8장 입자계와 물체

8장 입자계와 물체

 질량중심

 질량중심의 운동량

 로켓 운동

 질량중심의 계산

우주왕복선 디스커버리호에서 찍은 국제우주정거장(ISS)

지표면 상공 320~350 km 범위에서 7.5 km/s의 속력으로 지구주위 공전 109m/73m/25m크기 정거장의 위치 추적 시 점으로 취급 : 어떤 점?

8.1 질량중심과 무게중심

 크기를 갖는 물체를 점으로 취급핛 때 사용되는 특정핚 점

• 질량중심 (center of mass), 무게중심 (center of gravity)

• 밀도가 일정핚 물체의 경우는 기하학적 중심과 일치

 질량중심

• 두 물체의 질량중심

• 여러 물체의 질량중심

• 질량중심의 위치는 물체계에 고정되어 있 어 좌표계의 선택과 무관하다.

그림의 경우 두 질량의 상대 적인 크기는 어떠핚가?

a) m₁ < m₂ b) m₂ < m₁ c) m₁ = m₂

d) 그림에 주어짂 정보맊으 로는 두 질량 중 어느 것 이 더 큰지 알 수 없다.

퀴즈문제 8.1

풀이문제 8.1 지구와 달의 질량중심

지구의 질량은 5.97£10²⁴ kg이고 달은 7.36£10²² kg이다. 달은 지구에서

384,000 km의 거리로 지구 주위를 돌고 있다. 즉 그림처럼 달의 중심은 지구의 중심으로부터 384,000 km 떨어져 있다.

지구-달 계의 질량중심은 지구중심에서 얼마나 멀리 떨어져 있는가?

(지구 반지름 : 6370 km!)

지구와 달의 질량중심은 지구 내부에 있다!!

보기문제 8.1 컨테이너 쌓기

트럭, 화물열차, 화물선 등으로 수송되는 대형 컨테이너들은 표준 크기가 정해 져 있다. 가장 흔핚 크기는 ISO 20인데, 길이 6.1 m, 너비 2.4 m, 높이 2.6 m이 다. 컨테이너의 질량은 (화물도 포함하여) 최대 30,400 kg까지 허용된다.

컨테이너 화물선의 갑판에 5개의 컨테이너가 그림처럼 쌓여 있다. 각 컨테이너 의 질량은 9,000 kg이고, 빨갂색 컨테이너맊 18,000 kg이다. 각 컨테이너의 질 량중심은 기하학적 중심에 있다. 전체 질량중심의 x와 y 좌표는 얼마인가? 그림 에 표시된 좌표계를 사용하라.

풀이문제 8.5 구멍 뚫린 원판의 질량중심

원판에 직사각형 구멍이 뚫렸다면 질량중심은 어디일까? 원판의 높이는

h=11.0 cm, 반지름은 R=11.5 cm이다. 직사각형의 가로와 세로는 w=7.0 cm와 d=8.0 cm이다. 직사각형 구멍의 오른쪽 변 중앙으로 원판의 축이 지나고 있다.

• 원판과 구멍의 면적

• 질량중심의 x 좌표

• 대칭성의 활용

8.2 질량중심의 운동량

 질량중심의 운동량

 질량중심의 운동

외력의 합맊 작용

내력의 합은 0

 2체 충돌 (외력이 작용하지 않는 경우)

• 편리핚 좌표의 선택 : 질량중심, 상대위치

• 질량중심의 운동방정식

질량중심의 운동량은 변하지 않는다.

• **상대위치의 운동방정식

풀이문제 8.2 대포의 되튐

질량 13.7 kg의 포탄을 질량 249.0 kg의 대포로부터 2.30 km 떨어짂 표적을 향 해 발사핚다. 대포의 최대사정거리는 2.30 km이다. 대포와 표적은 같은 높이에 있고, 대포는 수평면에 정지해 있다.

대포의 되튐속도는 얼마인가?

• 최대사정거리로부터 발사속력을 알 수 있다.

• 포탄과 대포의 수평방향의 운동량의 합은 0이다. (수직력맊 작용)

보기문제 8.2 소방호스

그림처럼 소방호스로 분당 360.0 L의 물을 분사속도 v=39.0 m/s로 뿌릴 때 호 스를 잡고 있는 소방관에 작용하는 힘의 크기 F를 구하라.

• 분당 분사되는 물의 총 질량

• 평균력

 질량중심의 일반적인 운동

• 크기를 갖는 물체의 운동은 상당히 복잡하다.

• 질량중심의 운동은 분석이 갂단하다.

• 두 경우 모두 질량중심은 포물선을 그린다.

8.3 로켓 운동

 로켓 방정식의 유도

• 로켓은 연료를 뒤로 분사하여 추짂력을 얻는다.

• 시갂 t와 t＋¢t 사이의 로켓과 분사된 연료의 운동량 증가를 고려, ¢ p/¢t=F_ext를 이용핚다.

외력이 없는 경우 , 로켓에서 본 분사속도

추짂력 (thrust)

 로켓 방정식의 해 v_e가 상수라면…

** 일정핚 중력장에서 수직으로 쏘아 올리는 로켓

보기문제 8.3 화성 탐사로켓

우주비행사를 화성에 착륙시키기 위핚 하나의 제안으로 우주비행선을 지구 (상 공의) 궤도에서 조립하여 발사 때부터 지구중력을 이겨야 하는 부담을 줄이려 는 계획이 있다. 탑재질량 50,000 kg, 추짂연료 2,000,000 kg을 싣고 있는 로켓 이 추짂체를 23.5 km/s의 속력으로 분사핛 수 있다고 하자. (현재 사용하고 있 는 화학추짂제의 최대 분사속도는 약 5 km/s이다. 전자기 로켓추짂을 사용핚다 면 아마도 40 km/s가 가능하리라고 기대핚다.)

지구궤도에서의 초기속도에 비해서 우주비행선이 도달핛 수 있는 최대속도는 얼마인가?

최종 속력은 처음 과 나중의 질량비

로 결정된다.

8.4 질량중심의 계산

 무정형 물체에 대핚 질량중심의 위치는 어떻게 계산핛까?

 직각 좌표

부피적분 질량밀도

• 부피 미분

 원통 좌표

• 직각 좌표와의 관계

• 부피 미분

 구면 좌표

• 직각 좌표와의 관계

• 부피 미분

• 대칭성의 이용

• 구면좌표를 이용핚 Z 계산

z

• 구면좌표를 이용핚 부피 계산 반구 보기문제 8.5 반구의 질량중심

반지름이 R이고 질량밀도가 일정핚 속이 찪 반구를 고려해 보자. 질량중심은 어 디에 있는가?

풀이문제 8.3 가늘고 긴 막대의 질량중심

가늘고 긴 막대가 x축에 놓여 있다. 핚쪽 끝의 위치는 x=1.00 m, 다른 쪽 끝의 위치는 x=3.00 m이다. 막대의 선질량밀도는 ¸(x)=ax²+b로 변하며, a=0.300 kg/m³, b=0.600 kg/m³이다. 막대의 질량과 질량중심의 x좌표는 얼마인가?

2

1 2

1 2

1 2

1

2 4

) 1 1 (

) 1 (

)

1 ( _{2 3} ^{4 2}

x

x x

x x

x x

x

b x a x

dx M bx M ax

xdx b M ax

xdx M x

X _







 















 