우석대학교 에너지전기공학과

일반수학 (11 & 12)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

5-5. 삼각함수의 기본공식 (계속)

 그림 5-5.1 과 같이 반지름이 1인 단위 원과 동경좌표를 P 𝑥, 𝑦 라하면,

cos2_{θ + sin}2_{θ = 1}

 위의 항등식의 양변을

cos

θ

1 + tan2_{θ =} 1

cos2_θ 1 + tan2θ = sec2θ

같은 방법으로, 1 + cot2_{θ = csc}2_θ 5. 삼각함수 o 𝑟=1

𝑥

𝑦

 삼각함수의 기본공식 정리

1) 역수관계

csc θ =

,

sec θ =

,

cot θ =

tan θ =

,

cot θ =

cos

_{θ + sin}

_{θ = 1 , 1 + tan}

_{θ = sec}

_{θ , 1 + cot}

_{θ = csc}

_θ

예제) 각 θ 는 제3사분면의 각이고 cosθ = −4₅ 일때, sinθ, tanθ 의 값을 구하라.  항등식

cos

θ + sin

θ = 1

sin θ = ± 1 − cos

_{θ = ± 1 − (−}

)

= ±

θ

sin θ < 0

sin θ = −

tanθ =

= −

÷ −

=

 집합 1-1. 집합의 정의 (1) 어떤 것이 그 집합에 들어 있는지 아닌지 식별할 수 있다. (2) 그 집합에서 두 개를 뽑아냈을 때, 그것이 서로 같은 것인지 또는 다른 것인지를 식별할 수 있다. 1-2. 집합을 나타내는 방법  원소나열 법 1, 2, 3 과 같이 대상이 되는 1, 2, 3을 괄호 안에 나열하여 나타내는 방법.  조건제시 법 𝑥|𝑥 는 자연수 와 같이 대상의 공통적인 성질을 설명하여 집합을 나타내는 방법.  𝑥 가 집합 A에 속한 대상일 때, 𝑥 ∈ 𝐴 라 쓰고, 𝑥 를 집합 𝐴 의 원소라 한다.  𝑥 가 𝐴 의 원소가 아닐 때, 𝑥 ∉ 𝐴 라고 쓴다. (예) 𝑁 이 자연수의 집합일 때, 1∈𝑁 이지만, −1 ∉ 𝑁 이다. 중간시험 총정리 I 집합

1-3. 집합의 연산 (1) 공집합: 어떤 원소도 갖지 않는 집합, ∅ 로 표기. (2) 두 집합 𝐴, 𝐵 의 원소가 모두 같을 때, 𝐴 와 𝐵 는 같다라고 하며, 𝐴 = 𝐵 로 쓴다. (3) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 합집합은 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 또는 𝑥 ∈ 𝐵 이다. (4) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 교집합은 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 이고 𝑥 ∈ 𝐵 이다. (5) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 차집합은 𝐴 − 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 이고 𝑥 ∉ 𝐵 이다. (6) 집합 𝐴 의 모든 원소가 집합 𝐵 의 원소 일 때, 𝐴 는 𝐵 의 부분집합이고, 𝐴 ⊂ 𝐵 로 표기. (7) 𝑈 가 전체집합 이고, 𝐴 ⊂ 𝑈 일 때, 𝑈 − 𝐴 를 𝐴 의 여집합이라 하고, 𝐴𝑐 로 표기. (집합연산 예) 전체집합 𝑈 = 1, 2, 3, 4, 5 이고, 𝐴 = 1, 2, 3 , 𝐵 = 3, 4 라고 하면, 𝐴 ⊂U 𝐵 ⊂ 𝑈 𝐴 ∪ 𝐵 = 1, 2, 3, 4 𝐴 ∩ 𝐵 = 3 𝐴 − 𝐵 = 1, 2 𝐴𝑐 = 𝑈 − 𝐴 = 4, 5 𝐴 − 𝐴 = ∅ 집합 4 1 2 3 5 A _B U

1-1. 함수의 정의  두 집합 X, Y에서, X의 각 원소에 Y의 원소가 1:1 매칭 할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수(function)라 하고 𝑦 = 𝑓(𝑥) 로 표시함. 𝑥 ㆍ ㆍ ㆍ ㆍ 공역 (codomain) 𝑦 ㆍ ㆍ ㆍ ㆍ X Y 정의역 (domain) 함수 𝑓 의 치역 (range)  함수 함수 𝑓  역함수  함수 𝒇 : X Y 가 일대일 대응일 때, Y의 각 원소 𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 = 𝑦 인 X의 원소 𝑥 가 단 하나 존재하므로, Y를 정의역, X를 치역으로 하는 Y 에서 X 로의 함수를 얻을 수 있음.  이 함수를 𝑓 의 역함수(inverse function)라 하고, 𝑓−1 _{: Y X 로 표시하며, 𝑥 = 𝑓}−1 _{𝑦 로 표기함.} ※ 일대일 대응이 아니면, 역함수는 존재하지 않는다.

함수  위의 그림 중 아래 함수에 해당하는 것은?  𝑦 = 𝑥 + 1  𝑦 = cos 𝑥  아래 그림 중 함수는? (그림 1) (그림 2) (그림 3) X Y 𝑥₀ 𝑥1 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦2 𝑦3 X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦2 X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑦₃ 𝑥₄  위의 함수 중 역함수가 존재하는가? (그림 1-1) (그림 2-1) (그림 3-1) X Y 𝑥0 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑥₄ X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥3 𝑦₁ 𝑦0 𝑦₂ 𝑦₃ X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥3 𝑦1 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑦₃

1-2. 일차 함수 (직선 방정식) 1) 기울기가 𝑚 이고, 𝑦 절편이 𝑏 인 직선 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 2) 기울기가 𝑚 이고, 점 (𝑥₁, 𝑦₁) 을 지나는 직선 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) 3) 두 점 (𝑥₁, 𝑦₁), (𝑥₂, 𝑦₂) 을 지나는 직선 𝑦 − 𝑦₁ =𝑦2−𝑦1 𝑥₂−𝑥₁ 𝑥 − 𝑥1 (단, 𝑥1 ≠ 𝑥2) 4) 𝑥 절편이 𝑎, 𝑦 절편이 𝑏 인 직선 𝑥 𝑎+ 𝑦 𝑏 = 1 (단, 𝑎𝑏 ≠ 0) 1차함수

1-3. 이차 함수 그래프의 성질 1) 기본형: 𝑦 = 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} 2) 위의 기본형을 완전제곱 꼴로 바꾸면, 𝑦 = 𝑎 𝑥2₊𝑏 𝑎𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏2 4𝑎2 + 𝑐 − 𝑏2 4𝑎 = 𝑎(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 + 𝑐 −_4𝑎𝑏2 = 𝑎(𝑥 +_2𝑎𝑏 )2+ 4𝑎𝑐−𝑏_4𝑎 2 ※ 함수의 평행이동  함수𝑦 − 𝑛 = 𝑓 𝑥 − 𝑚 𝑦 = 𝑓 𝑥 의 그래프를 𝑥축 방향으로 m , 𝑦 축방향으로 n 만큼 평행 이동한 그래프. 3) 이차함수의 완전제곱 꼴 𝑦 = 𝑎(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 ₊ 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎  𝑦 = 𝑎𝑥2_{을 𝑥축 방향으로 −} 𝑏 2𝑎 만큼, 𝑦축 방향으로 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎 만큼 평행 이동한 그래프.  대칭축: 𝑥 = −_2𝑎𝑏 , 꼭지점: (−_2𝑎𝑏 , 4𝑎𝑐−𝑏_4𝑎 2) 2차함수

𝑥

𝑦

0

4) 이차 함수의 그래프  이차 함수 𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 의 그래프는 좌표평면에서 포물선의 형태로 나타남.}  𝑎 > 0 이면, 아래로 볼록한 포물선  𝑎 < 0 이면, 위로 볼록한 포물선 예제) 다음 2차 함수에서 대칭축과 꼭지점을 구하라.

𝑦 = −𝑥

+ 2𝑥 + 3 = − 𝑥 − 1

+ 4

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

 근의 공식 𝑦 = 0 일 경우 이차함수의 식을 이차방정식 이라 함. 0 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐} 위의 이차방정식을 만족하는 근을 구하기 위해, 위의 식을 변형하면, 0 = 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 +} 𝑏 2𝑎)2 + 𝑐 − 𝑏2 4𝑎 = 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 − 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐₂ 𝑥 + _2𝑎𝑏 2 = 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐₂ 위의 식을 𝑥 에 대해 풀면, 근의 공식을 구할 수 있음. 𝑥 = ± 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐₂ −_2𝑎𝑏 = −𝑏± 𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐  판별식 1) _𝑏2_{− 4𝑎𝑐 > 0 : 𝑥 는 서로 다른 두 개의 실근} 2) 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 0 : 𝑥 = −} 𝑏 2𝑎 인 한 개의 실근 3) 𝑏2− 4𝑎𝑐 < 0 : 𝑥 는 허근 (공액복소근) 2차함수

 정수의 지수법칙 (m, n 이 정수 일 때) 1) _𝑎𝑚 _{× 𝑎}𝑛 _{= 𝑎}𝑚+𝑛 2) (𝑎𝑚₎𝑛 _{= 𝑎}𝑚𝑛 3) (𝑎𝑏)𝑚_{= 𝑎}𝑚_𝑏𝑚 4)(𝑏_𝑎)𝑚 ₌ 𝑏𝑚 𝑎𝑚 5) 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛 _{𝑜𝑟 1 (𝑚 = 𝑛 일 때)} * 단, 4, 5 에서 a ≠ 0  유리수의 지수법칙 ( a>0 이고 m, n 이 정수 일 때) 1) 𝑛 𝑎 = 𝑎𝑛1 2) 𝑛 𝑎𝑚 _{= 𝑎}𝑚_𝑛 3) _𝑎−𝑚𝑛 = 1 𝑎𝑚𝑛 지수함수 2-1. 지수함수(exponential function)

 지수방정식 1) 𝑎𝑥 _{(𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 로 표시되는 방정식을 지수방정식이라 함.} 2) 지수 방정식 풀이 방법 가) 각항에서 지수의 밑을 동일하게 만듦. 나) 각각의 지수를 지수법칙을 활용하여 정리. 다) 좌우 등식을 통해 𝑥 에 대한 값을 구한다. 예제) 지수법칙을 활용하여 다음의 지수 방정식을 풀어라. 32𝑥 _{· 9}𝑥+1 _{= 1} 지수함수

3-1. 로그함수  로그의 기본 성질 (𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 이고, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 일 때) 증명 1) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1, 𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0 2) 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 + 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑦 3)𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥_𝑦 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 − 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑦, (즉, 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑦1 = −𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑦 ) 4)𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥𝑛 _{= 𝑛𝑙𝑜𝑔} 𝑎𝑥 (n 은 실수), (그러므로, 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑛 𝑥 = _𝑛1𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 ) 5) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = _𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏 𝑐𝑎 = 1 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎 로그함수

 로그방정식 1) _{log𝑎𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 항을 포함하는 방정식을 로그방정식이라 함.} 2) 로그방정식 풀이방법 가) 각항에서 로그의 밑을 같게 만듦 나) 각각의 로그를 로그의 성질을 이용하여 간단하게 정리 다) 로그의 정의에 의해 로그를 지수형태로 변환 라) 좌우 등식을 활용하여 𝑥 에 대한 값을 구한다 마) 원래의 로그함수로 부터 로그의 진수가 양이라는 조건을 활용하여 𝑥 의 범위를 체크함. 예제) 로그의 여러 가지 성질을 활용하여 다음의 로그방정식을 풀어라. log₃𝑥 + log₃(2𝑥 − 1) = 0 ※ 𝑥 의 조건: 2𝑥 − 1 > 0 로그함수

5-1. 삼각함수(Trigonometrical function) 5-1-1. 60분법과 호도법(복습)  60분법  직각을 90등분한 1등분을 1도 (1°), 1도의 1/60을 1분, 1분의 1/60을 1초라 함.  호도법  반지름 r인 원(그림 5-1.1) 에서 반지름과 같은

길이의 원호에 대한 중심각 ∠AOB의 크기를 ※ ∠AOB = 1 [rad]

1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계  원의 둘레: 2π𝑟 (반지름의 2π 배) 2π𝑟: 𝑟 = 360°_{: 1(𝑟𝑎𝑑)}  360°_{× 𝑟 = 2π𝑟 𝑟𝑎𝑑 360}° _{= 2π(𝑟𝑎𝑑)} O B A

𝑟

𝑟

5-1-2. 삼각함수의 정의

1) 그림 4-3.1 과 같이 r 인 OP가 𝑥 축 양의 방향과 이루는 각을 θ 라 하고, 점 P의 좌표를

P(x, y)라 할 때, θ 에 대응하는 값을 삼각비로 구하면: 사인함수(sine function): sin θ = 𝑦_𝑟

코사인함수(cosine function): cos θ = 𝑥_𝑟 탄젠트함수(tangent function): tan θ = 𝑦_𝑥

2) 역수관계

코시컨트함수(cosecant function): csc θ = _{sin θ}1 = _𝑦𝑟 시컨트함수(secant function): sec θ =_{cos θ}1 =_𝑥𝑟

코탄젠트함수(cotangent function): c𝑜𝑡 θ =_{tan θ}1 = 𝑥_𝑦

o

r

𝑥

𝑦

(예제 1) 점 P(-3, 4) 을 동경으로 하는 각을 θ 라 할 때, 다음 삼각함수의 값을 구하라. 1) sin θ 2) cos θ (예제 2) 다음의 주어진 삼각함수의 값을 구하라. 1) sin 690° _{2) cos(−120}°₎ 삼각함수 o r

𝑥

𝑦

·

5-1-3. 삼각함수의 기본공식

 그림 5-5.1 과 같이 반지름이 1인 단위 원과 동경좌표를 P 𝑥, 𝑦 라하면,

cos2_{θ + sin}2_{θ = 1}

 위의 항등식의 양변을

cos

θ

1 + tan2_{θ =} 1

cos2_θ 1 + tan2θ = sec2θ

같은 방법으로, 1 + cot2_{θ = csc}2_θ 삼각함수 o 𝑟=1

𝑥

𝑦

 삼각함수의 기본공식 정리

1) 역수관계

csc θ =

,

sec θ =

,

cot θ =

tan θ =

,

cot θ =

cos

_{θ + sin}

_{θ = 1 , 1 + tan}

_{θ = sec}

_{θ , 1 + cot}

_{θ = csc}

_θ

예제) 각 θ 는 제3사분면의 각이고 cosθ = −4₅ 일때, sinθ, tanθ 의 값을 구하라.  항등식 cos2θ + sin2θ = 1 에서 sin θ = ± 1 − cos2_{θ = ± 1 − (−}4 5)2= ± 3 5 θ 는 제3사분면의 각이므로, sin θ < 0 ∴ sin θ = −3₅

 또한, tanθ = _cosθsinθ = −3₅ ÷ −4₅ = 3₄