-316'3 cm¤ 핵심유형 3 55˘ 3-16 cm 3-24 cm 3-38 cm 핵심유형 4 8 cm 4-112 cm 4-23 cm 4-33 cm1
-2 OB”=OC”=4+2=6(cm)이므로 직각삼각형 OBM에서 BM”="√6¤ -4¤ =2'5 (cm) ∴ AB”=2BM”=4'5 (cm)1
-3 원의 반지름의 길이를 r라 하면 OA”=r, OD”=r-2이므로 직각삼각형 AOD에 서 r¤ =(r-2)¤ +6¤ , 4r=40 ∴ r=10 따라서 원의 반지름의 길이는 10이다. 핵심유형2
△OBM에서 BM”="√5¤ -4¤ =3 AB”=2BM”=6 ∴ CD”=AB”=62
-1 CN”=;2!;CD”=8(cm)이므로 △OCN에서 피타고라스 정 리에 의해 ON”="√10¤ -8¤ =6(cm) AB”=CD”이므로 OM”=ON”=6 cm ∴ OM”+ON”=6+6=12(cm)2
-2 OM”=ON”이므로 AB”=AC” 즉, △ABC는 이등변삼각형이다. ∴ ∠A=180˘-2_48˘=84˘ AMON에서 ∠MON=360˘-(90˘+84˘+90˘)=96˘2
-3 OD”=OE”=OF”이므로 AB”=BC”=AC” 즉, △ABC는 정삼각형이다. AB”=4+4=8(cm)이므로 △ABC의 넓이는 _8¤ =16'3 (cm¤ ) 핵심유형3
PA”=PB”이므로 △PBA는 이등변삼각형이다. ∴ ∠PAB=;2!;_(180˘-70˘)=55˘3
-1 오른쪽 그림에서 ∠PTO=90˘이므 로 원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 (r+4)¤ =r¤ +8¤ 8r=48 ∴ r=6 따라서 원 O의 반지름의 길이는 6 cm이다.3
-2 BD”=BE”, CF”=CE”이므로 AD”+AF”=AB”+BC”+CA”=9+7+8=24(cm) P A T O 4`cm 8`cm r`cm '3 4 r r-2 C D A B O 6 2 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지09AD”=AF”이므로 AF”=12 cm ∴ CF”=AF”-AC”=12-8=4(cm)
3
-3 CP”=AC”=3 cm, DP”=BD”=5 cm이므로 CD”=CP”+DP”=3+5=8(cm) 핵심유형4
AH”+4+9+CF”=13+8이므로 AH”+CF”=8 cm4
-1 BC” : CD”=3 : 2이므로 BC”=3x, CD”=2x라 하면 11+2x=7+3x ∴ x=4 ∴ BC”=3_4=12(cm)4
-2 AD”=x cm라 하면 AF”=x cm, BE”=BD”=(8-x) cm, CE”=CF”=(7-x) cm BC”=BE”+CE”이므로 9=(8-x)+(7-x) ∴ x=3 따라서 AD”의 길이는 3 cm이다.4
-3 OF”=BF”=4 cm이므로 CG”=CF”=BC”-BF”=11-4=7(cm) ∴ DH”=DG”=DC”-CG”=10-7=3(cm)0
1
AH”=BH”=4 cm이므로 직각삼각형 OAH에서 x="√4¤ +5¤ ='∂410
2
원의 반지름의 길이를 x cm라 하면AH”=2 cm, OA”=x cm, OH”=(5-x) cm이므로 △AOH에서 x¤ =2¤ +(5-x)¤
10x=29 ∴ x=2.9
따라서 원 O의 반지름의 길이는 2.9 cm이다.
0
3
OT”=OM”=6 cm, OT”⊥PQ”이므로 직각삼각형 OPT에서 28~29쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02③ 0316 cm 04③ 054'2 06④ 076'2 086'3 cm 098'6 cm 1013 cm 114 cm 12⑤ 137 cm 14:¡2£: cm 151 cm PT”="√10¤ -6¤ =8(cm) ∴ PQ”=2PT”=16(cm)0
4
점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH”=BH”이고 △OAH에서 OH”=4 cm이므로 AH”="√8¤ -4¤ =4'3 (cm) ∴ AB”=2AH”=8'3 (cm)0
5
OM”=ON”이므로 AB”=CD”=8 cm AM”=;2!;AB”=4 cm이므로 직각삼각형 AMO에서 x="√4¤ +4¤ =4'20
6
OM”=ON”이므로 AB”=AC” 즉, △ABC는 이등변삼각형이다. AMON에서 ∠A=180˘-150˘=30˘이므로 ∠ACB=;2!;_(180˘-30˘)=75˘0
7
원의 반지름의 길이가 3 cm이므로 PO”=6+3=9(cm), OA”=3 cm 직각삼각형 POA에서 x="√9¤ -3¤ =6'20
8
직각삼각형 AOF에서 AF”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm) ∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA” =AE”+AF”=2AF” =6'3 (cm)0
9
CD”=CP”+PD”=AC”+BD” CD=8+12=20(cm) 꼭짓점 C에서 BD”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 직각삼각형 CDH에서 DH”=12-8=4(cm)이므로 CH”="√20¤ -4¤ =8'6 (cm) ∴ AB”=CH”=8'6 cm10
AF”=AD”=4 cm, BE”=BD”=11-4=7(cm), CE”=CF”=10-4=6(cm)이므로 BC”=BE”+CE”=7+6=13(cm)11
BE”=x cm라 하면 BD”=x cm, AF”=AD”=(12-x) cm, CF”=CE”=(10-x) cm AC”=AF”+FC”이므로 8=(12-x)+(10-x) O C D B H A 12`cm 8`cm P A B O H 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지102x=14 ∴ x=7 따라서 BE”=7 cm, CF”=10-7=3(cm)이므로 BE”-CF”=7-3=4(cm)
12
5+9=6+CD”이므로 CD”=8 cm13
직각삼각형 ABC에서 BC”="√10¤ -6¤ =8(cm) AB”+CD”=AD”+BC”이므로 6+CD”=5+8 ∴ CD”=7 cm14
[단계❶] CM”의 연장선은 원의 중심 O를 지난다. 쇠구슬의 반지름의 길이를 r cm 라 하면 △OAM에서 OA”=r cm, OM”=(r-4) cm, AM”=BM”=6 cm이므로 r¤ =6¤ +(r-4)¤ [단계❷] 8r=52 ∴ r=:¡2£: 따라서 쇠구슬의 반지름의 길이는 :¡2£: cm이다.15
원 O의 반지름의 길이를 r cm라 하면 OECF는 정사각형이므로 CE”=CF”=r cm, BD”=BE”=(4-r) cm, AD”=AF”=(3-r) cm이다. yy ❶ 피타고라스 정리에 의해 AB”="√4¤ +3¤ =5(cm)이므로 AB”=BD”+AD”에서 5=(4-r)+(3-r) ∴ r=1 따라서 원 O의 반지름의 길이는 1 cm이다. yy ❷ O B E C A D F 3`cm 4`cm r`cm B C A O M04. 원주각
30~31쪽 개・념・확・인 01 ⑴ 60˘ ⑵ 150˘ ⑶ 40˘ 02 ⑴ 35˘ ⑵ 30˘ ⑶ 60˘ 03 ⑴ 3 ⑵ 36 ⑶ 56 04 ⑵, ⑶ 05 40˘0
1
⑴ ∠x=;2!;_120˘=60˘ ⑵ ∠x=2_75˘=150˘ ⑶ ∠x=;2!;_80˘=40˘0
2
⑶ ∠ACB=90˘이므로 ∠x=90˘-30˘=60˘0
3
⑶ 14 : x=2 : 8 ∴ x=560
4
⑶ ∠BAC=180˘-(65˘+75˘)=40˘ 즉, ∠BAC=∠BDC이므로 네 점 A, B, C, D가 한 원 위 에 있다.0
5
∠BAC=∠BDC=60˘이므로 △ABE에서 ∠x=100˘-60˘=40˘ ❶ 쇠구슬의 반지름의 길이를 r cm로 놓고 반지름의 길 이를 구하는 식 세우기 ❷ 쇠구슬의 반지름의 길이 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ 원 O의 반지름의 길이를 r cm로 놓고 BD”, AD”를 r로 나타내기 ❷ 원 O의 반지름의 길이 구하기 50 % 50 % 채점 기준 배점 핵심유형1
∠y=2_110˘=220˘ ∠BOC=360˘-220˘=140˘이므로 ∠x=;2!;_140˘=70˘ ∴ ∠x+∠y=70˘+220˘=290˘1
-1 ∠x=;2!;_(360˘-110˘)=125˘1
-2 AO”, BO”를 그으면 32~33쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 290˘ 1-1125˘ 1-2③ 1-3116˘ 핵심유형 2 30˘ 2-1③ 2-240˘ 2-3122˘ 핵심유형 3 35˘ 3-152˘ 3-2⑤ 3-375˘ 핵심유형 4 ⑤ 4-1ㄴ, ㄷ 4-2② 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지11∠AOB=180˘-∠APB=140˘ 호 AB에 대하여 ∠x=;2!;∠AOB=70˘
1
-3 OD”를 그으면 ∠AOD=2_28˘=56˘, ∠BOD=2_30˘=60˘ ∴ ∠AOB=56˘+60˘=116˘ 핵심유형2
∠ADC=90˘, ∠CAD=∠CBD=60˘이므로 ∠x=90˘-60˘=30˘2
-1 AF”를 그으면 ∠BAF=∠BDF=25˘, ∠CAF=∠CEF=35˘이므로 ∠x=25˘+35˘=60˘2
-2 호 AR에 대하여 ∠AQR=∠APR=50˘ ∠AQB=90˘이므로 ∠x=90˘-50˘=40˘2
-3 호 AB에 대하여 ∠ADB=∠ACB=36˘ △CPB에서 ∠CBD=50˘+36˘=86˘이므로 △QBD에서 ∠x=∠QBD+∠QDB=86˘+36˘=122˘ 핵심유형3
BC”를 그으면 ∠ACB=;1¡2;_180˘=15˘, ∠DBC=;9!;_180˘=20˘ 이므로 △PBC에서 ∠APB=∠ACB+∠DBC=15˘+20˘=35˘3
-1 μAC=μ BD이므로 ∠DCB=∠ABC=26˘ △PCB에서 ∠x=26˘+26˘=52˘3
-2 μAD : μ BC=3 : 1이므로 ∠CAB=;3!;∠ACD=;3!;_72˘=24˘ △ACP에서 ∠APD=72˘-24˘=48˘3
-3 원주각의 크기와 호의 길이는 정비례하고, 원주각의 크기의 합은 180˘이므로 ∠B=180˘_ =75˘ 핵심유형4
④ ∠BCA=180˘-(40˘+110˘)=30˘ ⑤ ∠ABD=180˘-(55˘+80˘)=45˘이므로 직선 AD에 대하여 ∠ABD+∠ACD 따라서 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있지 않다. 5 3+4+5 A P D C B4
-1 ㄱ. ∠ADB+∠ACB이므로 네 점이 한 원 위에 있지 않다. ㄴ. ∠BAC=90˘-40˘=50˘이므로 네 점이 한 원 위에 있다. ㄷ. ∠BDC=80˘-37˘=43˘이므로 네 점이 한 원 위에 있다. ㄹ. ∠ADB=180˘-(30˘+110˘)=40˘이므로 네 점이 한 원 위에 있지 않다. 따라서 네 점 A, B, C, D가 한 원 위에 있는 것은 ㄴ, ㄷ이다.4
-2 네 점이 한 원 위에 있으므로 ∠ADB=∠ACB=16˘, ∠DBC=78˘-16˘=62˘이므로 △DPB에서 ∠DPC=62˘-16˘=46˘0
1
∠AOB=2∠ACB=110˘ OA”=OB”이므로 ∠x=;2!;_(180˘-110˘)=35˘0
2
호 AB에 대하여 ∠AOB=2_50˘=100˘이므로 ∠AOD=100˘-60˘=40˘ 따라서 호 AD에 대하여 ∠x=;2!;_40˘=20˘0
3
오른쪽 그림에서 ∠AOB=2∠APB=60˘, AO”=BO”이므로 △AOB는 정삼각형이다. 따라서 공연장의 반지름의 길이는 8 m이고, 지름의 길이는 16 m이다.0
4
AO”, BO”를 그으면 ∠AOB=180˘-70˘=110˘이므로 ∠y=;2!;_110˘=55˘ ∠x=;2!;_(360˘-110˘)=125˘ ∴ ∠x-∠y=125˘-55˘=70˘0
5
∠x=∠CAD=18˘, △PBC에서 ∠y=68˘-18˘=50˘이므로 ∠y-∠x=50˘-18˘=32˘ 70æ O A B D C T x y 30æ 8`m O P A 무대 B 34~35쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01③ 02③ 0316 m 0470˘ 05③ 06② 0768˘ 082'∂15 09② 1024˘ 1140˘ 12⑤ 13① 1425˘ 1590˘ 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지120
6
∠ACB=90˘, ∠DCB=∠DAB=34˘이므로 ∠x=90˘-34˘=56˘0
7
AD”를 그으면 반원에 대한 원주각의 크기는 90˘이므로 ∠ADP=90˘ ∠PAD=90˘-56˘=34˘ 호 CD에 대하여 ∠x=2∠CAD=2_34˘=68˘0
8
오른쪽 그림의 직각삼각형 A'BC에서 tan A=tan A'= =2이므로=2 ∴ A'C”=2'3 피타고라스 정리에 의해 A'B”="√(4'3)¤ +(2'3)¤ =2'∂15 따라서 원 O의 지름의 길이는 2'∂15이다.
0
9
μAD : μ DB=1 : 2에서 ∠ACD=90˘_;3!;=30˘ μ AC : μ CB=2 : 3에서 ∠CAB=90˘_;5#;=54˘ △CAP에서 ∠APC=180˘-(30˘+54˘)=96˘이므로 ∠BPD=∠APC=96˘10
∠AED=90˘이므로 ∠DAE=90˘-50˘=40˘ μBC : μ DE=3 : 5이므로 ∠x : 40˘=3 : 5 ∴ ∠x=24˘11
∠ACD : ∠BAC=μAD : μ CB=1 : 2이고, △ACP에서 ∠ACD+∠BAC=60˘이므로 ∠BAC=;3@;_60˘=40˘12
①, ②, ④ ∠BAC+∠BDC이므로 네 점은 한 원 위에 있지 않 다. ③ ∠ABD+∠ACD이므로 네 점은 한 원 위에 있지 않다. ⑤ ∠ABD=180˘-(60˘+80˘)=40˘이고 ∠ABD=∠ACD=40˘이므로 네 점은 한 원 위에 있다.13
∠x=∠BAC=180˘-(60˘+80˘)=40˘ ∠ACB=∠ADB=50˘이므로 ∠y=80˘-50˘=30˘ ∴ ∠x-∠y=40˘-30˘=10˘ 4'3 A'C” BC” A'C” A A' O B C 56æ A O B C D P x14
[단계❶] AD”를 그으면 호 AC에 대하여 ∠ADC=;2!;∠AOC =;2!;_80˘ =40˘ [단계❷] 호 BD에 대하여 ∠DAB=;2!;∠DOB=;2!;_30˘=15˘ [단계❸] △ADP에서 ∠x=40˘-15˘=25˘15
∠ABC=2∠x, ∠BCD=7∠x라 하자. △BPC에서 ∠BCD=∠BPC+∠PBC이므로 7∠x=50˘+2∠x ∴ ∠x=10˘ yy ❶ ∠ADC=∠ABC=20˘, ∠BCD=70˘이므로 △CDQ에서 ∠BQD=20˘+70˘=90˘ yy ❷ x A C D P O B 30æ 80æ05. 원주각의 활용
36쪽 개・념・확・인 01 ⑴, ⑵ 02 ⑴ ∠x=50˘, ∠y=60˘ ⑵ ∠x=40˘, ∠y=110˘0
2
⑵ ∠y=∠BCA=180˘-(30˘+40˘)=110˘ ❶ ∠ABC=2∠x, ∠BCD=7∠x로 놓고 ∠x의 크 기 구하기 ❷ ∠BQD의 크기 구하기 50 % 50 % 채점 기준 배점 ❶ ∠ADC의 크기 구하기 ❷ ∠DAB의 크기 구하기 ❸ ∠x의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 37쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 288˘ 1-180˘ 1-2①, ③ 1-354˘ 핵심유형 2 225˘ 2-160˘ 2-2④ 2-3⑤ 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지1338~39쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01③ 0270˘ 0355˘ 04⑤ 0590˘ 06① 07⑤ 0860˘ 09④ 1030˘ 1150˘ 12① 13④ 148˘ 152'6 cm
0
1
AB”=AC”이므로 ∠ABC=;2!;_(180˘-38˘)=71˘ ABCD가 원에 내접하므로 ∠x=180˘-71˘=109˘0
2
△APB에서 ∠PAB=110˘-40˘=70˘ ABCD가 원에 내접하므로 ∠x=∠PAB=70˘0
3
ABCD가 원에 내접하므로 ∠QBC=∠ADC=∠x △PCD에서 ∠PCQ=∠CPD+∠PDC=30˘+∠x △BQC에서 40˘+(30˘+∠x)+∠x=180˘ ∴ ∠x=55˘0
4
ABQP가 원에 내접하므로 ∠APQ=180˘-80˘=100˘ PQCD가 원에 내접하므로 ∠x=∠APQ=100˘0
5
BD”를 그으면 ∠CBD=;2!;_60˘=30˘ ∠ABD=120˘-30˘=90˘ 즉, 90˘+∠x=180˘이므로 ∠x=90˘0
6
항상 원에 내접하는 사각형은 직사각형, 정사각형, 등변사다리꼴 이다.0
7
② ∠BCD=180˘-(40˘+30˘)=110˘ ∴ ∠A+∠C=70˘+110˘=180˘ 따라서 원에 내접한다. ⑤ ∠B+∠D=95˘+95˘=190˘ 따라서 원에 내접하지 않는다.0
8
BA”=BT”이므로 ∠BAT=40˘ △BAT에서 ∠CBA=40˘+40˘=80˘ 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠ACB=∠BAT=40˘ △ABC에서 ∠CAB=180˘-(80˘+40˘)=60˘0
9
접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠ADB=∠BAT=32˘ △ABD에서 ∠DAB=180˘-(28˘+32˘)=120˘이므로 ∠x=180˘-120˘=60˘10
PT”=TB”이므로 ∠PBT=∠BPT=∠x AT”를 그으면 ∠ATP=∠ABT=∠x A T B P O x A E D C O B 120© x 60© 핵심유형1
∠x=180˘-108˘=72˘, ∠y=2_108˘=216˘이므로 ∠x+∠y=72˘+216˘=288˘1
-1 ∠BAD=;2!;_160˘=80˘ ∴ ∠x=∠BAD=80˘1
-3 ABCD가 원에 내접하므로 ∠BCP=∠x △QAB에서 ∠CBP=∠x+32˘ △CBP에서 ∠x+32˘+∠x+40˘=180˘, 2∠x=108˘ ∴ ∠x=54˘ 핵심유형2
∠x=∠CAT=75˘, ∠y=2∠x=150˘ ∴ ∠x+∠y=75˘+150˘=225˘2
-1 AT”를 그으면 ∠ATB=90˘, ∠BAT=75˘이므로 ∠ABT=90˘-75˘=15˘ ∠ATP=∠ABT=15˘이므로 △APT에서 ∠APT=75˘-15˘=60˘2
-2 ∠BAP=∠BPT=60˘, ∠ABP=90˘이므로 ∠APB=30˘ 직각삼각형 APB에서 BP”=12 sin 60˘=12_ =6'3 (cm)2
-3 BD”=BE”이므로 ∠BED=;2!;_(180˘-46˘)=67˘ 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠DFE=∠BED=67˘ △DEF에서 ∠x=180˘-(50˘+67˘)=63˘ '3 2 B P A T O 75© 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.9 11:54 AM 페이지14△APT에서 ∠BAT=2∠x △ATB에서 2∠x+∠x=90˘이므로 ∠x=30˘
11
ABCD가 원에 내접하므로 ∠BCD=180˘-80˘=100˘ △BCD에서 ∠CBD=180˘-(30˘+100˘)=50˘ 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠x=∠CBD=50˘12
∠DEC=∠EDC=∠EFD=52˘이므로 ∠ECD=180˘-(52˘+52˘)=76˘ ∴ ∠x=180˘-(54˘+76˘)=50˘13
왼쪽 원에서 ∠CPT'=∠PAC=80˘ 오른쪽 원에서 ∠BPT'=∠BDP=55˘ ∴ ∠x=180˘-(80˘+55˘)=45˘14
△OBC에서 ∠x=180˘-2_24˘=132˘ yy ❶ ∠BDC=;2!;∠BOC=;2!;_132˘=66˘이므로 ∠y=∠ADC=58˘+66˘=124˘ yy ❷ ∴ ∠x-∠y=8˘ yy ❸15
∠AHT=∠ATB=90˘, ∠ATH=∠ABT이므로 △AHTª△ATB (AA 닮음) yy ❶ 4：AT”=AT”：10이므로 AT”¤ =40 ∴ AT”=2'∂10 (cm) yy ❷ ∴ HT”="√(2'∂10)¤ -4¤ =2'6 (cm) yy ❸ ❶ ∠x의 크기 구하기 ❷ ∠y의 크기 구하기 ❸ ∠x-∠y의 크기 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 닮음인 삼각형 보이기 ❷ AT”의 길이 구하기 ❸ HT”의 길이 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점통계
Ⅶ
06. 대푯값
40~41쪽 개・념・확・인 019시간 027.5권 03245 mm, 250 mm 0421.5건, 33건 42~43쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 40 1-130회 1-289점 1-32시간, 3시간, 승환 핵심유형 2 25점 2-1ㄱ, ㄴ 2-2① 2-330 2-4② 2-5① 2-6② 2-714, 15, 16 핵심유형 3 ③ 3-190 cm 3-2축구, 야구 3-3치킨 핵심유형1
(평균)= (평균)= =35(분) x+205=245 ∴ x=401
-1 (평균)= 33+24+32+25+365 =1505 =30(회) x+205 7 36+24+30+23+x+42+50 70
1
(평균)= =:∞6¢:=9(시간)0
2
작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14이다. 따라서 중앙값은 5번째와 6번째 값의 평균인 =7.5(권) 이다.0
3
245 mm와 250 mm는 각각 3명, 235 mm는 2명, 그 이외는 1명 이므로 최빈값은 245 mm, 250 mm이다.0
4
(중앙값)= =21.5(건) (최빈값)=33건 21+22 2 7+8 2 7, 8, 12+8+10+7+6+11 6 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.9 11:54 AM 페이지1544~45쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01③ 02④ 03② 04③ 05② 06③ 07③ 08② 097권 10② 11⑤ 12① 138 146권 15평균 : 4.7명, 중앙값 : 4.5명, 최빈값 : 4명
0
1
③ 대푯값으로 평균을 주로 쓰지만 극단적인 값이 있을 경우는 중앙값, 선호도 조사와 같은 경우는 최빈값을 쓴다.0
2
④ 120과 같이 다른 변량에 비해 매우 큰 값이 있으므로 평균을 대푯값으로 사용하기에 적절하지 않다.0
3
=12이므로 a+b+c+d+e=60 ∴ = =98=14 7 60+38 7 a+b+c+d+e+22+16 7 a+b+c+d+e 52
-7 조건 ㈎에서 =20이므로 중앙값이 20이 되기 위 해서는 n…16 yy ㉠ 조건 ㈏에서 중앙값이 14가 되기 위해서는 næ14 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 14…n…16이므로 자연수 n의 값은 14, 15, 16 이다. 핵심유형3
최빈값이 12회이므로 (평균)= = =12 73+x=84 ∴ x=113
-1 최빈값은 가장 많이 나온 90 cm이다.3
-2 축구, 야구를 좋아하는 학생이 각각 3명이므로 최빈값은 축 구, 야구이다.3
-3 4+5+6+3+x+5=30이므로 23+x=30 ∴ x=7 따라서 주어진 표에서 학생 수가 가장 많은 것은 치킨이므로 최빈값은 치킨이다. 73+x 7 8+12_3+14+15+x 7 16+24 21
-2 (3회까지의 총점)=77_3=231(점) 4회째의 점수를 x점이라고 하면 æ80 231+xæ320 ∴ xæ89 따라서 4회째의 시험에서 89점 이상을 받아야 한다.1
-3 다현： = =2(시간) 승환： = =3(시간) 따라서 승환이의 평균 인터넷 사용 시간이 더 많다. 핵심유형2
(평균)= = =24 116+x=144 ∴ x=28 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 19, 20, 24, 26, 27, 28 ∴ (중앙값)= =25(점)2
-1 ㄷ. 자료의 개수가 짝수 개이면 중앙값은 자료 중에 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.2
-2 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 50, 80, 94, 115, 120, 136, 150, 210, 230, 240 ∴ (중앙값)= =128(mm)2
-3 (중앙값)= =32, x+34=64 ∴ x=302
-4 학생 수가 20명이므로 중앙값은 10번째와 11번째 값의 평 균이다. ∴ (중앙값)= =2.5(편)2
-5 중앙값은 3번째 값인 16이므로 평균도 16이다. (평균)= = =16 61+x=80 ∴ x=192
-6 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 중앙값이 12분이 므로 가 된다. 여기에 18분인 학생이 들어오면 또는 이다. ∴ (중앙값)=12+162 =14(분) 18 16 12 18 16 12 16 12 61+x 5 12+15+16+18+x 5 2+3 2 x+34 2 120+136 2 24+26 2 116+x 6 24+19+26+x+20+27 6 21 7 7+3+1+2+1+1+6 7 14 7 3+2+1+2+1+3+2 7 231+x 4 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지160
4
a를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10, 14, 19 이때 4개의 변량의 중앙값이 15이므로 a는 14와 19 사이에 있 어야 한다. 즉, 4개의 변량을 크기순으로 나열하면 10, 14, a, 19이므로 =15 ∴ a=160
5
x점을 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 86, 88, 92 중앙값이 90점이고 =90이므로 xæ92 yy ㉠ 평균이 90점 미만이므로 <90, 266+x<360 ∴ x<94 yy ㉡ ㉠, ㉡에서 92…x<94이므로 자연수 x는 92, 93의 2개이다.0
6
주어진 5개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 54, 55, 58, 68, 75이다. 6개의 변량의 중앙값이 60이므로 x는 58과 68 사이에 있다. 즉, =60 ∴ x=620
7
최빈값이 25이므로 x=25 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 20, 22, 23, 25, 25, 27이므로 중앙값은 =240
8
가족 수가 5명인 학생 수가 3명이고, 가족 수가 4명인 학생 수 가 2명이므로 a=4이면 최빈값이 4명, 5명이 된다. 따라서 a의 값은 4가 될 수 없다.0
9
(평균)= (평균)= =6(권) 100+5x=6(16+x), 100+5x=96+6x ∴ x=4 따라서 주어진 표에서 학생 수가 가장 많은 것은 7권이므로 최 빈값은 7권이다.10
최빈값은 86점이므로 (평균)=86+1=87(점) (평균)= =87에서 519+a+b=696 ∴ a+b=17711
(중앙값)= =31(살), 최빈값은 16살이므로 m=31, n=16 ∴ m+n=31+16=47 28+34 2 94+86+a+77+86+b+90+86 8 100+5x 16+x 4_3+5_x+6_5+7_6+8_2 3+x+5+6+2 23+25 2 58+x 2 86+92+x+88 4 88+92 2 14+a 212
(평균)= = =6.6 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 (중앙값)= =6.5, (최빈값)=6이므로 A=6.6, B=6.5, C=6 ∴ A>B>C13
m, n을 제외한 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 3, 3, 5, 7이고 5<m<n이므로 중앙값은 5이다. 또, m+n이므로 m, n의 값에 관계없이 최빈값은 3이다. 따라서 중앙값과 최빈값의 합은 5+3=814
[단계❶] 평균이 6권이므로 = =6 22+a+b=36 ∴ a+b=14[단계❷] a+b=14와 b-a=4를 연립하여 풀면 a=5, b=9 [단계❸] 주어진 자료를 작은 값부터 차례로 나열하면 2, 5, 5, 7, 8, 9이므로 중앙값은 =6(권)
15
(평균)= (평균)= =4.7(명) yy ❶ 자료의 변량을 작은 값부터 순서대로 나열할 때, 중앙값은 10번 째와 11번째 값의 평균이므로 =4.5(명) yy ❷ 또 최빈값은 4명이다. yy ❸ 4+5 2 94 20 3_2+4_8+5_5+6_4+7_1 20 5+7 2 22+a+b 6 5+2+a+8+7+b 6 6+7 2 66 10 8+4+7+6+9+6+7+8+5+6 10 ❶ a+b의 값 구하기 ❷ a, b의 값 구하기 ❸ 중앙값 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 평균 구하기 ❷ 중앙값 구하기 ❸ 최빈값 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지17핵심유형
1
(편차)=(변량)-(평균)이므로 4=62-(평균) ∴ (평균)=58(kg) 편차의 합은 0이므로 4+(-2)+b+2+(-3)=0 ∴ b=-1 a-58=-1 ∴ a=57 c-58=-3 ∴ c=55 ∴ a+b+c=57+(-1)+55=1111
-1 편차의 합은 0이므로 4+(-1)+3+x+(-5)+1=0 ∴ x=-21
-2 편차의 합은 0이므로 (-2)_3+(-1)_2+0_5+1_4+2_x=0 2x=4 ∴ x=21
-3 편차의 합은 0이므로 -3+0+x+(x+2)+(x-5)=0, 3x-6=0 ∴ x=2 따라서 학생 C의 성적은 75+2=77(점) 핵심유형2
=3이므로 a+b+c+d=12 =13이므로 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ =52 ∴ (분산) ∴= ∴= ∴= =42
-1 편차의 합은 0이므로 (-4)+2+(-1)+x+(-2)=0 ∴ x=5 ∴ (분산)= ∴ (분산)= =102
-2 (평균)= = =7(건) (분산)= (분산)= ∴ (표준편차)=Æ…547 =3'∂427 (건) 54 7 (-5)¤ +(-2)¤ +2¤ +(-1)¤ +2¤ +4¤ +0¤ 7 49 7 2+5+9+6+9+11+7 7 50 5 (-4)¤ +2¤ +(-1)¤ +5¤ +(-2)¤ 5 52-6_12+36 4 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -6(a+b+c+d)+9_4 4 (a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ +(d-3)¤ 4 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ 4 a+b+c+d 4 48~49쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ③ 1-1② 1-2② 1-377점 핵심유형 2 ④ 2-1⑤ 2-2 건 2-3① 2-4⑤ 2-52'1å0 2-612, 16 핵심유형 3 ⑤ 3-1⑤ 3-2ㄱ, ㄷ 3'4å2 707. 산포도
46~47쪽 개・념・확・인 017, 풀이 참조 02 ⑴ -4 ⑵ 151 cm 03⑴ 10회 ⑵ 풀이 참조 ⑶ 8 ⑷ 2'2회 04'6점 052반0
1
(평균)= = =70
2
⑴ 편차의 총합은 0이므로 2+(-3)+x+(-1)+6=0 ∴ x=-4 ⑵ (C의 키)-155=-4 ∴ (C의 키)=151(cm)0
3
⑴ (평균)= = =10(회) ⑶ (분산)= = =8 ⑷ (표준편차)='8=2'2 (회)0
4
(평균)= = =84(점) (분산)= {(81-84)¤ +(88-84)¤ +(82-84)¤ +(85-84)¤ +(84-84)¤ } (분산)= =6 ∴ (표준편차)='6 (점)0
5
표준편차가 작을수록 자료의 분포 상태가 고르다. 30 5 1 5 420 5 81+88+82+85+84 5 40 5 1+1+4+25+9 5 ⑵ 50 5 11+9+12+5+13 5 42 6 8+6+12+7+5+4 6 8 6 12 7 5 4 1 -1 5 0 -2 -3 변량 편차 1 -1 2 -5 3 1 1 4 25 9 편차(회) (편차)¤ A B C D E 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지182
-3 (평균)= = =7(권) (분산)= (분산)= =1.22
-4 ① 편차가 음수이므로 국어 성적은 평균보다 낮다. ② 사회 성적의 편차가 0이므로 5개 과목의 성적의 평균은 사회 성적과 같다. ∴ (평균)=85(점) ③ 편차의 총합이 0이므로 (-3)+1+y+(-1)+0=0 ∴ y=3 ④ x-85=1이므로 x=86 ⑤ (분산)= = =4 ⑤이므로 표준편차는 '4=2(점)2
-5 남학생과 여학생의 평균이 같으므로 전체 평균도 75점이다. 남학생과 여학생의 분산이 각각 8¤ =64, (2'2)¤ =8이므로 편차의 제곱의 합은 각각 64_20=1280, 8_15=120 (전체 35명의 분산)= = =40이므로 (전체 35명의 표준편차)='ß40=2'ß10(점)2
-6 변량 a, b, c에 대하여 =6, =4 변량 2a, 2b, 2c에 대하여 (평균)= = =2_6=12 (분산)= (분산)= (분산)=2¤ _4=16 [다른 풀이]변량 2a, 2b, 2c는 변량 a, b, c의 각 변량에 2를 곱한 값이므로 (평균)=2_6=12, (분산)=2¤ _4=16 핵심유형3
ㄱ, ㄹ. 최고 또는 최저 득점자는 어느 반에 있는지 알 수 없다. ㄴ. 편차의 합은 항상 0이다. ㄷ. 4반의 표준편차가 가장 작으므로 학생들의 성적이 가장 고르게 분포되어 있다. 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.3
-1 변량들이 평균으로부터 가장 멀리 퍼져 있는 것을 찾으면 ⑤이다. 2¤ {(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ } 3 (2a-12)¤ +(2b-12)¤ +(2c-12)¤ 3 2(a+b+c) 3 2a+2b+2c 3 (a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ 3 a+b+c 3 1400 35 1280+120 35 20 5 (-3)¤ +1¤ +3¤ +(-1)¤ +0¤ 5 12 10 (-2)¤ _1+(-1)¤ _2+0¤ _4+1¤ _2+2¤ _1 10 70 10 5_1+6_2+7_4+8_2+9_1 103
-2 이룸이의 성적에서 (평균)= =70(점) (표준편차)= (표준편차)='∂250=5'∂10(점) 민국이의 성적에서 (평균)= =70(점) (표준편차)=æ≠ (표준편차)=æ– = (점) ㄷ. 민국이의 성적의 표준편차가 이룸이의 성적의 표준편차 보다 작으므로 성적이 더 고르다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 5'2 2 50 4 (-5)¤ +0¤ +0¤ +5¤ 4 65+70+70+75 4 (-20)¤ +10¤ +(-10)¤ +20¤ 4 50+80+60+90 4 æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠≠ ≠ ≠0
1
① (편차)=(변량)-(평균) ③ 산포도가 작을수록 자료가 고르게 분포되어 있다. ④ 산포도가 클수록 변량은 평균을 중심으로 넓게 흩어져 있다. ⑤ 편차는 산포도가 아니다.0
2
자료가 평균에 가장 밀집되어 있는 것은 A이므로 산포도가 가 장 작은 것은 A이다. 자료가 평균으로부터 떨어져 있는 것은 C 이므로 산포도가 가장 큰 것은 C이다.0
3
(평균)= = =47 ∴ (분산)= ∴ (분산)= =100
4
(평균)= = =6(시간)이므로 (분산)= = =5 ∴ (표준편차)='5(시간) 20 4 1¤ +(-3)¤ +(-1)¤ +3¤ 4 24 4 7+3+5+9 4 60 6 0¤ +(-1)¤ +(-3)¤ +5¤ +3¤ +(-4)¤ 6 282 6 47+46+44+52+50+43 6 50~51쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 02② 03① 04① 05① 06⑤ 07⑤ 0848 09④ 10ㄱ, ㄷ 11④ 12③ 13'∂14 1484 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지19∴ ab=48
0
9
남학생과 여학생의 편차의 제곱의 총합은 각각 7_16=112, 10_14=140 따라서 전체 30명에 대한 편차의 제곱의 총합은 112+140=252 ∴ (분산)= =8.410
ㄱ. E의 편차가 0점이므로 E의 점수는 평균과 같다. ㄴ. 평균을 m점이라고 하면 A의 점수는 (m-2)점, B의 점수 는 (m-1)점이므로 A, B의 점수의 차는 1점이다. ㄷ. (분산)= =;;¡5º;;=2 ㄹ. 점수가 가장 높은 학생은 D이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.11
표준편차는 자료가 평균을 중심으로 흩어진 정도를 나타내므로 A, C의 표준편차는 같고, B의 표준편차는 A, C의 표준편차보 다 크다. ∴ a=c<b12
③ B반의 평균이 더 높지만 성적은 더 고르지 않다.13
[단계❶] 자료 A의 평균과 자료 A, B를 섞은 전체 자료의 평 균이 같으므로 자료 B의 평균도 5이다. [단계❷] 자료 A의 6개의 변량에 대한 편차의 제곱의 합은 6_4=24이고 [단계❷] 자료 A, B를 섞은 10개의 변량에 대한 편차의 제곱의 합은 10_8=80이다. [단계❷] 따라서 자료 B의 4개의 변량에 대한 편차의 제곱의 합은 80-24=56이므로 [단계❷] 자료 B의 분산은 ;;∞4§;;=14이다. [단계❸] 따라서 자료 B의 표준편차는 '∂14이다.14
=5이므로 a+b+c=15 yy ❶ =3이므로 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ =9 a¤ +b¤ +c¤ -10(a+b+c)+3_5¤ =9 4(a-5)¤ +4(b-5)¤ +4(c-5)¤ 12 4a+4b+4c 12 (-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤ 5 252 30 ❶ 자료 B의 평균 구하기 ❷ 자료 B의 분산 구하기 ❸ 자료 B의 표준편차 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점0
5
(평균)= =6이므로 a= ='8=2'2 (평균)= =6이므로 b= b='8=2'2 ∴ ab=80
6
(평균)= (평균)= =13(분) (분산)= {(5-13)¤ _2+(10-13)¤ _3+(15-13)¤ _3 +(20-13)¤ _1+(25-13)¤ _1} (분산)= =360
7
=5이므로 a+b+c+d+e=25 =10 이므로 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ =50 (평균)= (평균)= (평균)= = =9 이므로 (분산)= (분산)= (분산)= =400
8
=10이므로 a+b=14 yy ㉠ ;5!; {(12-10)¤ +(a-10)¤ +(b-10)¤ +(15-10)¤ +(9-10)¤ } =('1å0)¤ a¤ +b¤ -20(a+b)+230=50 ∴ (a+b)¤ -2ab-20(a+b)+180=0 yy ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 14¤ -2ab-20_14+180=0, 2ab=96 12+a+b+15+9 5 4_50 5 4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ } 5 (2a-1-9)¤ +(2b-1-9)¤ +(2c-1-9)¤ +(2d-1-9)¤ +(2e-1-9)¤ 5 45 5 2_25-5 5 2(a+b+c+d+e)-5 5 (2a-1)+(2b-1)+(2c-1)+(2d-1)+(2e-1) 5 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ 5 a+b+c+d+e 5 360 10 1 10 130 10 5_2+10_3+15_3+20_1+25_1 10 (-4)¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +(-2)¤ +0¤ +0¤ +2¤ +2¤ +4¤ +4¤ 10 2+2+4+4+6+6+8+8+10+10 10 (-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤ 5 2+4+6+8+10 5 æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠≠ ≠ æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.5 3:48 PM 페이지20a¤ +b¤ +c¤ -10_15+3_5¤ =9 ∴ a¤ +b¤ +c¤ =84 yy ❷ ❶ a+b+c의 값 구하기 ❷ a¤ +b¤ +c¤ 의 값 구하기 40 % 60 % 채점 기준 배점
08. 상관관계
52쪽 개・념・확・인 01 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 양의 상관관계0
1
⑴ x축을 1차 점수, y축을 2차 점수로 하여 순서쌍 (7, 7), (9, 10), (7, 9), (9, 9), (6, 6), (8, 9), (8, 8), (10, 9), (8, 7), (7, 8)을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그 림과 같다. 2 차 점 0 6 7 8 9 10 x y 6 8 7 9 10 1차(점) ( ) 53쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ② 1-1① 1-2ㄴ, ㄷ 핵심유형 2 ⑴ 45점 ⑵ 7명 ⑶ 6명 2-1⑤ 2-220% 핵심유형1
① 산이 높을수록 정상에서의 기온이 내려가므로 음의 상관 관계이다. ② 운동을 많이 할수록 심장 박동이 빨라지므로 양의 상관관 계이다. ③ 배추 생산량이 많을수록 가격이 내려가므로 음의 상관관 계이다. ④ 겨울철 기온이 낮을수록 난방비가 많이 나오므로 음의 상 관관계이다. ⑤ 상관관계가 없다.1
-1 하루 관람객 수가 많을수록 입장료 총액이 많아지므로 양의 상관관계가 있다. ①은 양의 상관관계, ③은 음의 상관관계, ②, ④, ⑤는 상관 관계가 없다.1
-2 ㄱ. 양의 상관관계 ㄴ, ㄷ. 상관관계가 없다. 핵심유형2
⑵ 국어 성적이 사회 성 적과 같은 학생은 오 른쪽 위로 향하는 대 각선 위의 점의 개수 와 같으므로 7명이다. ⑶ 사회 성적이 국어 성 적보다 좋은 학생은 오른쪽 위로 향하는 대각선의 아래쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 6명이다.2
-2 수학 성적과 과학 성적이 모두 80점 이상인 학생 수는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 점의 개수와 같으므로 3명이다. ∴ ;1£5;_100=20(%) 100 x y 80 100 60 40 40 0 60 80 과 학 점 수학(점) ( ) 100x y 80 90 100 70 60 50 40 40 0 50 60 70 80 90 사회(점) 국 어 점( ) 54~55쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01④ 02④ 03ㄴ, ㄹ 04② 05③ 06③ 07③ 08④ 09② 10② 11⑴ 8명 ⑵ 25% 12⑴ 32% ⑵ 12명0
1
두 변량 사이에 양의 상관관계가 있는 산점도를 찾는다. ①, ②, ③：상관관계가 없다. ④ 양의 상관관계 ⑤ 음의 상관관계0
2
①, ⑤：양의 상관관계 ②, ③：상관관계가 없다. ④ 음의 상관관계0
3
ㄱ. 키가 클수록 앉은키도 크므로 양의 상관관계이다. ㄷ. 자동차 수가 늘어날수록 대기오염이 심해지므로 양의 상관 관계이다. ㄴ, ㄹ. 상관관계가 없다.0
5
③ 도시 A는 도시 C보다 운행된 자동차 수에 비해 대기오염도 가 높다. 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.10 10:34 AM 페이지210
6
② 수학 성적과 영어 성적이 같은 학 생 수는 오른쪽 위로 향하는 대각 선 위의 점의 개수와 같으므로 5 명이다. ③ 수학 성적이 영어 성적보다 좋은 학생 수는 오른쪽 위로 향하는 대 각선의 아래쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 6명이다. ④ 수학 성적이 80점인 학생들의 영어 성적의 평균은 =70(점)0
7
기말고사 성적이 중간고사 성적보다 향상된 학생 수는 오른쪽 위로 향하는 대각선의 위쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 3명 이다.0
8
중간고사 성적이 60점 이상 80점 이하인 학생 수는 오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 점의 개수와 같으므 로 8명이다.0
9
국어 성적이 90점 이상인 학생이 읽은 책의 권 수는 각각 11권, 12권, 13권, 14권이므로 최소한 11권은 읽었다.10
일년 동안 읽은 책이 9권 이하인 학 생 수는 오른쪽 그림에서 색칠한 부 분의 점의 개수와 같으므로 5명이다. ∴ (평균) ∴= ∴= =54(점)11
⑴ 수학 성적과 영어 성적의 점 수 차가 10점 이상인 학생 수는 오른쪽 그림에서 색칠 한 부분의 점의 개수와 같으 므로 8명이다. yy ❶ ⑵ 수학 성적과 영어 성적이 같 은 학생 수는 오른쪽 위로 향하는 대각선 위의 점의 개 수와 같으므로 5명이다. yy ❷ ∴205 _100=25(%)yy ❸ 100 80 90 100y x 70 60 50 0 50 60 70 80 90 영 어 점 수학(점) ( ) 270 5 40_2+50+60+80 5 14x y 80 90 100 70 60 50 40 8 0 10 12 책(권) 국 어 점( ) 100x y 80 100 60 40 40 0 60 80 중간고사(점) 기 말 고 사 점( ) 60+70+80 3 100x y 80 100 60 40 40 0 60 80 영 어 점 수학(점) ( )12
⑴ 작년보다 올해 친 홈런의 개수가 많은 선수 수는 오른쪽 위로 향 하는 대각선의 위쪽에 있는 점의 개수와 같으므로 8명이다. yy ❶ ∴ _100=32(%) yy ❷ ⑵ 작년과 올해 친 홈런의 개수의 합이 40개 이상인 선수 수는 오 른쪽 그림의 색칠한 부분에 속하 는 점의 개수와 같으므로 12명 이다. yy ❸ 25 30 20 15 10 5 5 0 10 15 20 25 30 올 해 홈 런 개 작년 홈런 (개) x y ( ) 8 25 25 30 20 15 10 5 5 0 10 15 20 25 30 올 해 홈 런 개 작년 홈런 (개) x y ( ) ❶ ⑴의 답 구하기 ❷ ⑵에 해당하는 학생 수 구하기 ❸ ⑵의 답 구하기 50 % 30 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ ⑴에 해당하는 학생 수 구하기 ❷ ⑴의 답 구하기 ❸ ⑵의 답 구하기 30 % 20 % 50 % 채점 기준 배점 해(01-22)실전서3-하(Ⅴ-Ⅶ) 2019.9.6 3:42 PM 페이지220
8
△DAC에서 cos 30˘= 이므로 = ∴ AC”=10'3 cm △ABC에서 sin 30˘= 이므로 ;2!;= ∴ BC”=5'3 cm0
9
∠B= _180˘=60˘이므로 + = + + = + + ='310
sin 50˘= =AB”, ∠OAB=90˘-50˘=40˘ ∴ cos 40˘= =AB”11
② A의 값이 커질수록 cos A의 값은 감소한다.12
∠C=90˘-62˘=28˘이므로 sin 28˘= =∴ AC”= = =42.6(cm)
13
cos 45˘_tan 0˘+sin 45˘_cos 90˘+sin 90˘= _0+ _0+1=1
14
[단계❶] 피타고라스 정리에 의해 AB”="√13¤ -12¤ =5 [단계❷] △ABCª△HBA(AA 닮음)이므로 ∠BCA=∠BAH=x △ABCª△HAC(AA 닮음)이므로 ∠CBA=∠CAH=y[단계❸] △ABC에서 cos x=cos C= =;1!3@;, cos y=cos B= =;1∞3;이므로 [단계❹] cos x+cos y=;1!3@;+;1∞3;=;1!3&;
AB” BC” AC” BC” '2 2 '2 2 20 0.4695 20 sin 28˘ 20 AC” AB” AC” AB” OA” AB” OA” '3-1 2 '3+1 2 1 '3+1 1 '3-1 1 tan 60˘+1 1 tan 60˘-1 2 1+2+3 BC” 10'3 BC” 10'3 AC” 20 '3 2 AC” 20 58`~`59쪽 01. 삼각비의 값 01⑤ 02③ 037 04① 05④ 06④ 07④ 08③ 09'3 10① 11② 1242.6 cm 13④ 14;1!3&; 15;6!;p-'38
0
1
AC”="√3¤ -2¤ ='5 ∴ tan A= = =0
2
sin B= 이므로 = ∴ AC”=2'2 ∴ BC”="√6¤ -(2'2)¤ =2'70
3
△ABC에서 AC”="√20¤ -16¤ =12 ∴ sin x=;2!0@;=;5#;△ADC에서 cos y=;5#;이므로 AD”=5a, CD”=3a라 하면 (5a)¤ =(3a)¤ +12¤ , 16a¤ =144, a¤ =9 ∴ a=3 즉, CD”=3_3=9이므로 BD”=16-9=7
0
4
△CEG에서 CE”=4'3, EG”=4'2이므로cos x= = =
0
5
x절편은 -2, y절편은 4이므로 (직선의 기울기)=;2$;=2 ∴ tan a=20
6
A=;2!;- , B= +1이므로 A¤ +B¤ ={;2!;- }¤ +{ +1}¤ =;;¡4¡;;+0
7
30˘<30˘+x<90˘이고, sin 60˘= 이므로 30˘+x=60˘ ∴ x=30˘ ∴ cos 30˘= _'3 =1 2 2 '3 2 '3 '3 2 '3 2 '3 2 '3 2 '3 2 '3 2 '6 3 4'2 4'3 EG” CE” '2 3 AC” 6 '2 3 2'5 5 2 '5 BC” AC”내신만점도전편
정답 및 풀이
해(23-40)실전서3-하(워크) 2019.9.5 3:49 PM 페이지230
3
오른쪽 그림의 △OBH에서 OH”=20_cos 45˘ OH”=20_ =10'2 (cm) ∴ AH”=OA”-OH” =20-10'2 (cm) 따라서 A지점과 B지점에서의 추의 높이의 차는 (20-10'2)cm이다.0
4
△ABH에서 AH”=100_cos 60˘=100_;2!;=50(m) △AHC에서 CH”=50_tan 45˘=50(m)0
5
꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AH”=8_sin 60˘ AH=8_ =4'3 (cm) BH”=8_cos 60˘=8_;2!;=4(cm) ∴ CH”=10-4=6(cm) △AHC에서 AC”="√(4'3)¤ +6¤ =2'∂21 (cm)0
6
꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △CAH에서 AH”=30_cos 45˘ AH=30_ =15'2 (m) CH”=30_sin 45˘ CH=30_ =15'2 (m) △CHB에서 ∠BCH=105˘-45˘=60˘이므로 BH”=15'2_tan 60˘=15'2_'3=15'6 (m) ∴ AB”=AH”+BH”=15'2+15'6=15('2+'6)(m)0
7
CH”=x라 하면 △BHC에서 ∠BCH=90˘-60˘=30˘이므로 BH”=x_tan 30˘= x △AHC에서 ∠ACH=60˘이므로 AH”=x tan 60˘='3x AB”=AH”-BH”이므로 10='3x- x 10=2'33 x ∴ x=10_2'33 =5'3 '3 3 '3 3 '2 2 '2 2 A C B H 30`m 60© 45© 45© '3 2 B H C A 10`cm 8`cm 60© '2 2 B B' O A H 20`cm 45©15
부채꼴 AOB는 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 60˘이 므로 부채꼴 AOB의 넓이는 p_1¤ _;3§6º0;=;6!;p yy ❶△AOH에서 sin 60˘= 이므로 AH”=
cos 60˘= 이므로 OH”=;2!; yy ❷ ∴ △AOH=;2!;_;2!;_ = yy ❸ ∴ (색칠한 부분의 넓이)=(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOH ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;6!;p-'3 yy ❹ 8 '3 8 '3 2 OH” OA” '3 2 AH” OA” 60~61쪽 02. 삼각비의 활용 01④ 02(9+3'3) m 03② 04① 05③ 0615('2+'6)m 07③ 08④ 09⑤ 1050'2 cm¤ 11② 12⑤ 13① 142(1+'∂13) 15 91'34 cm¤
0
1
CG”=8_cos 60˘=8_;2!;=4 GH”=8_sin 60˘=8_ =4'3 ∴ (직육면체의 부피)=6_4'3_4=96'30
2
(송신탑의 높이)=9 tan 45˘+9 tan 30˘ (송신탑의 높이)=9_1+9_'3 =9+3'3 (m) 3 '3 2 ❶ AB”의 길이 구하기 ❷ ∠BCA=x, ∠CBA=y임을 알기 ❸ cos x, cos y의 값 구하기 ❹ cos x+cos y의 값 구하기10 % 40 % 40 % 10 % 채점 기준 배점 ❶ 부채꼴 AOB의 넓이 구하기 ❷ AH”, OH”의 길이 구하기 ❸ △AOH의 넓이 구하기 ❹ 색칠한 부분의 넓이 구하기 30 % 40 % 20 % 10 % 채점 기준 배점 해(23-40)실전서3-하(워크) 2019.9.5 3:49 PM 페이지24
0
8
① CH”=3 tan 45˘=3(cm) ② BC”= =3÷ =3'2 (cm) ③ AH”= = ='3 (cm) ④ AB”=AH”+BH”=3+'3 (cm) ⑤ △CAH에서 AC”=øπ('3)¤ +3¤ =2'3 (cm)0
9
오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 AH”=6 cm이므로 AB”= =6'2 (cm) 이때 ∠DAC=∠BAC (접은 각), ∠DAC=∠BCA (엇각)이 므로 ∠BAC=∠BCA 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로 BC”=AB”=6'2 (cm) ∴ △ABC=;2!;_6'2_6'2_sin 45˘ ∴ △ABC=;2!;_6'2_6'2_ =18'2 (cm¤ )10
정팔각형의 넓이는 한 변의 길이가 5 cm이고 끼인 각의 크기가 45˘인 이등변삼각형 8개의 넓이의 합과 같다. ∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_5_5_sin 45˘} ∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_5_5_ } ∴ (정팔각형의 넓이)=50'2 (cm¤ )11
ABCD=2_△ABC ABCD=2_{;2!;_4_5_sin 45˘} ABCD=2_{;2!;_4_5_ } ABCD=10'2 (cm¤ )12
;2!;_12_AC”_sin 60˘=21'3 ;2!;_12_AC”_ =21'3 ∴ AC”=713
㈎의 넓이 : ;2!;ab_sin 60˘= ab ㈏의 넓이 : ;2!;bc_sin 30˘=;4!;bc ㈐의 넓이 : ;2!;ac_sin 45˘='2 ac 4 '3 4 '3 2 '2 2 '2 2 '2 2 6 sin 45˘ B H C D A 6`cm 45© 3 '3 3 tan 60˘ 1 '2 3 cos 45˘ ;4!; bc= ab에서 c='3a ;4!; bc= ac에서 b='2a∴ a : b : c=a : '2a : '3a=1 : '2 : '3
