기본적인 필터 응답(Basic filter response)

Ch. 15

Active Filters

Yun SeopYu

기본적인 필터 응답(Basic filter response)

저역통과 필터 응답 (low-pass filter (LPF) response)

Basic LPF response LPF with different roll-off rates

( )

f RC X fC

R when

fRC X

R X

R X V

A V

C C

C C

C s

out db

v

π π

π

2 1 2

1

2 1 log 1 20 1

log 1 20 log

20 log

20 2

2 2 2

) 2 (

=

>

−

−

=

=

= + +

+ =

=

=

Yun SeopYu

기본적인 필터 응답

고역통과 필터 응답 (high-pass filter (HPF) response)

Basic HPF response HPF with different roll-off rates

f RC X fC

R when

R fRC X X

R R V

A V

C C

C s C

out db

v

π π

π 2

1 2

1

2 1 1 log 1 20 1

log 1 20 log

20 log

20 2

2 2 2

) 2 (

=

>

−

−

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

= +

+ =

=

=

Yun SeopYu

기본적인 필터 응답

대역통과 필터 응답 (band-pass filter (BPF) response)

2 1 c c

o

f f

f =

Center frequency:

Quality factor:

BW Q = f

^o

Q is an indication of the selectivity of a BPF.

Narrow BPF: Q > 10.

Wide-band BPF: Q < 10.

Damping Factor:

DF = 1 Q

BW = f_c2 - f_c1

Yun SeopYu

기본적인 필터 응답

Q 값: 주파수 선택 특성 품질

Yun SeopYu

기본적인 필터 응답

D 값: 댐핑 성질 결정

DF = 1 Q

f_c 예: 2차 LPF

Yun SeopYu

예제 15-1

f_O = 15 kHz, BW= 1 kHz, Q ?

1k 15 15k =

=

= BW

Q f

^o > 10 Æ 협대역 (narrow BW)

Yun SeopYu

기본적인 필터 응답

대역저지 필터 응답 (band-stop filter response)

ƒ Band-reject, or notch filter.

ƒ

어떤 특정 주파수 대역만 저지하 고 그 외 주파수 대역은 통과 시키는 필터

Yun SeopYu

필터 응답 특성(Filter response characteristics)

기본 필터 응답 특성

ƒ Butterworth: 통과 대역 매우 평탄

ƒ

roll-off rate: -20 dB/dec/pole

ƒ

위상지연: 비선형

Æ 펄스의 상승, 하강 edge의 주 파수 부품들의 서로 다른 위상지연 Æ 출력의 overshoot

ƒ

통과 대역의 모든 주파수의 이득이 모두 같아야 할 때

ƒ Chebyshev:

ƒ

roll-off rate > -20 dB/dec/pole

ƒ

통과대역 리플Æ 비선형 위상 응답

ƒ Bessel: 선형적인 위상 응답

Æ No overshoot 출력

ƒ

roll-off rate < -20 dB/dec/pole.

Yun SeopYu

필터 응답 특성

댐핑 계수 (damping factor: DF)

DF: 필터의 응답 특성을 결정

2

2

1

R DF = − R

Æ 부귀환 동작으로 필터응답에 영향 Æ 필터의 차수 (극점 수)와 관련된

올바른 응답 특성을 구현하기 위해서 댐핑계수 값이 요구 Å 표 15-1 참고

General diagram of active filter

Yun SeopYu

표 15-1

Values for the Butterworth response

Yun SeopYu

필터 응답 특성

댐핑 계수 (damping factor: DF)

극점 (pole): 한 개의 저항과 캐패시터로 구성된 간단한 회로

z Roll-off: -20dB/decade/pole

예제: 2차 버터워스 (Butterworth) 응답

z 극점: 2개 Æ DF = 1.414 Å 표15-1

z R₁/R₂ = 2 – DF = 2 – 1.414 = 0.586

z 비반전 증폭기 전압이득 A_cl(NI) = 1 + R₁/R₂ = 1.586

z 만약 R₂ = 10 kΩ Æ R₁ = 5.86 kΩ

Yun SeopYu

필터 응답 특성

차단 주파수와 기울기

f

_c

RC

π

2

= 1

Roll-off: -20 dB/dec

Yun SeopYu

필터 응답 특성

차단 주파수와 기울기

-20 dB/dec -40 dB/dec -60 dB/dec

Yun SeopYu

능동 저역 통과 필터 (Active Low-Pass Filter)

능동 필터의 장점

연산 증폭기는 필터를 통과에 의한 이득 감쇠를 고려하여 높은 전압 이득 제공

높은 입력 임피던스: 구동원의 과부하를 막아줌

낮은 출력 임피던스: 필터가 구동될 때 부하의 영향으로부터 필터를 보호 요구되는 응답을 수정할 필요 없이 넓은 주파수 범위에서 조정하기 쉬움

단점

dc 전원 필요

연산증폭기의 주파수 응답에 의해서 제한되어질 수 있다.

Yun SeopYu

능동 저역 통과 필터

1차 단극 필터

2

1

1

2 1

R A R

f RC

cl c

+

=

= π

Roll-off rate for a single-pole Filter: -20 dB/decade.

A_cl: selectable since DF is optional for single-pole LPF

Yun SeopYu

능동 저역 통과 필터

Sallen-Key 저역통과 필터

Sallen-Key or VCVS (voltage-controlled

voltage-source) second- order low-pass filter

B A B A

c

R R C C

f 2 π

= 1

만약 R_A = R_B = R, C_A = C_B = C

For a Butterworth 2^nd-order response, DF = 1.414;

therefore, R₁/R₂ = 0.586.

ƒ -40dB/decade의 기울기를 가지는 2개의 저역통과 필터

ƒ C_A에 의해서 통과대역 모서리 근처 에서 예리한 응답을 갖는다

f

_c

RC

π 2

= 1

Yun SeopYu

Sallen-Key 일반 필터 회로

비반전 입력 증폭기,

3 2

1

I I

I = +

4

2

I

I =

3 2

1

Z

V V

Z V V

Z V

V

_{in x x x}

−

_out

− +

− =

₋

out

out

BV

Z V Z

V Z V

I I

+ =

=

≈

≈

≈

− +

− +

6 5

6

0

4

2

Z

V Z

V

V

_x

−

₋

=

₋

out

x

BV

Z V Z

Z

V Z ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

₋

4 2 4

2

1

1

-(1)

-(2)

Yun SeopYu

Sallen-Key 일반 필터 회로

비반전 입력 증폭기,

3 4 2

2 4

2

1 4

2 1 1

1

Z

V Z BV

Z

Z

BV Z BV

Z

Z Z BV

V_in Z _{out out out} ⎟⎟⎠ _out − _out

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

⎟⎟ −

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

(

_{3 4 1 3 1 4} ^{3 4}_{1 2 3 2}

)

_{1 4}

3 1 4

2 3 1 3

1 4

1 4

2 1

1

Z Z B Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z

Z Z V

A V

Z BV Z B Z

Z Z Z Z

Z Z

BV Z Z

V Z

in out v

out out

in

− +

+ +

= +

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + −

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

−

- 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 전개하면,

Yun SeopYu

Sallen-Key 저역 통과 필터

2 6

1 5

4 3

2

1 1 , ,

1 , ,

, Z R Z R

Z sC Z sC

R Z

R Z

B A

B

A = = = = =

=

( )

B A B A B

B B

A A

B A

B A B A

B A A

B B

A B

A A

A B

A

B A

in out v

R R C C R

R C

R R

B R

C R

R C

R s R

s

B R R C C

B sC

R sC

R R sC R

R sC

R sC

sC

B sC sC

B Z Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z Z

Z

B Z Z V

A V

1 1 1

1

1 1

1 1

1

1 1 1

2 1 1

2 2 1

4 1 2

3 2

1 4

1 3

1 4

3

4 3

+ +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + +

+

=

− +

+ +

+

=

− +

+ +

+

=

=

Yun SeopYu

Sallen-Key 저역 통과 필터

2 6

1 5

4 3

2

1 1 , ,

1 , ,

, Z R Z R

Z sC Z sC

R Z

R Z

B A

B

A = = = = =

=

( )

B A B A B

B B

A A

B A

B A B A in

out v

R R C C R

R C

R R B

R C R

R C

R s R

s

B R R C C V

A V

1 1 1

1

1 1

2 1 1

2

2 1 + +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ − + +

+

=

=

( )

B A B A

B A B A

R R C f C

R R C f C

π π ω

2

1 2 1

0

2 0 2

0

=

>

−

= - 2차 저역통과 필터 전달함수 =

2 0 0

2

2 0

) 0

( ω ω ω

+ +

=

Q s s

s A H

( )

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= +

>

−

−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= +

>

−

⎟⎟−

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

− ⎛

= +

1 2 1

2 0

1 2

0 1

1 1 1

R R R R C

R C

C R Q R

R R R C R

R C

R Q R

R R R C R

R C

R R

Q

A A B

A A

B B A

B B B

A A

B B A

B B

A A

B

A ω

ω

A₀ = 1/B = 1 + R₁/R₂

A

_v

Yun SeopYu

예제 15-3

저역 통과 필터 Æ 차단주파수 f_c?, R₁ (버터워스 응답)?

R_A = R_B = R₂ = 1 kΩ, C_A = C_B = 0.022 μF

kHz 23 . ) 7

022 . 0 )(

k 1 ( 2

1 2

1 2

1 = = =

= π R R C C π ^RC π μ

f

B A B A c

2차 버터워스 Æ DF = 1.414

Æ R₁/R₂ = 2 – DF = 2- 1.414 = 0.586

Æ R₁ = 0.586R₂ = (0.586)(1k) = 586 Ω

Yun SeopYu

능동 저역 통과 필터

높은 기울기를 얻기 위해서 저역통과 필터를 종속 연결함

3극: -60 dB/dec

4극: -80 dB/dec

Yun SeopYu

예제 15-4

4차 저역통과 필터 Æ C ?, R₁ = R₃ (버터워스 응답)?

R_A1 = R_B1 = R_A2 = R_B2 = R₂ = R₄ = 1.8 kΩ C_A1 = C_B1 = C_A2 = C_B2 = C

f_c = 2680 Hz 라 하자

kHz 68 . ) 2

k 8 . 1 ( 2

1 2

1 2

1 = = =

= R R C C RC C

f

B A B A

c π π π

F 033 . ) 0 k 68 . 2 )(

k 8 . 1 ( 2

1 μ

π ⁼

= C

4차 버터워스:

- 첫째단: DF = 1.848 Æ R₁/R₂ = 2 – DF

= 2- 1.848 = 0.152

- 둘째단: DF = 0.765 Æ R₃/R₄ = 2 – DF

= 2- 0.765 = 1.235 ÆR₁ = 0.152R₂

= (0.152)(1.8k) = 274Ω

Æ R₃ = 1.235R₄

= (1.235)(1.8k)

= 2.22kΩ

Yun SeopYu

능동 고역 통과 필터 (Active High-Pass Filter)

1차 (단극) 필터

ƒ

Roll-off rate, f_c, A_cl : LPF와 비슷

ƒ

이상적인 HPF는 f_c 이상의 주파수는 모두 통과

ƒ

그러나, 연산증폭기는 고주파에서 연산증폭기의 내부 RC로 인해 고주파에서 roll-off가 일어남

Yun SeopYu

능동 고역 통과 필터

1차 (단극) 필터

Yun SeopYu

능동 고역 통과 필터

Sallen-Key 고역통과 필터

Æ -40dB/decade의 기울기를 가지는 2개의 고역통과 필터

Yun SeopYu

Sallen-Key 고역 통과 필터

( )

( )

( )

2 1 2 1 2

2 1

2 2 1

2

2 1 2 1 2

1 1

2 1 2 1

2 1 2

1 1

2 1

2 1

4 3 2

1 3 2

1

4 3

1 1

1 1

1 1

R R C C R

C C

C s C

s

s

R R sC sC sC

sC R

R R sC sC

R sC R

R sC sC

sC

R R

Z Z Z

Z Z Z

Z

Z Z V

A V

in out v

+ + +

=

+ +

= +

⎟⎟ +

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+

=

+ +

= +

=

( )

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

+ =

=

=

>

−

=

=

2 1

2 2

2 1

2 1

0

2 1 2 1 0

2 1 2 1 2

0 2

0

1 1

1 2

1 2 1

C C

R R

C C

C C

Q

R R C f C

R R C f C

ω

π π ω

(

_{1 2}

)

1

2 1 2 1 2

1

2 2 0 1

C C

R

R R C C C

C

R C Q C

= +

= ω +

A

_v

2 4

1 3

2 2

1

1 1 , ,

1 ,

R Z

R sC Z

sC Z

Z = = = =

- 2차 고역통과 필터 전달함수

2 0 2 0

2

)

0

(

ω ₊ ω +

=

Q s s

s s A

H

A₀ = 1,

Yun SeopYu

능동 고역 통과 필터

종속접속한 고역통과 필터: roll-off 기울기를 증가

6극: -120 dB/dec

Yun SeopYu

예제 15-5

Shallen-key 고역통과 필터

f_c = 10 kHz, 2차 버터워스 응답 가정) R = R_A = R_B = R₂ = 3.3 kΩ

C =C_A = C_B라 하자

10kHz (3.3k)C

2π 1 2

1 = =

= RC

f

_c

π

F 0048 .

) 0 (3.3k)(10k 2π

1 = μ

= C

2차 버터워스 Æ DF = 1.414

Æ R₁/R₂ = 2 – DF = 2- 1.414 = 0.586

Æ R₁ = 0.586R₂ = (0.586)(3.3k) = 1.93 kΩ