이중하나를임의로추출

(1)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

5. 7 조건부 확률

 Ex) 한 자루 안에 다음의 내용물이 들어 있다

이 중 하나를 임의로 추출



= 고구마가 뽑히는 사상, = 감자가 뽑히는 사상



= 썩은 것이 뽑히는 사상, = 성한 것이 뽑히는 사상



= 썩은 고구마가 뽑히는 사상

성한 것 썩은 것

sum

감 자 1 6 7

고구마 11

2 13

sum 12

8 20

A A

^c

B

^c

B A 

20 ) 13

( A 

P 20

) 8 ( B 

P 20

) 2

( A B 

P 

(2)

Chapter 5. 확 률

조건부 확률

 썩은 것이 뽑혔을 때 그것이 고구마일 확률은?

 고구마가 뽑혔을 때 그것이 썩은 것일 확률은?

성한 것 썩은 것

sum

감 자 1 6 7

고구마 11

2 13

sum 12

8 20

 ) ( BA

P



) (

B P

B A

P  

20 8

20 2

8 2 , P ( B )  0

 ) (B A

P



) (

A P

B A

P  

20 13

20 2

13

2 , P(A)  0

5. 7 조건부 확률

(3)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

확률의 곱셈법칙

 확률의 곱셈 법칙

 Ex) 내일 눈이 올 확률 0.3

눈이 오면 비행기 정시 이륙 확률은 0.2

눈이 안 오면 비행기 정시 이륙 확률은 0.9

= 눈이 온다는 사상

= 비행기가 정시 이륙하는 사상

) (

) ( )

(

B A P B

P

A B P A

P B

A P











A

B

(4)

Chapter 5. 확 률

예제 풀이

(1) 내일 눈이 오고, 비행기도 정시에 이륙할 확률은?

(2) 내일 비행기가 정시 이륙할 확률은?

) (

)

( B P S B

P  

) (

) ( )

(A B P A P B A

P   

2 . 0 3 . 0 



06 .

 0

) )

(( A A B P 

^c





) (

)

( A B P A B P  

^c





) (

)

( A P B A P A

^c

P B A

^c

P   



69 .

 0

9 . 0 7 . 0 2 . 0 3 .

0   



(5)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

5. 8 전확률의 정리와 베이즈 (Bayes) 의 공식

 Ex) 감기를 일으키는 바이러스에 세가지 ( )종류가 있다 하자

감기환자 중

이고 동시에 두 개 이상의 바이러스에 감염되는 경우는 없다고 하자

Ⅲ

Ⅱ

Ⅰ, ,

TypeⅠ 바이러스에 감염될 확률은 0.1

Type Ⅱ

바이러스에 감염될 확률은 0.3

Type Ⅲ

바이러스에 감염될 확률은 0.6

Type Ⅰ

바이러스에 감염되면 기침을 할 확률 0.5

TypeⅡ 바이러스에 감염되면 기침을 할 확률 0.8

TypeⅢ 바이러스에 감염되면 기침을 할 확률 0.1

(6)

Chapter 5. 확 률

바이러스 예제

(1) 임의의 감기 환자가 기침을 할 확률은?

•

사상

_A _ 기침을 하는 사상

1



B Type Ⅰ

바이러스에 감염

2



B Type Ⅱ

3



B Type Ⅲ

)) (

( )

(A P A B¹ B² B³

P     B¹B² B³  S )]

( ) (

)

[(A B¹ A B² A B³

P     

 and Bⁱ  B^j 

) (

)

(A B¹ P A B² P A B³

P     



for i  j

) (

) ( )

( )

( B

₁

P A B

₁

P B

₃

P A B

₃

P    

 

35 . 0 1

. 0 6 . 0 8 . 0 3 . 0 5 . 0 1 .

0      



5. 8 전확률의 정리와 베이즈의 공식

(7)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

바이러스 예제

 감기환자의 집합 이고 이라면

 전확률의 정리



S

n(S) 100

10 30 60

35 . 0 100

) 6 24 5

( )

(A    

P

에 의해 가 분할 되면

Bn

B

B₁ , ₂ ,, S ) (

) ( )

(

1

i n

i

i P AB

B P A

P 







이 된다

5

24

6

(8)

Chapter 5. 확 률

바이러스 예제

(2) 기침을 하는 환자가 바이러스에 감염 되었을 확률은?

Type Ⅰ

7 142 1

. ) 0

(

5 . 0 1 . 0 )

(

) (

) ( )

(

) ) (

( ₁ ¹ ¹ ¹   

 



 P A P A

B A P B

P A

P

A B

A P B

P 

171 .

35 0 . 0

06 . ) 0

( 686

. 35 0

. 0

24 . ) 0

(B₂ A   P B₃ A  

P

171 .

0 )

( 6

. 0 )

(

686 .

0 )

( 3

. 0 )

(

143 .

0 )

( 1

. 0 )

(

3 3

2 2

1 1







A B P B

P

A B P B

P

A B P B

P

사전

(prior)

확률 사후

(posterior)

확률

(9)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

베이즈 (Bayes) 정리

 Bayes정리

에 의해 가 분할되면

Bn

B

B₁ , ₂ ,, S

) (

) ) (

( P A

B A P B

A P B

P _i ⁱ  ⁱ



n i

B A P B

P

B A P B

P

n

i

i i

i

, 1 , ,

) (

1

 



 





(10)

Chapter 5. 확 률

암 예제

 Ex) 임의로 선택된 사람이 암에 걸려 있을 확률은 0.02

암에 걸려 있을 때 암으로 진단될 확률은 0.90 암에 걸려 있지 않을 때 암으로 진단될

확률은 0.05

(11)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

암 예제

(1) 임의로 선택된 사람이 암으로 진단될 확률은?



A 암으로 진단 될 사상

1



B

암에 걸려 있을 사상

2



B

암에 걸려 있지 않을 사상

2 1

, B

B

가 (모든 사람)를 분할

_S

05 . 0 )

( 90

. 0 )

(

98 . 0 )

( 02

. 0 )

(

2 1



B A P B

A P

B P B

P

) (

) ( )

( )

(A P B₁ P AB₁ P B₂ P AB₂

P    

067 .

0 05 . 0 98 . 0 9 . 0 02 .

0    



(12)

Chapter 5. 확 률

암 예제

(2) 암으로 진단된 사람이 암이 아닐 확률은?

20 980

18

49

731 .

067 0 .

0

05 . 0 98 . 0 )

(

) (

) ) (

( ₂ ²  ²   

 P A

B A P B

A P B P

269 .

067 0 .

0

9 . 0 02 . ) 0

( ₁  

 A B P

(진짜 암일 확률)

731 .

49 0 18

) 49

( ₂ 

  A B P

(13)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

5. 9 독립사상

 조건부 확률



이제 인 경우를 생각해 보자



의 발생이 의 확률에 영향을 미치지 않음

 Ex)

) ( )

(AB P A

P 

B A



A

내일 시험이 취소될 사건



B

내일 비가 온다는 사건



C

내일 체육대회가 취소될 사건

) ( )

(AB P A

P  그러나 P(C B)  P(C)

즉, 는 독립이나A, B B,C는 종속

(14)

Chapter 5. 확 률

독립의 정의

 독립의 정의



인 두 사상 를 서로 독립이라

한다

) ( )

(A B P A

P  이면

) ) (

(

)

( P A

B P

B A

P  

이며

) ( )

( )

(A B P A P B

P    이다

) ( )

( )

(A B P A P B

P    A,B

(15)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

주사위 예제

 Ex) 정상인 두 주사위 (빨강,파랑) 를 던진다

)}

6 , 6 ( , ),

1 , 6 (

) 6 , 1 ( , ),

2 , 1 ( ), 1 , 1 ( {





  S



A

빨강 주사위가 3인 사건 ^^{ ⁽³^,¹^),^^, ⁽³^, ⁶^)}



B 파랑 주사위가 3인 사건 ^^{ ⁽¹^, ³^),^^, ⁽⁶^, ³^)}



C

두 주사위의 합이 4인 사건 ^^{⁽¹^, ³^), ⁽²^, ²⁾ ^, ⁽³^,¹^)}



D 두 주사위의 합이 7인 사건 ^^{⁽¹^, ⁶^),^^, ⁽⁶^,¹^)}

6 1 36

) 6

(A  

P 6

) 1 (

, P D  6

) 1 (

, P B 

12 1 36

) 3 (

, P C  

(16)

Chapter 5. 확 률

독립과 종속

) ( )

36 ( )}) 1

3 , 3 ({(

)

(A B P P A P B

P      독립(직관)

) ( )

36 ( )}) 1

1 , 3 ({(

)

(A C P P A P C

P      종속

) ( )

36 ( )}) 1

4 , 3 ({(

)

(A D P P A P D

P      독립

6 ) 1 (A 

P 6

) 1 (D  6 P

) 1 (B 

P 12

) 1 (C  P

(17)

Chapter 5. 확 률

Honggie Kim

주사위 예제

이 때, 빨강주사위가 3일 확률

Hint

① 파랑이 3 : no hint

② 합이 4 : big hint

③ 합이 7 : no hint 파랑 주사위

빨강 주사위