확률이란 ?

이 기 훈

확 률 Probability

확률이란 ?

Probability

= Possibility 의 수리적 표현

• 확률은 어떤 사건이 발생할 가능성 또 는 어떤 경우의 값을 가질 가능도를 뜻 한다 .

• 확률이론은 통계학 , 수학 등에 주로 이용되지만 자연과학이나 사회과학 분 야에서도 광범위하게 사용되고있다 . 잠재적인 사건의 발생 가능성 , 복잡한 체계의 내재된 구조를 파악하여 어떤 과학적 결론을 내리는데 사용되고 있 다 .

- Wikipedia

배우지 않아도

아는 확률

• 동전을 던져 앞면이 나올 확률

• 가위바위보에 이길 확률

• 주사위를 던져 1 이 나올 확률

• 내가 200 년 안에 죽을 확률

• 내가 통계학수업 A 받을 확률

확률의 표시

• 어떤 사건 ( 사상 , event) A 가 일어날 확률

= Pr(A)

• 어떤 사건 ( 사상 , event) B 가 일어날 확률

= Pr(B)

• 어떤 사건 A 와 B 가 동시에 일어날 확률

= Pr(A∩B)

• 어떤 사건 A 나 B 가 일어날 확률

= Pr(A B) ∪

확률의 최대값

최소값 ?

• 절대로 안 일어난다

• 반드시 일어난다

• 반반이다

• 확률은 0 에서 1 사이의 값이다

확률 =0

확률 =1 확률 =0.5

0 ≤ Pr(A) ≤ 1

확률은 어떻게 구하는 걸까 ?

• 경우의 수 ( 수학적 계산 )

• 상대도수 ( 경험비율 )

• 주관적 확률

내가 대통령이 될 확률

동전 앞면이 나올 확률

날씨가 맑을 확률 나지 1 이 홈런 20 개

이상 칠 확률

타이거스가 우승할 확률

확률을 구하는 방법

1

• 동전을 던져 앞면이 나올 확률

= 1/(1+1) =1/2

= 앞면의 경우의 수 ÷ 모든 경우의 수

=> ‘ 경우의 수 의 개념 ’ Note: 그래서 확률계산 전에

나타날 수 있는 모든 경우의 집합 ,

표본공간 (sample space: S) 을 정의한다 . S = { H, T }

동전이 설 수도 있고 ,

동전이 반쪽이 될 수도 있고 날아갈 수도 있다는 등의 궤변이 존재할 수 있다

H=head, T=tail

확률을 구하는 방법

2

• 내일 날씨가 맑을 확률

• 맑을 확률 = 1/3 ?

= 맑다 /( 맑다 + 흐리다 + 비온다 )

Note: “ 경우의 수” 확률계산은 모든 경우의 가능성 이 같은 경우에만 사용할 수 있다 .

• 추신수가 이번 타석에서 안타를 칠 확률

• 안타칠 확률 = 0.350

= 이번 시즌 안타수 / 타석수

=> ‘ 상대도수’의 개념 ( 경험 , 실험 )

Remark: 비올 확률 10% 의 의미는 ?

확률을 구하는 방법

3

• 내가 통계학 A 받을 확률

• 경우의 수 개념 ?

=A/(A+B+C+D+F)=1/5 ?

• 전에 이런 경험이 있었는가 ? =6 번 A/10 번 =60%

• 상대평가 기준 ? A 는 30% 이하

=> ‘ 주관적 확률 의 개념 ’

그래서 확률은 이렇게 구한다 라고 확실히

말하기가 어렵다 그렇다면 …

거꾸로

• 다음과 같은 조건을 만족해야 확률이라 할 수 있다

( 확률이라하면 다음 조건을 만족해야한다 )

=> 확률의 공리적 정의

Note: 공리 (axiom, ^公理 )

증명할 필요가 없이 자명한 사실 .

정의 (definition)< 공리 < 정리 (theorem)

어떤 조건이냐하 면 ?

( 교재 58 쪽 )

• 0 ≤ Pr(A) ≤ 1

• Pr(S) = 1

(S 는 전체 집합 , 표본공간 )

• 배반인 집합 A₁, A₂, …, A_n 에서

Pr(A₁∪A₂∪ ∪… A_n)

= Pr(A₁)+Pr(A₂)+…+Pr(A_n)

Note: 배반 (exclusive) 사건

동시에 발생하지 않는 사건

eg. 동전을 던지면 앞면과 뒷면이 서로 배반

다시 보는 조건

• 0 에서 1 사이의 값

• 전체사건의 확률은 1

• 동시에 일어나지 않는 사건들의 합집합의 확률은 각각 확률의 합

이걸 안다면 다 아는 사실

• A 또는 B 가 이기는 경기

• A 가 이길 확률 0.7

• B 가 이길 확률은 ?

교재 59 쪽 보세요

확률의 성질 1. Pr(A B)∪

=Pr(A)+Pr(B)-Pr(A∩B) 2. Pr(A^C) = 1- Pr(A)

3. A, B 가 서로 배반일 때 Pr(A∩B)=Pr(φ)=0

A ^{A∩B B}

A

A

S

Note: A, B 가 배반일 때 , 즉 , A∩B=φ Pr(A B) =Pr(A)+Pr(B)-Pr(A∩B)∪ = Pr(A)+Pr(B)

c=complement: 여집합

예제 1

( 교재 60 쪽 )

1. 카드가 하트일 확률은 ?

2. 카드가 에이스일 확률은 ?

3. 하트이거나 에이스일 확률은 ?

13/52=1/4

4/52=1/13

17/52-1/52

=16/52

52 장의 카드에서 1 장을 뽑을 때

예제 2

1. 카드가 하트가 아닐 확률은 ?

2. 카드가 에이스가 아닐 확률은 ?

3. 하트도 에이스도 아닐 확률은 ?

1-13/52

1-4/52

1-16/52

A B

NOTE: 드 모르간의 법칙 (De Morgan’s Law)

(A B)∪ ^c

A B

A^c∩B^c

A

∩B

∩C

=(A B C) ∪ ∪

A

∩B

=(A B) ∪

몬티홀 문제 《 Let's Make a Deal 》

• 세 개의 문 중에 하나를 선택하여 문 뒤에 있는 선물을 가질 수 있는 게임쇼

• 한 문 뒤에는 자동차 ( 상품 ) 가 있고 , 나머지 두 문 뒤에는 염소 ( 꽝 ) 가 있 다

• 참가자가 어떤 문을 선택했을 때 , 게임쇼 진행자는 나머지 문 중에서 염소가 있는 문을 보여준다

• 참가자는 자신의 선택을 바꿀 기회를 갖는다

• 원래 선택했던 문을 바꾸는 것이 유리할까 ?

몬티홀 풀이

• 안 바꾸는 경우

• 자동차를 받을 확률은

?

• 1/3

• 바꾸는 경우

• 1 번을 처음 선택

• 2 번을 처음 선택

• 3 번을 처음 선택

• 자동차 받을 확률 2/3

1 2 3

movie <21> 2 번 또는 3 번 => 염소 1 번 => 자동차

1 번 => 자동차

조건부 확률 Conditional Probability

• 어떤 사건이 일어났다는 조건하에서 확률

• 예 > 통계학에 A 를 받을 확률

• No information, 상대평가 30% A 부여

• Pr( 성적 =A)=0.3

• information ( 중간고사 0 점 ) 조건이 추가

• Pr( 성적 =A when 중간고사 =0)=0.01

조건부확률 수식

Conditional Probability eq’n

• Pr(B|A) = Pr(A∩B)/Pr(A)

A B

• Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr(B)

A B

연습 1. Pr(B|A) = Pr(A∩B)/Pr( )

2. Pr(A|B) = Pr(A∩B)/Pr( )

3. Pr(C|D) = Pr(C∩D)/Pr( )

4. Pr(D|C) = Pr(C∩D)/Pr( )

5. Pr(A∩B)=Pr(A|B)Pr( )

6. Pr(A∩B)=Pr(B|A)Pr( )

7. Pr(A∩B)=Pr( ) Pr(B|A)

8. Pr(A∩B)=Pr( ) Pr(A|B)

예제 교재 60 쪽

• 남학생이 30 명 , 여학생이 20 명 있는 반에 안경을 쓴 남학생은 24 명이고 안경을 안 쓴 남학생은 6 명 , 안경 을 쓴 여학생은 6 명 , 안경을 안 쓴 여학생은 14 명이었 다

• 표로 표시할까요 ?

남 (M) 여 (F) 합계 안경 착용 (G) 24 6 30 안경 미착용 (N) 6 14 20

합계 30 20 50

Q1 무작위로 뽑은 한 학생이 안경 낀 남학생일 확률은 ? Pr(G∩M)=24/50

Q2 무작위로 한 학생을 뽑았는데 남학생이었다 . 이학생이 안경을 썼을 학률은 ?

Pr(G|M)=Pr(G∩M)/Pr(M)=(24/50)/(30/50)=0.8

사건 ( 사상 ) 의 독립 Independence

• 사건 A 와 사건 B 가 서로 독립이다

• ( 서로 영향을 주지 않는다 )

• 사건 A 와 사건 B 가 서로 독립이면

• Pr(A|B)=Pr(A)

• Pr(B|A)=Pr(B)

• Pr(A∩B) =Pr(A)Pr(B|A)=Pr(A)Pr(B) =Pr(B)Pr(A|B)=Pr(A)Pr(B)

• 배반 ( 동시에 일어나지 않는다 ) 과 혼동하지 말것

• 사건 A 와 사건 B 가 서로 배반이면 Pr(A∩B)=0

Pr(A∩B) =

Pr(A)Pr(B)

야구우승확률 0.5 동반우승확률은 ? 0.4×0.5=0.2

예제 교재 61 쪽

A B

직렬연결

병렬연결

작동확률 Pr(A∩B)

Pr(A∪B) 작동확률

A

B

= Pr(A) + Pr(B) - Pr(A∩B)

= Pr(A)Pr(B)

만약 Pr(A) = Pr(B) = 0.9

A B 작동확률 = 0.9Ⅹ0.9 =0.81

작동확률 =0.9+0.9-0.9Ⅹ0.9=0.99 A

B

병렬연결 작동확률 Pr(A∪B C∪ )

= Pr(A) + Pr(B) + Pr(C)

- Pr(A∩B) - Pr(A∩C) - Pr(B∩C) + Pr(A∩B∩C)

만약 Pr(A) = Pr(B) = Pr(C) = 0.9 A

B

C

작동확률 = 0.9+0.9+0.9-0.9²-0.9²-0.9²+0.9³ A

B

C

Pr(A∪B C∪ ) = 1- Pr(A∪B C∪ )^c

=1-Pr(A^c∩B^c∩C^c) =1-Pr(A^c)Pr(B^c)Pr(C^c) 작동확률 = 1-(1-0.9)³ =1-0.001=0.999

A B C

수고하셨습니다

우리는 뛰어가든 걸어가든

결국에는 이 다리를 건널것입니다