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2008학년도 5월 고3 경기도학업성취도평가 문제지
수리 영역(가형)
제 2 교시
성명 수험번호 3
1
◦ 먼저 수험생이 선택한 과목의 문제지인지 확인하시오.
◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.
◦ 답안지에 수험 번호, 선택 과목, 답을 표기할 때에는 반드시 ‘수험 생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.
◦ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표 시하시오.
◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하 시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.
◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.
1.
의 값은? [2점]①
②
③
④
⑤
2.
행렬
에 대하여 의 모든 성분의 합은?(단, 는 단위행렬, 는 의 역행렬이다.) [2점]
①
②
③
④
⑤
3.
함수 에 대하여 ′ 의 값은?[2점]
①
②
③
④
⑤
2 수리 영역(가형)
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4.
이차부등식 의 해가 일 때,분수부등식
≦ 을 만족하는 정수 의 개수는? [3점]
①
②
③
④
⑤
5.
두 함수 , 에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]보 기 ㄱ.
ㄴ. ㄷ.
① ㄴ
② ㄷ
③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
6.
다항함수 가lim
→ ∞
를 만족할 때,
lim
→
이다. 이때, 상수 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
3
수리 영역(가형)
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7.
인 실수 에 대하여 의 지표를 이라 할 때,옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, 는 를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [3점]
보 기 ㄱ.
ㄴ. 의 지표는 이다.
ㄷ.
이면 은 자리 정수이다.① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
8.
≧ 인 자연수 에 대하여 다항식 을 로 나눈 나머지를 라 할 때,lim
→ ∞
의 값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
9.
무리방정식
가 실근을 가질 때, 실수 의 최댓값과 최솟값의 합은? [3점]①
②
③
④
⑤
4 수리 영역(가형)
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10.
실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수 , 에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? [3점]보 기 ㄱ.
lim
→
,
lim
→
가 존재하면
lim
→
도 존재한다.
ㄴ.
lim
→
,
lim
→
가 존재하면
lim
→
도 존재한다.
ㄷ.
lim
→
가 존재하면
lim
→
도 존재한다.
① ㄱ
② ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
11.
그림은 두 함수 , 의 그래프이다. 에서로그부등식 를 만족하는 값의 범위는? [4점]
①
②
③
④
⑤
5
수리 영역(가형)
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12.
그림은 삼차함수 와 사차함수 의 도함수 ′ 와 ′ 의 그래프이다. 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면? (단, ′ , ′ ) [4점]
′
′
보 기
ㄱ. 에서 는 증가한다.
ㄴ. 는 한 개의 극솟값을 갖는다.
ㄷ. ′ ′ 라 할 때 ′ 은 서로 다른 개의 양의 실근을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
13.
집합 , , , , 에서 로의 일대일 대응 중에서 한 개를 선택할 때, 자기 자신으로 대응되는 원소가 개인 함수일 확률은?[3점]
①
②
③
④
⑤
14.
실수에서 정의된 함수
의 최댓값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
6 수리 영역(가형)
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15.
모든 실수 에 대하여 행렬 를
이라하자. 다음은 ≧ 인 모든 자연수 에 대하여
이 성립함을 수학적귀납법 으로 증명한 것이다.
[증명]
임의의 실수 , 에 대하여
⋯⋯㉠
ⅰ 일 때, ㉠에 의하여
이 성립한다.
ⅱ 일 때 성립한다고 가정하면
이다.
일 때 성립함을 보이자.
그러므로 일 때도 성립한다.
따라서 ≧ 인 모든 자연수 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.
(가) (나)
이 증명에서 (가) ~ (다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]
(가) (나) (다)
①
②
③
④
⑤
16.
○○보고서에 의하면 년 예상되는 세계 석유 소비량은 이고, 전년도에 비해 매년 씩 증가한다고 가정할 때, 매장된 석유는년부터 년 간 사용할 수 있는 양이라고 한다.
대체에너지 개발을 통해 년부터 세계 석유 소비량을 전년도에 비해 매년 씩 감소시킨다고 할 때, 석유가 완전히 고갈되는 해는?
(단, , , ) [4점]
① 년
② 년
③ 년
④ 년
⑤ 년
(다)
7
수리 영역(가형)
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17.
그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 내접하는 정사각형을 그린다.원의 내부와 정사각형의 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 개를 그려 어둡게 칠한다.
여기에 아래의 과정을 반복한다.
[과정]
Ⅰ. 안에 있는 정사각형에 내접하는 원을 그리고 그 원에 내접하는 정사각형을 그린다.
Ⅱ. 새로 그려진 원의 내부와 정사각형 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 개를 그려 어둡게 칠한다.
정사각형의 개수가 모두 일 때, 어두운 부분의 넓이를 이라 하자. 이때,
lim
→ ∞
의 값은? [4점]
[ 일 때]
[ 일 때]
①
②
③
④
⑤
단답형
18.
등차수열
에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하시오. [3점]
19.
의 전개식에서 의 계수를 구하시오. [3점]8 수리 영역(가형)
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20.
정규분포 를 따르는 모집단에서 크기 인 표본을 임의 추출하여 조사한 결과 표본평균이 이었다. 모평균 을 의 신뢰도로 추정한 신뢰구간이 ≦ ≦ 일 때, 의 값을 구하시오. (단, ≦≦ ) [3점]
21.
함수 에 대하여lim
→ ∞
의 값을 구하시오. [3점]9
수리 영역(가형)
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22.
주사위를 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 , , , , 라 하자.
≠ 일 때,
≠ 일 확률이 이다. 의 값을 구하시오.(단, , 는 서로 소인 자연수이다.) [4점]
23.
여섯 개의 숫자 , , , , , 를 일렬로 나열하여 만든 여섯 자리 자연수들의 집합을 라 할 때, 집합
∈
의 원소의개수를 구하시오.(단, 는 를 넘지 않는 최대의 정수이다.) [4점]
10 수리 영역(가형)
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24.
모든 실수 에 대하여 를 만족하는 다항함수가 있다. 에서 연속인 함수 를
≠
′
으로 정의할 때, 의 값을 구하시오. [4점]
25.
그림과 같이 크기가 같은 정육면체 모양의 블록을 쌓아 층의 탑모형을 만들었다. 탑모형의 위, 앞, 뒤, 오른쪽, 왼쪽에서 보이는 모든 정사각형 모양의 면에 자연수를 부터 차례대로 한 개씩 빠짐없이 썼을 때, 가장 큰 수를 구하시오. [4점]26번부터 30번까지는 선택과목 문항입니다. 선택한 과목의 문제를 풀기 바랍니다.
11
수리 영역(가형)
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미분과 적분
26.
그림과 같이 원 과 의 그래프와의 두 교점을 각각 , 라 하자. , 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 , 라 할 때, 의 값은? [3점]
①
②
③
④
⑤
27.
함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행이동하면 의 그래프와 일치한다. 이때, 의 값은?(단, ≦ ) [3점]
①
②
③
④
⑤
28.
≦ ≦ 일 때, 방정식 의 모든 해의 합은? [3점]①
②
③
④
⑤
12 수리 영역(가형)
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29.
그림과 같이 반지름의 길이가 인 두 원이 서로 다른 두 점에서 만나고 있다. 이 두 원 내부의 공통부분의 둘레의 길이를 , 두 원의 교점을 잇는 선분의 길이를 이라 하자. 두 원의 중심사이의 거리가 에 한없이 가까워질 때, 의 극한값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
단답형 30. lim
→
의 값을 구하시오. [4점]
※ 확인사항
○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.
13
수리 영역(가형)
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확률과 통계
26.
다음은 십의 자리의 수를 줄기로, 일의 자리의 수를 잎으로 하여 나타낸 줄기와 잎 그림이다.줄기 잎
계급의 크기를 , 계급값을 , , , 으로 하여, 위의 자료를 히스토그램으로 바르게 나타낸 것은? [3점]
① ②
③ ④
⑤
27.
어느 회사에서는 분기별 판매 건수에 따라 가중치를 부여하여 연봉을 결정한다고 한다. 분기별 가중치와 갑의 판매 건수가 표와 같을 때, 갑의 분기별 판매 건수의 가중평균은? [3점]구분 분기 분기 분기 분기
분기별 가중치
갑의 판매 건수
①
②
③
④
⑤
28.
주머니 속에 , , , , 의 숫자가 하나씩 적힌 장의 카드가 있다.주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 확인 한 후 다시 넣는 시행을 네 번 반복한다. 이때 나온 카드의 숫자를 차례대로 , , , 라 할 때, 의 값이 짝수가 될 확률은? [4점]
①
②
③
④
⑤
14 수리 영역(가형)
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29.
, , , , , , 의 평균은 이고 분산은 이다. 여기에 , , 를 추가한 개의 자료 , , ⋯, 의 분산은? [3점]
①
②
③
④
⑤
단답형
30.
에서 까지의 숫자가 하나씩 적힌 장의 카드에서 두 장을 뽑는 시행을 한다. 이 시행에서 뽑힌 카드에 적힌 수의 차가 의 배수인 사건을 , 의 배수 인 사건을 , ∩∩ ∅을 만족하는 사건을 라 하자. 사건 가 일어날 확률 의최댓값이
일 때, 의 값을 구하시오. (단, , 는 서로 소인 자연수이다.) [4점]
※ 확인사항
○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.
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수리 영역(가형)
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이산수학
26.
개의 영문자 N, O, T, E, B, O, O, K를 일렬로 나열할 때 N, E, T를 이웃하도록 배열하는 경우의 수는? [3점]①
②
③
④
⑤
27.
, , 을 중복 사용하여 이하의 네 자리 자연수를 만들 때,의 배수의 개수는? [3점]
①
②
③
④
⑤
28.
어느 고등학교 영어말하기 대회에 개 학년에서 각각 남녀 명씩 총 명이 참가하였다. 남학생은 , , 학년 순서로, 여학생은, , 학년 순서로 발표하도록 명의 순서를 정하는 방법의 수는?
[3점]
①
②
③
④
⑤
16 수리 영역(가형)
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29.
집합 , , , , , 의 부분집합 , 는 다음 두 조건을 만족한다.Ⅰ. ≠ ∅이고 ≠ ∅이다.
Ⅱ. ∩ ∅이고 ∪ 이다.
이때, 집합 , 로 만들 수 있는 순서쌍 의 개수는? [4점]
①
②
③
④
⑤
단답형
30.
집합 , , , , , , , , , , , , 에 대하여다음 두 조건을 만족하는 함수 →의 개수를 구하시오. [4점]
Ⅰ. 이면 이다.
Ⅱ. 는 홀수이다.
※ 확인사항
○ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인 하시오.
