사하중을 받

(1)

Mechanic

6.4 경사

- 경사하 - 하중은 - 경사하 - 각각의

 굽힘모

오른손의

cs of Materials

사하중을 받

하중을 받는 2 은 도심 통과 하중을 대칭평

분력에 의한

모멘트에 대한 의 법칙

s, 7^th ed., Jame

받는 2 축 대

2 축 대칭보의 (비틀림 없음 평면에 작용하

한 해석을 중

한 부호 규약

es M. Gere &

대칭 보

의 해석 음)

하는 분력으로 중첩함.

약

Barry J. Goo

로 분해

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-18

(2)

Mechanic

 수직응

A 점에서

x

M

  I

 중립축

중립축의

y y

M z M I 

 중립축 중립축과

tan  

cs of Materials

응력 (굽힘응 서의 응력은

y z

M z M y I  I

축

의 방정식은 수

z

0

z

M y

I 

축 nn _{은 도}

과 z 축 사이의

y z z y

y M I z  M I

력)

y

,

z

M M _각각

수직응력 

x

심 C _{를 지나}

의 각  _는

es M. Gere &

각에 의한 응

(6-1

x

를 0 _으로

(6-1

나는 직선

Barry J. Goo

응력의 합,

8)

하면,

9)

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-19

(3)

Mechanic

 중립축

co

 P P

y

(

M  P

y

ta

z

M M 

중립축과

tan  

일반적으

예외-1: 하 예외-2: 하 예외-3:

cs of Materials

축과 하중의

os sin  j  P sin )(

P  L  an 

과 z 축 사이의

y z z y

y M I

z  M I 

으로는   

하중이 x  y

하중이 x  z

y z

I  I _{; 원,}

경사각 사이

n  k )

_z

x M 

의 각  _는

z

tan

y

I

I 





y _{평면상일 경} z 평면상일 경 정사각형 등

es M. Gere &

의 관계

( cos )( P  L

경우, 즉  

등…

Barry J. Goo

)

 x

0 , 180

^o ^o



90

^o

 

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-20

(4)

Mechanic

 예제

문제

100 b 

최대 인장

cs of Materials

6-4

mm, 15 h 

장/최대 압축

50 mm, L  1

축응력을 구하

es M. Gere &

1.6 m

하고 중립축의

Barry J. Goo

의 위치 구하기

dno

기

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-21

(5)

Mechanic

풀이

하중을 분 최대 굽힘

z y

M  q

단면 특성

cs of Materials

분해하면, q

y

힘 모멘트는

2 2

sin

8 8

z

L qL



성,

3 y

12 I  hb

cos

y

 q 

보의 중앙에

n  M

_z

_

3 3

^z

12 I  bh

es M. Gere &

sin q

_z

 q 

에서 발생하며

2 2

8 q L

y

qL



Barry J. Goo



며 그 크기는

cos 8



dno

2

/ M  qL

제 6 장

8 _이므로

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-22

(6)

제 6 장 보의 응력 (심화 주제)

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 06-23

2 2 2

3 3 2 2

sin cos 3 sin cos

8 /12 8 /12 2

y z

x

y z

M z M y qL qL qL

z y

I I hb bh bh b h

   

      ^    ^  

그림에서 관찰하면,

최대 압축은 D y (  h / 2, z   b / 2) 점에서 발생, 최대 인장은 E y (   h / 2, z  b / 2) _{점에서 발생}

3

2

sin cos

E D

4 qL

bh b h

 

     ^    ^  

^

3.0 kN/m, 100 mm, 150 mm, 1.6 m, =26.57

o

q  b  h  L   _{을 대입하면}

4.01 MPa

E D

    

_

(7)

Mechanic

중립축은

3

x

2 q

  b

 tan 

수치를 대

tan  

  

cs of Materials

은

2

sin

qL z

bh b

 

 

2 2

t y h z b

  

대입하면

2 2

(150 mm) (100 mm) 48.4

^o

2

cos y h

 

  

 tan 

(tan 26.57

^o

es M. Gere &

 0 _ sin

₂

b



)  1.125

Barry J. Goo

2 2

z cos h

 





dno

0 y 

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-24

(8)

Mechanic

 예제

문제

(a) 하중 (b) 하중 부록 E-2

cs of Materials

6-5

P 가 수직축

P 가 수직축 2 에서 S24 

축 y _{축의 방}

축 y _축과  80; 7 b in

 

es M. Gere &

방향일 경우 최

1

^o

  의 방향

n, 24 h  in

Barry J. Goo

최대 굽힘응 향일 경우 최

n, 2100 I

_z



dno

력을 구하라 최대 굽힘응력

in , 42

4

I

_y



제 6 장

력을 구하라

2.2 in

4

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-25

(9)

풀이

(a) 하중이 y 축에 정렬되었을 때,

max 4

( / 2) (10 k)(12 ft)(12 in/ft)(12.00 in)

8230 psi 2100 in

z z

My PL h

I I

    

_

(b) 하중이   1

^o

경사진 경우

( sin ) (10 k)(sin1 )(12 ft)(12 in/ft)

^o

25.13 k-in

M

y

  P  L    

( cos ) (10 k)(cos1 )(12 ft)(12 in/ft)

^o

1440 k-in

M

z

  P  L    

4 4

( 25.13 k-in)(2100 in )

tan 0.8684

( 1440 k-in)(42.2 in )

y z z y

y M I z M I

    ^ 

 ^   41

^o

Note:   1

^o

이지만   41

^o

_; I I

_z

/

_y

 2100 in /42.2 in

⁴ ⁴

 50  매우 큰 수.

4 4

( 25.13 k-in)( 3.5 in) ( 1440 k-in)(12 in)

10, 310 psi (42.2 in ) (2100 in )

y A z A

A B

y z

M z M y

I I

       ^ ^  ^  _

Note: 이 값은 (a)의 경우 8, 230 psi 에 비하여 25% 증가.

(10)

Mechanic

6.5 비대

- 비대칭 - 가정된

 중립축

z 

축이

x

E

   x  축 방

A



x

dA



 

_A

y d

y 

_축이

x

E

  

cs of Materials

대칭 보의 굽

단면에 대한 중립축으로

축

중립축이라

E 

y

방향의 힘의

A y

A    E  y 0

dA  _ z

중립축이라

E 

z

굽힘

한 굽힘해석 로부터 시작하

라고 가정함.

평형조건은,

0 y dA 

z  _{축이 단면}

es M. Gere &

하여 해석함.

면의 도심 C

Barry J. Goo

(6-

를 통과함

(6-33)

dno

31)

32)

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-27

(11)

Mechanic

x  _{축 방}

A



x

dA



 

_A

z d

응력 계산

z 

축이

M

z

  

y A

M  

I

yz

_{; 관성}

(Note-1) (Note-2)

y 

_축이

cs of Materials

방향의 힘의

A z

A    E  z 0

dA  _ y

산

중립축이라

A



x

y dA 



A



x

z dA  

성모멘트 적 모멘트가 (6

z  축이 주 굽힘은 xy

중립축이라

평형조건은,

0 z dA 

y  _{축이 단면}

2

y

E

A

y dA

 

y

E

A

yz dA

 

(Product of 6-35a,b)의 비 주축인 경우에

y _{-평면에서 발}

es M. Gere &

면의 도심 C

y z

A   EI

y yz

A    EI

inertia) 비율이면 z 

에는 I

_yz

 0

발생 ( M

_z

_만

Barry J. Goo

(6-

를 통과함

(6-

 축이 중립축 이 되기 때문 작용함.), 거

dno

34)

35a)

35b)

축이 됨.

문에

거동은 대칭단

제 6 장

단면과 동일.

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-28

(12)

Mechanic

y A

M  

M

z

  

I

yz

_{; 관성}

(Note-1) (Note-2) 결론 - 굽힘모 - 이 경우 - 굽힘모

cs of Materials

A



x

y dA  

A



x

y dA 



성모멘트 적 모멘트가 (6

y  _{축이 주}

굽힘은 xz

모멘트가 작용 우 굽힘모멘트 모멘트가 작용

2

z

E

A

z dA



 

z

E

A

yz dA

 

(Product of 6-36a,b)의 비 주축인 경우에

z _{-평면에서 발}

용하는 평면은 트는 두 개의 용하는 주면은

es M. Gere &

z y

A    EI

z yz

A   EI

inertia) 비율이면 y 

에는 I

_yz

 0

발생 ( M

y

_만

은 y z , _축이

의 주면 중의 은 굽힘평면이

Barry J. Goo

(6-

 _{축이 중립축}

이 되기 때문 작용함.), 거

주도심축인 한 면에 작용 이 됨  통상

dno

36a)

36b)

축이 됨.

문에

거동은 대칭단

경우에만 중 용.

상적인 굽힘이

제 6 장

단면과 동일.

중립면에 수직

이론이 적용됨

장 보의 응력 (

Pa

직

됨.

심화 주제)

age 06-29

(13)

Mechanic

 비대칭

1) 단면의 2) C 가 3) 하중을

M

x

M

  I

중립축은

( sin

y

M I



 tan 

cs of Materials

칭보를 해석하

의 도심 C _를

중심인 주축 을 y  z _{축 방}

y

sin

M  M 

y z

M z M y I  I 

은 축응력 

x

) z ( M co I

 _

z

t

y

I y z I

  

하는 과정 를 결정함 축 y  z _축을

방향 으로 분

M

_z

M

 

( sin )

y

M z

I

 

x

 0 _{인 경우} os ) 0

z

y I

 _

tan 

es M. Gere &

을 설정함 분력을 구함.

cos

M 

( cos

z

z M

I

 

우이므로

Barry J. Goo

 ) y

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-30

(14)

Mechanic

 예제

문제 채널단면

10

^o

  의 점 A B ,

풀이 단면의 성 도심 C

y

2.2 I 

점 A B , 5.0

5

A B

y y



 

cs of Materials

6-6

면 C10 15  을 의 각도로 하

B _{에서의 굽힘}

성질은 부록 는 채널의 뒷

28 in

4

I

_y



B _{의 좌표는} 00 in 5.00 in

A B

z z



을 고려함 하중모멘트 M

힘응력 

_A

, 

E-3 으로부터 뒷면에서 c 

67.4 in

4



2.600 in 0.634 in

 



es M. Gere &

15 k-in M 



B

_{과 중립축}

터 다음과 같

0.634 in



0.634 in

 

Barry J. Goo

가 작용함.

축의 위치 구

같이 구한다.

1.966 in

 

dno

하기

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-31

(15)

Mechanic

굽힘모멘

M

y

 M M

z

 M

굽힘응력

(2

2

A

M

  I



 

(2

72

B

M

  I



중립축의

cs of Materials

멘트의 분력은

sin (15 M  

cos (15 M  

력은,

.605 k-in)(

2.28 i 2246 psi 10

y A z A

y z

M z M y I  I



.605 k-in)(0 2.28 in 24 psi 1096

y B z B

y z

M z M y I  I



의 위치는 tan

은,

5 k-in)(sin10 5 k-in)(cos1

4

1.966 in) n

096 psi 3

A

 

 

4

0.634 in) n

6 psi 1820

B





n

^z

tan

y

I

  I

es M. Gere &

0 )

^o

 2.605 0 )

^o

 14.77

(14.77 k-in 67.4 3340 psi



(14.77 k-in) 67.4 0 psi

67.4 in n   2.28 in

Barry J. Goo

k-in k-in

4

n)(5.00 in) 4 in

4

)( 5.00 in) in



4 4

n tan10 n

o



dno



5.212 _ 

제 6 장

79.1

^o

 

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-32



(16)

Mechanic

cs of Materials

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-33

(17)

Mechanic

 예제

문제

-

Z 단면에 모멘트 M

, , A B D

수직응력 중립축 구

200 h 

cs of Materials

6-7

에   20

^o

방

3 kN m

M  

,

D E _점에서의

력 (   

_A

,

_B

,

구하기

mm, b  90

방향으로

m _{를 받고 있}

의

, )

D E

  _을

0 mm, t=15

es M. Gere &

있다.

구하고

mm

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-34

(18)

Mechanic

풀이 단면의 성

cs of Materials

성질은 예제

12-7 의 결과

es M. Gere &

과로부터

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-35

(19)

Mechanic

cs of Materials

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-36

(20)

Mechanic

cs of Materials

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-37

(21)

Mechanic

cs of Materials

es M. Gere &

Barry J. Goo

dno

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-38

(22)

Mechanic

일반이론 - y  z _축



x

  

힘의 평형

F

x





(단면의

모멘트 평

M

y







 



z

y

M



 





()과 (

y

M

  E

cs of Materials

론

축이 주축이

y

Ey

z

Ez

  

형조건

x

dx

   



도심을 좌표

평형조건

x

y yz z

z dA

EI E

 

 

 



x

y z z y

y dA

EI EI

 









**)을 연립하

(

2

)

z y y yz

y z yz

M I M I I I I





아닌 임의의

y

E y dA

  

표축의 원점으

y

E yz dA EI

  

2 y

yz

E y dA

  

하여 곡률에 대

_z

M

   E

es M. Gere &

의 축인 경우 (*)

z

E z dA



  

으로 하는 경우

2 z

E z dA



 

z

E yz dA



 

대하여 풀면,

(

2

y z z y

y z yz

M I M I E I I I





Barry J. Goo

의 일반해석

 0

우 자동만족)

A

(**)

A

(***

)

yz

dno

)

*)

제 6 장

장 보의 응력 (

Pa

심화 주제)

age 06-39

(23)

이 식을 (*)에 대입하면 응력을 구할 수 있다.

2

(

_y _z _z _yz

) (

_z _y _y _yz

)

x

y z yz

M I M I z M I M I y I I I

  ^ ^ ^



Note: 이 식은 도심을 통과하는 임의의 축에 대한 일반 휨 공식임. (주축이 아니어도 무방함)

중립축은 

_x

 0 _{으로부터,}

( M I

_y _z

 M I

_z _yz

) z  ( M I

_z _y

 M I

_y _yz

) y  0

즉 tan

^y ^z ^z ^yz

z y y yz

M I M I y

z M I M I

   ^



Note: 중립축을 알면; 최대응력의 발생점 파악에 유리

처짐의 방향을 결정할 수 있음 (중립축에 수직)

(24)

특수한 경우-1: M

_y

 0 _{인 경우}

2

( )

z yz y

x

y z yz

M I z I y I I I

  ^

 tan

^yz

y

I

  I

특수한 경우-2: M

_z

 0 _{인 경우}

2

( )

y z yz

x

y z yz

M I z I y I I I

  ^

 tan

^z

yz

I

  I

특수한 경우-3: y  z 축이 주축인 경우 즉 I

_yz

 0 _{인 경우}

y z

x

y z

M z M y

I I

   tan

^y ^z

tan

^z

z y y

M I I

   

사하중을 받

6.4 경사

- 경사하 - 하중은 - 경사하 - 각각의

오른손의