/½ ¨@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , â í ß – 712-714

2 Ì ¦ R; c" e8 ý ø m É  —  Þ4 Ñ ÷ ¬ Ž7 _T © Ž¿ P <

9

¦ ¾ 6 Ò

@

/½ ¨@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ ,  â í ß – 712-714

‚ Є ç ¡¦  ^∗

 â

· ¡ ¤ @ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , @ /½ ¨ 702-701 (2005¸   10 Z 4 17{ 9  ~ à Î6 £ §)

1

l x{ 9 ô  Ç { 9  [ þ t _  > \  & ñ _ ÷ &  H { 9  _  : Ÿ x >   H 3 " é ¶ ¢ ¸  H Õ ª s  © œ_  " é ¶ \ " f  H ¿ ºt  7 á x À ӓ  

˜

Д > r : Ÿ x > ü < ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x >  ” > r F ô  Ç . Õ ª Q
, 2 " é ¶ € ª œ > \ " f  H { 9   : Ÿ x > _  0 p x$ í s   s `›   ´ ú §



”   . ‘ : r  7 Hë  H \ " f  H s  Qô  Ç { 9   : Ÿ x > _    H" é ¶ \  @ /ô  Ç · ú ˜ 9”   ? /6   x`  ¦ & ñ Ž 7 H “ ¦ s \  ¦ s 6   x # Œ 2 

"

é

¶ € ª œ > \ " f_  { 9   : Ÿ x > _   € ª œ$ í `  ¦ Á ºô  Ç ¨ î €  õ  ½ ¨€  _  \ V\  ¦ [ þ t # Q" f ì  r$ 3 K  ˜ Ðs  ’ x .

PACS numbers: 05.30

Keywords: { 9   : Ÿ x > , ˜ Д > r, ` …Ø Ôp “ : r,   ñ— ¸ž Ðx , Ú ÔY Us × ¼ç  H

I. " e  ] Ø

{ 9

 _  : Ÿ x >   H 1 l x{ 9 ô  Ç { 9  [ þ t – Ð ½ ¨$ í  ) a € ª œ > _  ì  r

$

3 \  ì ø Í× ¼r  " î r ÷ &# Q    H ×  æ כ ¹ô  Ç  † ½ ÓÜ ¼– Ð" f, ¿ º { 9 



_  0 Au  “ § ¨ 8 Š \    É r  1 l x † < Êà º_     o\  _  # Œ
 

?

/# Q”   . / B N ç ß –_  " é ¶ s  3 " é ¶ ¢ ¸  H Õ ª s  © œ_  " é ¶ { 9  M

:_  { 9  _  : Ÿ x >   H é ß – ¿ º t _  : Ÿ x >  7 £ ¤, ˜ Д > r : Ÿ x > ü <

`

…Ø Ôp “ : r : Ÿ x >  ” > r F ô  Ç  [1]. ˜ Д > r _  : Ÿ x > \  ¦ t   H ¿ º { 9

 _  “ § ¨ 8 Š \  @ /ô  Ç  1 l x † < Êà º_     o  H \ O Ü ¼
 ` …Ø Ôp 

“

: r _  : Ÿ x > \  ¦ t   H ¿ º { 9  _  “ § ¨ 8 Š \  @ /K " f  H  1 l x † < Ê Ã

º_   Ҡ ñ  Ÿ ÷ ¶  . s  Qô  Ç { 9  _  ¿ º 7 á x À Ó_  : Ÿ x > _  Ø

 ¦‰ & ³“ É r { 9  [ þ t – Ð ½ ¨$ í  ) a 3 " é ¶ ¢ ¸  H Õ ª s  © œ_  " é ¶ \ " f _

 € ª œ > \  ¦ ¬ ¹    H C 0 A/ B N ç ß –_  0 A © œ& h  ½ ¨› ¸\  l “   ô

 Ç  [2]. € ª œ > _   © œI \  ¦
 ? /  H  1 l x † < Êà º  H C 0 A/ B N ç

ß –\  & ñ _   ) a † < Êà º ÷ &“ ¦, { 9  _  0 Au “ § ¨ 8 Š \    É r † < Êà º _

    o  H { 9  _  : Ÿ x > \  _  # Œ Ô  ¦  s  
 <  ʓ É r  Ҡ ñ

  7 >   ) a  . Ó ü t o | ¾ Ó[ þ t“ É r  1 l x † < Êà º_  ] X @ /u \ ë ß – _ 

”

> r Ù ¼– Ð { 9  _  0 Au  “ § ¨ 8 Š \  _ ô  Ç Ó ü t o & h     o  H \ O > 

 ) a  .

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð @ /g A$ í `  ¦ t   H € ª œ > \  e ” # Q" f @ /g A$ í

\

 › ' aº   ) a   ¨ 8 Š \  _ ô  Ç  1 l x † < Êà º_     o  H † ½ Ó © œ Unitary



 ¨ 8 Š Ü ¼– Ð
 
 9 Ó ü t o | ¾ ӓ É r  1 l x † < Êà º_  ] X @ /u  ] jY  L \  ë

ß – _ ” > r Ù ¼– Ð s  Qô  Ç Unitary    o\  @ /ô  Ç Ó ü t o | ¾ Ó_    



o  H \ O >   ) a  . { 9  [ þ t _  0 Au “ § ¨ 8 Š õ  › ' aº   ) a @ /g A$ í s 

∗

E-mail: [email protected]



– Ð 1 l x{ 9 ô  Ç { 9  [ þ t – Ð ½ ¨$ í  ) a € ª œ >  t   H @ /³ ð& h 

“

  @ /g A$ í s  9, { 9   : Ÿ x > ê ø Í  – Ð s  @ /g A$ í \  › ' aº   ) a



 ¨ 8 Š “   { 9  [ þ t _  0 Au “ § ¨ 8 Š \    É r  1 l x † < Êà º_  Unitary



 ¨ 8 Š _  7 á x À Ó\  _  # Œ ì  r À Ó  ) a  . ë ß –€  •, € ª œ >  3 " é ¶

¢

¸  H Õ ª s  © œ_  " é ¶ _  / B N ç ß –\  Å Ò# Q”   1 l x{ 9 ô  Ç { 9  [ þ t – Ð

½

¨$ í ÷ &# Q e ”   H  â Ä º €   { 9  _  “ § ¨ 8 Š`  ¦
 ? /  H @ /g A

$ í

“ É r Permutation ç  H \  _  # Œ ³ ð‰ & ³÷ & 9 s  ç  H _   ¨ 8 Š Unitary ³ ð‰ & ³“ É r ¿ º t  µ 1 Ú\  ” > r F  t  · ú §  H  . Õ ª ×  æ 

 ˜ Д > r : Ÿ x > \  K { © œ   H Ô  ¦  & h  ³ ð‰ & ³s “ ¦,
 Qt  

 ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x > \  K { © œ   H  Ҡ ñ  7   H ³ ð‰ & ³s 



. Õ ª Q
, € ª œ >  2 " é ¶ / B N ç ß –\  Å Ò# Qt   H 1 l x{ 9 ô  Ç { 9 



[ þ t – Ð ½ ¨$ í ÷ &# Q e ”   H  â Ä º\   H { 9   : Ÿ x > _  0 p x$ í s 



€ ª œK ”   . s  M :_  @ /g A$ í “ É r Permutation ç  H s   m   s

 ˜ Ð   s `›   4 Ÿ ¤ ¸ ú šô  Ç Braid ç  H s  ÷ &l  M :ë  H s   [3].

2 " é ¶ € ª œ > \ " f_  { 9   : Ÿ x >   H e ” _ _  phase factor

“

  e ^iθ – Ð ³ ðl ÷ & 9 θ : Ÿ x >   g Aô  Ç . 7 £ ¤, ¿ º { 9  _  “ § ¨ 8 Š

\

 @ /ô  Ç  1 l x † < Êà º_     o  H " é ¶ A  † < Êà º° ú כ\  e ^iθ \  ¦ Y  L 



 H + þ AI – Ð
 è ß – . Õ ª ×  æ \ " f θ_  ° ú כs  % ò s €   s  { 9 



_  : Ÿ x >   H ˜ Д > r : Ÿ x >  | ¨ c  כ s “ ¦, θ_  ° ú כs  πs €   ` … Ø

Ôp “ : r : Ÿ x >  | ¨ c  כ s  . t ë ß – s  ü @_  ° ú כ[ þ t • ¸ 0 p x

Ù ¼– Ð 2 " é ¶ \ " f_  { 9  _  : Ÿ x >   H  s `›    € ª œô  Ç 0 p x$ í

`

 ¦ ”   “ ¦ ½ + É Ã º e ”  . s  Qô  Ç  € ª œô  Ç 0 p x$ í “ É r { 9   [

þ

t s  Z  ~ # Œe ”   H 2 " é ¶ / B N ç ß –_  0 A © œ& h   © œ S ! \  _  # Œ   & ñ

 )

a  . N> h_  { 9  [ þ t s  R ² \  Z  ~ # Œ e ”   H  â Ä º  H θ _  ° ú כs  0 \ " f 2π t  ƒ  5 Å q& h Ü ¼– Ð — ¸¿ º 0 p x 
, ë ß –€  • s [ þ t s

 ½ ¨€  \  K { © œ   H S ² 0 A\  Z  ~ # Œ4 R e ” `  ¦  â Ä º\   H θ _ 

-19-

° ú

כs  Õ ª ×  æ \ " f _{N −1} ^πk \  K { © œ   H ° ú כ[ þ t ë ß – 0 p x  . # Œl 

"

f k = 0, 1, 2, · · · , (2N − 1) s # Q" f — ¸¿ º 2Nt _    É r { 9

  : Ÿ x >  0 p x >   ) a  .

Õ

ª Q
, 3 " é ¶ ¢ ¸  H Õ ª s  © œ_  " é ¶ _  € ª œ > \ " f_  { 9

  : Ÿ x >   H / B N ç ß –_  0 A © œõ   © œ › ' a s  \ O  .  ë ß – 2 " é ¶ \ 

"

f_  { 9   : Ÿ x > ë ß – { 9   Z  ~ # Œ e ”   H 2 " é ¶ / B N ç ß –_  0 A © œ

&

h  ½ ¨› ¸\  ß ¼>  _ ” > r ô  Ç . \ V\  ¦ [ þ t # Q" f, ½ ¨€   0 A\  Z  ~ # Œ e ”

  H ¿ º > h_  1 l x{ 9 ô  Ç { 9  [ þ t – Ð ½ ¨$ í  ) a € ª œ > \ " f_   0

p

x ô  Ç { 9   : Ÿ x >   H, q 2 Ÿ ¤ ½ ¨€  s  2 " é ¶ s    8 • ¸, ˜ Ð

”

> r : Ÿ x > ü < ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x > _  ¿ º 7 á x À Óë ß –s  0 p x >   ) a  .

II ] X \ " f  H { 9  _  : Ÿ x >  # Qb  G>   Ò q t÷ &  H t \  @ /ô  Ç Ã

º† < Æ& h    H" é ¶`  ¦ · ú ˜ ˜ Г ¦, III ] X \ " f ½ ¨€   0 A_  1 l x{ 9  { 9 



[ þ t _  € ª œ > \  @ /ô  Ç { 9  _  : Ÿ x > \  ¦ ì  r$ 3 K  ˜ Ð .

II. 9 0 üŒ Ÿ «‡ ˜ m8 ý Fundamental ¿ P <Ê Ý ø m É 8 ý

—

 Þ4 

" é ¶ s  D“   z  ´Ã º/ B N ç ß – R ^D \  Z  ~ # Œ e ”   H N > h_  1 l x{ 9  ô

 Ç { 9  [ þ t – Ð ½ ¨$ í  ) a { 9  > \  ¦ “ ¦ 9  . s  > _  C 0 A/ B N ç

ß – C  H ND " é ¶ _  / B N ç ß –s  | ¨ c  כ s  . s  / B N ç ß –_  & h [ þ t

“ É

r y Œ • { 9  [ þ t _  0 Au [ þ t“   N> h_  D " é ¶ 0 Au  7 ˜' [ þ t \  _ 

# Œ Å Ò# Q”   . { 9  [ þ t s  ½ + Ë5 gt   H  â Ä º\  ¦ ] jü @ >  ÷ &

€

 , N> h_  7 ˜' [ þ t ×  æ \ " f # QÖ ¼ ¿ º 7 ˜' • ¸ ° ú  “ É r ° ú כ`  ¦ 

| 9

 à º \ O `  ¦  כ s  .   " f C 0 A/ B N ç ß –“ É r ND " é ¶ _  z  ´Ã º /

B

N ç ß – ×  æ \ " f @ /y Œ •$ í ì  r[ þ t`  ¦ ] jü @ô  Ç q @ /y Œ • $ í ì  r[ þ t – Ð Å Ò

#

Q| 9   כ s  . Õ ªo “ ¦, { 9  [ þ t s  — ¸¿ º 1 l x{ 9  Ù ¼– Ð, e ” _ _ 

¿

º 7 ˜' _  0 Au “ § ¨ 8 Š“ É r ° ú  “ É r  © œI \  ¦
  · p . 7 £ ¤, { 9   [

þ

t _   © œI   H N > h_    É r 7 ˜' [ þ t s  Å Ò# Qt €   í  H " f\   © œ

› '

a\ O s  ° ú  “ É r  © œI \  ¦
 ? />   ) a  . s \  ¦ à º† < Æ& h Ü ¼– Ð ³ ð

‰

&

³ €    6 £ § õ  ° ú    [4].

C = R ^{N D} / ∼

#

Œl " f R ^{N D}   H ND " é ¶ _  z  ´Ã º / B N ç ß –\ " f @ /y Œ •$ í ì  r`  ¦ ] j ü

@ô  Ç / B N ç ß –`  ¦, Õ ªo “ ¦ ∼  H N > h_  7 ˜' [ þ t _  í  H " f\   © œ › ' a s

 \ O 6 £ §`  ¦
  · p . \ V\  ¦ [ þ t # Q" f, C_  ô  Ç & h “ É r N > h_  { 9

 [ þ t _  0 Au  7 ˜' [ þ t ( ~ r 1 , ~ r 2 , · · ·, ~ r N ) \  _  # Œ Å Ò# Qt  9, s  [ þ t 0 Au  7 ˜' [ þ t _  Y V  H ×  æ כ ¹ t  · ú § . 7 £ ¤, { 9   1 õ  { 9   2_  0 Au \  ¦  7 • ¸ ° ú  “ É r & h s  ÷ &# Q

( ~ r 1 , ~ r 2 , · · · , ~ r N ) ∼ ( ~ r 2 , ~ r 1 , · · · , ~ r N ) (1) ü

< ° ú  “ É r d ” s  $ í w n ô  Ç .

s

] j s  / B N ç ß – C\ " f { 9   1õ  { 9   2 % ƒ6 £ § Å Ò# Q”   0

Au \ " f    # Œ " f– Ð 0 Au \  ¦ “ § ¨ 8 Š   H õ & ñ `  ¦ “ ¦ 9 



. s  õ & ñ “ É r C 0 A/ B N ç ß –\   ⠖ Ж Ð
 ± ú ˜  כ s  . r  Œ •

&

h

“ É r d ”  (1)_  ý a  Ü ¼– Ð Å Ò# Q| 9   כ s “ ¦, = å Q
  H & h “ É r d ”  (1) _  Ä º  Ü ¼– Ð Å Ò# Q| 9   כ s  . Õ ª Q
 d ”  (1)\  _  # Œ

¿

º = å Q & h s  C 0 A/ B N ç ß –  © œ\ " f ° ú  “ É r & h s  ÷ &Ù ¼– Ð s   ⠖ Ѝ  H {

Œ

—˜ 2 ³  ⠖ Ð | ¨ c  כ s  . C 0 A/ B N ç ß –\  Å Ò# Q”   ¿ º { Œ —˜ 2 ³  â

–

Ð " f– Ð Â Ò× ¼X O >  ƒ    s  ÷ &  H  â Ä º\   H s [ þ t ¿ º  ⠖ Ð

\

 ¦ " f– Ð   ñ— ¸ž Ði ”   “ ¦ ô  Ç . " f– Ð   ñ— ¸ž Ði ” ô  Ç { Œ —˜ 2 ³  â

–

Ð[ þ t`  ¦ — ¸¿ º 
_   ⠖ Ж Ð ç ß –Å Ò €  " f, C 0 A/ B N ç ß –\  Å Ò

#

Qt   H — ¸Ž  H { Œ —˜ 2 ³  ⠖ Ð[ þ t`  ¦ — ¸Ü ¼€   s [ þ t“ É r 
_  ç  H`  ¦ s

ê  r  . s  ç  H`  ¦ C 0 A/ B N ç ß – C_  Fundamental ç  H s    9 Π 1 (C) – Ð ³ ðl ô  Ç . s  ç  H“ É r C 0 A/ B N ç ß –_  0 A © œ& h  : £ ¤$ í

`

 ¦
  · p .

1

l x{ 9 ô  Ç N > h_  { 9  [ þ t s  Z  ~“   / B N ç ß –_  " é ¶ s  R ³ { 9   â Ä

º\   H C 0 A/ B N ç ß –s  R ^3N / ∼  ÷ & 9 s  C 0 A/ B N ç ß –_  Fun- damental ç  H“ É r N permutation ç  H“   S N s   ) a  .

Π 1 (R ^3N / ∼) = S N . (2) s

 S N ç  H“ É r σ 12 , σ ₂₃ , · · ·, σ _{(N −1)N} – Ð ³ ðl ÷ &  H N −1 > h_  generator [ þ t`  ¦ ”   . σ 12   H { 9   1õ  { 9   2_  “ § ¨ 8 Š`  ¦, σ ₂₃   H { 9   2ü < { 9   3_  “ § ¨ 8 Š`  ¦
 ? / 9, σ (N −1)N “ É r { 9 



 N − 1õ  { 9   N_  “ § ¨ 8 Š`  ¦
 ? /  H " é ¶ ™ ès  .
 Q t

_  " é ¶ ™ è[ þ t“ É r s [ þ t _  Y  L Ü ¼– Ð ³ ðr ½ + É Ã º e ”  . \ V\  ¦ [ þ t

#

Q" f { 9   1õ  { 9   3_  “ § ¨ 8 Š“ É r σ 12 σ ₂₃ σ ₁₂ s  . s [ þ t ç ß – _

 › ' a >   H i = 1, 2, · · · , N − 2 \  @ / # Œ

σ _i(i+1) σ _(i+1)(i+2) σ _i(i+1) = σ _(i+1)(i+2) σ _i(i+1) σ _(i+1)(i+2) (3) ü

< i = 1, 2, · · · , N − 1\  @ / # Œ

(σ _i(i+1) ) ² = 1 (4)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤  9 — ¸Ž  H " é ¶ ™ è_  à º  H N ! s  . s  ç  H _   ¨ 8 Š Unitary ³ ð‰ & ³\  @ / # Œ · ú ˜ ˜ Ð .

ç

 H _   ¨ 8 Š& h  Unitary ³ ð‰ & ³“ É r ç  H _  generator[ þ t \  4 Ÿ ¤ ™ è Ã

º phase factor [ þ t`  ¦ ½ + É{ © œ† < ÊÜ ¼– Ð+ ‹ % 3 `  ¦ à º e ”  . s M : generator [ þ t s  ë ß –7 á ¤   H › ' a > d ” [ þ t`  ¦ ½ + É{ © œ  ) a phase factor [

þ

t • ¸ ë ß –7 á ¤ # Œ  ô  Ç . s  ~ ½ ÓZ O `  ¦ 0 A_  permutation ç  H

\

 & h 6   x K  ˜ Ð . Ä º‚  , N − 1 > h_  generator [ þ t σ 12 , σ 23 ,

· · ·, σ _{(N −1)N} \ >  y Œ •y Œ • e ^iθ

¹

, e ^iθ

²

, · · ·, e ^iθ

^{(N −1)}

`  ¦ ½ + É{ © œô  Ç



. d ”  (3)\  _  # Œ

e ^iθ

ⁱ

e ^iθ

⁽ⁱ⁺¹⁾

e ^iθ

ⁱ

= e ^iθ

⁽ⁱ⁺¹⁾

e ^iθ

ⁱ

e ^iθ

⁽ⁱ⁺¹⁾

(5) l

 ÷ & 9, s – РÒ'  — ¸Ž  H θ i [ þ t“ É r — ¸¿ º ° ú     † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”

 . Õ ª ° ú כ`  ¦ θ    . s  ° ú כ“ É r Æ Ò › ¸| “   d ”  (4)\  _ 

# Œ

(e ^iθ ) ² = 1 (6)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ # Œ  ô  Ç .   " f, θ ° ú כ“ É r 0 ¢ ¸  H π  ÷ &# Q  ô

 Ç . 7 £ ¤, ¿ º t _  0 p x$ í µ 1 Ú\  \ O 6 £ §`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . θ ⁱ

° ú

כ[ þ t s  — ¸¿ º 0“    â Ä º_  { 9  [ þ t`  ¦ ˜ Д > r s  “ ¦ “ ¦, Õ ª

° ú

כ[ þ t s  — ¸¿ º π“    â Ä º_  { 9  [ þ t`  ¦ ` …Ø Ôp “ : r s   ô  Ç .

s

– РÒ'  3 " é ¶ \ " f_  { 9  _  : Ÿ x >   H ˜ Д > r : Ÿ x >  ¢ ¸  H ` … Ø

Ôp “ : r : Ÿ x > _  ¿ º t ë ß –s  ” > r F † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . s  Q ô

 Ç  z  ´“ É r / B N ç ß –_  " é ¶ s  3˜ Ð   H  â Ä º\  Õ ª@ /– Ð & h 6   x

 )

a  .   " f, { 9  [ þ t s  Z  ~ # Œe ”   H / B N ç ß –_  " é ¶ s  3 ¢ ¸  H Õ

ª s  © œ_  " é ¶ \ " f  H { 9  _  : Ÿ x >  ˜ Д > r ¢ ¸  H ` …Ø Ôp 

“

: r ¿ º t ë ß – ” > r F  >   ) a  . t ë ß – { 9  [ þ t s  Z  ~ # Œ e ” 



 H / B N ç ß –_  " é ¶ s  2 " é ¶ “    â Ä º\   H  © œ S ! s  ´ ú §s   Ø Ô



. s \  @ / # Œ · ú ˜ ˜ Ð .

2 " é ¶ z  ´Ã º/ B N ç ß – R ² \  Z  ~ # Œ e ”   H N > h_  1 l x{ 9 ô  Ç { 9   [

þ

t _  C 0 A/ B N ç ß –“ É r R ^2N / ∼   ) a  . s  C 0 A/ B N ç ß –_  Funda- mental ç  H“ É r N Braid ç  H“   B N s   ) a   [3].

Π 1 (R ^2N / ∼) = B N . (7) s

 B N ç  H“ É r S N õ   ð ø Ít – Ð τ 12 , τ ₂₃ , · · ·, τ _{(N −1)N} – Ð

³

ðl ÷ &  H N − 1 > h_  generator [ þ t`  ¦ t  9 s [ þ t ç ß –_ 

› '

a >   H i = 1, 2, · · · , N − 2 \  @ / # Œ d ”  (3)õ  1 l x{ 9 ô  Ç τ i(i+1) τ (i+1)(i+2) τ i(i+1) = τ (i+1)(i+2) τ i(i+1) τ (i+1)(i+2)

(8)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ 
 d ”  (4)\  K { © œ   H › ¸| “ É r ë ß –7 á ¤ ½ + É € 9 כ ¹ \ O 



. s – Ð ´ ú ˜p € Œ ™  B N ç  H _  " é ¶ ™ è_  à º  H Á ºô  Ç@ /  ) a  .

d ”

 (4)\  _ p   H, i   P : { 9  ü < (i+1)  P : { 9  ü <_  0 Au  _

 “ § ¨ 8 Š`  ¦ ¿ º    ì ø Í4 Ÿ ¤   H X < K { © œ   H { Œ —˜ 2 ³  ⠖ Ðü < s 1 l x s

 „  ) € \ O   H  â Ä º\  K { © œ   H & h   ⠖ Ѝ  H 3 " é ¶ _   â Ä º

"

f– Ð   ñ— ¸ž Ði ” † < Ê`  ¦ ´ ú ˜ô  Ç . \ V\  ¦ [ þ t # Q" f, { 9   1õ  { 9   2 _  0 Au \  ¦ ¿ º     Ë ¨  H  ⠖ Ѝ  H { 9   1s  { 9   2\  ¦ ×  æ d ”

Ü ¼– Ð ô  Ç  3 ' [  t  š ¸  H  ⠖ Ð\  K { © œ  9 3 " é ¶ \ " f  H s

  ⠖ Ѝ  H { 9   1s  ë ß –y  e ”   H & h   ⠖ Ðü < 0 A © œ& h Ü ¼– Ð 1

l x{ 9 † < Ê`  ¦ _ p ô  Ç . s   H { 9   2\  ¦ Ñ ü t  Q   H  ⠖ Ð\  ¦ { 9 



 1_  0 Au – Ð » ¡ ¤ ™ èr ~  ´ à º e ”    H 3 " é ¶& h   z  ´– РÒ'  s

K ½ + É Ã º e ”  . Õ ª Q
, 2 " é ¶ \ " f  H { 9   2\  ¦ Ñ ü t  Q 



 H  ⠖ Ð\  ¦ { 9   1_  ô  Ç& h Ü ¼– Ð » ¡ ¤ ™ è½ + É Ã º \ O  . Õ ªX O > 

 9€   { 9  1_   ⠖ Ð  © œ\  { 9   2 Z  ~ s   H  â Ä º\  ¦ ì ø Í× ¼ r

 : Ÿ x õ  # Œ  l  M :ë  H s  .   " f, d ”  (4) ë ß –7 á ¤| ¨ c

€ 9

כ ¹ \ O >   ) a  .

s

 ç  H _   ¨ 8 Š Unitary ³ ð‰ & ³\  @ / # Œ · ú ˜ ˜ Ð . · ú ¡_ 

 â

Ä ºü <  ð ø Ít – Ð Ä º‚  , N − 1 > h_  generator [ þ t τ 12 , τ 23 , · · ·, τ _{(N −1)N} \ >  y Œ •y Œ • e ^iθ

¹

, e ^iθ

²

, · · ·, e ^iθ

^{(N −1)}

`  ¦ ½ + É{ © œ ô

 Ç . d ”  (8)“ É r d ”  (3)õ  1 l x{ 9  Ù ¼– Ð s  [ þ t s  d ”  (5)\  ¦ ë ß – 7

á

¤ # Œ  “ ¦,   " f — ¸Ž  H θ i [ þ t“ É r ° ú     ô  Ç . Õ ª ° ú כ

`

 ¦ θ    . S N õ  ² ú ˜o  B N _   â Ä º\   H  8 s  © œ_  › ¸

|

s  \ O Ü ¼Ù ¼– Ð s  ° ú כ“ É r 0 ¢ ¸  H π ü @\ • ¸  Á º ° ú כs 
  0

p

x  . s  Qô  Ç : Ÿ x > \  ¦ θ : Ÿ x >   “ ¦ s  : Ÿ x > \  ¦ t   H { 9

 \  ¦ anyon s   g Aô  Ç  [5]. \ V\  ¦ [ þ t # Q" f 2 " é ¶ / B N ç ß –

\

" f_  ¿ º > h_  anyon Ü ¼– Ð ½ ¨$ í  ) a € ª œ > _   © œI † < Êà º Ψ( ~ r ₁ , ~ r ₂ )  { 9   1s  ~ r ₁ \ , { 9   2 ~ r ₂ \  e ” `  ¦ S X ‰Ò  ¦”  ; Ÿ ¤

`

 ¦
 ? /  H † < Êà º €  , ° ú  “ É r  © œI s 
 ¿ º { 9  _  0 Au 

“

§ ¨ 8 Š ) a  © œI † < Êà º Ψ( ~ r 2 , ~ r 1 )  H

Ψ( ~ r 2 , ~ r 1 ) = e ^iθ Ψ( ~ r 1 , ~ r 2 ) (9)

\

 ¦ ë ß –7 á ¤ >   ) a  . ë ß –€  • ° ú  “ É r ~ ½ ÓZ O Ü ¼– Ð ¿ º { 9  _  0 Au 

\

 ¦ ô  Ç     8 “ § ¨ 8 Š >  ÷ &€  

Ψ( ~ r ₁ , ~ r ₂ ) = e ^2iθ Ψ( ~ r ₁ , ~ r ₂ ) (10)



  H d ” `  ¦ % 3 >   ) a  . \ O  É r ˜ Ѐ   s  d ” Ü ¼– РÒ'  θ_  ° ú כs  0 ¢ ¸  H π  ÷ &# Q  ô  Ç   H    : r s  • ¸Ø  ¦| ¨ c  כ ° ú  t ë ß –  z  ´

“ É

r Õ ªX O t  · ú § .  r  ´ ú ˜ €   0 A_  d ”  (10)“ É r — ¸Ž  H θ _  ° ú כ

\

 @ / # Œ $ í w n ô  Ç . s   H 2 " é ¶ \ " f_  € ª œ  ^ ‰> _   © œ I

† < Êà º  H 2 " é ¶ ý a³ ð\  ¦ 0 A\ " fü < ° ú  s  Õ ªz ª œ  6   x ½ + É  â Ä º

#

Œ Q ° ú כ`  ¦ | 9  à º e ”   H † < Êà º(multi-valued function)

| ¨

c à º e ”    H  כ s  . y Œ • † < Êà º ° ú כ[ þ t _  s  é ß –t  phase factor s l  M :ë  H \  Ó ü t o | ¾ Óõ  › ' aº   ) a ] X @ /u  ] jY  L _  ° ú כ\ 



 H    o \ O  . 7 £ ¤,

|Ψ( ~ r ₂ , ~ r ₁ )| ² = |Ψ( ~ r ₁ , ~ r ₂ )| ² (11) s

 . d ”  (10)s  ˜ Ðs   H ë  H ] j& h `  ¦ K ™ è l  0 A # Œ  © œI 

†

< Êà º_    à º[ þ t`  ¦ ¿ º { 9  _  ý a³ ð ~ r 1 , ~ r 2 @ /’  \  f ” “ §ý a³ ð

>

\ " f_  | 9 | ¾ Ó×  æd ” ý a³ ð

R = ~ r ~ ₁ + ~ r ₂

2 (12)

ü

< F G ý a³ ð> \ " f_   © œ@ /ý a³ ð

~ r = ~ r 1 − ~ r 2 = r cos φ ^∧ i + r sin φ ^∧ j (13)

\

 ¦  6   x # Œ ³ ð‰ & ³K  ˜ Ð . 7 £ ¤, Ψ = Ψ( ~ R, r, φ)

–

Ð ¿ º“ ¦, 0 A_  d ”  (9)\  ¦ ³ ð‰ & ³ €  

Ψ( ~ R, r, φ + π) = e ^iθ Ψ( ~ R, r, φ) (14)

 ÷ &“ ¦, d ”  (10)“ É r

Ψ( ~ R, r, φ + 2π) = e ^2iθ Ψ( ~ R, r, φ) (15)

  ) a  . d ”  (15)\  _  €   θ : Ÿ x > \  ¦ t   H ¿ º { 9  [ þ t

`

 ¦ l Õ ü t   H  © œI † < Êà º  H d ”  (13)Ü ¼– Ð Å Ò# Qt   H  © œ@ /ý a

³

ð_  y Œ •• ¸ φ\  @ / # Œ Å Òl † < Êà º  _ ” `  ¦
  · p . d ”  (14)  H ¿ º { 9  \  ¦ “ § ¨ 8 Š   H õ & ñ s  & ñ ~ ½ ӆ ¾ Ós 
 % i ~ ½ ӆ ¾ Ós 

\    " f
 
  H phase factor   2 £ §`  ¦ " î S X ‰ y  ô  Ç



. 7 £ ¤,

Ψ( ~ R, r, φ ± π) = e ^±iθ Ψ( ~ R, r, φ)

 ÷ &# Q “ § ¨ 8 Š _  õ & ñ \  _  # Œ  © œI † < Êà º_     o  2 £ §

`

 ¦ · ú ˜ à º e ”  .

III. 2 Ì ¦ R  Œì Å ü; c X N Ë8 ýc Ü R W ë s 4 

s

] j 1 l x{ 9 ô  Ç { 9  [ þ t s  2 " é ¶ ½ ¨€   (S ² ) 0 A\  ” > r F ½ + É  â Ä

º_  € ª œ > \  ¦ “ ¦ 9  . s   â Ä º_  0 A © œ/ B N ç ß –_  funda- mental ç  H“ É r · ú ¡ ] X \ " f s p  ½ ¨ô  Ç Braid ç  H B N õ   _  1

l x{ 9  
 ô  Çt   8 Æ Ò÷ &  H › ¸| \  _  # Œ Å Ò# Q”   .

s

 ç  H`  ¦ B ^∗ _N    .

Π 1 (S ^2N / ∼) = B _N ^∗ . (16) B _N ^∗ ç  H • ¸ B N ç  H õ   ð ø Ít – Ð τ 12 , τ 23 , · · ·, τ (N −1)N – Ð

³

ðl ÷ &  H N − 1 > h_  generator [ þ t`  ¦ t  9 s [ þ t ç ß –_ 

› '

a >   H i = 1, 2, · · · , N − 2 \  @ / # Œ d ”  (8)õ  1 l x{ 9 ô  Ç τ _i(i+1) τ _(i+1)(i+2) τ _i(i+1) = τ _(i+1)(i+2) τ _i(i+1) τ _(i+1)(i+2)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç . # Œl \  { 9   0 Au    H / B N ç ß –s  ½ ¨€  s  



 H : £ ¤ à º$ í M :ë  H \   6 £ § _  Æ Ò& h “   › ' a > d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç .

τ ₁₂ τ ₂₃ · · · τ (N −2)(N −1) τ _{(N −2)N} ² τ (N −2)(N −1) · · · τ ₂₃ τ ₁₂ = 1.

(17) s

 d ” _  l  † < Æ& h  _ p   H  6 £ § õ  ° ú   . Ä º‚   d ” _  ý a  

\

 K { © œ   H  ⠖ Ѝ  H { 9   1`  ¦ `  …  " f   É r N − 1 > h_  { 9

 [ þ t`  ¦ ¢ - a„  y  [  t  " f ] j o \  [  t  9Z  ~  H  ⠖ Ð\  K  {

© œô  Ç . ë ß –€  • { 9  [ þ t s  Z  ~ # Œ e ”   H / B N ç ß –s  ½ ¨€  s   m   Á

ºô  Ç ¨ î €  s % 3  €   s   ⠖ Ѝ  H trivial ô  Ç  ⠖ Г   & ñ t K  e ”

  H  ⠖ Ðü <   ñ— ¸ž Ði ”  t  · ú § .   " f 0 A_  d ” õ  ° ú  “ É r

›

¸| `  ¦ Æ Ò½ + É s Ä » \ O  . Õ ª Q
 ë ß –€  • { 9  [ þ t s  Z  ~ # Œ e ”

  H / B N ç ß –s  ½ ¨€  s  €   — ¸Ž  H { 9  [ þ t`  ¦ Ñ ü t  Q y Œ ™  H  ⠖ Ð



 H ô  Ç& h Ü ¼– Ð " f" fy  » ¡ ¤ ™ èr ~  ´ à º e ”  . s   H ½ ¨€  _   



É r ({ 9  [ þ t s  ” > r F  t  · ú §  H) A á ¤ Ü ¼– Ð  ⠖ Ð\  ¦ `  …  " f ô  Ç

&

h Ü ¼– Ð — ¸`  ¦ à º e ” l  M :ë  H s  . 7 £ ¤, 0 A_  d ” _  ý a  \  K  {

© œ   H  ⠖ Ѝ  H trivial ô  Ç  ⠖ Ðü <   ñ— ¸ž Ði ” † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ” 



. s ] j { 9   2\  ¦ ô  Ç 3 ' [  t o   H  ⠖ Ð C ² \  ¦ “ ¦ 9  .

s

  ⠖ Ѝ  H

C ₂ = τ ₂₃ τ ₃₄ · · · τ (N −2)(N −1) τ _{(N −2)N} ² τ (N −2)(N −1) · · · τ ₂₃ τ ₁₂ ²

= 1

–

Ð j þ t à º e ”  . s   ⠖ Е ¸ ô  Ç& h _   ⠖ Ðü <   ñ— ¸ž Ði ”  Ù ¼

–

Ð 1s  ÷ &# Q  ô  Ç .

τ 23 · · · τ (N −2)(N −1) τ _{(N −1)N} ² τ (N −2)(N −1) · · · τ 23 τ ₁₂ ² = 1 (18) Õ

ª Q
, s  d ” “ É r 0 A_  d ”  (17)– РÒ'  Ä »• ¸÷ &  H d ” s Ù ¼– Ð D

h– Ðî  r › ' a > d ” s  ÷ &t  3 l w ô  Ç . d ”  (17)_  ý a8 £ ¤ \  τ 12 ⁻¹ \  ¦ Y

 L “ ¦ Ä º8 £ ¤ \  τ ¹² \  ¦ Y  L €   d ”  (18)`  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”  .   Ë

¨– Ð [  t o  
 ¢ ¸  H s  ü @_  — ¸Ž  H ô  Ç 3 ' [  t o   H  ⠖ Ð_ 

 â

Ä º 0 A_  d ”  (17)– Ð K   H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  .   " f Ä º o

 " é ¶   H ç  H“ É r d ”  (8)õ  d ”  (17)– Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H N − 1 > h _

 generator [ þ t τ 12 , τ 23 , · · ·, τ (N −1)N \  _  # Œ generate

÷

&  H ç  H s  .

s

 { 9  [ þ t _  : Ÿ x > \  ¦ ì  r À Ó l  0 A # Œ s  ç  H _   ¨ 8 Š ³ ð

‰

&

³\  @ / # Œ · ú ˜ ˜ Ð .  ¨ 8 Š ³ ð‰ & ³_   â Ä º d ”  (8)\  _  

#

Œ · ú ¡ ] X _   â Ä ºü <  ð ø Ít – Ð — ¸Ž  H generator [ þ t _  ° ú כs 

° ú

    ô  Ç . Õ ª ° ú כ`  ¦ e ^iθ    . Õ ª Q
, · ú ¡ ] X _   â Ä º ü

<   É r & h “ É r # Œl \  Æ Ò– Ð › ¸| s  
  8 ” > r F ô  Ç   H

 כ

s  . 7 £ ¤, d ”  (17)\  _  # Œ

e ^{i2(N −1)θ} = 1 (19)

`

 ¦ ë ß –7 á ¤ # Œ  ô  Ç . s  d ” _  K   H θ k = πk

N − 1 (20)

–

Ð Å Ò# Qt  9 k = 0, 1, · · · , 2N − 3s  .   " f, 2(N − 1)

t _  { 9   : Ÿ x >  0 p x † < Ê`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . { 9  [ þ t s  ” > r F

   H / B N ç ß –s  R ² “    â Ä º\   H — ¸é  H ƒ  5 Å q& h “   { 9   : Ÿ x > 

 0 p x % i Ü ¼
 S ² “    â Ä º\   H Ä »ô  Çô  Ç > hà ºë ß –s  0 p x

# Œ  H s  z Œ ™`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . k = 0{ 9   â Ä º ˜ Д > r _

 : Ÿ x > \  K { © œ “ ¦ k = N − 1{ 9   â Ä º ` …Ø Ôp “ : r \  K  {

© œô  Ç . ë ß –€  • { 9   ¿ º > hë ß – Z  ~ # Œ e ”   H  â Ä º, s  { 9  [ þ t _

 : Ÿ x >   H ˜ Д > r ¢ ¸  H ` …Ø Ôp “ : r ¿ º t ë ß – ” > r F  >   ) a  .

[

j > h_  { 9  – Ð  ) a € ª œ > _   â Ä º, { 9  _  : Ÿ x >   H 4 t 

 0 p x  . ˜ Д > r : Ÿ x > ü < ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x >  ü @\  ¿ º t 

  8 ” > r F   9
 Qt  ¿ º t _   â Ä º\   H { 9  _  “ § ¨ 8 Š

\

 @ /ô  Ç † < Êà º_     o ±i ë ß –
p u _  0 A © œ“   _  Y  L Ü ¼– Ð
 

è ß – .

IV. + s Ç Â ] Ø

· ú

¡\ " f ˜ Ѐ Œ ¤1 p w s  { 9  _  : Ÿ x >   H { 9  _  $ í | 9 \  _  

#

Œ
 
|   t ë ß – C 0 A/ B N ç ß –_  0 A © œ& h  : £ ¤ s $ í \  ß ¼>  ý

aÄ º H † d`  ¦ · ú ˜ à º e ”  . 3 " é ¶ ¢ ¸  H Õ ª s  © œ_  " é ¶ \ " f_  { 9

 _  : Ÿ x >   H ˜ Д > r : Ÿ x >  ¢ ¸  H ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x > _  ¿ º 

t

ë ß – ” > r F ô  Ç . ˜ Д > r : Ÿ x > \  _ ô  Ç  © œI † < Êà º  H ¿ º { 9  _ 

“

§ ¨ 8 Š \  @ /ô  Ç  © œI † < Êà º_     o \ O Ü ¼
, ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x > 

\

 _ ô  Ç  © œI † < Êà º  H ¿ º { 9  _  “ § ¨ 8 Š \  @ / # Œ  Ҡ ñ  

Ÿ

÷

¶  . Õ ª Q
, 2 " é ¶ / B N ç ß –\ " f_  { 9  _  : Ÿ x >   H  s `›    

€

ª œ # Œ ˜ Д > r õ  ` …Ø Ôp “ : r : Ÿ x > \  ¦ Ÿ í† < Ê   H θ : Ÿ x > – Ð ì  r À

Ó  ) a  . s   â Ä º_   © œI † < Êà º  H ¿ º { 9  _  “ § ¨ 8 Š \  @ / # Œ phase factor ë ß –
p u _     o { 9 # Qè ß – .

ë

ß –€  • { 9  [ þ t s  R ² \  Z  ~ # Œ e ”   H  â Ä º\   H { 9  [ þ t _  à º

\

  © œ › ' a\ O s  ƒ  5 Å q& h “   : Ÿ x >  0 p x  . 7 £ ¤, e ” _ _  0 A



© œ“    e ^iθ \  _  # Œ { 9   : Ÿ x >  Å Ò# Q| 9  à º e ”  . Õ ª Q

, { 9  [ þ t s  Z  ~ # Œ4 R e ”   H / B N ç ß –s  ½ ¨€  \  K { © œ   H S ² “  

 â

Ä º\   H  © œ S ! s  ² ú ˜ ”   . s   â Ä º\   H š ¸– Ðt  Ä »ô  Çô  Ç

>

hà º_  { 9   : Ÿ x > ë ß –s  0 p x “ ¦ ¢ ¸ô  Ç Õ ª à º• ¸ { 9  _  à º

\

 _ ” > r ô  Ç . { 9  _  à º Ns €   0 p x ô  Ç { 9   : Ÿ x > _  7 á x À

Ӎ  H 2N − 2 t ë ß – 0 p x  . s  Qô  Ç 0 p x$ í [ þ t“ É r C 0 A /

B

N ç ß –_  0 A © œ& h   © œ S ! \  _  # Œ   & ñ  ) a  . Õ ª Q
. S ²  © œ

\

" f_  { 9  > _  € ª œ  o  H R ² _   â Ä ºü < ² ú ˜o  ] j€  • (con- straint) s  ” > r F  “ ¦, s – Ð “   # Œ s   7 Hë  H \ " f ƒ  / å L ô  Ç C  0

A/ B N ç ß –_  fundamental ç  H _  unitary ³ ð‰ & ³\  _ ô  Ç { 9   : Ÿ x

>

_  — ¸Ž  H 0 p x$ í [ þ t s  — ¸¿ º z  ´‰ & ³| ¨ c à º e ” `  ¦ t   H · ú ¡Ü ¼– Ð _

 ƒ  ½ ¨_  @ / © œs  .  ë ß –, s   7 Hë  H \ " f  H { 9   : Ÿ x > _ 

0 p x$ í _  # 3 0 A\  ¦ › ¸  % i  .

s

 Qô  Ç { 9   : Ÿ x > _   € ª œ$ í “ É r z  ´] j– Ð › ' a8 £ ¤ ½ + É Ã º e ”   H Ó

ü

t o | ¾ Ó[ þ t \ >  % ò † ¾ Ó`  ¦ ï  r  . \ V\  ¦ [ þ t # Q" f € ª œ   ^ ‰> \ 

"

f_  \  -t  Û ¼& 7 ˜à Ô! 3 “ É r { 9  _  : Ÿ x > \  _ ” > r ô  Ç . : £ ¤ y  2 " é ¶ Ó ü t o  ‰ & ³ © œõ  › ' aº   ) a ì  r à º € ª œ f . Ë ´ òõ , ¢ ¸  H œ í„  

•

¸ ‰ & ³ © œ 1 p x s  2 " é ¶ θ : Ÿ x > ü < › ' aº  s  e ”  “ ¦ b ” # Qt “ ¦ e ” 



.

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] J. M. Leinaas and J. Myrheim, Nuovo Cimento B 37, 1 (1977); F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 48, 1144 (1982); F. Wilczek and A. Zee, Phys. Rev. Lett. 51, 2250 (1983); Y. S. Wu, Phys. Rev. Lett. 52, 2103 (1984).

[2] D. J. Thouless and Y. S. Wu, Phys. Rev. B 31, 1191 (1985); R. Tao and Y. S. Wu, Phys. Rev. B 31, 6859 (1985).

[3] Cf. J. Birman, Braids, Links and Mapping Class Groups (Princeton University Press, Princeton, 1973).

[4] V. Kalmeyer and R. B. Laughlins, Phys. Rev. Lett.

59, 2095 (1987).

[5] F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 49, 957 (1982); D. P.

Arovas, R. Schrieffer, F. Wilczek and A. Zee, Nucl.

Phys. B 251, 117 (1985).

Two-Dimensional Particle Statistics and the Braid Group

Kyu-Chan Bae

Department of Physics, Daegu University, Gyeongsan 712-714 Sang Gyu Jo ^∗

Department of Physics, Kyungpook National University, Daegu 702-701 (Received 17 October 2005)

Two kinds of the particle statistics exist for a quantum system of identical particles on three-or higher-dimensional space. They are bosonic statistics and fermionic statistics. However, if the dimensionality of the space is two, many more statistics, in addtion to the usual two statistics, become possible. In this work, we discuss the origins of the statistics and analyze two-dimensional particle statistics with two examples of R

²

space and S

²

space.

PACS numbers: 05.30

Keywords: Particle statistics, Boson, Fermion, Homotopy, Braid group

∗

E-mail: [email protected]