롤러코스터는 모터에 의해 일정한 높이까지 올려진 후, 레일 위를 동력 없이 달리도록 만들어진 놀이 기구이다.
롤러코스터가 달릴 때 에너지의 변화는 높이와 속력 등에 대한 식으로 나타낼 수 있다.
수와 식의 계산은 수학의 기본 기능으로 이후 학습의 기초가 된다.
1. 유리수와 순환소수 2. 식의 계산
수와 식의 계산
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Ⅰ-1 유리수와 순환소수 순환소수의 분수 표현
Ⅰ-2 지수법칙 단항식의 계산 다항식의 계산
2 다음 수를 소인수분해하시오.
중 1⑴ 50 ⑵ 96 ⑶ 168 ⑷ 400
3 다음을 계산하시오.
중 1⑴ 4a_(-8) ⑵ ;5@;xÖ;5$;
⑶ 3(2a-5)+(-a+6) ⑷ 5(3x-1)-2(7x+3)
- 소인수분해, 정수와 유리수, 문자의 사용과 식의 계산(중1)
- 무리수, 다항식의 곱셈과 인수분해(중3)
1 다음 분수를 소수로
,소수를 분수로 나타내시오.
초등⑴ ;1Á0; ⑵ ;1ª0£0; ⑶ 2.61 ⑷ 0.083
수학 팸플릿 수학 게임 수학 잡지
수학자 포스터 수학 만화 수학 마인드맵
유리수와 순환소수
기타(Guitar)는 굵기가 서로 다른 6개의 줄을 튕겨 소리를 내는 현악기이다. 기타의 목 부분에는 정확한 음정을 내기 위해 반음 간격마다 음쇠(Fret)가 있다. 어느 한 줄의 길이의 ;4#;, ;3@; 위치에 있는 음쇠에 줄을 닿게 하여 튕기면 음쇠에 줄이 닿지 않을 때의 음 보다 각각 4도, 5도 높은 소리가 난다.
수학 + 음악
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기타의 음쇠의 위치를 나타내는 분수를 이용하여 소수 표현과 분수 표현에 대하여 알아보자.
음쇠의 위치를 나타내는 두 분수 ;4#;, ;3@; 를 소수로 나타내고, 두 소수의 차이점을 말해 보자.
;4#; , ;3@;
▶ 분수를 소수로 나타낼 수 있다.
예 아니요
▶ 수의 소수 표현과 분수 표현의 장단점을 알 수 있다.
예 아니요
▶ 유리수와 순환소수 ▶ 순환소수의 분수 표현
•예습과 복습을 열심히 하겠다.
•
수업 시간에 집중하겠다.
•
수학에 대한 자신감을 키우겠다.
•
모둠 활동에 적극적으로 참여하겠다.
;3@;
1
;4#;
에서 음쇠의 위치를 분수로 표현하는 것과 소수로 표현하는 것 중 다음 각 경우에 대해 어느 것이 더 편리한지 생각해 보자.
•음쇠의 위치 정확하게 나타내기
:•두 수의 대소 비교하기
:유리수와 순환소수의 관계를 알아볼까?
유리수는
a
,b
가 정수이고,b+0
일 때, 분수;bA;
의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 분수;bA;
는;bA;=aÖb
이므로 분자를 분모로 나누면 정수 또는 소수가 된다.위의 개념 열기에서 분수
;2!;
,;1Á6;
,;1°2;
를 각각 소수로 나타내면 다음과 같다.
;2!;=1Ö2=0.5
;1Á6;=1Ö16=0.0625
;1°2;=5Ö12=0.41666y
이때
0.5
,0.0625
와 같이 소수점 아래에0
이 아닌 숫자가 유한 번 나타나는 소수를 유한소수라고 한다. 또0.41666y
과 같이 소수점 아래에0
이 아닌 숫자 가 무한 번 나타나는 소수를 무한소수라고 한다.유리수와 순환소수
•순환소수의 뜻을 안다.
순환소수는 무엇일까?
스테빈
(Stevin, S., 1548~1620) 네덜란드의 수학자. 소수를 발견하고, 소수의 표기법과 계산법을 연구하였다.
괄호 안의 알맞은 것에 표를 해 보자.
⑴
0.42는 소수점 아래에
0이 아닌 숫자가 유한 번 나타나므로 유한소수이다.
⑵
0.696969y는 소수점 아래에
0이 아닌 숫자가 무한 번 나타나므로 ( 유한소수, 무한소수 ) 이다.
다음 그림은 정조(1752~1800)의 일생을 나타낸 것이다. 아래 표의 분수를 각각 소수 로 나타내시오.
사망
출생 세손
책봉
사도세자의 죽음
왕위 즉위
화성 준공
Æ
분수
;2!; ;1Á6; ;1°2;소수
음의 유리수인 경우에는 - (자연수)
(자연수) 로 나타낸다.
12 Ⅰ. 수와 식의 계산
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다음 분수를 소수로 나타내고, 유한소수와 무한소수로 구분하시오.
⑴;6%; ⑵;8&; ⑶;1Á1;
01
무한소수 중에는
0.777y
,-1.4585858y
,2.345345345y
와 같이 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이 되는 소수가 있다. 이와 같은 무한소수를 순환소수라 하고, 이때 한없이 되풀이 되는 한 부분을 순환마디라고 한다.
순환소수는 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 다음과 같이 간단히 나타낸다.
순환소수 순환마디 간단히 나타내기
0.777y 7 0.H7
-1.4585858y 58 -1.4H5H8 2.345345345y 345 2.H34H5
순환소수
-1.4585858y을
-1.45H8H5또는
-1.4H585H8등과 같이 나타내지 않는다.
야구 경기에서 8타수 3안타를 친 선수의 타율은 0.375로 나타내고, 반으로 접은 색종이의 넓이는 전체 넓이의 ;2!;
로 나타낸다. 이와 같이 유리수는 경우에 따라 소수로 표 현하는 것이 더 편리하기도 하고, 분수로 표현하는 것이 더 편리하기도 하다. 우리 생활 주변에서 소수 표현 또는 분수 표현이 더 편리한 경우를 찾으시오.
열린 03
다음 표의 빈칸을 알맞게 채우시오.
순환소수 순환마디 간단히 나타내기
⑴0.444y 4 0.H4
⑵0.384384384y
⑶0.72616161y
02
무한소수 중에는 원주
율 p=3.141592653y,
0.1010010001y과 같이
순환소수가 아닌 무한소수
도 있다.
위의 개념 열기에서 유한소수
0.3
,0.57
,0.213
은 각각 다음과 같이 분모가10
의 거듭제곱인 분수로 나타낼 수 있다.
0.3= ;1£0;
,0.57= ;1°0¦0;
,0.213= ;1ª0Á0£0;
이때 분모를 각각 소인수분해하면
10=2_5
,100=2Û`_5Û`
,1000=2Ü`_5Ü`
과 같이 소인수가
2
와5
뿐임을 알 수 있다.한편 분수
;5!;
,;4£0;
은 각각 다음과 같이 분모가10
의 거듭제곱인 분수로 고쳐 서 유한소수로 나타낼 수 있다.
;5!;= 1_2 5_2 =;1ª0;=0.2
;4£0;= 3 2Ü`_5 = 3_5Û`
2Ü`_5_5Û` = 75
10Ü` =0.075
이와 같이 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가
2
또는5
뿐이면 분모, 분자에2
또는5
의 거듭제곱을 곱하여 분모를10
의 거듭제곱 으로 고쳐서 유한소수로 나타낼 수 있다.이상을 정리하면 다음과 같다.
다음은 유한소수 0.3, 0.57, 0.213을 각각 분수로 나타낸 다음, 분모를 소인수분해한 것이다. 빈칸에 알맞은 수를 쓰고, 분모의 소인수를 말하시오.
1 0.3=;1£0; 2 0.57=;1°0¦0; 3 0.213=;1ª0Á0£0;
= 3
_ = 57
Û`_ Û` = 213
Ü`_ Ü`
유한소수로 나타낼 수 있는 분수에는 어떤 성질이 있을까?
분모와 분자의 공약수가 1 뿐인 분수를 기약분수라고 한다.
초등
정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가
2또는
5뿐이면 그 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
유한소수로 나타낼 수 있는 분수
모든 유한소수는 분수 로 나타낼 수 있다.
분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 있는 기약분수는 분모를 10의 거듭제곱으로 고칠 수 없으므로 유한소수 로 나타낼 수 없다.
14 Ⅰ. 수와 식의 계산
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빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
;2Á0;= 12Û`_5
분모의 소인수가 와 뿐이다.
유한소수로 나타낼 수 있다.
분모를 소인수분해
다음 분수 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 것을 모두 찾으시오.
04
1
2Ü`_5
33
2_3_5Û`
1
2_7
-;7°2;
;1ª4Á0;
정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 그 기약분수의 분모가
2
또는5
이외의 소인수를 가지는 분수를 소수로 나타내 보자.;7!;
을 소수로 나타내기 위해 오른쪽과 같이 나눗셈 을 하면 소수점 아래 각 자리에서 나머지가3
,2
,6
,4
,5
,1
의 순서대로 계속해서 나타난다.이때
1
을7
로 나눈 나머지는 나누는 수7
보다 작은 자연수이어야 하므로 적어도7
번째 안에는 같은 수가 다시 나타난다. 같은 수가 나타나게 되면 그때부터 같 은 몫이 되풀이되므로 순환마디가 생기게 된다.따라서 분수
;7!;
은 다음과 같은 순환소수로 나타낼 수 있다.
;7!;
=0.142857142857142857y
=0
.H14285H7이와 같이 정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모에
2
또는5
이 외의 소인수가 있는 분수를 소수로 나타내면 무한소수가 되고, 이 무한소수는 순환소수이다.순환소수로 나타낼 수 있는 분수에는 어떤 성질이 있을까?
같다.
y
0 1 4 2 8 5 7 y
.7 1 0
7 3 0 2 8 2 0 1 4 6 0 5 6 4 0 3 5 5 0 4 9 1
;7!; 은 분모가 2 또는 5 이
외의 소인수를 가지므로 유
한소수로 나타낼 수 없다.
㈎x
의 분모는
24이다.
㈏x
는
;8!;보다 크고
;2!;보다 작다.
㈐x
는 유한소수로 나타낼 수 없다.
주어진 조건을 분석하 여 수학적 추측을 한다.
추측한 내용이 참인지 확인한다.
추론할 때는
다음을 모두 만족시키는 분수 x의 개수를 구하시오.
추론
수학 기르기
달의 반지름의 길이는 지구의 반지름의 길이의 약
;4!;, 태양의 반지름의 길이의 약
;40!0;이다. 또 달의 질량은 지구의 약
;8Á1;이고 중력은 지구의
;6!;정도이다.
정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모에
2또는
5이외의 소인수가 있 으면 그 유리수는 순환소수로 나타낼 수 있다.
순환소수로 나타낼 수 있는 분수
이상을 정리하면 다음과 같다.빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
;1Á4;= 12_7
분모에
2또는
5이외의 소인수 이 있다.
순환소수로 나타낼 수 있다.
분모를 소인수분해
다음 분수 중에서 순환소수로만 나타낼 수 있는 것을 모두 찾으시오.
⑴;8#; ⑵:ª7¼: ⑶-;9%; ⑷-;7!5@;
05
다음 글의 밑줄 친 분수 중에서 순환소수로만 나타낼 수 있는 것을 모두 찾으시오.
06
과학
16 Ⅰ. 수와 식의 계산
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위의 개념 열기에서
x
와10x
의 소수점 아래의 부분은 같다.따라서
10x-x
의 값을 구하면10x-x=7
과 같이 정수가 된다.이와 같이 어떤 순환소수에
10
의 거듭제곱을 적당히 곱하면 그 소수점 아래의 부분이 처음 순환소수의 소수점 아래의 부분과 같아지므로 두 수의 차는 정수가 된다.이를 이용하여 순환소수를 분수로 나타내 보자.
순환소수
0
.H7을x
라고 하면
x=0.777y
yy`①10x=7.777y
yy`② 이므로 ②에서 ①을 변끼리 빼면
9x=7
,x= ;9&;
따라서
0
.H7=;9&; 이다.순환소수 0.H7을 x라고 할 때, 다음 물음에 답하시오.
1 x=0.777y의 양변에 10을 곱하여 오른쪽 빈칸을 채 우고, x와 10x의 소수점 아래의 부분을 비교하시오.
2 10x-x의 값을 구하시오.
순환소수의 분수 표현
•유리수와 순환소수의 관계를 이해한다.
순환소수는 어떻게 분수로 나타낼까?
10x=7.777y ->³ x=0.777y
9x=7
다음 순환소수를 분수로 나타내시오.
⑴0.H3 ⑵1.H2
01
x=0.777y 10x=
다음 순환소수를 분수로 나타내시오.
⑴0.H3H5 ⑵0.1H2H7
1
⑴0.H3H5
를
x라고 하면
x=0.353535y yy`
①
100x=35.353535y yy`② ②에서 ①을 변끼리 빼면
99x=35
,
x=;9#9%;따라서
0.H3H5=;9#9%;이다.
⑵ 0.1H2H7
을
x라고 하면
x=0.1272727y10x=1.272727y yy`
①
1000x=127.272727y yy`② ②에서 ①을 변끼리 빼면
990x=126
,
x=;9!9@0^;=;5¦5;따라서
0.1H2H7=;5¦5;이다.
답
⑴;9#9%; ⑵;5¦5;순환마디를 이루는 숫자가
2
개 이상인 순환소수와 순환마디가 소수점 아래 첫째 자리부터 시작되지 않는 순환소수를 분수로 나타내 보자.다음 순환소수를 분수로 나타내시오.
⑴0.H4H5 ⑵1.H02H4
⑶-0.9H4 ⑷3.2H5H3
02
100x=35.353535y ->³ x= 0.353535y
99x=35
1000x=127.272727y ->³ 10x= 1.272727y
990x=126
18 Ⅰ. 수와 식의 계산
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자신의 생각을 명확하 게 전달한다.
수학적 용어를 정확히 사용해 표현한다.
설명할 때는
다음 중에서 잘못 말한 학생을 모두 찾고, 그 이유를 설명하시오.
의사소통
수학 기르기
지금까지 정수가 아닌 유리수를 소수로 나타내면 유한소수 또는 순환소수가 되고, 유한소수와 순환소수는 모두
a
,b(b+0)
가 정수인 분수;bA;
의 꼴로 나타 낼 수 있으므로 유리수임을 알았다.이상을 정리하면 다음과 같다.
유한소수와 순환소수는 모두 유리수이다.
유한소수
소수 유리수
순환소수
무한소수
순환소수가 아닌 무한소수
유리수와 소수의 관계
현수 모든 순환소수는 무한소수야.
다혜 모든 기약분수는 유한소수로 나타낼 수 있어.
세민 순환소수가 아닌 무한소수는
유리수가 아니야.
지훈 순환소수 중에는 유리수가 아닌 것도 있어.
다음과 같은 5장의 카드가 있다. 카드에 적힌 수 중에서 유리수를 모두 찾으시오.
03
1
.
H2H4 3.141592y 1.121121112y3.76 2.323232y
다음 문장이 옳으면 , 옳지 않으면 X를 안에 쓰시오.
1
0.324324324y는 순환소수이고, 순
환마디는 24이다.
2
순환소수
2.405405405y를 간단히나타내면 2.H40H5이다.
3
2
3_5Û`
는 유한소수로 나타낼 수 있다.
4
1
3_5 은 순환소수로만 나타낼 수 있다.
5
순환소수는 유리수이다.
지수(곱한 횟수)
소수: 약수가 1과 자기 자신뿐 밑
합성수: 약수가 3개 이상
소인수(소수인 약수)
다음은 순환소수 0.H2를 분수로 나타내는 과정 이다. 빈칸에 알맞은 수를 쓰시오.
3
다음 분수를 순환소수로 나타내시오.
⑴ ;1ª1; ⑵ ;1¥5;
1
O
, X 문제
유한소수
소수점 아래에
0이 아닌 숫자가 유한 번 나타나는 소수
0.3,
1.45무한소수
소수점 아래에
0이 아닌 숫자가 무한 번 나타나는 소수
0.222y,
0.161161116y순환소수
소수점 아래에서 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 무한소수
0.222y=0. H2 ,
2.415415415y=2. H41H5 ,
3.3696969y=3.3H6H9유한소수로 나타낼 수 있는 분수 순환소수로 나타낼 수 있는 분수
;2£0;= 32Û`_5
유한소수
(0.15) ;1Á2;= 12Û`_3순환소수
(0.08H3)유리수와 순환소수의 관계
유한소수와 순환소수는 모두 유리수이다.
순환마디 순환마디
분모에 2 또는 5 이외의 소인수 3이 있다.
분모의 소인수가 2와 5뿐이다.
순환마디
0.H2
를
x라고 하면
x=0.222y yy`
①
10x= yy`② 이므로 ②에서 ①을 변끼리 빼면
9x=
,
x= 9따라서
0.H2= 9이다.
다음에 해당하는 것을 보기에서 모두 찾으시오.
⑴ 유한소수로 나타낼 수 있는 분수
⑵ 순환소수로만 나타낼 수 있는 분수
2
ㄱ.
;1Á4;ㄴ.
;8¦0;ㄷ.
;4#4#;ㄹ.
;4!5%;보기
20 Ⅰ. 수와 식의 계산
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Ⅰ
- 1. 유리수와 순환소수
정답 및 해설 ▶ 274쪽
다음 순환소수를 분수로 나타내시오.
⑴ 1.H6 ⑵ 0.H40H5
⑶ -0.H1H3 ⑷ 2.0H4H3
8
분수 ;1£6£8;에 어떤 자연수를 곱하여 유한소수 로 나타내려고 한다. 곱할 수 있는 가장 작은 자연수를 구하시오.
6
찬영
0.H17H2
현수
0.H1H7
지연
0.1H7H2
세민
0.17H2H7
다음 중에서 분수 ;1Á1»0; 를 소수로 바르게 나 타낸 학생을 찾으시오.
4
분수 21
2Ü`_5Û`_a 을 순환소수로만 나타낼 수 있을 때, 한 자리의 자연수 a의 값을 구하시오.
7
262 쪽
분수 ;45{0; 는 유한소수로 나타낼 수 있고, 기 약분수로 나타내면 ;]^;이다. x가 100보다 크 고 110보다 작은 자연수일 때, x, y의 값을 각각 구하시오.
10
다음 보기 중에서 유리수를 모두 찾으시오.
9
ㄱ.
:Á3Á:ㄴ.
2.H1H5ㄷ.
-0.47ㄹ.
0.121231234y 분수 ;1ª3; 를 소수로 나타냈을 때, 다음 물음에보기
답하시오.
⑴ 순환마디를 구하시오.
⑵ 소수점 아래 100번째 자리의 숫자를 구하 시오.
5
보물을 찾으려면 어느 쪽으로 가야 할까?
활동 목표 유리수와 순환소수를 이해하고, 문제를 해결할 수 있다.
문제 해결
모든 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
;1¤8;은 순환소수로만 나타낼 수 있다.
;1°2;는 유한소수로 나타낼 수 있다.
0.5는 0.H5보다 작다.
0.H41H5의 소수점 아래 5번째 자리의 숫자는 5이다.
x=0.H31H8일 때, 10x-x를 이용하면 x를
분수로 나타낼 수 있다.
무한소수 중에는 유리수가 아닌 것이 있다.
순환소수는 유리수가 아니다.
;5»0;는 유한소수로 나타낼 수 있다.
모든 무한소수는 순환소수이다.
0.H3을 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.
(
;1¦5;은 유한소수로 나타낼 수 있다.
5.626262y의 순환마디는 562이다.
0.121212y는 무한소수이다.
0.314는 유한소수이다.
2 1 의 그림에 유리수와 순환소수에 대한 내용을 바꾸어 새로운 길 찾기 문제를 만들고, 친구들과 함께 그 문제를 풀어 보자.
다음 그림의 유리수와 순환소수에 대한 내용 중에서 옳은 것을 모두 색칠하여 보물이 있는 곳으로 가는 길을 찾아보자.
1
22 Ⅰ. 수와 식의 계산
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신비의 수 142857의 비밀
베◯◯의 어느 소설은 인류의 운명을 놓고 신의 후보들이 벌이는 게임을 흥미롭게 그 리고 있다. 이 소설에는 다음과 같은 대목이 나온다.
“여러 가지 이야기를 들려주는 신비로운 수가 하나 있다. 142857이 바로 그것이다.”
신비의 수 142857의 성질에 대하여 알아보자.
142857에 1, 2, 3, 4, 5, 6을 각각 곱하면 6개의 숫자 1, 4, 2, 8, 5, 7이 배열 순서만 다르다.
또 곱한 결과의 수를 세 자리씩 끊고 두 수를 더하면 모두 999가 된다.
142857의 신비를 푸는 열쇠는 순환소수이다. ;7!; 을 소수로 나타내면 순환소수이고, 순환마디가 바로 142857이다. 따라서 ;7@;, ;7#;, ;7$;, ;7%;, ;7^; 을 각각 소수로 나타내면 모두 순환소수이고, 순환마디가 142857과 배열 순서만 다를 뿐이다.
;7!;=0.H14285H7, ;7@;=0.H28571H4, ;7#;=0.H42857H1 ;7$;=0.H57142H8, ;7%;=0.H71428H5, ;7^;=0.H85714H2
142857_1=142857 142+857=999 142857_2=285714 285+714=999 142857_3=428571 428+571=999 142857_4=571428 571+428=999 142857_5=714285 714+285=999 142857_6=857142 857+142=999
활동 목표 유리수와 순환소수를 이해하고, 문제를 해결할 수 있다.
(참고 자료: Liz Strachan, “Numbers are Forever”)
식의 계산
황금사각형은 오른쪽 그림과 같이 두 변의 길이의 비가 (a+b)`:`a=a`:`b를 만족시키는 직사각형으로 인간이 인 식하기에 가장 균형적이고 안정적인 사각형이라고 한다.
이탈리아의 화가 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1452~1519)의 대표적인 그림인 ‘최후의 만찬’과 ‘모 나리자’에서도 황금사각형을 찾아볼 수 있다고 한다.
수학 + 미술
B C B
C B
(참고 자료: 호리바 요시카즈(임승원 옮김), “무리수의 불가사의”)
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 24 18. 10. 10. 오후 4:53
황금사각형을 이용하여 식의 계산에 대하여 알아보자.
▶ 직사각형의 넓이를 문자를 사용하여 나타낼 수 있다.
예 아니요
▶ 단항식과 다항식의 곱을 이해할 수 있다.
예 아니요
▶ 지수법칙 ▶ 단항식의 계산 ▶ 다항식의 계산
•예습과 복습을 열심히 하겠다.
•
수업 시간에 집중하겠다.
•
수학에 대한 자신감을 키우겠다.
•
모둠 활동에 적극적으로 참여하겠다.
오른쪽 그림에서 전체 직사각형의 넓이를 구하는 두 가지 방 법을 생각해 보고, 직사각형의 넓이를 나타내 보자.
B C B
C B
에서 방법 1과 방법 2로 나타낸 직사각형의 넓이는 서로 같음을 식으로 나타내 보자.
방법 1 방법 2
단항식과 다항식의 계산 방법을 알아볼까?
위의 개념 열기에서
2Û`
은2
를 두 번,2Ü`
은2
를 세 번 곱한 것이므로2Û`_2Ü`
은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
2Û`_2Ü` =(2_2)_(2_2_2)
=2_2_2_2_2
=2
Þ`
같은 방법으로
aÛ`_aÜ`
은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
aÛ`_aÜ` =(a_a)_(a_a_a)
=a_a_a_a_a
=a
Þ`이때
a
Þ`
의 지수5
는aÛ`_aÜ`
의 두 지수2
와3
의 합과 같음을 알 수 있다.다음 대화를 읽고, 선우의 질문에 답하시오.
지수법칙
•지수법칙을 이해한다.
aµ``_aÇ` 은 어떻게 간단히 할까?
2번
[2번
[(
3번
{ 9(
3번
{ 9( |
5번
{ | 9( |
5번
{ | 92Û`과 2Ü`은 2를 각각
몇 번 곱한 것일까?
2Û`은 두 번, 2Ü`은
세 번 곱한 것이지.
그럼 2Û`과 2Ü`의 곱
2Û`_2Ü`은 2를 몇 번곱한 것일까?
중1
2`à`
지수 밑
두 지수의 합
a2_a3=a2+3=a526 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 26 18. 7. 25. 오전 10:57
일반적으로 다음과 같은 법칙이 성립한다.
m
,
n이 자연수일 때
aµ``_aÇ`=aµ``±Ç`지수법칙 ⑴
a는 aÚ`으로 정한다.
xÛ`_yÛ`_xÞ`_yÜ` 을 간단히 하시오.
1
xÛ`_yÛ`_xÞ`_yÜ`
=xÛ`_xÞ`_yÛ`_yÜ`
=xÛ`±Þ`_yÛ`±Ü`
=xà`_yÞ`
=xà`yÞ`
답
xà`yÞ`밑이 다른 거듭제곱이 있는 곱셈에서는 밑이 같은 거듭제곱끼리 모아서 지수 법칙을 이용하여 간단히 나타낸다.
다음 식을 간단히 하시오.
⑴aÜ`_aà` ⑵2Ü`_2Ý`_2Þ` ⑶a_aÜ`_aÞ`
01
다음 식을 간단히 하시오.
⑴3_5Ü`_3Þ`_5Ý` ⑵a_bÛ`_aÜ`_bÝ` ⑶xÛ`_yÝ`_x_yÜ`_yÛ`
02
빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴
a_aÝ`=aÚ`±Ý`=aÞ`⑵
5Û`_5Ü`_5Ý`=5 + _5Ý`=5 +4=5(aµ``)Ç` 은 어떻게 간단히 할까?
(4Ü`)Û`
은4Ü`
을 제곱한 것이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(4
3)
2=4
3_4
3=4
3+3=4
3_2=4
6같은 방법으로
(a
3)
2은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(a
3)
2=a
3_a
3=a
3+3=a
3_2=a
6이때
a
6의 지수6
은(a
3)
2의 두 지수3
과2
의 곱 과 같음을 알 수 있다.일반적으로 다음과 같은 법칙이 성립한다.
m
,
n이 자연수일 때
(aµ``)Ç`=aµ``Ç`지수법칙 ⑵
다음 식을 간단히 하시오.
⑴(aÛ`)à` ⑵(2Û`)Þ`_(2Ý`)Û` ⑶(aÛ`)Û`_(bÞ`)Û`_aÜ`
03
오른쪽 그림과 같이 정육면체 모양인 큐브의 한 모서리의 길이가 aÜ` 일 때, 큐브의 부피를 구하시오.
04
(a3)2=a3_2=a6
두 지수의 곱
빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴
(32)4=32_4=38⑵
(b4)3=b4_ =bB
28 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 28 18. 7. 25. 오전 10:57
위의 개념 열기에서
2Þ`Ö2Ü`
을2
의 거듭제곱으로 나타내면 다음과 같다.
2Þ`Ö2Ü` = 2Þ`
2Ü` = 2
_2
_2
_2_2
2
_2
_2
=2_2=2Û`
같은 방법으로
a+0
일 때,aÞ`ÖaÜ`
,aÜ`ÖaÜ`
,aÜ`ÖaÞ`
은 각각 다음과 같이 나타 낼 수 있다.
aÞ`ÖaÜ` = aÞ`
aÜ` = a
_a
_a
_a_a
a
_a
_a
=a_a=aÛ`
aÜ`ÖaÜ`= aÜ`
aÜ` = a
_a
_a
a
_a
_a
=1
aÜ`ÖaÞ`= aÜ`
aÞ` = a
_a
_a
a
_a
_a
_a_a = 1 a_a = 1
aÛ`
즉,
aÞ`ÖaÜ`=aÞ`ÑÜ`=aÛ`
aÜ`ÖaÜ`=1
aÜ`ÖaÞ`= 1
aÞ`ÑÜ` = 1 aÛ`
임을 알 수 있다.
일반적으로 다음과 같은 법칙이 성립한다.
다음은 2Þ`Ö2Ü`을 2의 거듭제곱으로 나타낸 것이다. 빈칸에 알맞은 것을 쓰시오.
aµ``ÖaÇ` 은 어떻게 간단히 할까?
2Þ`Ö2Ü`=
2Ü` =2_2_2_ _
2_2_2 =2_2=2Û`
a+0
이고,
m,
n이 자연수일 때
❶ m>n
이면
amÖan=am-n❷ m=n
이면
amÖan=1❸ m<n
이면
amÖan= 1 aÇ` ѵ``지수법칙 ⑶
두 지수의 차
a5Öa3=a5-3=a2 a3Öa5= 1
a5-3= 1 a2
두 지수의 차
다음 식을 간단히 하시오.
⑴(aÞ`)Ü`Ö(aÝ`)Û` ⑵(aÜ`)Û`_(aÛ`)Û`Ö(aÝ`)Ü`
2
⑴(aÞ`)Ü`Ö(aÝ`)Û`
=aÚ`Þ`Öa¡`=aÚ`Þ`Ñ¡
=aà`
⑵(aÜ`)Û`_(aÛ`)Û`Ö(aÝ`)Ü`=aß`_aÝ`ÖaÚ`Û`=aÚ`â`ÖaÚ`Û`
= 1aÚ`Û`ÑÚ`â`= 1 aÛ`
답
⑴aà` ⑵ 1 aÛ`다음 식을 간단히 하시오.
⑴3ß`Ö3Ü` ⑵aÞ`ÖaÞ` ⑶xÖxÜ`
05
다음 식을 간단히 하시오.
⑴(xÝ`)Ü`Ö(xÛ`)Ü` ⑵(aÞ`)Ý`_aÛ`Ö(aß`)Ü` ⑶xÚ`Û`Ö(xÜ`)Ü`Ö(xÞ`)Û`
06
어느 상품의 홍보를 위해 바이럴 마케팅을 하려고 한다. 오른쪽 그림과 같이 한 사람이 3명에게 전자 우편을 보내고 그 3명이 각각 서로 다른 3명에게 전달할 때, 6단계에서 전자 우편을 받는 사람 수는 2단계에서 전자 우편을 받는 사람 수의 몇 배인지 지수법칙을 이용하여 구하시오.
07
경제
바이럴 마케팅 누리꾼이 전자 우편이나 전파 가능한 매체를 이용 하여 자발적으로 상품을 홍보하는 방법으로 컴퓨터 바이러스처럼 확산된다고 하여 붙인 이름이다.
1단계 2단계
30 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 30 18. 7. 25. 오전 10:57
m
이 자연수일 때
❶ (ab)m=ambm ❷ {;aB;}m= bµ``
aµ``(a+0)
지수법칙 ⑷
다음 식을 간단히 하시오.
⑴(3a)Ü` ⑵{-;[@;}Þ`
08
지수법칙을 이용하여 다음을 계산하시오.
⑴4Ü`_(0.25)Ü` ⑵ 50Ü`
100Ü`
09
(ab)µ``, {;aB;}µ``(a+0)은 어떻게 간단히 할까?
(ab)Ü`
은ab
를 세제곱한 것이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
(ab)Ü` =ab_ab_ab
=a_a_a_b_b_b=aÜ`bÜ`
같은 방법으로 {;aB;}Ü`(a+0)은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
{;aB;}Ü`=;aB;_;aB;_;aB;
= b_b_b a_a_a = bÜ`
aÜ`
일반적으로 다음과 같은 법칙이 성립한다.
(ab)Ü`=aÜ`bÜ`
{;bA;}Ü`= aÜ`bÜ`
빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴
(-2a)Ü`=(-2)Ü`aÜ`=-8aÜ`⑵ {;3{;}Ý`= x
3 = x
다음 식을 간단히 하시오.
⑴(-2xÛ`yÜ`)Þ` ⑵{ 3xÝ`y }Ü`
3
⑴(-2x2y3)5=(-2)5(x2)5(y3)5
=-32x10y15
⑵{ 3xÝ`y }Ü`= (3xÝ`)Ü`
yÜ` =3Ü`(xÝ`)Ü`
yÜ`
= 27xÚ`Û`
yÜ`
답
⑴-32x10y15 ⑵ 27xÚ`Û`yÜ`
다음 식을 간단히 하시오.
⑴(4xyÝ`)Ü` ⑵{ 2b
aÛ` }ß` ⑶{- aÜ`
bÝ` }ß`
10
풀이 계획을 수립하고 실행한다.
자신의 생각을 명확하 게 전달한다.
문제를 해결하고 설명 할 때는
다음은 다혜와 지훈이가 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 한 것이다. 계산 과정에서 틀린 부분을 각각 찾고, 그 이유를 설명하시오.
문제 해결
ㅣ
의사소통수학 기르기
다혜 지훈
(-2 2 ) 4 = -2 4 ( 2 ) 4 4 = -16 8 4
6
3
2 =
2 ( 6 ) 2 3
=
2 12
3
32 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 32 18. 7. 25. 오전 10:57
위의 개념 열기에서 할인권 모음의 넓이는 (할인권 한 장의 넓이)
_6 =ab_6=6ab
또는(가로의 길이)
_
(세로의 길이)=3a_2b
이므로
3a_2b=6ab
와 같이 나타낼 수 있다.이것은 곱셈의 교환법칙과 결합법칙을 이용하여 다음과 같이 계산한 것과 같다.
3a_2b =3_a_2_b
=3_2_a_b
=(3_2)_(a_b)
=6ab
이와 같이 단항식의 곱셈에서는 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 곱하여 계산한다.
교환법칙 결합법칙
오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의할인권 6장으로 이루어진 할인권 모음 이 있다. 할인권 한 장의 가로의 길이는 a, 세로의 길이는 b라고 할 때, 할인권 모음의 넓이를 구하시오.
단항식의 계산
•단항식의 곱셈과 나눗셈을 할 수 있다.
단항식의 곱셈은 어떻게 할까?
3a_2b=6ab
계수의 곱
문자의 곱
• 곱셈의 교환법칙 a_b=b_a
• 곱셈의 결합법칙 (a_b)_c=a_(b_c)
중1빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴
4x_(-5y)=4_x_(-5)_y=4_(-5)_x_y=-20xy⑵
(-3xÛ`)_2xy=(-3)_xÛ`_ _x_y=(-3)_ _xÛ`_x_y= xÜ`y BC
B
C
다음 식을 간단히 하시오.
⑴5a_3a ⑵5xÛ`_6yÜ`
⑶3aÜ`_(-abÛ`) ⑷xy_(-2xÛ`y)Ü`
01
다음 도형의 넓이를 구하시오.
⑴ ⑵
02
YZ
Y Z B C
B C
단항식의 나눗셈은 어떻게 할까?
오른쪽 직육면체의 부피가
21aÛ`b
이고, 높이가7a
라고 하면 밑넓이는(밑넓이)
=
(부피)Ö
(높이) 이므로21aÛ`bÖ7a
이다.이때
21aÛ`bÖ7a
는 다음과 같이 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.[방법 1]
21aÛ`bÖ7a= 21aÛ`b 7a
= 21 7 _ aÛ`b a
=3_ab=3ab
[방법 2]21aÛ`bÖ7a=21aÛ`b_ ;7Áa;
=21_ ;7!;_aÛ`b_;a!;
=3_ab=3ab
분수 꼴로 바꾼다.
계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.
역수를 이용하여 나눗셈을 곱셈으로 고친다.
계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.
34 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 34 18. 7. 25. 오전 10:57
다음 식을 간단히 하시오.
⑴56aÚ`â`Ö8aÝ` ⑵(3xÛ`)Û`Ö(-27xÚ`Ú`)
⑶16aà`Ö;3$;aÜ` ⑷;7#;xà`yÛ`Ö;4¤9;xyÝ`
03
이와 같이 단항식의 나눗셈에서는 분수 꼴로 바꾸어 계산하거나 역수를 이용 하여 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산한다.
이때 단항식의 나눗셈에서도 단항식의 곱셈과 마찬가지로 계수는 계수끼리, 문자는 문자끼리 계산한다.
도형의 넓이가 다음과 같을 때, 빈칸에 알맞은 식을 쓰시오.
⑴ ⑵
04
Y Z
B C
빈칸에 알맞은 것을 써넣어 보자.
⑴
20xÞ`Ö5xÛ`= 20xÞ`5xÛ` = 20 _ xÛ` =⑵
6xÜ`yÖ18xÛ`yÜ`=6xÜ`y_ 118xÛ`yÜ`=6_;1Á8;_ _ 1 xÛ`yÜ`=
넓이
50xà`yá`높이
넓이
24a¡`bÚ`â`가로의 길이
(2xÛ`yÜ`)Ý`ÖxÜ`yÛ`_(3xy)Û`을 간단히 하시오.
1
(2xÛ`yÜ`)Ý`ÖxÜ`yÛ`_(3xy)Û`=2Ý`x¡`yÚ`Û`_ 1
xÜ`yÛ`_3Û`xÛ`yÛ`
=16_9_x¡`_ 1
xÜ`_xÛ`_yÚ`Û`_1 yÛ`_yÛ`
=144_xà`_yÚ`Û`
=144xà`yÚ`Û`
답
144xà`yÚ`Û`단항식의 계산에서 곱셈과 나눗셈이 섞여 있는 경우에는 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산하면 편리하다.
다음 식을 간단히 하시오.
⑴9aÛ`_4aÜ`Ö6aÝ` ⑵(-2xyÛ`)Ü`_;3@;xÛ`Ö(-16xÞ`yÜ`)
05
화살표의 방향을 바꾸면 곱셈을 나눗셈으로, 나눗셈을 곱셈으로 고쳐
서 계산할 수 있어.
다음 그림에서 곱셈 또는 나눗셈을 하여 빈칸에 알맞은 식을 써넣고, 자신의 풀이 방법을 설명하시오.
문제 해결
ㅣ
의사소통수학 기르기
_(-3xÛ )
_2
_
;2!;x
_3 _(-x)
_(-5yÜ`)
Ö9xy
Ö2y Ö2
_(-1) Ö5xyÛ`
6xy
ÖyÛ`
36 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 36 18. 7. 25. 오전 10:57
위의 개념 열기에서 현수와 다혜가 지불한 금액은 각각
(2a+5b)
원,(3a+b)
원이므로 두 사람이 지불한 금액의 합은
{(2a+5b)+(3a+b)}
원 이다.이것은 포도 주스
5
병, 사과 주스6
병을 산 것과 같으므로 이때의 금액(5a+6b)
원과 같다.따라서
(2a+5b)+(3a+b)=5a+6b
임을 알 수 있다.한편 위의 두 다항식
2a+5b
,3a+b
의 덧셈은 다음과 같이 계산할 수 있다.
(2a+5b)+(3a+b) =2a+5b+3a+b
=2a+3a+5b+b
=(2+3)a+(5+1)b
=5a+6b
괄호를 푼다.
교환법칙을 이용한다.
동류항끼리 모아서 간단히 한다.
어느 편의점에서 포도 주스는 한 병에 a원, 사과 주스는 한 병에 b원에 판매한다. 현수는 포도 주스 2병과 사과 주스 5 병, 다혜는 포도 주스 3병과 사과 주스 1병을 샀을 때, 다음 표의 빈칸을 알맞게 채우시오.
포도 주스(병) 사과 주스(병) 지불한 금액(원)
현수
2 5다혜
3 1합계
다항식의 계산
•다항식의 덧셈과 뺄셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
•(단항식)_(다항식), (다항식)Ö(단항식)과 같은 곱셈과 나눗셈의 원리를 이해하고, 그 계산을 할 수 있다.
다항식의 덧셈과 뺄셈은 어떻게 할까?
• 문자가 같고, 차수도 같 은 항을 동류항이라고 한다.
• 한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식을 다항식이라고 한다.
중1
a원 b원
다음을 계산하시오.
⑴(2x+3y)+(x-y) ⑵2(x-y+1)-(x-4y-2)
1
⑴(2x+3y)+(x-y)
=2x+3y+x-y
=2x+x+3y-y
=3x+2y
⑵2(x-y+1)-(x-4y-2)
=2x-2y+2-x+4y+2
=2x-x-2y+4y+2+2
=x+2y+4
답
⑴3x+2y ⑵x+2y+4 문자가2
개 이상인 다항식의 덧셈과 뺄셈은 문자가1
개인 일차식과 마찬가지로 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 간단히 한다.이때 뺄셈은 빼는 식의 각 항의 부호를 바꾸어 더한다.
다음을 계산하시오.
⑴2(2x-7y)+(3x+6y) ⑵(-2x+y+3)-4(x-3y-1)
01
문자
a
에 대한 다항식6aÛ`-3a+5
에서 차수가 가장 큰 항은6aÛ`
이고, 이 항의 차수는2
이다.이와 같이 다항식의 각 항의 차수 중에서 가장 큰 차수가
2
인 다항식을 이차 식이라고 한다.다항식
nÛ`+n+1,
m-3mÛ`에서 차수가 가장 큰 항은 각각
nÛ`,
-3mÛ`이고, 그 차수는
2이므 로 모두 이차식이다.
다음 다항식 중에서 이차식을 모두 찾으시오.
02
8-xÛ` 2x+y-5 5a+3 -3aÛ`+a-2
38 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 38 18. 7. 25. 오전 10:57
다음을 계산하시오.
⑴(2xÛ`-5x+3)+(xÛ`+4x+1) ⑵(2xÛ`+5x+2)-3(xÛ`+2x-2)
2
⑴(2xÛ`-5x+3)+(xÛ`+4x+1)
=2xÛ`-5x+3+xÛ`+4x+1
=2xÛ`+xÛ`-5x+4x+3+1
=3xÛ`-x+4
⑵(2xÛ`+5x+2)-3(xÛ`+2x-2)
=2xÛ`+5x+2-3xÛ`-6x+6
=2xÛ`-3xÛ`+5x-6x+2+6
=-xÛ`-x+8
답
⑴3xÛ`-x+4 ⑵-xÛ`-x+8 이차식의 덧셈, 뺄셈도 일차식의 덧셈, 뺄셈과 같은 방법으로 괄호가 있으면 먼저 괄호를 풀고 동류항끼리 모아서 계산한다.다음을 계산하시오.
⑴(xÛ`+2x-5)+(4xÛ`+3x-1) ⑵(-xÛ`+x+1)+2(2xÛ`-3x+3)
⑶(xÛ`-5x+6)-(3xÛ`+x-7) ⑷(5xÛ`-4x+1)-3(xÛ`+x+3)
03
오른쪽 그림과 같은 직사각형에서 P, Q를 각각 구하시오.
04
Y YY Y
1
Y
Y Y
2 2xÛ`-5x+3 +>³ xÛ`+4x+1 3xÛ`- x+4
2xÛ`+5x+2 ->³ 3xÛ`+6x-6 -xÛ`- x+8
일차식과 수의 곱셈을 분배법칙을 이용하여 계산하는 것과 같이 단항식과 다항식의 곱셈도 분배법칙을 이용하여 계산한다.
위의 개념 열기에서 전체 직사각형의 넓이
2x(3x+y)
를 분배법칙을 이용하 여 계산하면 다음과 같다.
2x(3x+y) =2x_3x+2x_y
=6xÛ`+2xy
이와 같이 단항식과 다항식의 곱을 분배법칙을 이용하여 하나의 다항식으로 나타내는 것을 전개한 다고 한다.
분배법칙
오른쪽 그림은 가로의 길이가 2x이고, 세로의 길이가 각각 3x, y인 두 직사각형을 이어 붙인 것이다.
1 두 직사각형의 넓이를 각각 구하시오.
2 전체 직사각형의 넓이를 (가로의 길이)_(세로의 길이)로 나타내시오.
3 1, 2의 넓이 사이의 관계를 식으로 나타내시오.
(단항식)_(다항식)은 어떻게 할까?
Y
Y
Z
분배법칙
• a(b+c)
=a_b+a_c
=ab+ac
• (a+b)c
=a_c+b_c
=ac+bc
중1(3x+5y-2)x=3x_x+5y_x+(-2)_x=3xÛ`+5xy-2x
2x(3x+y)=6xÛ`+2xy
전개
다음을 전개하시오.
⑴x(4x-3y) ⑵-3a(4a+3b-1)
⑶(2x-3)x ⑷(-a-4b+1)(-2b)
05
40 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 40 18. 7. 25. 오전 10:57
다음을 계산하시오.
⑴3x(5x-2y)+x(2x+3y+3) ⑵2x(4x-y+7)-3(xÛ`+x)
3
⑴3x(5x-2y)+x(2x+3y+3)
=3x_5x+3x_(-2y)+x_2x+x_3y+x_3
=15xÛ`-6xy+2xÛ`+3xy+3x
=17xÛ`-3xy+3x
⑵2x(4x-y+7)-3(xÛ`+x)
=2x_4x+2x_(-y)+2x_7-3_xÛ`-3_x
=8xÛ`-2xy+14x-3xÛ`-3x
=5xÛ`-2xy+11x
답
⑴17xÛ`-3xy+3x ⑵5xÛ`-2xy+11x다음을 계산하시오.
⑴2x(3x+y)+4y(2x-5y) ⑵x(3x+y+1)-4x{;4!;x-y+2}
06
(다항식)Ö(단항식)은 어떻게 할까?
오른쪽 원기둥의 부피가
6xÛ`+2xy
이고, 밑넓이가2x
라고 하면 높이는(높이)
=
(부피)Ö
(밑넓이) 이므로(6xÛ`+2xy)Ö2x
이다.이때
(6xÛ`+2xy)Ö2x
는 다음과 같이 두 가지 방법으로 계산할 수 있다.[방법 1]
(6xÛ`+2xy)Ö2x= 6xÛ`+2xy 2x = 6xÛ` 2x + 2xy
2x =3x+y
[방법 2](6xÛ`+2xy)Ö2x=(6xÛ`+2xy)_ 1 2x
=6xÛ`_ 1 2x +2xy_ 1
2x =3x+y
다음을 계산하시오.
⑴(9xÛ`y+6xyÛ`-3xy)Ö(-3xy) ⑵(5xÛ`+xy)Ö;6!;x
4
⑴(9xÛ`y+6xyÛ`-3xy)Ö(-3xy)=9xÛ`y+6xyÛ`-3xy -3xy
= 9xÛ`y
-3xy + 6xyÛ`
-3xy - 3xy -3xy
=-3x-2y+1
⑵(5xÛ`+xy)Ö;6!;x=(5xÛ`+xy)_;[^;
=5xÛ`_;[^;+xy_;[^;
=30x+6y
답
⑴-3x-2y+1 ⑵30x+6y 다항식을 단항식으로 나눌 때는 다항식의 각 항을 단항식으로 나누어 계산하거나 나눗셈을 곱셈으로 고쳐서 계산한다.다음을 계산하시오.
⑴(12yÛ`-4xy+8y)Ö4y ⑵(2xÛ`y-5xy-3xyÛ`)Ö{-;2!;xy}
07
해결해야 할 문제가 무 엇인지 파악한다.
풀이 계획을 수립하고 실행한다.
문제를 해결할 때는
다음 계산 과정에서 틀린 부분을 각각 찾아 바르게 고치시오.
문제 해결
수학 기르기
⑴ -(4xÛ`yÜ`+6xÜ`y)Ö2xy=-4xÛ`yÜ`+6xÜ`y
2xy =-2xyÛ`+3xÛ`
⑵ -(20xyÛ`-35yÛ`)Ö5y=-20xyÛ`-35yÛ`
5y =-4xy+35yÛ`
42 Ⅰ. 수와 식의 계산
(교)중2수학(024~051)1단원-2.indd 42 18. 7. 25. 오전 10:57
Ⅰ
- 2. 식의 계산
정답 및 해설 ▶ 276쪽
다음을 계산하시오.
⑴ (5a+3b)-(-2a+4b)
⑵ (xÛ`-3x+5)+(4xÛ`+9x-6)
⑶ (7xÛ`+2x-5)-2(2xÛ`-3x+4)
4
다음 식을 간단히 하시오.
⑴ aà`_bÜ`_bÞ`_aÜ`
⑵ xÛ`Öxà`_yÜ`_y
2
다음 문장이 옳으면 , 옳지 않으면 X를 안에 쓰시오.
1
xÛ`_xÜ`을 간단히 하면 xÞ`이다.
2
aß`ÖaÜ`을 간단히 하면 aÛ`이다.
3
2x_;4#;xÜ`을 간단히 하면 ;2#;xÝ`이다.
4
a(7a-b)를 전개하면 7aÛ`-ab이다.
5
(3a+2b)+(2a-b)를 계산하면 5a+3b이다.
소수: 약수가 1과 자기 자신뿐
다음 보기 중에서 옳은 것을 모두 찾으시오.
1
소인수(소수인 약수)
다음 식과 그 식을 간단히 한 결과를 서로 연 결하시오.
⑴ ;3@;xÛ`_(-9x) • •㈎-6xÜ`
⑵ 8xÝ`yÛ`_(-2xyÛ`)Û` • •㈏6xyÞ`
⑶ (3xyÜ`)Ü`Ö;2(;xÛ`yÝ` • •㈐32xß`yß`
3
ㄱ.
a_a=2aㄴ.
2Ü`Ö2Ü`=1ㄷ.
(aÜ`)Ý`=aà`ㄹ.
{- aÛ`bÜ` }Û`= aÝ`bß`
보기
O
,
X 문제지수법칙
⑴
am_an=am+n⑵
(am)n=amn⑶
m>n이면
amÖan=am-n⑷
(ab)m=ambmm=n
이면
amÖan=1{;aB;}
m= bm am(a+0) m<n이면
amÖan= 1an-m(a+0)
단항식의 곱셈 단항식의 나눗셈
2x_3xy=(2_3)_(x_x)_y
9aÛ`bÖ3ab= 9aÛ`b3ab
9aÛ`bÖ3ab=9aÛ`b_ 13ab
다항식의 덧셈과 뺄셈
(3xÛ`-x+1)+(xÛ`+x-3)
=3xÛ`+xÛ`-x+x+1-3
=4xÛ`-2
(단항식)_(다항식) (다항식)Ö(단항식)
2a(a+b)=2aÛ`+2ab (aÛ`+2ab)Ö2a= aÛ`+2ab2a
(aÛ`+2ab)Ö2a=(aÛ`+2ab)_ 12a
동류항끼리 모아서 계산한다.
문자는 문자끼리 계수는
계수끼리
분수 꼴로 바꾼다.
역수를 곱한다.
전개
Ⅰ
- 2. 식의 계산
{ x3ya2b}Ý`= x¡`81yÛ`Ý`일 때, 두 자연수 a, b의 값 을 각각 구하시오.
6
지수법칙을 이용하여 다음을 계산하시오.
⑴ 5Ü`à`_(0.2)Ü`Þ`
⑵ 14Ý`
7Ý`
5
다음 대화를 읽고, 다항식 A를 구하시오.
9
263 쪽
오른쪽 직사각형에 서 색칠한 삼각형의 넓이를 구하시오.
11 B
C
C C 다음을 만족시키는 식 A를 구하시오.
7
2xyÛ`_AÖ(-3xÛ`yÜ`)=4xÛ`y
계산하면
-;4!;aÛ`b-abÛ`+3ab가 나오네.
다항식 A에
;4!;ab를 곱해
보자.
보기의 다항식 중에서 다음을 만족시키는 다 항식을 찾으시오.
⑴ 합이 4xÛ`-11x+1인 두 다항식
⑵ 합이 4xÛ`-11x+1인 세 다항식
8
ㄱ.
3xÛ`-2x+1ㄴ.
4xÛ`+3ㄷ.
-xÛ`-2x-2ㄹ.
xÛ`-9x보기
오른쪽 직사각형 ABCD 를 선분 AB와 선분 BC 를 각각 축으로 하여 1회 전 시킬 때 생기는 두 회 전체의 부피를 각각 P, Q 라고 하자. 이때 ;qP; 를 구하시오.
10
B
" BC %
# $
44 Ⅰ. 수와 식의 계산
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2 단항식과 다항식의 계산을 이용하여 해결할 수 있는 문제를 넣어 이야기를 만들어 보자.
• 단항식과 다항식의 계산이 골 고루 들어가게 할 것
• 이야기 속에 문제를 해결해야 하는 부분을 넣을 것
앨리스는 카드 병사들을 어떻게 구했을까?
활동 목표 단항식과 다항식의 계산을 할 수 있다.
문제 해결
이야기를 만들 때는 오른쪽 방법을
참고해 보자.
-aß`bá`
aÛ`-7
20a+10b
(-3aß`b)Û`
_aÝ`b
(4aÛ`-3a-4)
-3(aÛ`-a+1)
9aÚ`ß`bÜ` (-aÛ`bÜ`)Ü`
(16aÛ`b+8abÛ`) Ö;5$;ab
앨리스가 카드 나라에 도착해 보니 하트 여왕과 왕은 커다란 왕관을 쓰고 왕좌에 앉아 있었고, 카드 병사들은 감옥에 갇혀 있었다. 그 카드 병사들은 여왕의 빨간색 장미 정원에 하얀색 장미를 잘못 심어 서 갇히게 되었다. 앨리스는 불쌍한 카드 병사들을 구해 주고 싶었다.
“여왕님, 카드 병사들을 풀어 주세요.”
여왕님은 앨리스에게 서로 같은 다항식이 적힌 카드 병사를 찾으면 그 병사들을 풀어 주겠다고 했다.
다음은 “이상한 나라의 앨리스”를 이용하여 만든 이야기이다. 이야기에서 앨리스가 카드 병사를 모두 구할 수 있도록 문제를 해결해 보자.
1
다음 중에서 옳지 않은 것은?
① ;3@; 를 소수로 나타내면 무한소수이다.
② ;1!1$; 를 소수로 나타내면 순환소수이다.
③ 0.1232323은 유한소수이다.
④ 0.H13H5의 순환마디는 135이다.
⑤ 3.4333y은 3.H4H3으로 나타낼 수 있다.
1
다음 분수 중에서 유한소수로 나타낼 수 있는 것은?
① ;1£3£2; ② ;1!5#; ③ 81 5Û`_7
④ ;3@3!; ⑤ 21 2Û`_3Û`_5
2
분수 3
2Ü`_5_x 을 유한소수로 나타낼 수 있 을 때, 한 자리의 자연수 x의 개수를 구하시오.
4
다음 보기의 설명 중에서 옳은 것을 모두 찾 으시오.
6
ㄱ. 유리수는 유한소수로 나타낼 수 있다.
ㄴ. 유한소수는 유리수이다.
ㄷ. 순환소수는 유리수이다.
ㄹ. 무한소수는 순환소수이다.
보기
다음은 순환소수 0.2H2H7을 분수로 나타내는 과정이다. ①~⑤에 알맞은 수로 옳은 것은?
① 22.727272y ② 100
③ 990 ④ 205
⑤ ;5ª5;
5
0.2H2H7
을
x라고 하면
x=0.2272727y10x=
①
yy`㉠ ②
x=227.272727y yy`㉡
㉡에서 ㉠을 변끼리 빼면 ③
x=④ ,
x=⑤ 따라서
0.2H2H7=⑤ 이다.
다음은 어느 과자의 영양 성분이다. 1회 제공 량 60`g에 대한 탄수화물, 당류, 단백질, 지방 의 함량을 분수로 나타냈을 때, 순환소수로만 나타낼 수 있는 영양 성분을 모두 찾으시오.
3
영양 성분
1회 제공량 60`g 1회 제공량당 함량열량
162`kcal
탄수화물
30`g
당류
3`g
단백질
5`g
지방
2`g
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Ⅰ
. 수와 식의 계산
정답 및 해설 ▶ 277쪽
[11~15 ] 다음 문제의 풀이 과정을 자세히 쓰시오.
3Ü`=A라고 할 때, 81Ü`을 A를 사용하여 나타 내면?
① 27A ② 81A ③ AÜ`
④ AÝ` ⑤ AÚ`Û`
8
두 분수 ;3!0!;, ;30&8;에 어떤 자연수 N을 곱하 면 모두 유한소수로 나타낼 수 있다고 할 때, 가장 작은 자연수 N의 값을 구하시오.
11
다음 중에서 식을 간단히 한 결과가 옳은 학 생을 모두 찾으시오.
7
다음 빈칸에 알맞은 식을 구하시오.
9
(-24aÛ`bÝ`)Ö6bÜ`_ =8aÛ`bÛ`
다음을 계산하시오.
10
2(xÛ`-x+1)-(3xÛ`+2x-4)
다음을 모두 만족시키는 세 자연수 a, b, c의 값을 각각 구하시오.
13
{ 23` }Þ`= 2Þ`
3Û`â`
{ 7`5Û` }Ý`= 7`
5º`
현수
(xÜ`)Ü`=xß`
지훈
(xÛ`)Ü`ÖxÜ`=xÜ`
세민
xÜ`_xÝ`=xà`
다혜
(3xyÛ`)Ü`=3xÜ`yß`
나는 분자를 잘못 보고 0.H2H3 으로 나타냈어.
그래? 나는 분모를 잘못 보고
0.1H4로 나타냈어.다음은 어떤 기약분수를 소수로 나타내고 수 빈이와 준서가 나눈 대화이다. 대화를 읽고, 처음 기약분수를 순환소수로 나타내시오.
12
대단원 학습 평가
다음을 읽고, 물음에 답하시오.
⑴ 어떤 식을 구하시오.
⑵ 바르게 계산한 식을 구하시오.
14
다항식의 계산 순환소수의
분수 표현 유리수와 순환소수
단항식의 계산 지수법칙
1
이 단원에서 학습한 내용에 대한 나의 성취 수준을 다음 그림에 점으로 표시하고, 이웃한 점을 선으로 연결해 보자.2
이 단원을 시작할 때 세운 학습 계획을 잘 실천하였는지 평가해 보고, 이해하기 어려웠던 내용을 적어 보자.다음 직사각형의 넓이가 8xÛ`yÛ`-6xyÝ`이고, 가로의 길이가 ;5@;xy일 때, 세로의 길이를 구 하시오.
Y Z YZ
! YZ
15
어떤 식에
-2x+3을 더해야 할 것을 잘못 하여 빼었더니
2xÛ`-3x+3이 되었다.
수학 익힘책
▶262 ~ 263 쪽
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