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프레즈넬-불루스타인 변환을 이용한 2파장 디지털 홀로그래픽 연구
신상훈1ㆍ김두철2ㆍ유영훈2†
1미토스
우 134-841 AP & Tec., 서울 광진구 자양동
2제주대학교 물리학과 우 690-756 제주시 아라1동 1번지
(2012년 9월 6일 받음, 2012년 10월 22일 수정본 받음, 2012년 10월 22일 게재 확정)
이 파장 디지털 홀로그래피는 단파장 디지털 홀로그래피에 비해 보다 큰 단차를 얻는데 사용할 수 있다. 이파장 홀로그래피 방법을 이용하기 위해서는 각각의 파장에서 얻은 홀로그램으로부터 재생된 위상 이미지 크기가 동일하여야하는데, 위상 이미지 크기는 재생거리와 파장에 의존한다. 이러한 문제점을 해결하기 위하여 프레즈렐-불루스타인 변환법이 제안되었다. 이변환법은 재생상의 크기를 재생거리와 파장에 의존하지 않고 자유롭게 만들 수 있다. 본 연구에서는 프레즈렐-불루스타인 변환법을 이파장 홀로그래피에 적용하여 파장에 의존하지 않는 동일한 위상 재생상을 얻을 수 있음을 실험적으로 확인하였다.
A Study on Two-wavelength Digital Holography Using the Fresnel-Bluestein Transform
Sanghoon Shin1, Doocheol Kim2, and Younghun Yu2†
1Mythos, Jayang-dong, Gwangjin-gu, Seoul 134-841, Korea
2Department of Physics, Jeju National University, Jeju 690-756, Korea
(Received September 6, 2012; Revised manuscript October 22, 2012; Accepted October 22, 2012)
Dual-wavelength holography has a better axial range than single-wavelength holography, allowing unambiguous phase imaging.
The size of a reconstructed image depends on the reconstruction distance and wavelength. The two phase image sizes of different wavelength holograms should be the same in order to apply dual-wavelength holography. The Fresnel-Bluestein transform method is proposed to eliminate the dependence on the reconstruction distance and wavelength. We found that the Fresnel-Bluestein transform is very useful for making different reconstructed image sizes experimentally. Also we applied the Fresnel-Bluestein transform to make the same reconstruction image size in dual wavelength holography.
Keywords: Holography, Digital holography, Fresnel-Bluestein transform
OCIS codes: (090.0090) Holography; (090.1760) Computer holography; (100.3010) Image reconstruction techniques
†E-mail: [email protected]
Color versions of one or more of the figures in this paper are available online.
I. 서 론
디지털 홀로그램 기술은 기CCD(Charge Coupled Device) 와 같은 영상 기록 장치를 이용하여 실시간으로 측정 대상체 의 홀로그램 데이터를 획득하고, 수치적 3차원 영상 재생의 방법으로 측정 대상체의 3차원 데이터를 획득하는 방법이다.
이러한 방법은 약 30년 전 개념적 방법론이 제안되어, CCD 의 발전과 컴퓨터 연산 속도의 발전으로 수치적 3차원 영상 재생의 방법이 발전하여 현재 실용적 용도에 적용하기 위한
다수의 연구들이 세계적으로 활발히 진행되어 왔다[1-6]. 디지털 홀로그램은 홀로그램 필름 대신에 CCD를 이용함으 로써 CCD에 입력된 정보는 홀로그래픽용 필름에 감광된 현 상과 일치하며 홀로그램의 일반 원리와 이론적으로 동일하다.
이러한 디지털 홀로그램의 장점에도 불구하고 간섭을 이용 한 측정이기 때문에 파장보다 큰 단차가 있는 경우에는 3차 원 측정이 어렵다. 이러한 단차 문제를 해결하기 위하여 2 파 장을 이용한 홀로그래픽 방법이 제시 되었다[7-9]. 즉 다른 파 장을 이용하여 원래 사용한 파장보다 큰 유사파장에 의한 위
《연구논문》Korean Journal of Optics and Photonics, Volume 23, Number 6, December 2012
DOI: http://dx.doi.org/10.3807/KJOP.2012.23.6.251
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상차를 측정하는 방법이다. 그러나 2 개의 다른 파장을 이용하 여 홀로그램을 얻고 이를 재생하여 유사 파장에 대한 위상차 정보를 얻기 위해서는 2개의 재생상의 크기가 같아야한다. 이 를 위하여 상을 재생하고 크기를 조절하는 방법이 필요하다.
디지털 홀로그래피에서 수치적으로 상을 재생하는 방법으 로는 콘볼루션 방법 (Convolution), 각 스펙트럼 방법 (Angular Spectrum) 및 프레즈넬 변환 (Fresnel Transform) 방법이 일 반적으로 사용된다[10, 11]. 콘볼루션 방법 및 각 스펙트럼 방법 에서는 재생상의 크기와 홀로그램의 크기가 같아지는 한계 가 있다. 재생상의 크기를 조절하기 위해서는 제로패딩 (zero- padding) 방법을 이용하여 재생상의 크기를 조절 해야되는 데, 이러한 방법은 수치적 계산상에 많은 무리가 따르게 된 다. 그리고 프레즈넬 방식에서는 재생상의 크기가 재생거리, 사용한 빛의 파장 및 ccd의 픽셀개수에 의존한다. 프레즈넬 방식에서 재생상의 크기를 조절하기 위해서는 재생거리와 픽셀 개수들을 적절히 조절해야 한다. 그러나 실험적으로 홀 로그램을 얻는 경우 재생거리와 픽셀 개수는 정해져 있기 때 문에 재생상의 크기를 조절하기 위해서는 제로패딩 방법을 이용해야한다. 그러나 최근 제로 패딩을 이용하지 않고 이중 프리에변환을 이용하여 재생상의 크기를 조절할 수 있는 방 법이 제안 되었다[12,13]. 이중 푸리에 변환에서는 총 재생거리 z 를 둘로 나누어 ( ) 재생하고 배율(m)은 두 거리 비율,
, 에 의해 정해진다. 이러한 방법을 이용하면 일정한 재생거리(z)에서도 재생상의 크기를 조절할 수 있다.그러나 이중푸리에 변환에서는 가 최소 재생거리와 같 거나 커야 된다는 한계가 있어 배율에 한계가 있다.
최근 이중 푸리에 변환의 한계를 해결할 수 있는 프레즈넬 -불루스타인 변환법이 제안되었는데, 이 방법은 거리제한이 없기 때문에 배율에 한계가 없다[14,15].
본 연구에서는 2π 모호함 (2π ambiguity)을 해결하기 위하 여 2-파장 홀로그래픽 시스템을 구성하고 재생상을 구성 할 때 프레즈넬-불루스타인 변환을 이용하여 위상 재생상을 만 들고, 이를 이용하여 정확한 측정이 가능함을 실험적으로 연 구하였다.
II. 이론적 배경
디지털 홀로그래픽 현미경에서 홀로그램 데이터는 CCD로 입력되는 물체광(O)과 참조광(R)의 간섭에 의하여 주어진다.
CCD에 형성되는 2차원 홀로그램의 빛 세기는 식 (1)과 같다.
* 2 *
) 2 ,
(x y R O R O RO
IH = + + + (1)
는 각각 참조광과 물체광의 복수공액이다. 홀로그램 에서 재생상까지의 거리를 d 라고 하면, 홀로그램의 명암 재 생상과 위상 재생상은 식 (2)와 같이 프레즈넬-키르흐호프 적분(Fresnel-Kirchhoff integral)에 의해 얻을 수 있다.
exp
×
exp
exp
(2)
식 (2)에서 λ는 빛의 파장, ∆∆는 CCD의 픽셀 간격, N은 ccd의 픽셀 개수이다. 명암 영상 ()과 위상영상 ()은 식 (3)과 같이 주어진다.
(3) 식 (2)에서 보는 것과 같이 재생상의 크기는 재생거리 d, 픽 셀 개수 N와 파장에 관계된다. 재생면에서의 픽셀간격 (∆∆) 은 ∆ ∆
∆ ∆
와 같고, 각 축에 대한
배율은 ∆
∆ ∆
∆와 같다. 배율이 픽셀개수(N), 픽 셀피치(∆ ∆) 및 재생거리에 의존하는 것은 식 (2)의 퓨 리에변환 거넬의 exp
의 및 , 즉 재 생면의 픽셀 위치와 홀로그램면의 위치 관계 때문에 생긴다. 그러므로 이들의 제한을 제거하기 위해서는 퓨리에커넬에
및 항이 제거되어야 된다. 이를 위해서 및 를 다음과 같이 변환하자[14].
(4)
식 (4)를 이산푸리에변환 식 (2)에 대입하면 식 (5)를 얻을 수 있다.
exp
∆∆ ∆ ∆∆ ∆
× exp
∆∆ ∆ ∆∆ ∆
×exp
∆∆ ∆∆
(5)
식 (5)는 ×
와 같은 k, l에 대한 이산콘볼류션 형식이다. 그러므로 재생상는 다음과 같 은 두식을 퓨리에변환 함으로서 얻을 수 있다[16].
exp
∆∆ ∆ ∆∆ ∆
exp
∆∆ ∆∆
(6)
《연구논문》프레즈넬-불루스타인 변환을 이용한 2파장 디지털 홀로그래픽 연구 ― 신상훈ㆍ김두철 외 253
FIG. 1. Schematic diagram of experimental set-up for transmission dual-wavelength digital holographic microscope. M: mirrors, VN;
Variable neutral density filters, ML; micro lenses, BS; Beam Splitters.
(a) (b)
(c) (d)
FIG. 2. Reconstructed microlens phase image with Fresnel-Bluestein transform. (a) holograms created by the 632 nm; (b), (c), (d) reconstructed microlens phase image by Fresnel-Bluestein transform with different pixel sizes of 20 µm, 25 µm and 35 µm, respectively.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)
FIG. 3. Reconstructed phase image by beat wavelength. (a),(d) hologram with 532 nm and 632 nm wavelength, respectively; (b), (e) reconstructed image by Fresnel transform with hologram (a) and (d); (c),(f) reconstructed images by Fresnel-Bluestein transform with hologram (a) and (d).
그리고 배율(m)은 ∆
∆ ∆
∆ 와 같이 주어지는 데, 식 (6)에서 보면 이에 대한 제한이 전혀 없다. 즉 홀로그 램면의 주기(∆ ∆)만 알면 재생면의 주기(∆∆)주기를 정하는데 아무런 제약이 없다. 즉 Fresnel-Bluestein 변환을 통해 재생상을 얻으면 픽셀주기, 픽셀개수 재생거리에 상관 없이 배율을 정할 수 있다.
III. 실험장치 및 결과
그림 1은 2 파장 in-line 투과형 홀로그래픽 현미경의 개략 도이다. 기본적인 구성은 마흐젠더 간섭계와 같다. 사용한 광원은 10 mW He-Ne 레이저 (632 nm) 와 다이오드 레이저 (532 nm) 이고, 시료를 투과한 영상을 확대하기 위하여 현미 경 대물렌즈 ML(Mitutoyo M PLAN APO 50X, NA=0.55)을 사용하였다. 필터(VN)는 간섭 문양의 명암대비가 최대인 홀 로그램을 얻기 위하여 사용하였다. 홀로그램을 저장하기 위 하여 CCD(Sony IPX1M48)를 사용하였고, CCD의 픽셀크기 는 × 이고 픽셀 개수는 1024 x 1024 이다. 본 연구에서는 CCD의 위치를 ML 에서 9 cm 떨어진 지점에 위 치하였다. 시료는 마이크로 렌즈 어레이를 사용하였다.
그림 2는 마이크로 렌즈의 홀로그램과 프레즈렐-불루스타 인 변환을 사용하여 얻은 재생상이다.
그림 2에서 허상은 기히학적 방법으로 제거하였고[17] DC 항은 가변 픽셀 평균 빛세기 방법을 이용하여 제거하였다[18]. 그림 2는 재생거리를 일정하게 놓고, 재생상의 픽셀 크기를 변화시켜 얻은 위상 재생상이다. 그림 2(a)는 홀로그램이고, (b), (c), (d)는 재생상의 픽셀크기를 20 µm, 25 µm, 30 µm 로 하여 재생한 위상 영상이다. 그림 2 의 (b), (c), (d) 의 배 율은 각각 2.7, 3.4 및 4.7이다. 재생상의 픽셀 크기를 크게하 면 영상면의 크기가 커짐으로서 물체의 크기가 작아짐을 알 수 있다. 그림 2로부터 프레즈넬-불루스타인 변환 방법을 이 용함으로서 재생 거리와 픽셀 개수를 고정 시켜도 영상의 크 기를 자유롭게 변화 시킬 수 있음을 확인 할 수 있다.
그림 3은 프레즈넬-불루스타인 변환과 2-파장 홀로그래피 를 적용한 결과이다.
그림 3 (a)와 (d)는 각각 632 nm, 532 nm 파장의 빛을 이 용하여 얻은 홀로그램이고, (b), (e)는 프레즈넬 변환인 식 (2)를 이용하여 얻은 위상 재생상이다. 식 (2)에서 예상 했던 것과 같이 픽셀 개수, 재생거리가 동일하나 파장이 다르므로 영상의 크기가 다름을 알 수 있다. (c)(f)는 재생면에서 픽셀 크기를 30 µm로 동일하게 하고 프레즈넬-불루스타인 변환을 이용하여 얻은 위상 재생상으로 그 크기가 동일하다는 것을 알 수 있다. 이 두 위상 재생상을 이용하여 2-파장 홀로그래 픽에 의한 위상 재생상을 얻는데 이용할 수 있다.
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IV. 결 론
디지털홀로그래피에서 홀로그램을 이용하고, 수식적으로 3 차원 영상을 얻을 수 있는데, 이때 재생된 상의 크기는 재생 거리, 픽셀 개수, 픽셀의 크기 와 파장의 함수이다. 그리고 디지털 홀로그램의 문제점 중 하나는 파장보다 큰 단차를 측 정할 수 없다는 것이다. 이러한 단점을 해결하기 위하여 2 파장 홀로그래피가 제안 되었다. 2 파장 홀로그래픽을 이용 하여 파장보다 큰 단차를 측정하기 위해서는 다른 파장으로 부터 얻어진 홀로그램을 이용하여 위상영상을 만들고 이를 이용하는 것이다. 이때 두 위상영상의 크기가 동일하여야 한 다. 그러나 재생상의 크기가 파장과 재생거리의 함수이기 때 문에 동일한 크기의 위상영상을 얻기 위해서는 재생상의 크 기를 조절하는 과정이 필수적이다. 최근 프레즈넬-불루스타 인 변환을 이용하여 재생상의 크기를 자유롭게 변하 시킬 수 있는 방법이 제안되었다. 본 연구에서는 프레즈넬-불루스타 인 변환 이용하여 재생상의 크기가 파장과 재생거리에 의존 하지 않음을 실험을 통해 확인 하였고, 이러한 방법을 이용 하면 파장 보다 큰 단차를 측정하기 위해 제안된 2 파장 홀 로그래픽에 적용할 수 있다.
감사의 글
이 논문은 중소기업청 산학년 기술개발사업 지원으로 수행 되었습니다.
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