(1)도함수의 활용

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(1)도함수의 활용. 달이 지구의 둘레를 타원형 궤도로 공전하다가 지구와 가장 가까워졌을 때 보름달이 뜨면 평소보다 밝고 크게 보이는데, 이 현상을 슈퍼문 TVQFSNPPO 이라고 부르기도 한다. 슈퍼문 이 나타날 때에는 밀물과 썰물의 차가 평소보다 커진다. 이와 같이 자연 속에는 행성의 위치 변화, 수면의 높이 변화 등 다양한 변화 현상이 있다. 이러한 변화 현상에 숨겨진 질서와 규칙 은 미분을 이용하여 분석할 수 있다.. 출처 •NASA, 「November Supermoon a Spectacular Sight」 •김남희 외 5인, 『수학교육과정과 교재연구』. 준비 학습 ●직선의 방정식 자신 있음 복습 필요. 1 다음 직선의 방정식을 구하시오. ⑴ 기울기가 이고, 점 , 을 지나는 직선 ⑵ 기울기가 이고, 점 , 을 지나는 직선. ●도함수 자신 있음 복습 필요. 72 │Ⅱ. 미분. 2 다음 함수를 Y에 대하여 미분하시오. ⑴ ZYA

(2) Y

(3) . ⑵ ZYA

(4) YA

(5) .

(6) 접선의 방정식 학습 목표 •접선의 방정식을 구할 수 있다.. 개념. 1. ၟᇫīᙿ෣ᯛᬐ⦿ᩓᱸᖇᮿ႐ᱼᝄ᮫ᨛਢóǓ⧇ʳ". 탐구하기. 오른쪽 그림은 곡선 ZYA

(7) 위의 점 에서의 접선 M을 그린 것이다.. Z. 물음에 답하여 보자.. 1. 접선 M의 기울기를 구해 보자.. 2. 접선 M의 방정식을 구하는 방법을 말하여 보자.. . M. Y. 0. ZYA

(8) . 미분계수를 이용하여 접선의 방정식을 구해 보자. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능할 때, 곡선. Z. ZG Y 위의 점 1 B, G B. 에서의 접선의 기울기는 YB에서의 미분계수 GA B 와 같다. 배웠어요!. 고1. 점 Y, Z 을 지나고 기 울기가 N인 직선의 방정 식은 ZZN YY. ZG Y. 1 B G B. 따라서 곡선 ZG Y 위의 점 1 B, G B. 에서의 접선 은 점 1를 지나고 기울기가 GA B 인 직선이므로 접선의. Y. 0. 방정식은 다음과 같다. ZG B GA B YB. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 접선의 방정식 함수 G Y 가 YB에서 미분가능할 때, 곡선 ZG Y 위의 점 1 B, G B. 에서의 접선의 방정식은 ZG B GA B YB. 2. 도함수의 활용 │. 73.

(9) 예제. 1. 다항함수는 미분가능하다.. 곡선 ZYA

(10) Y 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하시오.. 풀이. AG Y YA

(11) Y라고 하면. ZY

(12) Y. Z. GA Y Y

(13) . . 점 , 에서의 접선의 기울기는 0. GA @

(14) . . Y. . 따라서 구하는 접선의 방정식은 Z Y. ZY ZY. 문제. 1. 다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하시오.. ⑴ ZYA

(15) Y. 예제. 2. , . ⑵ ZYA

(16) Y. , . 곡선 ZYA

(17) Y

(18) 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 구하시오.. 풀이. Z. AG Y YA

(19) Y

(20) 이라고 하면 A. GA Y Y

(21) . 접점의 좌표를 B, G B. 라고 하면 접선의 기울기가 이므로 GA B B

(22) , B . 이때 AG A

(23) @

(24) 이므로 구하는 접선은 점 , 을 지나고 기울기가 인 직선이다. 따라서 구하는 접선의 방정식은. 0. . Y. ZY

(25) Y

(26) . Z Y. ZY

(27) ZY

(28) . 문제. 2. 다음 곡선에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 구하시오.. ⑴ ZYAY

(29) . 74 │Ⅱ. 미분. ⑵ ZYA.

(30) 예제. 3. 점 에서 곡선 ZYA

(31) 에 그은 접선의 방정식을 구하시오.. 풀이. Z. 접점의 Y좌표를 B라고 하면 접점의 좌표는 B, BA

(32) 이다. AG Y YA

(33) 이라고 하면 GA Y Y이므로. . YB에서의 접선의 기울기는 AGA B B 즉, 접점 B, BA

(34) 에서의 접선의 방정식은 Z BA

(35) B YB. Y. 0. ZBY

(36) BA

(37) 이 접선이 점 , 를 지나므로 BA

(38) , BA. ZY

(39) . B

(40) B B 또는 B 따라서 구하는 접선의 방정식은 ZY

(41) 또는 ZY

(42) ZY

(43) 또는 ZY

(44) . 문제. 3. 다음 곡선 위에 있지 않은 주어진 점에서 이 곡선에 그은 접선의 방정식을 구하시오.. ⑴ ZYA

(45) . , . ⑵ ZYAY. 문제 해결. 생각과 표현. , . 추론. 창의・융합. 곡선 Z YA

(46) 위의 점 "[ ]에서의 접선과 수직이면서 이 곡선에 접하는 직선 M의 방정식을 구하고, 그 과정을 친구들에게. Z. Z. 의사소통. YA

(47) . 설명해 보자. 실마리. 서로 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 이다. "[ ] Y 0 M. 2. 도함수의 활용 │. 75.

(48) 수학 들여다 보기. 공학 도구. 개념 탐구 하. ‫╃⩼⧃᧸݋‬ᮿᱸᖇ. 찬열아, 아래 풀이에서 내가 구한 접선의 방정식이 맞는 걸까?. Z. 쪽에서 배운 것처럼 컴퓨터 프로그램을 사용하여 곡선 지아. 상. 중. 난이도. ▲. ZG Y. ZYA을 그려 보니 접선이 곡선을 뚫고 지나가.. Z ▲. 0. 문제: 곡선 ZYA 위의 점 에서의 접선의 방정식을. Y. 구하시오. 풀이: G Y YA이라고 하면 G Y YA 점 에서의 접선의 기울기는 G 이므로 접선의 방정식은 Z이다.. 입력 ❶: 입력 ❷: 입력 ❸:. f(x)=x ^ 3 (0, 0) 접선 [A, f]. 접선의 방정식은 맞는데, 이상하네. 선생님, 접선은 곡선과 한 점에서 만나면서 곡선을 스쳐 지나가야 하지 않나요? 찬열. 곡선 ZG Y 위의 한 점 B, G B. 에서의 접선은 기울기가 YB에서의 미분계수 G B 와 같고 점 B, G B. 를 지나는 직선을 뜻해요. 따라서 곡선을 뚫고 지나갈 수도 있고, YB가 선생님. 아닌 다른 점에서 곡선과 만날 수도 있어요. 다음과 같이 다양한 형태의 접선들이 있지요.. 곡선과 한 점에서 만나면서. 곡선을 뚫고 지나가는 형태. 곡선을 스쳐 지나가는 형태. 탐구. 접점 외에 다른 점에서 곡선과 만나는 형태. 곡선 ZYAY

(49) 위의 점 에서의 접선을 쪽에서와 같은 방법으로 컴퓨터 프로그램을 사용하여 그리면 오른쪽 그림과 같다.. Z. ▲. 접선의 방정식을 직접 구하여 그 결과를 비교해 보자.. ZG Y. ▲. 0 입력 ❶: 입력 ❷: 입력 ❸:. 76 │Ⅱ. 미분. f(x)=x ^ 3-2x+1 (-1, 2) 접선 [A, f]. Y.

(50) 평균값 정리 학습 목표 •함수에 대한 평균값 정리를 이해한다.. 개념. 1. ೋᮿᱼณ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 과속 방지 턱은 통행 차량의 과속 주행을 방. Z(N). 지하기 위한 시설물이다. 어떤 과속 방지 턱의. ZG Y. 단면을 오른쪽 그림과 같이 좌표평면에 나타 낼 때, 원점에서 YN 떨어진 지점에서의 윗면. 0. . Y(N). 의 높이를 AG Y N라고 하자. AG Y . YA

(51) Y Y. . 일 때, AG G 임을 확인해 보고, 열린구간 에서 A. . AGA D 인 D가 존재하는지 생각해 보자.. 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린. Z. 구간 B, C 에서 미분가능할 때, G B G C 이면 오른쪽 그림과 같이 열린구간 B, C 에서 곡선 ZG Y 는 기울기가 인 접선을 가지는 것을 알. ZG Y. G B G C. 0 B. D. Dm C. Y. 수 있다.. 일반적으로 다음과 같은 성질이 성립하는데, 이것을 롤의 정리라고 한다. 롤의 정리 함수 AG Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능할 때, AG B G C 이면 GA D 인 D가 B와 C 사이에 적어도 하나 존재한다.. 2. 도함수의 활용 │. 77.

(52) 최대・최소 정리 함수 AG Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이면 함수 AG Y 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.. 최대・최소 정리를 이용하여 롤의 정리를 증명해 보자.. Z. 함수 ZG Y 가 상수함수일 때 열린구간 B, C 에 속하는 모든 D에서. ZG Y. G B G C. AGA D 이다. 0. 함수 ZG Y 가 상수함수가 아닐 때 AG B G C 이므로 G Y 는 열린구간 B, C 에. I. Z. G D. ZG Y. G B G C. 충분히 작은 실수 I I

(53) 에 대하여. 최댓값. C Y. D. Z. 속하는 YD에서 최댓값 또는 최솟값을 가진다. ① YD에서 최댓값 G D 를 가진다면 절댓값이. B. 0. C Y. B D. AAG D

(54) I G D , 즉 G D

(55) I G D D. 0. I. D

(56) I. 이므로. Y. I이면 Z. AG D

(57) I G D. AG D

(58) I G D. , I이면 y I I. 이다. 그런데 함수 G Y 는 YD에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아. 최댓값. 야 한다. 즉, 0. D D

(59) I. Y. MJN. IAZA. AG D

(60) I G D. AG D

(61) I G D. MJN IAZA

(62) I I. 이다. 따라서 AGA D MJN IAZA. AG D

(63) I G D. 이다. I. ② 같은 방법으로 YD에서 최솟값을 가질 때에도 GA D 임을 보일 수 있다. 보기. 함수 G Y YA

(64) Y

(65) 은 닫힌구간 <, >에서 연속이고. Z. 열린구간 , 에서 미분가능하며, G G 이므로 롤의 정리에 따라 GA D 인 D가 과 사이에 적어도 하나 존재한 다. 실제로 D의 값을 구해 보면 AGA Y Y

(66) 에서 AGA D D

(67) 이므로 D. Z G Y ]Y] . 0. . 78 │Ⅱ. 미분. 0 . Y. . ZG Y. 롤의 정리는 함수 AG Y 가 열린구간 B, C 에서 미분가능할 때 성립한다는 것에 주의한다. 예를 들어 AAG Y ]Y]는 닫힌구간 <, >에서 연속이고 AG G 이지만 열린구간 , 에서 Y일 때 미분가능하지 않으므로 롤의 정리를 적용할 수 없다.. Y. 문제. 참고. . 1. 함수 G Y YAY

(68) 일 때, 닫힌구간 <, >에서 롤의 정리를 만족시키는 실수 D의 값 을 구하시오..

(69) 개념. 2. ⠰ɇyᱼณ௧ྛᨮᯣʳ" 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능할 때, AG C G B. 는 곡선 ZG Y 위의 두 점 1 B, G B. , CB 2 C, G C. 를 지나는 직선의 기울기이다.. Z. 2. G C. 이때 오른쪽 그림과 같이 열린구간 B, C 에서 곡선 AG C G B. ZG Y 는 기울기가 인 접선을 가지는 CB. ZG Y. G B. 0. 1. B D. Y. Dm C. 것을 알 수 있다.. 일반적으로 다음과 같은 성질이 성립하는데, 이것을 평균값 정리라고 한다. 평균값 정리 함수 AG Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능하면. 평균값 정리에서 AG B G C 일 때가 롤의 정리이므로, 평균값 정리는 롤의 정리를 일반화한 것 이라고 볼 수 있다.. AG C G B. GA D. CB 인 D가 B와 C 사이에 적어도 하나 존재한다.. 롤의 정리를 이용하여 평균값 정리를 증명해 보자.. 곡선 ZG Y 위의 두 점 1 B, G B. , 2 C, G C. 를 지나는 직선의 방정식을 ZH Y 라고 하면. G C. AG C G B. YB

(70) G B. CB. G B. . H Y . ZG Y. 2 ZH Y. Z. 이다. 이때 I Y G Y H Y 라고 하면 함수. 1. 0 B. D. C. Y. I Y 는 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고 열린구간 B, C 에서 미분가능하며 I B I C 이다. 어떤 구간에서 함수 AG Y , H Y 가 연속이면 그 구간 에서 함수 AG Y H Y 도 연속이다. 또, 어떤 구간에서 함수 AG Y , H Y 가 미분 가능하면 그 구간에서 함수 AG Y H Y 도 미분가능 하다.. 따라서 롤의 정리를 이용하면 I D GA D HA D GA D . AG C G B. CB. 인 D가 B와 C 사이에 적어도 하나 존재한다. 즉, AG C G B. GA D. CB 인 D가 B와 C 사이에 적어도 하나 존재한다.. 2. 도함수의 활용 │. 79.

(71) 예제. 1. 함수 G Y YAY일 때, 닫힌구간 < >에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 D의 값을 구하시오.. 풀이. 함수 G Y YAY는 닫힌구간 <, >에서 연속이고. Z. ZG Y. 열린구간 , 에서 미분가능하므로 평균값 정리에 따라 AG G . GA D. . D. 인 D가 과 사이에 적어도 하나 존재한다. 이때. . 0. Y. AG G . 이고 . GA Y Y에서 AGA D D이므로 D, D, D. . 문제. 2. 함수 G Y 가 다음과 같을 때, 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 D의 값을 구하 시오.. ⑴ AG Y YA

(72) Y. 예제. 2. <, >. ⑵ AG Y YA

(73) Y

(74) . <, >. 함수 G Y 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 B C 에서 미분가능할 때, 열린구간 B C 에 속하는 모든 Y에서 GA Y 이면 함수 G Y 는 닫힌구간 에서 상수함수임을 보이시오.. 풀이. BYC인 임의의 실수 Y에 대하여 닫힌구간 <B, Y>에서 평균값 정리를 적용하면 AG Y G B. GA D. YB 인 D가 B와 Y 사이에 적어도 하나 존재한다. 그런데 가정에서 GA D 이므로 AG Y G B , 즉 AG Y G B. 따라서 함수 G Y 는 닫힌구간 <B, C>에서 상수함수이다.. 문제. 3. 함수 G Y , H Y 가 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간 B C 에서 미분가능할 때, 열린구간 B C 에 속하는 모든 Y에서 GA Y HA Y 이면 닫힌구간 에서 AG Y H Y

(75) D ( D는 상수)임을 보이시오.. 80 │Ⅱ. 미분.

(76) 함수의 증가와 감소, 극대와 극소 학습 목표 •함수의 증가와 감소, 극대와 극소를 판정하고 설명할 수 있다.. 개념. 1. ⧏ᙿᮿḄgᪧwᗳ‫ۻ‬ᨛਢóᦳᙿᯯ᮫ʳ". 생각 열기. 공기 중에 수증기가 포함된 정도를 나타내는 습도는 시각에 따라 연속하여 변한다. 다음 그림은 어느 지역의 하루 동안의 습도를 측정하여 나타낸 그래프이다. 물음에 답하여 보자. () 0. . . . (시). 출처 기상청, 2016. 1. 몇 시부터 몇 시까지 습도가 높아지는가?. 2. 몇 시부터 몇 시까지 습도가 낮아지는가?. 함수 G Y 가 어떤 구간에 속하는 임의의 두 실수 Y, Ym에서 YYm일 때, G Y G Ym. 이면, 함수 G Y 는 이 구간에서 증가한다고 한다. 또, YYm일 때, G Y G Ym. 이면, 함수 G Y 는 이 구간에서 감소한다고 한다. 증가. Z. ZG Y. 감소. ZG Y Z. G Ym. G Y. G Y. 0. G Ym. Y. Ym. Y. 0. Y. Ym. Y. 2. 도함수의 활용 │. 81.

(77) 보기. 함수 G Y YA에서 ⑴ 이상인 두 실수 Y, Ym에서. Z. ZG Y. YYm이면 YAYmA, 즉 AG Y G Ym. 이므로 함수 G Y YA은 구간 <, b 에서 증가한다. ⑵ 이하인 두 실수 Y, Ym에서. 감소. 증가. YYm이면 YAYmA, 즉 G Y G Ym. 문제. 1. Y. 0. 이므로 함수 G Y YA은 구간 b, >에서 감소한다.. 함수 AG Y YA 이 구간 에서 평균값 정리에 따라 AG Ym G Y. GA D. YmY 인 D가 Y과 Ym 사이에 적어도 하나 존재한다. GA Y 의 부호에 따라 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.. 열린구간 B, C 의 임의의 Y에서 GA Y 이면. Z. ZG Y. AG Ym G Y. GA D YmY 이므로 G Ym G Y 의 부호와 YmY의 부호는 일 치한다. 즉,. 0 B Y. Y C. Y. D Y C. Y. D. G Ym G Y 이다. 따라서 함수 G Y 는 이 구간에서 증가한다. 열린구간 B, C 의 임의의 Y에서 GA Y 이면. Z. ZG Y. AG Ym G Y. GA D YmY 이므로 G Ym G Y 의 부호와 YmY의 부호는 서 로 반대이다. 즉, G Ym G Y 이다. 따라서 함수 G Y 는 이 구간에서 감소한다.. 82 │Ⅱ. 미분. 0 B Y.

(78) 앞의 내용을 정리하면 다음과 같다. 함수의 증가와 감소 함수 G Y 가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구간에 속하는 모든 Y에서. 1. GA Y 이면 G Y 는 그 구간에서 증가한다. 2. GA Y 이면 G Y 는 그 구간에서 감소한다.. 참고. 일반적으로 위의 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 AG Y YA 은 임의의 두 실수 Y, Ym에서. Z. ▲. ZY. YYm이면 YAYmA, 즉 AG Y G Ym. 이므로 실수 전체의 구간 b b 에서 증가한다.. ▲. 그러나 AGA 이다.. 0. 입력:. 예제. 1. y=x ^ 3. 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.. ⑴ AG Y YAY

(79) AGA Y 이 되는 Y의 값 은 증가하는 구간과 감소 하는 구간에 동시에 포함 될 수 있다.. Y. 풀이. ⑵ AG Y YA

(80) YAY. ⑴ GA Y YA Y

(81) Y. GA Y 에서 Y 또는 Y GA Y 의 부호를 조사하여 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. Y. U. . U. . U. GA Y.

(82). . . .

(83). G Y. ↗. . ↘. . ↗. 따라서 함수 G Y 는 구간 b, >에서 증가하고, 구간 <, >에서 감소하며 오른쪽 표에서 ↗는 함수가 증가하는 것을, ↘는 함수가 감소하는 감 것을 나타낸다. 나타낸. 구간 <, b 에서 증가한다. ⑵ GA Y YA

(84) Y Y A GA Y 에서 Y GA Y 의 부호를 조사하여 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. Y. U. . U. GA Y. . . . G Y. ↘. . ↘. 따라서 함수 G Y 는 구간 b, >, <,b 에서 감소한다. 즉, Y의 좌우에서 감소 하므로 이 함수는 실수 전체의 구간 b, b 에서 감소한다. ⑴ 구간 b, >에서 증가, 구간 <, >에서 감소, 구간 <, b 에서 증가 ⑵ 구간 b, b 에서 감소. 2. 도함수의 활용 │. 83.

(85) 문제. 2. 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.. ⑴ AG Y YAY

(86) . 속. 문제. 생활. 3. E-: 데시리터 -ENH: 밀리그램. 운동을 많이 한 후 근육이 당기거나 아픈 까닭은 젖산이 축적되기 때문이라고 한다. 한 운동 선수가 어떤 운동을 마치고 U시간이 지난 후, 그 선수의 혈중 젖산 농도 AG U NHE-를 G U . HNH. ⑵ AG Y YA

(87) YAY. UA UA

(88) U

(89) . 이라고 하자. 이 운동 선수가 운동을 마친 후 혈중 중 하 젖산 농도가 증가하는 시각 U의 값의 범위를 구하 시오. 단, U. 출처 백일영, 『운동과 에너지 대사』. 문제 해결. 생각과 표현. 추론. 창의・융합. 의사소통. 다음은 삼차함수 AG Y , H Y , I Y 의 도함수 ZGA Y , ZHA Y , ZI Y 의 그래프를 보고 세 학생이 나눈 대화이다.. 함수 G Y 는 구간 b, b. 에서 증가해.. 함수 H Y 는 구간 b, ]에서 감소하고, 구간 <, b 에서 증가해.. Z ZG Y. 함수 I Y 는 구간 b, >, <, b 에서 증가하고, 구간 <, >에서 감소해. Z ZI Y. Z ZH Y. 0 0 재영. 혜리. Y. 0. Y. . . Y 준우. 삼차함수 AG Y , H Y , I Y 의 증가와 감소를 말한 학생의 설명에서 잘못된 부분을 찾아 친구들과 이야기해 보자.. 84 │Ⅱ. 미분.

(90) 2. 개념. ⧏ᙿᮿɠ‫ݧ‬ᪧɠᗳ௧ྛᨮᯣʳ". 생각 열기. 전력거래소는 전력 시장을 운영하면서 전력의 수요를 예측하여 전기를 안정적으로 공급하는 역할을 한다. 다 음 그림은 전력거래소에서 어느 여름날 하루 동안의 전력 사용량을 조사하여 나타낸 그래프이다. 물음에 답하 여 보자.. 1. 이날 전력 사용량이 증가하다가 감소하기 시작하는 시각을 찾아보자. 그 시각의 좌우에서 곡선에 접하는 직선의 기울기의 부호는 어떻게 변하는지 말하여 보자.. 2. 이날 전력 사용량이 감소하다가 증가하기 시작하는 시각을 찾아보자. 그 시각의 좌우에서 곡선에 접하는 직선의 기울기의 부호는 어떻게 변하는지 말하여 보자.. 실시간 전력 사용량 현황. 관심. 주의. 준비. 만 L8. . 경계. . 심각. 0. 정상. . . . . . . . (시). 출처 전력거래소, 2016. Z. 함수 G Y 가 YB를 포함하는 어떤 열린구간에 속하 는 모든 Y에서. 극대. 극댓값. G Y G B. 이면 함수 G Y 는 YB에서 극대라고 하고, 그때의. Y. 0. 함숫값 G B 를 극댓값이라고 한다. 또, 함수 G Y 가 YB를 포함하는 어떤 열린구간에. Z. 속하는 모든 Y에서 G Y yG B. 이면 함수 G Y 는 YB에서 극소라고 하고, 그때의. 극솟값 극소 Y. 0. 함숫값 G B 를 극솟값이라고 한다. 이때 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다. 참고. 오른쪽 그림과 같이 극댓값이 극솟값보다 항상 큰 것은 아니다.. Z 극대. 극소 Y. 0. 2. 도함수의 활용 │. 85.

(91) 함수 G Y 가 YB에서 극값을 가지고 B를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능 할 때, GA B 의 값을 알아보자.. 함수 G Y 가 YB에서 극댓값을 가진다고 하자. 이때 절댓값이 충분히 작은 실수 I I

(92) 에 대하여 G B

(93) I G B 이므로 AG B

(94) I G B. AG B

(95) I G B. , I＜이면 y I I. I＞이면. I Z 극댓값. 이다. 함수 G Y 는 YB에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같다. 즉,. B B

(96) I. 0. MJN. IAZA. Y. AG B

(97) I G B. AG B

(98) I G B. MJN IAZA

(99) I I. 이다.. I Z 극댓값. 따라서 GA B MJN IAZA. 0. Y. B B

(100) I. AG B

(101) I G B. 이다. I. 같은 방법으로 YB에서 극솟값을 가질 때에도 GA B 임을 보일 수 있다.. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 극값을 가질 때의 미분계수 B를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능한 함수 G Y 가 YB에서 극값을 가지면 AGA B 이다.. Z G Y Y. ⑴ 일반적으로 위의 역은 성립하지 않는다. 즉, 미분가능한 함수 G Y 에서 GA B 일 때 함수 AG Y 가 YB에서 반드시 극값을 가지는 것은 아니다.. 증가 0. 참고. Y. 증가. 예를 들어 함수 G Y YA 은 GA 이지만 Y에서 극값을 가지지 않는다. ⑵ 함수 G Y 가 YB에서 극값을 가지더라도 AGA B 가 존재하지 않을 수도 있다.. Z 감소. 예를 들어 함수 G Y ]Y]는 Y에서 극소이지만 AGA 은 존재하지 않는다. G Y ]Y] 증가. 0. Y. 함수 G Y 가 미분가능할 때, 도함수의 부호를 조사하여 극대와 극소를 판정하는 방법 을 알아보자.. 미분가능한 함수 G Y 에서 GA B 이고, YB의 열린구간 BI, B 에서 AGA Y 이므로 G Y 는 이 구간에서 증가한다. 열린구간 B, B

(102) I 에서 AGA Y 이므로 G Y 는 이 구간에서 감소한다.. 86 │Ⅱ. 미분. 좌우에서 GA Y 의 부호가 양

(103) 에서 음 으로. G B G Y . 극대. G Y . 바뀐다고 하자. 이때 충분히 작은 양수 I에 대하여 열린구간 BI, B 에서 G Y 는 증가하고, 열린 구간 B, B

(104) I 에서 G Y 는 감소한다. 즉,. ZG Y. B. Y.

(105) BIYB일 때 G Y G B. BYB

(106) I일 때 G B yG Y. 이므로 함수 G Y 는 YB에서 극대이다. 같은 방법으로 미분가능한 함수 G Y 에서. ZG Y. AGA B 이고, YB의 좌우에서 AGA Y 의 부호가. G Y . 극소. 음 에서 양

(107) 으로 바뀌면 함수 G Y 는 YB. G Y . G B . 에서 극소이다.. B. Y. 따라서 미분가능한 함수 G Y 의 극대, 극소는 도함수 GA Y 의 부호를 이용하여 다음과 같이 판정할 수 있다. 함수의 극대와 극소의 판정 미분가능한 함수 G Y 에서 GA B 이고, YB의 좌우에서. 1. GA Y 의 부호가 양

(108) 에서 음 으로 바뀌면 G Y 는 YB에서 극대이고, 극댓값은 G B 이다.. 2. GA Y 의 부호가 음 에서 양

(109) 으로 바뀌면 G Y 는 YB에서 극소이고, 극솟값은 G B 이다.. 예제. 2. 함수 G Y YAYA의 극값을 구하시오.. 풀이. AGA Y YAYY Y 이므로 AGA Y 에서 Y 또는 Y AGA Y 의 부호를 조사하여 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다. Y. U. . U. . U. GA Y.

(110). . . .

(111). G Y. ↗. . ↘. . ↗. 따라서 함수 G Y 는 Y에서 극대이고, 극댓값은 G Y에서 극소이고, 극솟값은 G . 문제. 4. 극댓값 : , 극솟값 : . 다음 함수의 극값을 구하시오.. ⑴ AG Y YA

(112) Y

(113) . ⑵ AG Y YAYA

(114) . 2. 도함수의 활용 │. 87.

(115) 예제. 3. 함수 G Y YA

(116) BYA

(117) CY

(118) D가 Y에서 극솟값 를 가지고, Y에서 극댓값을 가진다고 할 때, 상수 B, C, D의 값과 극댓값을 구하시오.. 풀이. AGA Y YA

(119) BY

(120) C이고 Y, Y에서 극값을 가지므로 AGA 에서

(121) B

(122) C. …… ㉠. AGA 에서

(123) B

(124) C. …… ㉡. ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 B, C 또, Y에서 극솟값 를 가지므로 AG

(125)

(126) D, D 따라서 G Y YA

(127) YAY

(128) 이므로 함수 G Y 의 극댓값은 G

(129)

(130) B, C, D, 극댓값: . 문제. 5. 함수 G Y YA

(131) BYA

(132) CY

(133) D는 Y에서 극댓값 을 가지고, Y에서 극솟값을 가진 다고 할 때, 상수 B, C, D의 값과 극솟값을 구하시오.. 속 생활. 문제. 6. 전하량 : 어떤 물체 또는 입 자가 띠고 있는 전기의 양 으로, 단위는 $(쿨롱)이다.. 어떤 전선에 전류를 흐르게 했을 때, U초 후 이 전선을 지나는 전하량 2 U $을 2 U UAUA

(134) U 라고 하자. 이 전선을 지나는 전하량의 극댓값을 구하시오.. 문제 해결. 생각과 표현. 사차함수 G Y 의 도함수 GA Y 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 물음에 답하여 보자.. 1. AGA Y 인 Y의 값을 구해 보자.. 2. 함수 AG Y 가. 1에서 구한 Y의 값에서 극값을 갖는지 말. 하여 보자. 실마리. G B 일 때, YB의 좌우에서 G Y 의 부호 를 살펴본다.. 88 │Ⅱ. 미분. 추론. 창의・융합. Z. 0. 의사소통. ZG Y. B. C. D. Y.

(135) 함수의 그래프와 그 활용 학습 목표 •함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다. •방정식과 부등식에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 개념. 1. ⧏ᙿᮿɟ௿⥫ᮿ⩼ᮧᨛਢóɟปʳ". 탐구하기. Z. 왼쪽 그림은 컴퓨터 프로그램을 사용하여. ▲. ZG Y. 함수 AG Y YAY

(136) 의 그래프를 그린 것이다. 함수 G Y 의 증가와 감소를 나타낸 다음 표를 완성하여 보자.. Y. U. GA Y. G Y. 그래프의 개형은 그래프의 대략적인 모양을 말한다.. ↗. ▲. 0. Y. . . U. . U. . . .

(137). . . 미분가능한 함수 ZG Y 의 그래프의 개형은 보통 다음과 같은 과정을 따라서 그 릴 수 있다. ❶ 도함수 GA Y 를 구한다. ❷ AGA Y 인 Y의 값을 구한다. ❸ AGA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 함수 G Y 의 극대와 극소를 조사한다. ❹ 함수 ZG Y 의 그래프와 Y축 또는 Z축의 교점의 좌표를 구한다. ❺ 함수 ZG Y 의 그래프의 개형을 그린다.. 참고. 함수 ZG Y 의 그래프와 Y축의 교점의 Y좌표는 방정식 G Y 의 해이다. 또, 함수 ZG Y 의 그래프와 Z축의 교점의 Z좌표는 G 이다.. 2. 도함수의 활용 │. 89.

(138) 예제. 1. 함수 G Y YA

(139) YA

(140) 의 그래프의 개형을 그리시오.. 풀이. ❶ 도함수 AGA Y 를 구한다.. AGA Y YA

(141) YY Y

(142) . ❷ AGA Y 인 Y의 값을 구한다.. AGA Y 에서 Y 또는 Y. ❸ AGA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 함수 G Y 의 극대와 극소를 조사한다. Y. U. . U. . U. GA Y.

(143). . . .

(144). G Y. ↗. . ↘. . ↗. Z . ❹ ZG Y 의 그래프와 Y축 또는 Z축의 교점의 좌표를 구한다. AG 이므로 Z축과의 교점의 좌표는 , 이다.. ZG Y. Y. 0. ❺ 함수의 그래프의 개형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.. 문제. 1. 다음 함수의 그래프의 개형을 그리시오.. ⑴ AG Y YAYA

(145) Y. 예제. 2. ⑵ AG Y YA

(146) YAY

(147) . 함수 G Y YA

(148) YA

(149) YA

(150) 의 그래프의 개형을 그리시오.. 풀이. ❶ 도함수 AGA Y 를 구한다.. AGA Y YA

(151) YA

(152) YY Y

(153) Y

(154) . ❷ AGA Y 인 Y의 값을 구한다.. AGA Y 에서 Y 또는 Y 또는 Y. ❸ AGA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 함수 G Y 의 극대와 극소를 조사한다. Y. U. . U. . U. . U. GA Y. . .

(155). . . .

(156). G Y. ↘. . ↗. . ↘. . ↗. Z ZG Y. . ❹ ZG Y 의 그래프와 Y축 또는 Z축의 교점의 좌표를 구한다.. . AG 이므로 Z축과의 교점의 좌표는 , 이다. ❺ 함수의 그래프의 개형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.. 문제. 2. 다음 함수의 그래프의 개형을 그리시오.. ⑴ AG Y YAYA

(157) . 90 │Ⅱ. 미분. ⑵ AG Y YA

(158) YAA. . 0. Y.

(159) 2. 개념. ⧏ᙿᮿɟ௿⥫෣⫃ᬐ⦿ᩓ⧏ᙿᮿ⇃‫ݺ‬yţ⇃ᘆyᮧᨛਢóǓ⧇ʳ" 함수 ZG Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이면, 최대・최소 정리에 따라 함수 AG Y. 함수 G Y 가 열린구간 B, C 에서 정의된 경우, 최댓값이나 최솟값이 존재 하지 않을 수도 있다.. 는 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 가진다. 이때 이 구간에서 G Y 의 극댓값, 극솟값, G B , G C 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이 된다. Z. Z 극댓값. 최댓값 G B. G C. 최솟값. 예제. 3. 최댓값 G B. 최솟값. 극솟값 C Y. 0 B. 참고. G C. ZG Y. Z ZG Y. G C. 극댓값. 최댓값 최솟값. 극댓값. 극솟값. G B. 극솟값 C Y. 0 B. ZG Y. C Y. 0 B. 위의 그림에서 알 수 있듯이 극댓값과 극솟값이 반드시 최댓값과 최솟값이 되는 것은 아니다.. 닫힌구간 < >에서 함수 G Y YAYA

(160) Y의 최댓값과 최솟값을 구 하시오.. 풀이. AGA Y YAY

(161) Y Y. AGA Y 에서 Y 또는 Y 닫힌구간 <, >에서 GA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내 고, 그 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. Y. . GA Y. G Y. . U. . U.

(162). . . ↗. . ↘. . Z. . 0. 따라서 함수 G Y 는 Y일 때 최댓값 ,. ZG Y. . Y. . Y일 때 최솟값 를 가진다. 최댓값: , 최솟값: . 문제. 3. 주어진 구간에서 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하시오.. ⑴ AG Y YA

(163) YAY. <, > . ⑵ AG Y YAYAYA

(164) Y. <, >. 2. 도함수의 활용 │. 91.

(165) 예제. 4. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 DN인 정사각형 모양 의 종이가 있다. 이 종이의 네 모퉁이를 합동인 정사각형. ADN. 모양으로 각각 잘라 내고, 남은 부분을 접어서 뚜껑이 없는 상자를 만들려고 한다. 이때 만들 수 있는 상자의 부피의. ADN. 최댓값을 구하시오.. YADN Y ADN Y ADN. 풀이. 잘라 내야 할 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이를 YDN, 상자의 부피를 7DNA 라고 하면 7Y Y AYAYA

(166) Y 7YAY

(167) Y Y. 7에서 Y 또는 Y Y이므로 열린구간 , 에서 7의 부호를 조사하여 7의 증가와 감소를 표로 나 타내면 다음과 같다. Y. . U. . U. 7A.

(168). . . 7. ↗. . ↘. . 따라서 상자의 부피는 Y일 때 최대가 되고, 부피의 최댓값은 DNA이다. DNA. 문제. 4. Z. 오른쪽 그림과 같이 곡선 ZYA

(169) Y Y 위의 점 1에서 Y축에 내린 수선의 발을 )라고 할 때, 삼각형 10)의 넓이의 최댓. 1. 값을 구하시오. (단, 0는 원점이다.) 0. Y. ). ZY

(170) Y. 생각과 표현. 문제 해결. 추론. 창의・융합. 일상생활에서는 원기둥 모양의 용기를 많이 사용하는데, 원기둥 모양의 용기 의 부피는 밑면의 반지름의 길이와 높이에 따라 달라진다. 밑면의 반지름의 길이 Y와 높이 I의 합이 인 원기둥 모양의 용기의 부피 7가 최대가 되도록 하는 Y의 값을 구하려고 한다. 물음에 답하여 보자.. 1. 7를 Y에 대한 식으로 나타내고, Y의 값의 범위를 말하여 보자.. 2. 7을 구하고, 7의 증가와 감소를 나타내는 표를 작성해 보자.. 3. 7가 최대가 되도록 하는 Y의 값을 구해 보자.. 92 │Ⅱ. 미분. I Y. 의사소통.

(171) 개념. 3. ⧏ᙿᮿɟ௿⥫෣⫃ᬐ⦿ᩓ႐ᱼᝄᮿᝋɣᮿᙿ‫ۻ‬ᨛਢóǓ⧇ʳ". 탐구하기 Z. ZG Y. 세 함수 ZG Y , ZH Y , ZI Y 의 그래프가 각각 오른 쪽 그림과 같을 때, 세 방정식 G Y , H Y , I Y 의 서로 다른 실근의 개수를 각각 구해 보자.. Z. ZH Y. 0. Y. Y. 0. Z. ZI Y. 0. Y. 방정식 G Y 의 실근은 함수 ZG Y 의 그래프와. ZG Y. Z. Y축의 교점의 Y좌표이다. 따라서 함수 ZG Y 의 그래프와 Y축의 교점의 개수를. 0 Y. 조사하면 방정식 G Y 의 실근의 개수를 구할 수 있다.. 예제. 5. G Y 의 실근. 방정식 YAYA

(172) 의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.. 풀이. 방정식 YAYA

(173) 의 실근의 개수는 함수 ZYAYA

(174) 의 그래프와 Y축의 교점의 개수와 같다. 방정식 YAYA

(175) 에서 G Y YAYA

(176) 이라고 하면 AGA Y YAYY Y 이므로 AGA Y 에서 Y 또는 Y AGA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. Y. U. . U. . U. GA Y.

(177). . . .

(178). G Y. ↗. . ↘. . ↗. 함수 ZG Y 의 그래프가 Y축과 서로 다른 세 점에서 만나므. Z . ZG Y. . 0. Y. . 로 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 이다. . 2. 도함수의 활용 │. 93.

(179) 문제. 5. 다음 방정식의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.. ⑴ YAYA

(180) Y. ⑵ YAYAYA

(181) . 방정식 G Y H Y 의 실근은 두 함수 ZG Y , ZH Y 의 그래프의 교점의 Y좌 표이다. 따라서 두 함수 ZG Y , ZH Y 의 그래프의 교점의 개수를 조사하면 방정식 AG Y H Y 의 실근의 개수를 구할 수 있다.. 예제. 6. 방정식 YAYAB가 서로 다른 세 실근을 갖도록 실수 B의 값의 범위를 정하 시오.. 풀이. 방정식 YAYAB의 실근의 개수는 두 함수 ZYAYA, ZB의 그래프의 교점의 개수와 같다. AG Y YAYA이라고 하면 AGA Y YAYY Y 이므로 AGA Y 에서 Y 또는 Y AGA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. Y. U. . U. . U. GA Y.

(182). . . .

(183). G Y. ↗. . ↘. . ↗. ZG Y. Z 0. Y ZB. . 따라서 주어진 방정식이 서로 다른 세 실근을 갖기 위한 실수 B의 값의 범위는 B이다. B. 문제. 문제. 94 │Ⅱ. 미분. 6. 방정식 YA

(184) YAYB이 서로 다른 세 실근을 갖도록 실수 B의 값의 범위를 정하. 7. 곡선 ZYAY와 직선 ZY

(185) B가 서로 다른 세 점에서 만나도록 실수 B의 값의 범위를. 시오.. 정하시오..

(186) 4. 개념. ⧏ᙿᮿɟ௿⥫෣⫃ᬐ⦿ᩓᇧक़ᝄ᮫ᨛਢóḄ໬⧇ʳ" 어떤 구간에서 부등식 G Y y이 성립하는 것을 증명할 때는 그 구간에서 G Y 의 최솟값이 보다 크거나 같음을 보이면 된다. 또, 어떤 구간에서 부등식 G Y yH Y 가 성립하는 것을 증명할 때는 I Y G Y H Y 라고 하고, 그 구간에서 부등식 I Y y이 성립하는 것을 보이 면 된다.. 예제. 7. Yy일 때, 부등식 YAyYA

(187) Y이 성립함을 보이시오.. 풀이. AG Y YA YA

(188) Y YA

(189) YAY

(190) 이라고 하면 AGA Y YA

(191) Y Y

(192) Y 이므로 AGA Y 에서 Y. 또는 Y . Yy일 때, GA Y 의 부호를 조사하여 함수 G Y 의 증가와 감소를 표로 나타내고, 그 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다. Y. . GA Y. G Y. . U. . U. . .

(193). ↘. . ↗. Z. ZG Y. . Yy일 때, 함수 G Y 는 Y에서 극소이면서 최소이다. 0. 이때 최솟값이 G 이므로 Yy인 모든 Y에서. Y. . AG Y YA

(194) YAY

(195) y 따라서 Yy일 때, 부등식 YAyYA

(196) Y이 성립한다.. 문제. 8. 다음 부등식이 성립함을 보이시오.. ⑴ Yy일 때, YA

(197) YA

(198) Y ⑵ 모든 실수 Y에서 YA

(199) YyYA. 생각과 표현. 문제 해결. 추론. 창의・융합. 의사소통. Y일 때, 부등식 YA

(200) YA

(201) L이 성립하도록 하는 실수 L의 값의 범위를 구해 보자. 실마리. G Y YA

(202) YA

(203) L라고 하면 Y일 때 G Y 의 최댓값이 보다 작거나 같아야 한다.. 2. 도함수의 활용 │. 95.

(204) 공학 도구. 수학 들여다 보기. 개념 탐구 하. 중. 상. 난이도. ࠫ⧏ᙿᮿɟ௿⥫ᪧ⧏ᙿᮿɟ௿⥫ᮿ⩼. 함수 ZG ZG Y 의 도함수 ZGA Y 의 그래프를 알면 함수 ZG Y 의 그래프의 개형을 그 릴 수 있다.. 활동. 주어진 도함수 ZGA Y 의 그래프를 보고 함수 ZG Y 의 그래프의 개형을 그려 보자. 도함수 ZGA Y 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때 ZGA Y. G = 이고 Y=의 좌우에서 G Y 의 부호가 양

(205) 에서 음 으로 바뀐다..

(206) =.

(207) >. Y. G Y 는 Y=에서 극대 G > 이고 Y>의 좌우에서 G Y 의 부호가 음 에서 양

(208) 으로 바뀐다. ZG Y. G Y 는 Y>에서 극소 따라서 오른쪽 그림과 같이 극댓값 G = , 극솟값. G > 를 가지도록 함수 ZG Y 의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.. 도함수 ZGA Y 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때. G = 이고 Y=의 좌우에서 G Y 의 부호가. ZGA Y. 바뀌지 않는다..

(209).

(210) Y. =. G Y 는 Y=에서 극값을 가지지 않는다. 따라서 오른쪽 그림과 같이 함수 ZG Y 의 그래 프의 개형을 그릴 수 있다.. 탐구. 다음과 같은 도함수 ZGA Y 의 그래프를 보고 함수 ZG Y 의 그래프의 개형을 각각 그려 보자.. ZGA Y. ZG Y. 96 │Ⅱ. 미분. ZG Y. . .

(211) Y .

(212). .

(213) Y .

(214).

(215) Y.

(216) . Y.

(217) 속도와 가속도 학습 목표 •속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.. 개념. 1. ᗴࠫᪧgᗴࠫ‫ۻ‬ᨛਢóǓ⧇ʳ". 생각 열기. 사람이 타지 않고 무선전파로 조종하는 비행 물체를 드론 ESPOF 이라고 한다. 어떤 드론을 지상에서 수직으로 이륙시킬 때, U초 후의 드론의 높이 G U N를 G U . UA

(218) U . 라고 하자. 물음에 답하여 보자. (단, U). 1. 드론이 이륙한 지 초 후에서 초 후까지의 드론 높이의 평균변화율은 몇 NT인지 구해 보자.. 2. 드론이 이륙한 지 초가 되는 순간의 드론 높이의 순간변화율은 몇 NT인지 구해 보자.. 점 1가 수직선 위를 움직일 때, 시각 U에서 점 1의 위치를 그 점의 좌표 Y로 나타내면 Y는 U의 함수이므로. . 1 YG U. Y. YG U 와 같이 나타낼 수 있다. 시각이 U에서 U

(219) $U까지 변할 때의 점 1의 위치의 변화량 $Y는 $YG U

(220) $U G U. 이므로 점 1의 평균 속도는 $Y AG U

(221) $U G U. $U $U 이고, 이것은 함수 YG U 의 평균변화율이다. 이때 시각 U에서의 함수 YG U 의 순간변화율을 시각 U에서의 점 1의 순간 속도 또는 속도라고 하고, 속도 W는 다음과 같이 나타낸다. W MJN. $UAZA. AG U

(222) $U G U EY $Y MJN $U $U $UAZA EU. 또, 속도의 절댓값 ]W]를 시각 U에서의 점 1의 속력이라고 한다.. 2. 도함수의 활용 │. 97.

(223) 점 1의 속도 W도 시각 U의 함수이므로 이 함수 W의 순간변화율을 생각할 수 있다. 이때 시각 U에서의 속도 W의 순간변화율을 시각 U에서의 점 1의 가속도라고 한다. 즉, 가속도 B는 다음과 같이 나타낼 수 있다. B MJN. $UAZA. $W EW $U EU. 위의 내용을 정리하면 다음과 같다. 속도와 가속도 위치 속도. 미분 미분. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치를 YG U 라고 할 때, 시각 U에서의. 속도. 점 1의 속도 W와 가속도 B는. 가속도. W. 참고. EY EW GA U , B EU EU. 수직선 위를 움직이는 점 1의 운동 방향은 W일 때에는. W. 양의 방향이고, W일 때에는 음의 방향이다.. 예제. 1. W 1. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치 Y가 YUAUAU 일 때, 다음 물음에 답하시오. 단, Uy. ⑴ 점 1의 U에서의 속도와 가속도를 각각 구하시오. ⑵ 점 1가 운동 방향을 바꿀 때의 시각을 구하시오. 풀이. ⑴ U초 후의 속도를 W, 가속도를 B라고 하면 W. EY EW UAU, B U EU EU. 따라서 U에서의 속도와 가속도는 W@A@ B@ WGA U 이고 UU 의 좌우에서 AGA U 의 부호 가 바뀌면 UU에서 운동 방향이 바뀐다.. ⑵ 점 1가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도는 이므로 WUAU에서 U

(224) U 그런데 Uy이므로 U 따라서 U의 좌우에서 W의 부호가 바뀌므로 운동 방향을 바꿀 때의 시각은 이다. ⑴ 속도: , 가속도: ⑵ . 98 │Ⅱ. 미분.

(225) 문제. 1. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치 Y가 Y UAUA

(226) U 일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, Uy). ⑴ 점 1의 U에서의 속도와 가속도를 각각 구하시오. ⑵ 점 1가 음의 방향으로 움직인 시각의 범위를 구하시오.. 속 생활. 문제. 2. 지상에서 지면과 수직으로 NT의 속도로 쏘아 올린 어떤 불꽃의 시각 U에서의 높이 YN를 YUUA 이라고 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, U). ⑴ 불꽃의 시각 U에서의 속도를 W NT, 가속 도를 B NTA이라고 할 때, W와 B를 각각 구하시오. ⑵ 불꽃이 최고 높이에 도달했을 때 폭발한다면, 이 불꽃은 쏘아 올린 지 몇 초 후에 폭발하는지 구하시오.. 생각과 표현. 문제 해결. 추론. 창의・융합. 의사소통. 키가 N인 찬열이가 높이가 N인 가로등 바로 밑에서 출발하여 NT의 속도로 똑 바로 걸어가고 있다. 가로등에서 찬열이의 그림자 끝까지의 길이를 YN, 찬열이가 출발한 후 U초 동안 걸은 거리를 ZN라고 할 때, 물음에 답하여 보자.. 1. Z를 U에 대한 식으로 나타내 보자.. 2. 비례식을 이용하여 Y를 U에 대한 식으로 나타내 보자.. 3. 그림자 끝이 움직이는 속도를 구해 보자.. 2. 도함수의 활용 │. 99.

(227) 자신감을 키우는. 도함수의 활용. 바탕 다지기 1 접선의 방정식. 함수 G Y 가 YB에서 미분가능할 때, 곡선. 01. 곡선 ZYA 위의 점 , 에서의 접선의 방정식을 구하시오.. ZG Y 위의 점 1 B, G B. 에서의 접선의 방정식은 ZG B GA B YB. 2 롤의 정리와 평균값 정리. 함수 G Y 가 닫힌구간 <B, C>에서 연속이고, 열린구. 02. 다음 함수의 증가와 감소를 조사하시오.. 간 B, C 에서 미분가능할 때. ⑴ AG Y YAY. ⑴ 롤의 정리: G B G C 이면 GA D 인 D가 B와. ⑵ AG Y YAYAY

(228) . C 사이에 적어도 하나 존재한다. ⑵ 평균값 정리:. AG C G B. GA D 인 D가 B와 C CB. 사이에 적어도 하나 존재한다.. 3 함수의 증가와 감소. 03. 다음 함수의 극값을 구하시오.. ⑴ AG Y YAY

(229) . 함수 G Y 가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, 이 구. ⑵ AG Y YAYA

(230) . 간에 속하는 모든 Y에서 ⑴ AGA Y 이면 G Y 는 그 구간에서 증가한다. ⑵ AGA Y 이면 G Y 는 그 구간에서 감소한다.. 4 함수의 극대와 극소의 판정. 미분가능한 함수 G Y 에서 GA B 이고 YB의 좌. 04. 다음 함수의 그래프의 개형을 그리시오.. ⑴ AG Y YAYA

(231) Y. 우에서. ⑵ AG Y YAYA. ⑴ AGA Y 의 부호가 양

(232) 에서 음 으로 바뀌면 G Y 는 YB에서 극대이고, 극댓값은 G B 이다. ⑵ AGA Y 의 부호가 음 에서 양

(233) 으로 바뀌면 G Y 는 YB에서 극소이고, 극솟값은 G B 이다.. 5 속도와 가속도. 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치를 YG U 라고 할 때, 시각 U에서의 점 1의 속도 W와 가속도 B는 EY EW W GA U , B EU EU. 100 │Ⅱ. 미분. 05. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 1의 시각 U에서의 위치 Y가 YUAU 일 때, U에서의 속도와 가속도를 각각 구하 시오..

(234) 정답 및 해설 167쪽. 09. 기본 익히기. 함수 G Y YAYA

(235) LY

(236) 가 닫힌구간 <, >에서 감소하도록 실수 L의 값의 범위를. 06. 직선 ZY

(237) 에 평행하고, 곡선. 정하시오.. ZYAY

(238) 에 접하는 직선의 방정식을 구하 시오.. 07. 함수 G Y YA

(239) Y

(240) 일 때, 닫힌구간 <, >에서 평균값 정리를 만족시키는 상수 D 의 값을 구하시오.. 10. 닫힌구간 <, >에서 함수 AG Y BYABYA

(241) C의 최댓값이 , 최솟값이 일 때, 양수 B, C의 값을 각각 구하시오.. 08. 열린구간 , 에서 정의된 미분가능한 함수 ZG Y 의 도함수 ZGA Y 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대 로 고르시오. Z. ZGA Y. . 0. . Y. 11. Z . 오른쪽 그림과 같이 두 점 " , ,. 보기. ㄱ. G Y 는 Y에서 극댓값을 가진다. ㄴ. G Y 는 Y에서 극솟값을 가진다. ㄷ. G Y 는 열린구간 , 에서 감 소한다. ㄹ. G Y 의 극값의 개수는 이다.. %. # , 을 잇는 선분. $. "#를 밑변으로 하고, 곡선 ZYA과 Y축 으로 둘러싸인 부분에. " . 0. # Y ZY. 내접하는 사다리꼴 "#$%의 넓이의 최댓값을 구하시오.. 확인 학습 문제 │. 101.

(242) 자신감을 키우는. 12. 정답 및 해설 169쪽. 곡선 ZYAYA

(243) Y와 직선 ZB가 서로 다. 실력 키우기. 른 세 점에서 만나도록 하는 정수 B의 개수를 구. 15. 하시오.. 함수 G Y , H Y 가 G Y YA

(244) YA

(245) Y H Y YA

(246) YL 일 때, Y에서 부등식 AG Y H Y 가 항상 성 립하도록 하는 실수 L의 값의 범위를 구하시오.. 13. 어떤 공을 지면에서 NT의 속도로 지면과 수직으로 위로 던져 올린 공의 U초 후의 높이 Y N를. 16. YUUA. Y에서 공통인 접선을 가질 때, 상수 B, C. 이라고 하자. 이 공이 도달하는 최고 높이를 구하. 의 값을 각각 구하시오.. 시오. (단, U). 14. 다음은 함수 G Y YA

(247) BYA

(248) Y

(249) 가 극댓 값과 극솟값을 모두 가지도록 하는 실수 B의 값 의 범위를 구하는 과정이다.. 안에 알맞은 것. 두 곡선 ZYABY

(250) C, ZYA

(251) 가. 생각 톡!톡!. 17. 제한 속도가 시속 LN인 도로를 달리는 자동 차는 어느 순간에라도 시속 LN를 초과하여 달리면 안 된다. 이 도로의 한 지점에서 출발한. 을 써넣으시오.. 자동차가 분 동안 쉬지 않고 달려서 LN를 함수 G Y 가 극댓값과 극솟값을 모두 가지. 이동한 후 정지하였다. 이 자동차가 이동하는 동. 려면 이차방정식 G Y 은 서로 다른. 안 운전자가 제한 속도를 지켰는지 판단하고, 그. 두 실근을 가져야 한다.. 렇게 판단한 까닭을 말하여 보자.. 이므로. G Y . 이차방정식 G Y 의 판별식을 %라고 하면 %BA B

(252) B. 따라서 B. 102 │Ⅱ. 미분. 또는 B. .

(253) ●미분으로 실생활을 해석해 보자!. 생각을 넓히는 수학. 창의. 융합. 미분은 변화 현상을 설명하는 도구이다. 우리 주변에는 달리는 자동차 속도의 변화, 해수면 높이의 변화, 물가의 변동, 생산비의 증감 등 수많은 변화 현상이 있다. 미분을 이용하여 다음과 같이 증가 하고 감소하는 상태를 설명해 보자.. 자동차가 움직일 때, 속도는 증가하지만 가속도는 감소할 수 있습니다. 자동차 공학자. 제가 던진 공이 가장 높이 있는 순간은 공을 던지고 몇 초 후일까요? 또, 공의 위치에 따른 속도 변화는 어떻게 설명할 수 있을까요? 리듬 체조 선수. 탐구 ❶. 위의. 자동차 공학자. 의 말을 미분을 이용하여 설명하려고 한다. 추가할 설명을 말풍선에. 써넣어 보자. 자동차의 속도가 그림과 같이 변할 때를 생각해 볼까?. 자동차의 속도가 점점 증가하고 있는데?. W(속도) . 0. 탐구 ❷. 짝과 함께 미분을 이용하여. 리듬 체조 선수. . . U(시각). 의 말을 해설하는 내용으로 시나리오를 만들어. 보자.. 생각을 넓히는 수학 │. 103.

(254) 실력을 쌓는. 01. II . 미분. 다음 함수 중 Y에서의 미분계수가 가장 큰 것은?. 04. 함수 G Y 가 G Y YA

(255) Y일 때, MJN IAZA. ① G Y Y

(256) ② G Y Y

(257) ③ G Y YA

(258) Y. G

(259) I G . 의값은? I. ①. ②. ④. ⑤ . ③. ④ G Y YAYA ⑤ G Y YA

(260) YA. 05. 함수 G Y YA

(261) Y에서 Y의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율과 YB에서의 미분 계수가 서로 같다. 이때 B의 값을 구하시오.. 02. 함수 G Y 가 G Y YAY일 때, GA 의 값은?. ①. ②. ④. ⑤. ③. 06. 미분가능한 함수 G Y 가 모든 실수 Y에서 G Y

(262) G YAY 를 만족시킬 때, GA 의 값을 구하시오.. 03. 함수 Z YA Y

(263) 을 Y에 대하여 미분 하면?. ① Z YAY

(264) ② Z YA

(265) Y. 07. 함수 G Y <. YA. Y. BY

(266) C Y. 가 Y에서 미. ③ Z YAY. 분가능할 때, BC의 값은? (단, B, C는 상수). ④ Z YA

(267) Y. ①. ②. ⑤ Z YA

(268) Y. ④. ⑤. 104 │Ⅱ. 미분. ③.

(269) 정답 및 해설 170쪽. 08. 삼차함수 G Y Y A

(270) BY A

(271) Y

(272) 의 그래프 위의 점 , G . 에서의 접선의 방정식이. 11. ZY

(273) C이다. B

(274) C의 값은? (단, B, C는 상수). ① . ② . ④. ⑤. 10. 로 다른 양의 실근 개를 가지도록 실수 B의 값 의 범위를 정하시오.. ③. 12 09. 방정식 YAYA

(275) B이 음의 실근 개와 서. 함수 G Y , H Y 가 G Y YAYA

(276) YA

(277) . 삼차함수 G Y YA

(278) BYA

(279) BY가 구간. H Y YA

(280) B. b, b 에서 증가하도록 하는 정수 B의 개. 일 때, 함수 Z G Y 의 그래프가 함수 ZH Y. 수는?. 의 그래프보다 항상 위쪽에 있도록 실수 B의 값. ①. ②. ④. ⑤. 의 범위를 정하시오.. ③. 닫힌구간 <, >에서 함수 G Y YAYA

(281) B. 13. 수직선 위를 움직이는 점 1가 원점을 출발한 지 U초 후의 위치 Y가 YUAU일 때, 점 1가. 의 최댓값을 ., 최솟값을 N이라고 하자.. 운동 방향을 바꾸는 것은 출발한 지 몇 초 후인. .

(282) N일 때, 상수 B의 값은?. 가?. ①. ②. ① 초 후. ② 초 후. ④. ⑤. ④ 초 후. ⑤ 초 후. ③. ③ 초 후. 마무리 문제 │. 105.

(283) 서술. 실력을 쌓는. 정답 및 해설 171쪽. 형. 14. 함수 G Y YA

(284) YAY

(285) 의 극값을 구. 문제 해결. 하시오. (풀이 과정을 자세히 쓰시오.). 16. 수직선 위를 움직이는 두 점 1, 2의 시각 U에서 의 위치는 각각 1 U UA

(286) U, 2 U UA 이다. 두 점 1, 2의 속도가 같아지는 순간 두 점 1, 2 사이의 거리를 구하시오.. ⑴ 구하려고 하는 것은 무엇인가?. 서술. ⑵ 두 점 1, 2의 속도가 같아지는 시각을 구 형. 15. 하시오.. 곡선 ZYA

(287) YAY의 접선 중 기울기가. ⑶ 두 점 1, 2의 속도가 같아지는 순간 두. 최소인 접선의 방정식을 구하시오.. 점 1, 2 사이의 거리를 구하시오.. (풀이 과정을 자세히 쓰시오.). ⑷ 계산 과정에 오류가 없는지 확인하시오.. 이 단원에서 나의 학습을 되돌아보며 스스로 평가해 보세요.. 40 %. 60 %. 20 %. 40 % 80 %. 학습 계획 실천. 60 %. 20 %. 40 % 80 %. 교과서 내용 이해. 100 %. 20 %. 100 %. 나의 모습 ✽미분계수의 뜻을 알고, 미분가능성과 연속성의 관계를 이해한다.. 내용 이해. ✽다항함수의 도함수를 구할 수 있다. ✽도함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 수 있다. ✽미분계수로 매 순간의 변화를 관찰한다는 사실이 새롭고 흥미로웠다.. 태도 및 실천 ✽함수의 미분가능성과 함수의 연속성 사이에 어떤 관련이 있는지 관심을 갖게 되었다. ✽도함수를 활용하여 여러 가지 문제를 해결할 때, 어려움이 있어도 끈기 있게 도전하였다.. 이 단원을 복습하며 흥미로웠던 내용과 내가 더 공부해야 할 내용을 써 보세요.. 106 │Ⅱ. 미분. 60 % 80 %. 흥미와 자신감. 만족. 100 %. 보통. 부족.

(288) 꿈을 키우는 수학. 수학을 이용해서 어떤 영상을 만들 수 있나요? 눈과 얼음을 배경으로 한 만화 영화에서 스크린을 채운 눈의 표현에 는 수학이 숨어 있습니다. 수학을 이용하면 같은 그림을 손으로 여러 번 그리지 않고 한 장의 그림만으로도 더 매끄럽고 생생한 영상을 만 들 수 있습니다. 또한, 직접 촬영하기 어려운 파도, 물, 안개, 눈의 움직 임을 방정식을 이용해서 실감 나게 표현할 수도 있지요.. 어떻게 한 장의 그림만으로 다양한 영상을 만들 수 있나요? 수학에 기반을 둔 컴퓨터 그래픽 프로그램을 사용하면 수학 공식만 으로 하나의 그림을 늘리거나 줄여서 다양하게 표현할 수 있습니다. 특 히, 미분을 이용하면 인물이나 배경 그림을 확대하더라도 선이 끊어진 부분이 어떻게 이어질지 예측할 수 있어서 계단 현상이 없는 선명한 그 림을 만들 수 있어요.. 어떻게 직접 촬영하지 않고도 생생한 영상을 만들 수 있나요? 유체의 운동을 분석하는 수학 공식(‘나비에–스토크스 방정식’)을 컴퓨터 그래픽 프로그램에 적용하면 파도, 물, 안개, 눈 등을 직 접 촬영하지 않고도 생생한 영상으로 만들 수 있습니다. 이순신 장군의 활약을 다룬 우리나라 영화에서도 파도, 물, 불을 직접 촬영 하지 않고도 실감 나게 표현해 마치 실제로 촬영한 기록물 같은 느낌을 줬지요. 이제 수학은 영화의 특수 효과 제작자들에게도 필 수 도구입니다.. 출처 •박민규, 「나비에–스토크스 방정식과 유체역 학의 다양한 활용」 •이언 스튜어트, 『세계를 바꾼 17가지 방정식』 •조선경제 i, 2014. 7. 16.. 꿈을 키우는 수학 │. 107.

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