우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

7-3. 삼각함수의 적분

7-3-1. sin2_{𝑥 & cos}2_{𝑥 의적분}

 반각 공식

cos 2𝑥 = cos2_{𝑥 − sin}2_{𝑥 = 2 cos}2_{𝑥 − 1 = 1 − 2 sin}2_𝑥

cos2_{𝑥 =} 1

2 1 + cos 2𝑥

sin2_{𝑥 =}1

2 1 − cos 2𝑥

 sin2_{𝑥 의 적분}

sin2𝑥 𝑑𝑥 =1₂ (1 − cos 2𝑥) 𝑑𝑥 =1₂ 𝑥 −sin 2𝑥₂ + 𝐶  cos2_{𝑥 의 적분}

7-3. 정적분 7-3-1. 구분구적법  도형의 면적 직사각형 삼각형 원 (a) 𝑆 = 𝑎 × 𝑏 (b)

𝑆 =

 구분구적법  원과 같이 곡선이 포함된 도형은 삼각형 또는 사각형의 기본도형으로 세분하여 구할 수 없으나  곡선이 포함된 부분을 기본도형으로 세분화하여 근사값을 구하고, 근사값의 극한을 이용하면, 원의 면적을 구할 수 있음.  원에 내접하는 다각형면적의 합은 다각형이 많을 수록 원의 면적에 근접.  다각형면적의 합을 𝑆_𝑛 , 다각형 밑변의 합을 𝑙_𝑛이라 하면, 𝑆_𝑛 = ∆𝑂𝐴𝐵 × 𝑛 = 1₂∙ 𝐴𝐵 ∙ ℎ ∙ 𝑛 =1₂ℎ(𝑛 ∙ 𝐴𝐵) 𝑙_𝑛 = 𝑛 ∙ 𝐴𝐵  여기서, 𝑛 → ∞ 이면, 𝑙_𝑛 → 2𝜋𝑟, ℎ → 𝑟 ∴ 𝑆 = lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ 1 2ℎ ∙ 𝑙𝑛 = 1 2𝑟2𝜋𝑟 = 𝜋𝑟2  이와 같이 평면도형의 면적이나 입체도형의 체적을 구할 때, 주어진 도형을 충분히 작은 𝑛 개의 도형으로 세분화하여 그 도형에 근사 시키고,  세분된 기본 도형들의 면적을 합한 근사값의 극한을 취하여 면적 또는 체적을 구하는 방법을 구분구적법이라 함. 𝑜 𝑟 𝐴 𝐵 ℎ 𝑆𝑛 = 1₂ℎ ∙ 𝑙𝑛

 예제) 포물선 𝑦 = 𝑥2_{과 𝑥 = 1 및 𝑥 축으로 둘러싸인 도형의 면적을 구분구적법으로 구하라}  구간 [0, 1]을 𝑛 등분하면…, 각 끝점의 𝑥 좌표는 왼쪽에서 부터  이때의 함수값을 구하면  직사각형 면적의 합 𝑆𝑛 이라 하면, 𝑆_𝑛 = _𝑛1 _𝑛1 2+ _𝑛2 2 + _𝑛3 2+ ⋯ + 𝑛_𝑛 2 = 1 𝑛3 12+ 23+ 32+ ⋯ + 𝑛2 = 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6𝑛3  여기서 𝑛 → ∞ 일 때 ∴ 𝑆 = lim 𝑛→∞𝑆𝑛 = lim𝑛→∞ 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6𝑛3 = 2 6 = 1 3 0 1 𝑦 = 𝑥2 𝑦 𝑥 1 𝑛 2 𝑛 3 𝑛 1 𝑛 , 2 𝑛 , 3 𝑛 , … , 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 , 2_𝑛 2, _𝑛3 2, … , 𝑛_𝑛 2

7-3-2. 정적분의 정의  연속함수 𝑦 = 𝑓 𝑥 와 구간 [𝑎, 𝑏] 에서 𝑥 축과 이루는 도형의 면적을 구분구적법으로 구하면,  함수 𝑓 𝑥 가 폐구간 [𝑎, 𝑏]에서 연속 일 때, 그 구간을 𝑛 등분한 각 분점의 𝑥 좌표를 차례로, 𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛  이에 대응하는 함수 값은 (즉, 기본도형의 높이)? 𝑓(𝑥1), 𝑓(𝑥2), … , 𝑓(𝑥𝑛−1), 𝑓(𝑥𝑛)  소구간의 길이를 ∆𝑥 라 하면, ∆𝑥 =𝑏−𝑎_𝑛  기본도형의 면적의 합 𝑆_𝑛 은 𝑆𝑛 = ∆𝑥 · 𝑓(𝑥1) + ∆𝑥 · 𝑓(𝑥2) + …∆𝑥 · 𝑓(𝑥𝑛−1) + ∆𝑥 · 𝑓(𝑥𝑛) = ∆𝑥 · 𝑓(𝑥₁)+ 𝑓(𝑥₂) + …𝑓(𝑥_𝑛−1) + 𝑓(𝑥_𝑛) = ∆𝑥 · _𝑘=1𝑛 𝑓(𝑥_𝑘)  여기서 𝑛 → ∞ 일 때 𝑆 = lim 𝑆 = lim 𝑛 𝑓(𝑥 ) · ∆𝑥 0 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ … 𝑥_𝑛

7-4. 정적분의 계산  정적분의 기본 정리 1) 𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2) _𝑎𝑏_{𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑏}𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 7-4-1. 정적분의 기본 공식 1) _𝑎𝑏_{𝑘𝑑𝑥 = 𝑘 𝑎}𝑏𝑑𝑥 = 𝑘 𝑏 − 𝑎 , 𝑘 = 상수 2) _𝑎𝑏 _{𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑎}𝑏_{𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎}𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥 3) _𝑎𝑏_{𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎}𝑐_{𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐}𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

예제) 다음의 정적분을 구하라 1) ₁2(2𝑥2_{+ 3𝑥 + 1)𝑑𝑥 −} 1 2 2𝑥2 _{+ 𝑥 + 1 𝑑𝑥 =} 1 2 2𝑥𝑑𝑥 = [𝑥2] 12 = 22− 12 =3 2) ₁2_{𝑥𝑑𝑥 + 2}3_{𝑥𝑑𝑥 = 1}3𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 2 1 3 = 3₂2 −1₂ = 4 3) 0 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ₀1−(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + ₁2(𝑥 − 1)𝑑𝑥 𝑥 − 1 = − 𝑥 − 1 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 1) 𝑥 − 1 , (1 ≤ 𝑥 ≤ 2) ∴ ₀2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ₀1−(𝑥 − 1)𝑑𝑥 + ₁2(𝑥 − 1)𝑑𝑥 = −𝑥₂2 + 𝑥 0 1 + 𝑥₂2 − 𝑥 1 2 = −1 2+ 1 + 4 2− 2 − 1 2− 1 = 1 −1 0 _{1 2} 1

예제) 다음의 정적분을 구하라

0 2𝜋

sin 𝑥 𝑑𝑥 = ₀𝜋sin 𝑥 𝑑𝑥 + _𝜋2𝜋 − sin 𝑥 𝑑𝑥

sin 𝑥 = sin 𝑥 , (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)

−sin 𝑥 , (𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋)

∴ ₀𝜋 sin 𝑥 𝑑𝑥 = ₀𝜋sin 𝑥 𝑑𝑥 − _𝜋2𝜋sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 ₀𝜋 + cos 𝑥 𝜋2𝜋

7-4-2. 우함수와 기함수의 적분  우함수: 𝑦 축에 대칭 𝑓 𝑥 = 𝑓(−𝑥) −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ₀𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 0 −𝑎 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = _−𝑎0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ₀𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = ₀𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ₀𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ₀𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥  기함수: 원점에 대칭 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥) 𝑎 −𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 𝑎 −𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = _−𝑎0 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ₀𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − ₀𝑎𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ₀𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

예제) 다음의 정적분을 구하라 1) ₋₁1 𝑥2_{𝑑𝑥 = 2} 0 1 𝑥2_{𝑑𝑥 =}2 3[𝑥3]0 1 ₌2 3 2) ₋₁1 𝑥3_{𝑑𝑥 = 0} 3) −2 2 2𝑥3+ 3𝑥2+ 4𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 2 ₀2 3𝑥2+ 1 𝑑𝑥 = 2[𝑥3+𝑥]₀2 = 2 8 + 2 = 20 4) _−𝜋𝜋 2 sin 𝑥 + cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ₀𝜋cos 𝑥 𝑑𝑥 = 2 sin 𝑥 ₀𝜋 = 2 sin 𝜋 − sin 0 = 0 𝟐𝝅 0 𝑦 = sin 𝑥 𝑥 𝝅 −𝟐𝝅 −𝝅 𝟑𝝅 𝟐 𝑦 = cos 𝑥 𝝅 −𝝅