2 중

(1)

ALL 100

u

_{2학기 기말 고사}

VII. ^{도형의 성질} 34

VIII. ^{도형의 닮음} 41

2

중

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(2)

01 -

AB”=AC”이므로 ∠B=∠C=3∠x

따라서 △ABC에서 (∠x+5˘)+3∠x+3∠x=180˘

이므로 7∠x=175˘ ∴ ∠x=25˘

01-

△ABC에서 AB”=AC”이므로

∠x=180˘-2_50˘=80˘

△DEF에서 DE”=DF”이므로

∠DFE=;2!;_(180˘-20˘)=80˘

∴ ∠y=180˘-∠DFE=180˘-80˘=100˘

∴ ∠x+∠y=80˘+100˘=180˘

01 -

△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB AD”∥BC”이므로

∠EAD=∠ABC (동위각), ∠DAC=∠ACB (엇각)

01-

△ABD에서 AD”=BD”이므로

∠ABD=∠BAD=;2!;_(180˘-88˘)=46˘

∠ABC=;2!;_(180˘-46˘)=67˘

∴ ∠x=∠ABC-∠ABD=67˘-46˘=21˘

01-

△ADC에서 AD”=AC”이므로

∠ACD=∠ADC=180˘-110˘=70˘

∴ ∠DAC=180˘-2_70˘=40˘

한편, △ABC에서 AB”=BC”이므로

∠BAC=∠BCA=70˘

∴ ∠x=∠BAC-∠DAC=70˘-40˘=30˘

01-

∠ABD=∠DBC=∠x라고 하면

∠C=∠ABC=∠x+∠x=2∠x

△DBC에서 ∠x+2∠x+135˘=180˘이므로 3∠x=45˘ ∴ ∠x=15˘

│2~5쪽│

01-

25˘

01-

180˘

01-

③

01-

21˘

01-

30˘

01-

120˘

01-

9˘

01-

60˘

01-

69˘

01-

62˘

01-

116˘

02-

④

02-

15

02-

70˘

02-

12

03-

∠ACB, ∠ACB, ∠PCB, ∠PCB, PC”

03-

6

03-

3 cm

03-

③

04-

㉠`과 ㉤

04-

②

04-

⑤

05-

44˘

05-

110˘

05-

4 cm

05-

이등변삼각형

05-

17 cm¤

05-

32 cm¤

06-

69˘

06-

48 cm¤

06-

4 cm

06-

40 cm

VII ^{. 도형의 성질}

1. 이등변삼각형과 직각삼각형

따라서 △ABD에서

∠A=∠BDC-∠ABD=135˘-15˘=120˘

01 -

∠A=∠x라고 하면 △BAC에서 AB”=BC”이므로

∠BCA=∠A=∠x

∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x

△BCD에서 BC”=CD”이므로

∠CDB=∠CBD=2∠x

△DAC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x

△DCE에서 CD”=DE”이므로

∠E=∠DCE=3∠x

따라서 △DAE에서 144˘+∠x+3∠x=180˘이므로 4∠x=36˘, ∠x=9˘ ∴ ∠A=9˘

01-

∠ACE=2∠DCE=2_55˘=110˘이므로

∠ACB=180˘-∠ACE=180˘-110˘=70˘

△ABC에서 AB”=AC”이므로∠ABC=∠ACB=70˘

∴ ∠x=180˘-2_70˘=40˘

∠DBC=;2!;∠ABC=;2!;_70˘=35˘이므로

△DBC에서 ∠y=∠DCE-∠DBC=55˘-35˘=20˘

∴ ∠x+∠y=40˘+20˘=60˘

01-

∠A=∠x라고 하면 ∠DBE=∠A=∠x`(접은 각)

∠C=∠ABC=∠DBE+∠EBC=∠x+27˘

따라서 △ABC에서

∠x+(∠x+27˘)+(∠x+27˘)=180˘이므로 3∠x=126˘ ∴ ∠x=42˘

∴ ∠C=∠x+27˘=42˘+27˘=69˘

01-

∠B=∠C=;2!;_(180˘-56˘)=62˘

한편, △BED™△CFE`(SAS 합동)이므로

∠BDE=∠CEF

∴ ∠x=180˘-(∠BED+∠CEF)

=180˘-(∠BED+∠BDE)=∠B=62˘

01-

△ABD™△ACE`(SAS 합동)이므로

∠BAD=∠CAE

∠BAD=∠x라고 하면 ∠CAE=∠BAD=∠x

△ABE에서 BA”=BE”이므로

∠BEA=∠BAE=∠x+32˘

△ADC에서 CA”=CD”이므로

∠CDA=∠CAD=∠x+32˘

△ADE에서 32˘+(∠x+32˘)+(∠x+32˘)=180˘

이므로 2∠x=84˘ ∴ ∠x=42˘

∴ ∠BAC=42˘+32˘+42˘=116˘

02-

① AB”=AC”이므로 ∠B=∠C

②, ③ AD”는 BC”를 수직이등분하므로 BD”=CD”, ∠ADC=∠ADB=90˘

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(3)

⑤ △ABD와 △ACD에서

AB”=AC”, ∠BAD=∠CAD, AD”는 공통

∴ △ABD™△ACD (SAS 합동)

02 -

AD”는 BC”를 수직이등분하므로 ∠ADB=90˘

∠B=∠C=70˘이므로 △ABD에서

∠BAD=180˘-(70˘+90˘)=20˘ ∴ x=20 또, CD”=BD”=5(cm)이므로 y=5

∴ x-y=20-5=15

02-

AD”는 BC”를 수직이등분하므로

∠ADC=∠ADB=90˘

∠CAD=∠BAD=30˘이므로 △ADC에서 30˘+90˘+(∠x+40˘)=180˘ ∴ ∠x=20˘

한편, △PBD™△PCD(SAS 합동)이므로

∠PBD=∠PCD=40˘

즉, △PBD에서 ∠y=180˘-(40˘+90˘)=50˘

∴ ∠x+∠y=20˘+50˘=70˘

02-

AD”는 BC”를 수직이등분하므로 ∠ADC=90˘

즉, △ADC=;2!;_AC”_DE”=;2!;_DC”_AD”이므로

;2!;_10_4.8=;2!;_DC”_8 24=4 DC” ∴ DC”=6

이때 BD”=DC”이므로 BC”=2DC”=2_6=12

03 -

△DBC에서 ∠DBC=∠DCB=30˘이므로 DC”=DB”=6

이때 ∠ADC=30˘+30˘=60˘이므로 △ADC에서

∠ACD=180˘-(60˘+60˘)=60˘

따라서 △ADC는 정삼각형이므로 x=DC”=6

03-

△ABC에서 AC”=BC”이므로

∠CAB=∠B=72˘

∠C=180˘-2_72˘=36˘

∴ ∠CAD=;2!;∠CAB=;2!;_72˘=36˘

즉, △ADC에서 ∠DAC=∠C이므로 AD”=CD”=3(cm)

∠ADB=36˘+36˘=72˘이므로

∠B=∠ADB ∴ AB”=AD”=3(cm)

03-

① ∠AEF=∠BFH=40˘ (동위각)

②, ③ ∠AEF=40˘이므로

∠FEG=∠DEG=;2!;_(180˘-40˘)=70˘ (접은각)

∠EGC=∠AEG=40˘+70˘=110˘`(엇각)

④ ∠FEG=∠DEG=∠FGE이므로 FE”=FG”

⑤ EG”의 길이는 알 수 없다.

04-

㉠`과 ㉤(RHA 합동)

04-

① RHS 합동　③ SAS 합동　④, ⑤ ASA 합동

04-

①, ② RHA 합동 ③ SAS 합동 ④ RHS 합동

05-

△BCE™△BDE(RHS 합동)이므로

∠BED=∠BEC=180˘-(90˘+22˘)=68˘

∴ ∠DEA=180˘-2_68˘=44˘

05-

△ADM™△CEM(RHS 합동)이므로

∠C=∠A=35˘

따라서 △ABC에서 ∠B=180˘-2_35˘=110˘

05-

△ADB™△BEC(RHA 합동)이므로 DB”=EC”=3(cm), BE”=AD”=1(cm)

∴ DE”=DB”+BE”=3+1=4(cm)

05-

△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB 이때 △EBC™△DCB(RHA 합동)이므로

∠PBC=∠PCB

따라서 △PBC는 PB”=PC”인 이등변삼각형이다.

05 -

△ADB™△CEA(RHA 합동)이므로 AE”=BD”=5(cm)

∴ CE”=AD”=DE”-AE”=8-5=3(cm)

∴ △ABC=(사다리꼴 DBCE의 넓이)-2△ADB

=;2!;_(5+3)_8-2_{;2!;_3_5}

=32-15=17(cm¤ )

05 -

△ADE™△ACE(RHS 합동)이므로 DE”=CE”=8(cm)

한편, △ABC는 직각이등변삼각형이므로

∠B=∠BAC=45˘

△DBE에서 ∠DEB=180˘-(90˘+45˘)=45˘이므 로 ∠B=∠DEB ∴ DB”=DE”=8(cm)

∴ △DBE=;2!;_8_8=32(cm¤ )

06-

△BCP™△BDP(RHS 합동)이므로

∠PBC=∠PBD=;2!;∠ABC=;2!;_42˘=21˘

따라서 △PBC에서 ∠x=180˘-(21˘+90˘)=69˘

06-

점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 E라고 하면

△BAD™△BED

(RHA 합동) 이므로 DE”=DA”=6(cm)

∴ △BCD=;2!;_16_6=48(cm¤ )

06-

점 D에서 AB”에 내린 수선의 발을 E라고 하면

△ABD=;2!;_14_DE”=28

∴ DE”=4(cm)

이때 △AED™△ACD (`RHA 합동)이므로 CD”=ED”=4(cm)

06-

△AED™△ACD(RHA 합동)이므로 DE”=DC”, AE”=AC”=10(cm)

∴ EB”=AB”-AE”=26-10=16(cm)

∴ (△EBD의 둘레의 길이)=EB”+BD”+DE”

=EB”+BD”+DC”

=EB”+BC”

=16+24=40(cm) A

B D C

E 14###cm

E A

B

D C 16###cm

6###cm

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(4)

01-

OA”=OB”이므로 x=5, BD”=CD”이므로 y=3

∴ x+y=5+3=8

01 -

① OD”=OE”=OF”인지 알 수 없다.

③ △BOD™△AOD, △BOE™△COE이지만

△BOD™△BOE인지는 알 수 없다.

01-

△OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OBA=;2!;_(180˘-75˘)=52.5˘

△OBC에서 OB”=OC”이므로

∠OBC=;2!;_(180˘-37˘)=71.5˘

∴ ∠ABC=∠OBA+∠OBC

=52.5˘+71.5˘=124˘

02-

점 M이 △ABC의 외심이므로 MA”=MB”

∴ ∠BAM=∠B=56˘

따라서 △ABM에서 ∠AMC=56˘+56˘=112˘

02 -

점 O가 △ABC의 외심이므로

OA”=OB”=OC”=;2!;AB”=;2!;_20=10(cm)

△AOC에서 OA”=OC”이므로

∠OCA=∠A=60˘

즉, △AOC는 정삼각형이므로 AC”=OA”=10(cm)

02-

△AMH에서 ∠AMH=180˘-(20˘+90˘)=70˘

점 M이 △ABC의 외심이므로 MA”=MC”

△AMC에서 ∠C=;2!;_(180˘-70˘)=55˘

△ABC에서 ∠B=180˘-(55˘+90˘)=35˘

03-

∠OAB=∠OBA=38˘

∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로 38˘+28˘+∠x=90˘ ∴ ∠x=24˘

03 -

△OCA에서 OA”=OC”이므로

∠OAC=∠OCA=30˘

∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC=25˘+30˘=55˘

∴ ∠x=2∠BAC=2_55˘=110˘

│6~9쪽│

01-

8

01-

③, ⑤

01-

①, ③

01-

124˘

02-

112˘

02-

10 cm

02-

∠B=35˘, ∠C=55˘

03-

24˘

03-

110˘

03-

36p cm¤

03-

150˘

03-

34˘

04-

④

04-

136˘

04-

174˘

05-

④

05-

44 cm

05-

6

06-

18˘

06-

27˘

06-

85˘

06-

60˘

06-

49˘

07-

30 cm

07-

7 cm

08-

18 cm

08-

84 cm¤

08-

{9-;4(;p} cm¤

09-

114˘

09-

18˘

09-

21p cm¤

09-

60˘

2. 삼각형의 외심과 내심

03-

∠BOC=2∠A=2_45˘=90˘이므로 △OBC는 직 각삼각형이다. 이때 △OBC의 외접원의 반지름의길이는

;2!; BC”=;2!;_12=6(cm)

따라서 △OBC의 외접원의 넓이는 p_6¤ =36p(cm¤ )

03-

∠ABC=180˘_ =180˘_;1∞2;=75˘

∴ ∠AOC=2∠B=2_75˘=150˘

03-

OA”를 그으면 △OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA=20˘

따라서 △OCA에서 OA”=OC”이므로

∠x=∠OAC=∠BAC-∠OAB=72˘-20˘=52˘

△OBC에서 OB”=OC”이므로 ∠OBC=∠OCB=∠y

∠OAB+∠OBC+∠OCA=90˘이므로 20˘+∠y+52˘=90˘ ∴ ∠y=18˘

∴ ∠x-∠y=52˘-18˘=34˘

04-

점 I가 △ABC의 내심이므로

∠IBC=∠IBA=28˘, ∠ICB=∠ICA=16˘

따라서 △IBC에서 ∠BIC=180˘-(28˘+16˘)=136˘

04-

∠BAD=∠x, ∠ABE=∠y라고 하면 점 I가 △ABC의 내심이므로

∠EAD=∠BAD=∠x, ∠EBD=∠ABE=∠y

△ABC에서 2∠x+2∠y+56˘=180˘이므로 2(∠x+∠y)=124˘ ∴ ∠x+∠y=62˘

한편, △ADC에서 ∠ADB=∠x+56˘

△BCE에서 ∠AEB=∠y+56˘

∴ ∠ADB+∠AEB=(∠x+56˘)+(∠y+56˘)

=∠x+∠y+112˘

=62˘+112˘=174˘

05-

④ 점 I가 △ABC의 내심이므로

∠IBC=∠DBI=35˘, ∠ICB=∠ECI=25˘

이때 DE”∥BC”이므로

∠DIB=∠IBC=35˘(엇각),

∠EIC=∠ICB=25˘(엇각)

따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 ID”=BD”, IE”=CE”이지만 ID”+IE”이다.

05-

∠DBI=∠IBC, ∠ECI=∠ICB 이때 DE”∥BC”이므로

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”, EI”=EC”

∴ (△ADE의 둘레의 길이)

=AD”+DE”+EA”=AD”+(DI”+EI”)+EA”

=(AD”+DB”)+(EC”+EA”)

=AB”+AC”=24+20=44(cm)

72˘

20˘

x y

A

B C

O 5

4+5+3

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(5)

05-

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”, EI”=EC”

∴ (△ADE의 둘레의 길이)

=AD”+DE”+E’A”=AD”+(DI”+EI”)+E’A”

=(AD”+DB”)+(EC”+E’A”)=AB”+AC”=12 이때 AB”=AC”이므로 2AB”=12 ∴ AB”=6

06-

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘이므로 38˘+34˘+∠ICA=90˘ ∴ ∠ICA=18˘

∴ ∠ICB=∠ICA=18˘

06 -

점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠IBA=28˘

IC”를 그으면

∠ICA=;2!;∠C=;2!;_70˘=35˘

∠IAB+∠IBC+∠ICA=90˘

이므로 ∠IAB+28˘+35˘=90˘

∴ ∠IAB=27˘

06-

∠AIC=90˘+;2!;∠B이므로 115˘=90˘+;2!;∠x

;2!;∠x=25˘ ∴ ∠x=50˘

점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠IAC=∠IAB=30˘

△ICA에서 ∠ICA=180˘-(30˘+115˘)=35˘

∴ ∠y=∠ICA=35˘

∴ ∠x+∠y=50˘+35˘=85˘

06-

∠BIC=360˘_ =360˘_;3!6@;=120˘

∠BIC=90˘+;2!;∠BAC이므로 120˘=90˘+;2!;∠BAC, ;2!;∠BAC=30˘

∴ ∠BAC=60˘

06-

∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_52˘=116˘

점 I는 △ABC의 내심이므로 ∠IBC=∠ABD=30˘

이고, 점 I'은 △DBC의 내심이므로

∠IBI'=;2!;∠IBC=;2!;_30˘=15˘

따라서 △IBI'에서 ∠II'B=180˘-(116˘+15˘)=49˘

07 -

BD”=BE”=6(cm)이므로AF”=AD”=11-6=5(cm) CE”=CF”=4(cm)

∴ (△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”

=11+(6+4)+(4+5)

=30(cm)

07-

BD”=x cm라고 하면 BE”=BD”=x(cm)

AF”=AD”=12-x(cm), CF”=CE”=10-x(cm) 이때 AC”=AF”+CF”이므로 8=(12-x)+(10-x) 2x=14, x=7 ∴ BD”=7(cm)

12 11+12+13

28˘ 70˘

A

B C

I

08-

△ABC의 둘레의 길이를 x cm라고 하면 36=;2!;_4_x, 36=2x ∴ x=18 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 18 cm이다.

08 -

내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 21=;2!;_14_r ∴ r=3

∴ △ABC=;2!;_3_(26+14+16)=84(cm¤ )

08-

내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

;2!;_12_9=;2!;_r_(15+12+9) 54=18r ∴ r=3

이때 IE”, IF”를 그으면 사각 형 IECF는 정사각형이므로 (색칠한 부분의 넓이)

=3_3-p_3¤ _;3ª6º0;

=9-;4(;p(cm¤ )

09-

∠BOC=180˘-2_42˘=96˘

따라서 ∠A=;2!;∠BOC=;2!;_96˘=48˘이므로

∠BIC=90˘+;2!;∠A=90˘+;2!;_48˘=114˘

09-

∠A=180˘-2_72˘=36˘

∠BOC=2∠A=2_36˘=72˘

∠OBC=;2!;_(180˘-72˘)=54˘

∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_72˘=36˘

∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=54˘-36˘=18˘

09-

직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이므로

(외접원의 반지름의 길이)=;2!;AB”=;2!;_10=5(cm) 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

;2!;_6_8=;2!;_r_(10+6+8) 24=12r ∴ r=2

따라서 외접원과 내접원의 넓이의 차는 p_5¤ -p_2¤ =25p-4p=21p(cm¤ )

09 -

점 I가 △ABC의 내심이므로 ∠BAC=2_34˘=68˘

OB”, OC”를 그으면 점 O가

△ABC의 외심이므로

∠BOC=2_68˘=136˘

∠OBC=;2!;_(180˘-136˘)=22˘

△OAB에서 OA”=OB”이므로 ∠OBA=∠OAB=19˘

따라서 △ABD에서 ∠x=19˘+(19˘+22˘)=60˘

19˘ 34˘

x A

B D C

O I

A

B C

D

E I F

12###cm

9###cm 15###cm

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(6)

01 -

AB”=DC”이므로 2x+3=3x-2 ∴ x=5

∴ AD”=BC”=4x+1=4_5+1=21

01-

평행사변형 ABCD의 둘레의 길이가 24 cm이므로 2(AB”+AD”)=24 ∴ AB”+AD”=12(cm) 이때 AB”=2AD”이므로 2AD”+AD”=12 3AD”=12 ∴ AD”=4(cm)

∴ AB”=2AD”=2_4=8(cm)

01-

△AED와 △FEC에서 DE”=CE”,

∠AED=∠FEC (맞꼭지각),

∠ADE=∠FCE (엇각)

∴ △AED™△FEC (ASA 합동)

∴ AD”=FC”=BC”=;2!;BF”

=;2!;_10=5(cm)

01-

AD”∥BC”이므로 ∠BEA=∠DAE (엇각) 또, ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠BEA

∴ BE”=BA”=6(cm)

같은 방법으로 CF”=CD”=AB”=6(cm) 이때 BF”=BC”-CF”=8-6=2(cm)이므로 FE”=BE”-BF”=6-2=4(cm)

02-

△ABC에서 ∠B=180˘-(47˘+62˘)=71˘

∴ ∠D=∠B=71˘

02-

∠A+∠B=180˘이므로

∠A=180˘_ =180˘_;1¶2;=105˘

∴ ∠C=∠A=105˘

02-

∠D=∠B=60˘이고 AD”=DF”이므로 △AFD는 정 삼각형이다.

따라서 ∠DAF=60˘이므로

∠AEB=∠DAF=60˘ (엇각) 7

7+5

│10~14쪽│

01-

21

01-

8 cm

01-

5 cm

01-

4 cm

02-

71˘

02-

105˘

02-

60˘

02-

55˘

03-

13

03-

19 cm

04-

⑤

04-

①, ④

04-

②

05-

10 cm¤

05-

46 cm¤

05-

8 cm¤

06-

10 cm

06-

108˘

06-

①, ③

06-

54˘

07-

∠x=60˘, ∠y=30˘

07-

①, ⑤

07-

65˘

07-

28

08-

52

08-

①, ⑤

08-

75˘

08-

36 cm¤

09-

13

09-

75˘

09-

17 cm

10-

②, ④

10-

7

10-

④

1 1-

13 cm¤

1 1 -

18 cm¤

1 1 -

8 cm¤

1 1-

27 cm¤

1 1 -

②, ④

1 1 -

4 cm¤

3. 사각형의 성질

02-

AD”∥BC”이므로

∠FBE=∠AFB=180˘-145˘=35˘ (엇각)

∠ABE=2∠FBE=2_35˘=70˘

∠FAB=180˘-70˘=110˘이므로

∠FAE=;2!;∠FAB=;2!;_110˘=55˘

∴ ∠AEB=∠FAE=55˘ (엇각)

03 -

x=OC”=5

y=;2!;BD”=;2!;_16=8

∴ x+y=5+8=13

03-

OA”=OC”=;2!;AC”, OB”=OD”=;2!;BD”이므로 OA”+OB”=;2!;AC”+;2!;BD”=;2!;(AC”+BD”)

=;2!;_22=11(cm)

∴ (△OAB의 둘레의 길이)=AB”+OA”+OB”

=8+11=19(cm)

04-

⑤ 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하므로 평행사변 형이다.

04-

① 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형이 된다.

④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같으므로 ABCD는 평행사변형이 된다.

04-

①, ④ ∠AEB=∠EBF (엇각), ∠ABE=∠EBF 이므로 ∠ABE=∠AEB

따라서 △ABE는 AB”=AE”인 이등변삼각형이다.

③, ⑤ △ABE와 △CDF에서

∠A=∠C, AB”=CD”,

∠ABE=∠CDF (∵ ∠B=∠D)

∴ △ABE™△CDF (ASA 합동)

∴ AE”=CF”, ∠AEB=∠CFD

05-

△ABO=;4!; ABCD

=;4!;_40=10(cm¤ )

05-

△ABP+△CDP=;2!; ABCD이므로 12+11=;2!; ABCD

∴ ABCD=2_23=46(cm¤ )

05-

△AOE™△COF (ASA 합동)이므로

△AOE=△COF

∴ △AOE+△BOF=△COF+△BOF

=△OBC

=;4!; ABCD

=;4!;_32=8(cm¤ )

06-

OD”=;2!; BD”=;2!;AC”=;2!;_20=10(cm)

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(7)

06-

∠OBA=∠OAB=54˘

∴ ∠AOD=54˘+54˘=108˘

06-

①, ③ 평행사변형에서 한 내각이 직각이거나 두 대각 선의 길이가 같으면 직사각형이 된다.

06-

AD”∥BC”이므로 ∠AEF=∠EFC (엇각) 또, ∠AFE=∠EFC (접은 각)이므로

∠AEF=∠AFE

따라서 △AFE는 이등변삼각형이고

∠EAF=90˘-18˘=72˘이므로

∠AFE=;2!;_(180˘-72˘)=54˘

07-

AB”=BC”이므로 ∠x=∠BCA=60˘

AB”∥CD”이므로 ∠ACD=∠x=60˘ (엇각)

△OCD에서 ∠COD=90˘이므로

∠y=180˘-(90˘+60˘)=30˘

07-

△ABP와 △ADQ에서

∠APB=∠AQD=90˘, AB”=AD”,

∠B=∠D

∴ △ABP™△ADQ (RHA 합동)

따라서 AP”=AQ”이므로 △APQ는 이등변삼각형이다.

이때 ∠BAD=180˘-50˘=130˘이고

∠BAP=∠DAQ=90˘-50˘=40˘이므로

∠PAQ=130˘-(40˘+40˘)=50˘

∴ ∠APQ=;2!;_(180˘-50˘)=65˘

07 -

△EOD™△FOB (ASA 합동)이므로 ED”=FB”

ABCD는 직사각형이므로 ED”∥BF”

이때 BD”⊥EF”이므로 EBFD는 마름모이다.

따라서 BF”=BC”-FC”=10-3=7이므로 ( EBFD의 둘레의 길이)=7_4=28

08 -

DO”=AO”=7(cm) ∴ x=7

△OAB에서 OA”=OB”, ∠AOB=90˘이므로

∠OAB=;2!;_(180˘-90˘)=45˘ ∴ y=45

∴ x+y=7+45=52

08-

△ABE에서 AB”=AD”=AE”이므로

∠AEB=∠ABE=30˘

∠EAB=180˘-(30˘+30˘)=120˘이므로

∠EAD=∠EAB-∠DAB=120˘-90˘=30˘

△ADE에서

∠ADE=;2!;_(180˘-30˘)=75˘

08 -

△OBE와 △OCF에서 OB”=OC”,

∠OBE=∠OCF=45˘,

∠BOE=90˘-∠EOC=∠COF

∴ △OBE™△OCF (ASA 합동)

따라서 △OBE=△OCF이므로

(포개어진 부분의 넓이)=△OEC+△OCF

=△OEC+△OBE

=△OBC=;4!; ABCD

=;4!;_12_12=36(cm¤ )

09 -

AC”=BD”이므로 2a+6=5a-3 3a=9 ∴ a=3

∴ BC”=6a-5=6_3-5=13

09-

AD”∥BC”이므로

∠ADB=∠DBC=35˘ (엇각) AB”=DC”=AD”이므로

∠ABD=∠ADB=35˘

∴ ∠C=∠ABC=35˘+35˘=70˘

△DBC에서 ∠BDC=180˘-(35˘+70˘)=75˘

09-

AB”∥DE”가 되도록 DE”를 그으면 ABED는 평행 사변형이므로

BE”=AD”=7(cm)

이때 DE”=AB”=DC”, ∠C=∠B=180˘-120˘=60˘

이므로 △DEC는 정삼각형이다.

∴ EC”=DC”=AB”=10(cm)

∴ BC”=BE”+EC”

=7+10=17(cm)

10 -

② 한 내각이 직각이거나 두 대각선의 길이가 같다.

④ 이웃하는 두 변의 길이가 같거나 두 대각선이 직교 한다.

10-

두 대각선의 길이가 같은 사각형은 ㉡, ㉣, ㉥`의 3개이 므로 a=3

두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하는 사각형은 ㉢,

㉣, ㉤, ㉥의 4개이므로 b=4

∴ a+b=3+4=7

10 -

① 평행사변형 - 평행사변형

② 직사각형 - 마름모

③ 마름모 - 직사각형

⑤ 등변사다리꼴 - 마름모

11 -

l∥m이므로

△DBC=△ABC=26(cm¤ ) BM”=CM”이므로

△DMC=;2!;△DBC=;2!;_26=13(cm¤ )

11 -

AE”를 그으면 AC”∥DE”이 므로

△ACD=△ACE

∴ ABCD

=△ABC+△ACD

=△ABC+△ACE=△ABE

=;2!;_(4+5)_4=18(cm¤ ) B E

C A

D

4 cm 4 cm

5 cm E 7 cm 10 cm 120˘

60˘ 60˘

C D A

B

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(8)

11-

△BCD=△ABD=32(cm¤ )이고

△BCP: △CDP=BP” : PD”=3 : 1이므로

△CDP=△BCD_

=32_;4!;=8(cm¤ )

11-

AD”∥BC”이므로 △ABC=△DBC=36(cm¤ )

∴ △OBC=△ABC-△ABO

=36-9=27(cm¤ )

11-

AD”∥BC”이므로 △DBE=△ABE BD”∥EF”이므로 △DBE=△DBF AB”∥DC”이므로 △DBF=△DAF

∴ △DBE=△ABE=△DBF=△DAF

11-

ABCD가 마름모이므로

AC”⊥BD”, BO”=;2!;BD”=;2!;_6=3(cm)

∴ △ABC=;2!;_AC”_BO”=;2!;_4_3=6(cm¤ )

△ABP：△APC=BP”：PC”=1：2이므로

△APC=△ABC_

=6_;3@;=4(cm¤ ) 2 1+2

1 3+1

05

점 M이 △ABC의 외심이므로

CM”=AM”=BM”=;2!;AB”=;2!;_24=12(cm)

∠AMC=2∠B=2_33˘=66˘

06

∠DIB=∠IBC (엇각), ∠EIC=∠ICB (엇각) 따라서 ∠DBI=∠DIB, ∠ECI=∠EIC이므로 DI”=DB”=4(cm), EI”=EC”=5(cm)

∴ DE”=DI”+EI”=4+5=9(cm)

07

△ABC=;2!;_4_(AB”+BC”+CA”)=64이므로 2(AB”+BC”+CA”)=64

∴ AB”+BC”+CA”=32(cm)

따라서 △ABC의 둘레의 길이는 32 cm이다.

08

∠ADC=∠B=76˘이므로

∠ADE=;2!;∠ADC=;2!;_76˘=38˘

△AFD에서

∠DAF=180˘-(90˘+38˘)=52˘

이때 ∠DAB=180˘-76˘=104˘이므로

∠x=∠DAB-∠DAF

=104˘-52˘=52˘

09

△ABP+△CDP=△DAP+△BCP이므로 9+21=△DAP+18 ∴ △DAP=12(cm¤ )

10

OB”=OC”이므로 ∠y=∠OCB=32˘

△BCD에서 ∠x=180˘-(32˘+90˘)=58˘

∴ ∠x-∠y=58˘-32˘=26˘

11

② 두 대각선의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다.

12

AB”∥DC”이므로 △ABD=△ABC=18(cm¤ )

∴ △DBE= ABED-△ABD

=40-18=22(cm¤ )

13

∠A=∠x라고 하면 △BAC에서 AB”=BC”이므로

∠BCA=∠A=∠x

∴ ∠CBD=∠x+∠x=2∠x …… 20%

△BCD에서 BC”=CD”이므로

∠CDB=∠CBD=2∠x

△DAC에서 ∠DCE=∠x+2∠x=3∠x …… 20%

△DCE에서 CD”=DE”이므로

∠DEC=∠DCE=3∠x …… 20%

△DAE에서 ∠x+3∠x=84˘이므로

4∠x=84˘, ∠x=21˘ ∴ ∠A=21˘ …… 40%

14

△ADB와 △CEA에서

∠ADB=∠CEA=90˘, AB”=CA”,

∠DBA=90˘-∠DAB=∠EAC

∴ △ADB™△CEA (RHA 합동) …… 40%

│15~17쪽│

01

③

02

④

03

③

04

②

05

④

06

②

07

⑤

08

③

09

②

10

①

11

②

12

④

13

^21˘

14

^{98 cm¤}

15

^120˘

16

^{2 cm}

17

^6˘

18

^{9 cm}

19

⁸

20

^70˘

│서술형 문제│

01

△ABC에서 AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠C=68˘

∴ ∠A=180˘-2_68˘=44˘

△ABD에서 AD”=BD”이므로

∠ABD=∠A=44˘

∴ ∠DBC=∠ABC-∠ABD

=68˘-44˘=24˘

02

AD”∥BC”이므로 ∠GEF=∠EFC (엇각)

또, ∠GFE=∠EFC (접은 각)이므로 ∠GEF=∠GFE 따라서 △GFE는 GE”=GF”인 이등변삼각형이고

∠FGE=48˘ (맞꼭지각)이므로

∠GFE=;2!;_(180˘-48˘)=66˘

03

△ABD™△AED (RHA 합동)이므로 AE”=AB”=5(cm)

∴ CE”=AC”-AE”=7-5=2(cm)

04

^{② OD”+OE”}

│서술형 문제│

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(9)

따라서 DA”=EC”=6(cm), AE”=BD”=8(cm)이므로

…… 30%

(사다리꼴 DBCE의 넓이)=;2!;_(8+6)_(6+8)

=98(cm¤ ) …… 30%

15

OA”를 그으면 △OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA=25˘

…… 30%

△OCA에서 OA”=OC”이므로

∠OAC=∠OCA=35˘ …… 30%

∴ ∠BAC=∠OAB+∠OAC

=25˘+35˘=60˘ …… 10%

∴ ∠BOC=2∠BAC=2_60˘=120˘ …… 30%

16

AF”=x cm라고 하면 AD”=AF”=x(cm)

BE”=BD”=9-x(cm), CE”=CF”=7-x(cm) … 50%

이때 BC”=BE”+CE”이므로 12=(9-x)+(7-x) 12=16-2x, 2x=4, x=2

∴ AF”=2(cm) …… 50%

17

∠BOC=2∠A=2_52˘=104˘

∠OBC=;2!;_(180˘-104˘)=38˘ ^{…… 40%}

한편, △ABC에서 AB”=AC”이므로

∠ABC=;2!;_(180˘-52˘)=64˘

∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_64˘=32˘ ^{…… 40%}

∴ ∠OBI=∠OBC-∠IBC=38˘-32˘=6˘ …… 20%

18

AB”∥CF”, AB”=CF”이므로 ABFC는 평행사변형이다.

이때 AC”=BF”=8(cm)이므로

AO”=;2!;AC”=;2!;_8=4(cm) ^{…… 40%}

BC”=CE”,` DC”=CF”이므로 BFED는 평행사변형이다.

이때 BD”=FE”=10(cm)이므로

BO”=;2!;BD”=;2!;_10=5(cm) ^{…… 40%}

∴ AO”+BO”=4+5=9(cm) …… 20%

19

AB”=AD”이므로 x+5=3x-1

2x=6 ∴ x=3 …… 60%

∴ CD”=AB”=x+5=3+5=8 …… 40%

20

△APD와 △CPD에서 AD”=CD”,

∠ADP=∠CDP=45˘, DP”는 공통

∴ △APD™△CPD (SAS 합동) …… 60%

따라서 ∠DCP=∠DAP=25˘이므로

△PCD에서 ∠BPC=45˘+25˘=70˘ …… 40%

A

B C

25˘ O 35˘

01-

㉡, ㉣, ㉤, ㉧, ㉨`의 5개

02-

△ABCª△EFD이므로 두 삼각형의 닮음비는 a : e또는 b : f 또는 c : d

02-

ABCD와 EFGH의 닮음비는 BC”：FG”=4：6=2：3

AD”：EH”=2：3이므로 x：3=2：3 ∴` x=2

∠F=∠B=70˘, ∠H=∠D=85˘이므로

∠E=360˘-(70˘+75˘+85˘)=130˘ ∴ y=130

∴ x+y=2+130=132

02 -

㉠ ∠B=∠E=50˘이므로

∠C=180˘-(100˘+50˘)=30˘

㉡ ∠F=∠C=30˘

㉢ AB”：DE”=BC”：EF”이므로 3：DE”=6：8 6DE”=24 ∴ DE”=4(cm)

㉣ AC”：DF”=BC”：EF”=6：8=3：4 따라서 옳은 것은 ㉡, ㉣`이다.

02-

CD”：GH”=3：2이므로 9：GH”=3：2 3 GH”=18 ∴ GH”=6(cm) DA”：HE”=3：2이므로 6：HE”=3：2 3HE”=12 ∴ HE”=4(cm)

∴ ( EFGH의 둘레의 길이)=4+5+6+4=19(cm)

02-

AB”：CE”=BC”：EF”이므로 12：9=BC”：6 9BC”=72 ∴ BC”=8(cm)

∴ BE”=BC”+CE”=8+9=17(cm)

│18~21쪽│

01-

⑤

01-

5개

01-

DE”, ∠C

02-

②

02-

132

02-

㉡, ㉣

02-

19 cm

02-

17 cm

03-

2：5

03-

10 cm

03-

④

03-

6p cm

04-

△ABCª△QPR (SSS 닮음)

△DEFª△KLJ (AA 닮음)

△GHIª△OMN (SAS 닮음)

04-

②

05-

:™3º: cm

05-

15 cm

05-

18 cm

05-

16 cm

06-

_{:¡5•: cm}

06-

13 cm

06-

9 cm

06-

_{:™4∞: cm}

06-

_{:¡3¡: cm}

07-

_{:¢2∞: cm}

07-

6 cm

07-

300 cm¤

07-

5 cm

08-

④

08-

:¡3§: cm

08-

150 cm¤

08-

_{;5*; cm}

VIII ^{. 도형의 닮음}

1. 도형의 닮음

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(10)

03-

두 삼각뿔의 닮음비는 AD”：A'D'”=4：10=2：5

03-

두 원기둥 A, B의 닮음비는 9：15=3：5

원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 6：r=3：5, 3r=30 ∴ r=10

따라서 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이는 10 cm이다.

03-

③ 닮음비는 AD”：A'D'”=7：10

④ BF”：B'F'”=7：10이므로 B'F'”=:¡7º: BF”

⑤ DH”：D'H'”=7：10이므로 10.5：D'H'”=7：10, 7D’'H'”=105

∴ D'H'”=15

03-

처음 원뿔과 밑면에 평행한 평면으로 자를 때 생기는 작 은 원뿔의 닮음비는

(6+4)：6=10：6=5：3

작은 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 5：r=5：3, 5r=15 ∴ r=3

따라서 단면의 둘레의 길이는 2p_3=6p(cm)

04-

② △ABC에서 ∠C=60˘이면

∠A=180˘-(45˘+60˘)=75˘

즉, ∠A=∠D, ∠C=∠F이므로

△ABCª△DEF (`AA 닮음)

05-

△ABO와 △CDO에서 OA”：OC”=6：9=2：3, OB”：OD”=4：6=2：3,

∠AOB=∠COD (맞꼭지각)

∴ △ABOª△CDO (SAS 닮음)

따라서 AB”：CD”=2：3이므로 AB”：10=2：3 3AB”=20 ∴ AB”=:™3º:(cm)

05-

△ABC와 △ADB에서 AB” : AD”=12 : 9=4 : 3, AC” : AB”=16 : 12=4 : 3,

∠A는 공통

∴ △ABCª△ADB (SAS 닮음) 따라서 BC” : DB”=4 : 3이므로 20 : BD”=4 : 3, 4BD”=60

∴ BD”=15(cm)

05-

△ABC와 △DBE에서 AB”：DB”=24：16=3：2, BC”：BE”=18：12=3：2,

∠B는 공통

∴ △ABCª△DBE (`SAS 닮음) 따라서 AC”：DE”=3：2이므로 AC”：12=3：2, 2AC”=36

∴ AC”=18(cm)

05-

△ABD와 △DAC에서 AB”：DA”=3：6=1：2, AD”：DC”=6：12=1：2,

∠BAD=∠ADC

∴ △ABDª△DAC (`SAS 닮음) 따라서 BD”：AC”=1：2이므로 8：AC”=1：2 ∴ AC”=16(cm)

06-

△ABC와 △BDC에서

∠BAC=∠DBC, ∠C는 공통

∴ △ABCª△BDC (AA 닮음) 따라서 BC”：DC”=AC”：BC”이므로 6：CD”=10：6, 10CD”=36

∴ CD”=:¡5•:(cm)

06-

△ABC와 △AED에서

∠ACB=∠ADE, ∠A는 공통

∴ △ABCª△AED (AA 닮음) 따라서 AB” : AE”=AC” : AD”이므로 8 : 3=(3+EC”) : 6, 9+3EC”=48 3EC”=39 ∴ EC”=13(cm)

06-

△ABC와 △EDA에서

∠BAC=∠DEA (엇각),

∠ACB=∠EAD (엇각)

∴ △ABCª△EDA (AA 닮음) 따라서 AB” : ED”=CA” : AE”이므로 16 : 8=(AE”+9) : AE”, 16AE”=8AE”+72 8AE”=72 ∴ AE”=9(cm)

06-

AD”=FD”=7(cm)이므로 AB”=AD”+BD”=7+8=15(cm)

∴ CF”=BC”-BF”=15-5=10(cm)

△DBF와 △FCE에서

∠B=∠C=60˘,

∠BDF=180˘-(60˘+∠BFD)=∠CFE

∴ △DBFª△FCE (AA 닮음) 따라서 BF”：CE”=BD”：CF”이므로 5：CE”=8：10, 8CE”=50

∴ CE”=:™4∞:(cm)

06-

△ABC와 △DEF에서

∠EDF=∠DAC+∠ACD

=∠DAC+∠BAE

=∠BAC

∠DEF=∠ABE+∠BAE

=∠ABE+∠CBF

=∠ABC

∴ △ABCª△DEF (AA 닮음) 따라서 AB”：DE”=BC”：EF”이므로 11：DE”=12：4, 12DE”=44

∴ DE”=:¡3¡:(cm)

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(11)

07-

△ACD와 △BED에서

∠ACD=∠BED=90˘,

∠D는 공통

∴ △ACDª△BED (AA 닮음) 따라서 AC”：BE”=AD”：BD”이므로 AC”：18=25：20, 20AC”=450

∴ AC”=:¢2∞:(cm)

07-

△ABC와 △DEC에서

∠BAC=∠EDC=90˘,

∠C는 공통

∴ △ABCª△DEC (AA 닮음) 따라서 AC” : DC”=BC” : EC”이므로 AC” : 8=20 : 10, 10AC”=160

∴ AC”=16(cm)

∴ AE”=AC”-CE”=16-10=6(cm)

07 -

△ABEª△ECD (AA 닮음)이므로 AB”：EC”=AE”：ED”, 16：EC”=20：15 20EC”=240 ∴ EC”=12(cm) BE”：CD”=AE”：ED”, BE”：9=20：15 15BE”=180 ∴ BE”=12(cm)

∴ ABCD=;2!;_(AB”+CD”)_BC”

=;2!;_(16+9)_24=300(cm¤ )

07 -

△EBF와 △FCD에서

∠B=∠C=90˘,

∠BEF=90˘-∠EFB=∠CFD

∴ △EBFª△FCB (AA 닮음) 따라서 BF”：CD”=EF”：FD”이므로 4：8=EF”：10, 8EF”=40

∴ EF”=5(cm)

08-

④ AC”¤ =CH”_CB”

08-

AC” ¤ =CH”_CB”이므로 5¤ =3_(3+BH”) 25=9+3BH”, 3BH”=16

∴ BH”=:¡3§:(cm)

08-

AH” ¤ =BH”_CH”이므로 AH”¤ =9_16=144

∴ AH”=12(cm) (∵ AH”>0)

∴△ABC=;2!;_BC”_AH”

=;2!;_25_12=150(cm¤ )

08-

점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 AM”=BM”=CM”=;2!; BC”=;2%;(cm)

△ABC에서 AD” ¤ =BD”_CD”이므로 AD” ¤ =4_1=4

∴ AD”=2(cm) (∵ AD”>0)

△DAM에서 AD” ¤ =AH”_AM”이므로 2¤ =AH”_;2%; ∴ AH”=;5*;(cm)

01-

AD” : AB”=DE” : BC”이므로 8 : (8+12)=6 : x, 8x=120

∴ x=15

01-

AB”：AD”=BC”：DE”이므로 (x-2)：2=7：3, 3x-6=14 3x=20 ∴ x=:™3º:

01-

AD” : AB”=DE” : BC”이므로 2：(2+3+4)=DE”：18 9 DE”=36 ∴ DE”=4

01-

AF”：AG”=FE”：GC”=6：10=3：5 DF”：BG”=AF”：AG”이므로 DF”：5=3：5, 5DF”=15

∴ DF”=3

01-

AE”：AC”=DE”：BC”이므로 8：(8+10)=12：BC”, 8BC”=216

∴ BC”=27

이때 DFCE는 평행사변형이므로 FC”=DE”=12

∴ BF”=BC”-FC”=27-12=15

01-

AD”：DB”=AE”：EC”=18：9=2：1 AF”：FE”=AD”：DB”이므로

AF”：(18-AF”)=2：1, AF”=36-2AF”

3AF”=36 ∴ AF”=12

02-

② AB”：AD”+AC”：AE”이므로 BC”와 DE”는 평행하 지 않다.

02-

④ DE”：BC”=AE”：AC”이므로 DE”：15=6：(6+9) 15DE”=90 ∴ DE”=6

⑤ AD”：DB”=AE”：EC”=6：9=2：3이므로 3AD”=2DB” ∴ AD”=;3@;

DB”

│22~26쪽│

01-

15

01-

_:™3º:

01-

4

01-

3

01-

15

01-

12

02-

②

02-

④, ⑤

03-

x=85, y=8

03-

24

03-

5 cm

03-

32 cm

03-

마름모

03-

18

04-

5 cm

04-

2

04-

6 cm

04-

8

05-

6 cm

05-

8 cm

05-

6 cm

05-

_{:™7¢: cm}

06-

3 cm

06-

6 cm¤

06-

20 cm

07-

14

07-

12

07-

7

08-

9 cm

08-

15 cm

08-

12 cm

08-

60 cm¤

09-

3 cm

09-

10 cm

09-

12 cm

09-

11

10 -

:™5¢:

10 -

x=:£5§:, y=12

10-

12

2. 평행선 사이의 선분의 길이의 비

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(12)

03-

AF”=FC”, BE”=EC”이므로 AB”∥FE”

∠EFC=∠A=180˘-(50˘+45˘)

=85˘(동위각)

∴ x=85

BC”=2DF”=2_4=8(cm) ∴ y=8

03-

△ADE에서 DE”=2FG”이므로 x=2_4=8

△ABC에서 BC”=2DE”이므로 y=2_8=16

∴ x+y=8+16=24

03-

△DBC에서 BC”=2PQ”=2_5=10(cm)

△ABC에서 MN”=;2!;BC”=;2!;_10=5(cm)

03 -

(△ABC의 둘레의 길이)=AB”+BC”+CA”

=2EF”+2DF”+2DE”

=2(EF”+DF”+DE”)

=2_(△DEF의 둘레의 길이)

=2_16

=32(cm)

03 -

AC”, BD”를 그으면 PQ”=SR”=;2!;AC”

PS”=QR”=;2!;BD”

이때 직사각형 ABCD에서 AC”=BD”이므로 PQ”=QR”=RS”=SP”

따라서 PQRS는 마름모이다.

03-

PQ”=SR”=;2!;AC”=;2!;_8=4 PS”=QR”=;2!;BD”=;2!;_10=5

∴ ( PQRS의 둘레의 길이)=4+5+4+5=18

04-

CN”=;2!; AC”=;2!;_10=5(cm)

04 -

△ABF에서 DE”=;2!; BF”=;2!;_8=4

△CED에서 GF”=;2!; DE”=;2!;_4=2

04-

△ABC에서 EF”=;2!; BC”=;2!;_28=14(cm)

△ABD에서 EG”=;2!; AD”=;2!;_16=8(cm)

∴ GF”=EF”-EG”=14-8=6(cm)

04-

점 D를 지나고 BC”에 평행한 직선 을 그어 AF”와 만나는 점을 G라고 하면

△EDG와 △ECF에서 ED”=EC”,

∠DEG=∠CEF (맞꼭지각),

∠EDG=∠ECF (엇각)

∴ △EDG™△ECF (ASA 합동)

∴ DG”=CF”=4

△ABF에서

BF”=2DG”=2_4=8

G

C D

A

B E

F 4 A

Q S

P R

B C

D

05-

AB” : AC”=BD” : CD”이므로

9：AC”=6：4, 6AC”=36 ∴ AC”=6(cm)

05-

AB”：AC”=BD”：CD”이므로 12：9=BD”：(14-BD”) 9BD”=168-12BD”, 21BD”=168

∴ BD”=8(cm)

05-

△ADE™△ADC(`RHA 합동)이므로 AE”=AC”=12(cm)

AB”：AC”=BD”：CD”이므로

(12+8)：12=10：CD”, 20CD”=120

∴ CD”=6(cm)

∴ ED”=CD”=6(cm)

05-

BC”：BA”=CE”：AE”이므로 BC”：12=3：6, 6BC”=36

∴ BC”=6(cm)

AB”：AC”=BD”：CD”이므로 12：(6+3)=BD”：(6-BD”) 9BD”=72-12BD”, 21BD”=72

∴ BD”=:™7¢:(cm)

06-

AB”：AC”=BD”：CD”이므로 5：AC”=(6+9)：9, 15AC”=45

∴ AC”=3(cm)

06 -

AB”：AC”=BD”：CD”이므로 5：3=(BC”+6)：6, 3BC”+18=30 3 BC”=12 ∴ BC”=4(cm)

△ABC：△ACD=BC”：CD”이므로

△ABC：9=4：6, 6△ABC=36

∴ △ABC=6(cm¤ )

06-

AB”：AC”=BD”：CD”이므로 24：16=BD”：4, 16BD”=96

∴ BD”=6(cm)

AB”：AC”=BE”：CE”이므로 24：16=(6+4+CE”)：CE”

24CE”=160+16 CE”, 8 CE”=160

∴ CE”=20(cm)

07-

6：(x-6)=9：12이므로

9x-54=72, 9x=126 ∴ x=14

07-

10：15=x：(30-x)이므로

15x=300-10x, 25x=300 ∴ x=12

07 -

l∥m∥n∥k가 되도록 직 선 k를 그으면

(4+x)：6=8：8이므로 32+8x=48, 8x=16

∴ x=2

y：10=4：(2+6)이므로 8y=40 ∴ y=5

∴ x+y=2+5=7

l mk n

yx

6 10

4 8

8

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(13)

09-

△ABD에서 AD”=2 MP”, △ABC에서 BC”=2 MQ”

이므로

AD” : BC”=2 MP” : 2MQ”

=MP” : MQ”

=(7-3): 7=4 : 7 따라서 a=4, b=7이므로 a+b=4+7=11

10-

△CAB에서 CF”：CB”=EF”：AB”=3：8

△BCD에서 BF”：BC”=EF”：DC”이므로 (8-3)：8=3：DC”, 5DC”=24 ∴ DC”=:™5¢:

10 -

△ABEª△CDE (AA 닮음)이므로 BE” : DE”=AB” : CD”=12 : 18=2 : 3

△BCD에서 BE” : BD”=EF” : DC”이므로 2 : (2+3)=x : 18, 5x=36 ∴ x=:£5§:

BE” : BD”=BF” : BC”이므로 2 : (2+3)=y : 30 5y=60 ∴ y=12

10-

△ABEª△CDE(AA 닮음)이므로 AE”：CE”=AB”：CD”=4：6=2：3 점 E에서 BC”에 내린 수선의 발 을 F라고 하면 △CAB에서 CE”：CA”=EF”：AB”이므로 3：(3+2)=EF”：4 5EF”=12 ∴ EF”=:¡5™:

∴ △EBC=;2!;_BC”_EF”=;2!;_10_:¡5™:=12 A

B E

F C 4 6

D

10

08-

점 A를 지나고 DC”에 평행한 직선을 그어 EF”, BC”와 만나 는 점을 각각 G, H라고 하면 GF”=HC”=AD”=8(cm)

∴ BH”=BC”-HC”

=12-8=4(cm)

△ABH에서 AE”：AB”=EG”：BH”이므로 1：(1+3)=EG”：4, 4EG”=4

∴ EG”=1(cm)

∴ EF”=EG”+GF”=1+8=9(cm)

08-

△ABC에서 AE”：AB”=EN”：BC”이므로 2：(2+1)=EN”：36, 3EN”=72

∴ EN”=24(cm)

△ABD에서 BE”：BA”=E’M”：AD”이므로 1：(1+2)=E’M”：27, 3E’M”=27

∴ E’M”=9(cm)

∴ MN”=EN”-E’M”=24-9=15(cm)

08-

△AODª△COB (AA 닮음)이므로 AO” : CO”=AD” : CB”

=20 : 30=2 : 3

△ABC에서 EO” : BC”=AO” : AC”이므로 EO” : 30=2 : (2+3), 5EO”=60

∴ EO”=12(cm)

08 -

△DBC에서 PF”：BC”=DF”：DC”이므로 PF”：24=1：(1+2), 3PF”=24

∴ PF”=8(cm)

∴ EP”=EF”-PF”=18-8=10(cm) 이때 FC”=;3@;DC”=;3@;_18=12(cm)이므로

△EBP=;2!;_EP”_FC”

=;2!;_10_12=60(cm¤ )

09-

△ABC에서 MQ”=;2!;BC”=;2!;_14=7(cm)

△ABD에서 MP”=;2!;AD”=;2!;_8=4(cm)

∴ PQ”=MQ”-MP”=7-4=3(cm)

09-

AC”를 그어 MN”과 만나는 점 을 P라고 하면 △ACD에서 PN”=;2!;AD”

=;2!;_6=3(cm)

∴ MP”=MN”-PN”=8-3=5(cm)

따라서 △ABC에서 BC”=2MP”=2_5=10(cm)

09-

△ABD에서 MP”=;2!;AD”=;2!;_6=3(cm)

∴ MQ”=MP”+PQ”=3+3=6(cm) 따라서 △ABC에서

BC”=2MQ”=2_6=12(cm)

A D

M P N

6 cm

8 cm

B C

A

B C

D

E F

H G

12###cm 8###cm

8###cm 4###cm

8###cm

01-

BF”=;2!; AB”이므로 x=;2!;_12=6

GD”=;3!; AD”이므로 y=;3!;_9=3

∴ x+y=6+3=9

│27~29^쪽│

01 -

9

01 -

6

01 -

10

01 -

21 cm

02 -

24 cm¤

02 -

16 cm¤

02 -

8 cm¤

03 -

4 cm

03 -

18 cm

03-

_{:¶3º: cm¤}

04-

64 cm¤

04-

25 cm¤

04-

1 : 3 : 5

04-

50 cm¤

05-

12 cm

05-

27개

05-

140 mL

05-

182p cm‹

06-

48 m

06-

7 m

06-

12 m

07-

;500!00;

07-

31.6 m

07-

250 m¤

3. 닮음의 활용

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(14)

01-

GD”=;3!; AD”=;3!;_27=9

∴ GG'”=;3@; GD”=;3@;_9=6

01 -

△ABD에서 AD”=2EF”=2_15=30

∴ GD”=;3!;AD”=;3!;_30=10

01-

△AGG'과 △AEF에서 AG”：AE”=2：3, AG'”：AF”=2：3,

∠EAF는 공통

∴ △AGG'ª△AEF (SAS 닮음) 따라서 GG'”：EF”=2：3이므로

7：EF”=2：3, 2EF”=21 ∴ EF”=:™2¡:(cm) 이때 BE”=ED”, DF”=FC”이므로

BC”=BD”+DC”=2ED”+2DF”

=2EF”=2_:™2¡:=21(cm)

02-

△ABC=2△ABD=2_3△ABE

=6△ABE=6_4

=24(cm¤ )

02-

AG”를 그으면 ADGE

=△ADG+△AEG

=;6!;△ABC+;6!;△ABC

=;3!;△ABC

=;3!;_48=16(cm¤ )

02-

△GG'C=;3!;△GBC=;3!;_;3!;△ABC

=;9!;△ABC=;9!;_72

=8(cm¤ )

03-

두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로 BP”=PQ”=QD”

∴ PQ”=;3!;BD”=;3!;_12=4(cm)

03-

점 P는 △ABD의 무게중심이므로 AO”=3PO”=3_3=9(cm)

∴ AC”=2AO”=2_9=18(cm)

03-

AC”를 그어 BD”와 만나는 점 을 O라고 하면 두 점 P, Q는 각각 △ABC, △ACD의 무게중심이므로

PECO=;3!;△ABC

=;3!;_{;2!;_10_7}

=:£3∞:(cm¤ )

10 cm

7 cm

B C

A D

E F P

Q O

A

B C

D E

G

OCFQ=;3!;△ACD

=;3!;_{;2!;_10_7}

=:£3∞:(cm¤ )

∴ (색칠한 부분의 넓이)= PECO+ OCFQ

=:£3∞:+:£3∞:

=:¶3º:(cm¤ )

04 -

ABCD와 EFGH의 닮음비는 BC” : FG”=8 : 6=4 : 3

따라서 ABCD : EFGH=4¤ : 3¤ =16 : 9이므로 ABCD : 36=16 : 9

∴ ABCD=64(cm¤ )

04-

△ABCª△AED (AA 닮음)이므로 닮음비는 AB” : AE”=(6+12) : 9

=2 : 1

따라서 △ABC : △AED=2¤ : 1¤ =4 : 1이므로 100 :△AED=4 : 1

∴ △ADE=25(cm¤ )

04-

반지름의 길이의 비가 1 : 2 : 3이므로 세 원 A, A+B, A+B+C의 넓이의 비는

1¤：2¤ ：3¤ =1 : 4 : 9

따라서 세 부분 A, B, C의 넓이의 비는 1 : (4-1) : (9-4)=1 : 3 : 5

04-

△ABC에서 AE”：AB”=EI”：BC”이므로 3：(3+2)=EI”：20, 5EI”=60

∴ EI”=12(cm)

△ABD에서 BE”：BA”=EH”：AD”이므로 2：(2+3)=EH”：15, 5EH”=30

∴ EH”=6(cm)

∴ HI”=EI”-EH”

=12-6=6(cm)

△GHIª△GDA (AA 닮음)이므로 닮음비는 HI”：DA”=6：15=2：5

따라서 △GHI：△GDA=2¤ ：5¤ =4：25이므로 8：△GDA=4：25

∴ △GDA=50(cm¤ )

05-

두 원기둥 A, B의 겉넓이의 비가

72p：128p=9：16=3¤ ：4¤ 이므로 닮음비는 3：4이다.

원기둥 B의 높이를 h cm라고 하면 9：h=3：4 ∴ h=12

따라서 원기둥 B의 높이는 12 cm이다.

05-

반지름의 길이가 9 cm인 쇠구슬과 반지름의 길이가 3 cm인 쇠구슬의 닮음비가 9 : 3=3 : 1이므로 부피의 비는

3‹ : 1‹ =27 : 1

따라서 반지름의 길이가 3 cm인 쇠구슬은 모두 27개를 만들 수 있다.

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(15)

05-

물이 채워진 부분과 그릇의 닮음비가 1：2이므로 부피 의 비는 1‹ ：2‹ =1：8

더 넣어야 하는 물의 양을 x mL라고 하면 20：x=1：(8-1)

∴ x=140

따라서 더 넣어야 하는 물의 양은 140 mL이다.

05-

높이가 각각 VP”, VQ”, VR”인 세 원뿔의 닮음비가 3：(3+2)：(3+2+1)=3：5：6이므로 부피의 비는 3‹：5‹ ：6‹ =27：125：216

따라서 세 입체도형 A, B, C의 부피의 비는 27：(125-27)：(216-125)=27：98：91 196p：(입체도형 C의 부피)=98：91이므로 (입체도형 C의 부피)=182p(cm‹ )

06-

△ABPª△DCP (AA 닮음)이므로 AB”：DC”=BP”：CP”

AB”：16=30：10

∴ AB”=48(m)

따라서 두 지점 A, B 사이의 거리는 48 m이다.

06-

△ABCª△DBE (AA 닮음)이므로 AC”：DE”=BC”：BE”

AC”：2=(4+10)：4

∴ AC”=7(m)

따라서 건물의 높이는 7 m이다.

06-

피라미드의 꼭대기가 만든 그림자의 길이는 10+14=24(m)

피라미드의 높이를 x m라고 하면 x : 1=24 : 2

∴ x=12

따라서 피라미드의 높이는 12 m이다.

07-

(축척)= =

=;500!00;

07-

(AC”의 실제 길이)=3(cm)_1000

=3000(cm)

=30(m)

∴ (건물의 실제 높이)=1.6+(AC”의 실제 길이)

=1.6+30

=31.6(m)

07-

(축척)= =

=;25!0;

실제 땅의 가로의 길이는

5(cm)_250=1250(cm)=12.5(m) 실제 땅의 세로의 길이는

8(cm)_250=2000(cm)=20(m)

∴ (실제 땅의 넓이)=12.5_20

=250(m¤ ) 6 cm 1500 cm 6 cm

15 m

8 cm 400000 cm 8 cm

4 km

│30~32^쪽│

01

^④

02

^①

03

^③

04

^⑤

05

^②

06

^①

07

^④

08

^②

09

^⑤

10

^③

11

^④

12

^②

13

^{18p cm}

14

^{3 cm}

15

^{39 cm¤}

16

^{24 cm}

17

^{12 cm}

18

^{20 cm}

19

¹⁷

20

130분

│서술형 문제│

01

ABCD와 EFGH의 닮음비는 BC” : FG”=9 : 6=3 : 2

① AD” : EH”=3 : 2이므로 AD” : 4=3 : 2, 2AD”=12

∴ AD”=6(cm)

② AB” : EF”=3 : 2이므로 6 : EF”=3 : 2, 3EF”=12

∴ EF”=4(cm)

③ ∠A=∠E=130˘

④ ∠G=∠C=360˘-(130˘+80˘+78˘)=72˘

⑤ CD” : GH”=3 : 2

02

① △ABC에서 ∠A=70˘이면

∠C=180˘-(70˘+42˘)=68˘

즉, ∠B=∠E, ∠C=∠F이므로

△ABCª△DEF (AA 닮음)

03

△ABC와 △DAC에서 AC” : DC”=8 : 4=2 : 1, BC” : AC”=16 : 8=2 : 1,

∠C는 공통

∴ △ABCª△DAC (SAS 닮음) 따라서 AB” : DA”=2 : 1이므로 10 : AD”=2 : 1, 2AD”=10

∴ AD”=5(cm)

04

△ABD와 △OPD에서

∠BAD=∠POD=90˘,

∠D는 공통

∴ △ABD ª△OPD (AA 닮음) 따라서 AB”：OP”=AD”：OD”이므로 12：OP”=16：10, 16OP”=120

∴ OP”=:¡2∞:(cm)

△POD™△QOB (ASA 합동)이므로 OP”=OQ”

∴ PQ”=2OP”=2_:¡2∞:=15(cm)

05

AB” : AD”=BC” : DE”이므로

(8+4) : 4=18 : x, 12x=72 ∴ x=6 AF” : AD”=FG” : DE”이므로

8 : 4=y : 6, 4y=48 ∴ y=12

∴ x+y=6+12=18

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(16)

06

BD” : CD”=AB” : AC”=8 : 12=2 : 3

△ABD : △ADC=BD” : CD”이므로

△ABD : 30=2 : 3, 3△ABD=60

∴ △ABD=20(cm¤ )

07

4 : 6=(x-9) : 9이므로 6x-54=36, 6x=90

∴ x=15

08

점 D를 지나고 AB”에 평행한 직선을 그어 EF”, BC”와 만나 는 점을 각각 G, H라고 하면 EG”=BH”=AD”=10(cm)

∴ HC”=BC”-BH”

=15-10=5(cm)

△DHC에서 DF”：DC”=GF”：HC”이므로 4：(4+6)=GF”：5, 10GF”=20

∴ GF”=2(cm)

∴ EF”=EG”+GF”

=10+2=12(cm)

09

GD”=3G'D”=3_3=9

∴ AD”=3GD”=3_9=27

10

AC”를 그으면 두 점 P, Q는 각각

△ABC, △ACD의 무게중심이 므로

BP”=PQ”=QD”

∴ △APQ=;3!;△ABD

=;3!;_;2!; ABCD

=;6!; ABCD

=;6!;_24=4(cm¤ )

11

△ABCª△EBD (AA 닮음)이므로 닮음비는 AC” : ED”=6 : 2=3 : 1

따라서 △ABC : △EBD=3¤ : 1¤ =9 : 1이므로

△ABC : 3=9 : 1

∴ △ABC=27(cm¤ )

∴ ADEC=△ABC-△BED

=27-3

=24(cm¤ )

12

^(축척)= ⁼ =;20!0;이므로 (AC”의 실제 길이)=2.8(cm)_200

=560(cm)=5.6(m)

∴ (나무의 실제 높이)=1.6+(AC”의 실제 길이)

=1.6+5.6=7.2(m)

13

두 원기둥 A, B의 닮음비는 8：12=2：3 …… 20%

원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 6：r=2：3, 2r=18 ∴ r=9 …… 40%

5 cm 1000 cm 5 cm

10 m

P Q

B C

A D

E F B

10###cm 10###cm

10###cm

4###cm

6###cm 15###cm C

A D

E F

G H

따라서 원기둥 B의 밑면의 반지름의 길이는 9 cm이므로 밑면의 둘레의 길이는

2p_9=18p(cm) …… 40%

14

△AFE와 △CFB에서

∠FAE=∠FCB(엇각),

∠FEA=∠FBC(엇각)

∴ △AFEª△CFB (AA 닮음) …… 40%

따라서 AF” : CF”=AE” : CB”이므로 4 : 6=AE” : 9, 6AE”=36

∴ AE”=6(cm) …… 40%

∴ ED”=AD”-AE”=9-6=3(cm) …… 20%

15

AH”¤ =BH”_CH”이므로 6¤ =4_CH”

∴ CH”=9(cm) …… 40%

BC”=BH”+CH”=4+9=13(cm) …… 40%

∴ △ABC=;2!;_BC”_AH”

=;2!;_13_6=39(cm¤ ) ^{…… 20%}

16

DE”=;2!;AC”=;2!;_14=7(cm) EF”=;2!;AB”=;2!;_18=9(cm)

FD”=;2!;BC”=;2!;_16=8(cm) ^{…… 60%}

∴ (△DEF의 둘레의 길이)=DE”+EF”+FD”

=7+9+8

=24(cm) …… 40%

17

AB” : AC”=BD” : CD”이므로

10 : 8=15 : CD” …… 60%

10CD”=120 ∴ CD”=12(cm) …… 40%

18

△ABEª△CDE (AA 닮음)이므로

BE” : DE”=AB” : CD”=12 : 8=3 : 2 …… 40%

△BCD에서

BF” : BC”=BE” : BD”이므로 12 : BC”=3 : (3+2), 3BC”=60

∴ BC”=20(cm) …… 60%

19

점 G는 △ABC의 무게중심이므로 AG”=2GD”=2_4=8(cm)

∴ x=8 …… 40%

또, EG” : BD”=AG” : AD”이므로 6 : y=2 : 3, 2y=18

∴ y=9 …… 40%

∴ x+y=8+9=17 …… 20%

20

물이 채워진 부분과 그릇의 닮음비가 4：12=1：3이므로 부피의 비는 1‹ ：3‹ =1：27 …… 40%

물을 가득 채울때까지 x분 동안 물을 더 넣어야한다고 하면 5：x=1：(27-1)

∴ x=130 …… 40%

따라서 그릇에 물을 가득 채우려면 130분 동안 물을 더 넣

어야 한다. …… 20%

2 중

u

VII. 도형의 성질 34

VIII. 도형의 닮음 41

2

중

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