Chap 3 . Electromagnetic Theory-Photons and Light 3.1 벡터의 미분

Chap 3 . Electromagnetic Theory-Photons and Light 3.1 ^{벡터의 미분}

Maxwell 방정식은 전기장과 자기장에 관한 법칙들을 요약한 것으로, 이들을 수학적으로 이해하 려면 벡터의 미분에 관한 다음의 예제를 공부하는 것이 도움이 된다.

직각좌표에서 벡터의 성분분해 위치벡터 r: rxiyjzk

일반벡터 A: AA_xiA_yjA_zk

여기서 i, j, k는 x y z, , 축에 따른 단위벡터이다.

벡터의 미분

벡터의 미분을 적용하기 위하여 다음과 같은 함수를 예로 든다.

Scalar 함수:  x²2xyyz³

Vector 함수: RR_xiR_y jR_zk(2xz²) i (3 xy²) j ( xy z³ ) k

여기서 양변을 비교하면, R_x 2xz², R_y 3xy², R_z xy z³

(a) Grad^: i j k

x y z

  

   

  

Grad^은 scalar 함수를 미분하며 결과는 벡터가 된다.

(i j k ) ( ) i ( ) j ( ) k

x y z x y z

     

       

     

2 3 3 2

(i j k )(x 2xy yz ) (2x 2 ) i (2y x z ) j (3yz ) k

x y z

  

          

  

(b) Divergence: ( ) (i j k )

x y z

  

   

  

 

Divergence는 벡터의 내적(inner product)미분으로 결과는 scalar가 된다.

(예) R (i j k ) ( _xi R_y j R_zk) ^{Rx Ry Rz}

x y z R ^x ^y ^z

  

        

     





2 2 3

2 3

(2 ) (3 ) ( )

2 6

xz xy xy z

R z xy xy

x y z

  

      

  



(c) Curl^: ( ) (i j k )

x y z

  

    

  

Curl^{은 외적(}cross product)미분으로 결과는 벡터가 된다.

( R) (i j k ) (R_xi R_y j R_zk)

x y z

  

      

  

i( R^z R^y) j( R^x R^z) k( R^y R^x)

y z z x x y

   

 

     

     

(R) ( ³ ) (3 ²) (2 ²) ( ³ ) (3 ²) (2 ²)

i[ xy z xy ] j[ xz xy z ] k[ xy xz ]

y z z x x y

       

     

2 3 2

(3xy z)i (4xz y z) j (3y ) k

   

중요공식

(a)     

(b)  R 0

(c)  0

(d)    R ( R)²R

3.2 ^{일반개념(} General Concept ⁾

빛(Light): 무게가 없는 입자로 광자(photon)라 하며 동시에 파동이다.

빛의 입자성은 Schrödinger 방정식의 양자화로 나타나고, 파동성은 Maxwell^{의 전자기장}

(electromagnetic field) 이론에 의한 방정식들로 표현된다.

전기장과 자기장 속에서 전하가 받는 힘

전기장 E ^{속에서 전하} q^{가 받는 힘:} FE qE ^(3.1)

자기장 B ^{속에서 속도} v^{인 전하} q^{가 받는 힘:} FBqv B ^(3.2)

전하 q가 받는 힘의 일반적 표현: F q E(  v B) ^(3.3)

전기장과 자기장의 생성

전기장(electric field^{)은 전하(}electric charge)와 시간에 따라 변하는(time-varying^{) 자기장에 의}

해 생성된다. 같은 원리로 자기장(magnetic field^{)은 전류(}electric current)와 시간에 따라 변하는 전기장(time-varying electric field)에 의해 만들어 진다.

선속(flux^{)의 정의}

임의의 벡터 R^{이 열린 면적} A를 통해 지나간다고 생각하자. 이때 면 적 A를 통해 지나가는 총 벡터의 크기(선속)는 다음과 같이 정의한다.

cos R A RA 

    ^(3.4)

면적벡터의 정의: A는 면적의 크기가 A이고 그 면적에 수직인 벡터이 다. 면적이 편편하지 않고 굴곡져 있다면 면을 통해 지나가는 벡터의 선 속은 다음과 같이 적분형태로 표시한다.

어느 면적 A^{를 지나가는} R^{의 선속(}flux^{) 표시:} _R

AR d a

 



면적벡터 A가 굴곡이 없다면 R^의 flux^는

R R A

  

3.3 Maxwell 방정식의 유도

3.3.1 Maxwell

폐 곡면(closed area)으로 나오는 전기장 선속과 자기장 선속은 가우스 법칙이 적용된다.

전기장 선속(electric flux^): _E

A

o

E d a q

 



자기장 선속(magnetic flux): _B 0

AB d a

 



전하(charge)는 폐 곡면 내에 독립적인 양전하(q) 또는 음전하(q)가 홀로 존재할 수 있다. 달 리 말하면 전하는 monopole로 존재할 수 있다. 그러나 자하(magnet^{)는 독립된} N^{극 또는} S^극,

즉 한 극만 있는 monopole로 존재할 수 없으며 항상 자기 쌍극자(magnetic dipole^)인 N^극과 S

극이 한 쌍을 이루고 있다. 따라서 어떤 폐 곡면을 통해 N극에서 나온 자기장 선속은 다시 그 면 을 통해 S극으로 들어가기 때문에 순수하게 그 폐 곡면을 통해 나오는 자기장 선속은 없다.

(ii) Faraday’s Induction Law

열린 면적(open area⁾ A를 지나가는 자기장 선속: _B

AB d a

 



B^{의 단위:} [T m ² Wb(Weber)]

Faraday Induction Law: 열린 면적을 지나가는 자기장 선속을 시간에 따라 변화시키면 그 면에 원형고리의 전기장이 만들어 지고 그 고리를 따라 기전력이 발생한다.

(예) 우측 그림의 경우 지면에 들어가는 방향으로 자기장 선속이 시간 에 따라 증가하면 원형 고리의 전기장이 반 시계방향으로 형성되며, 전 류를 유발하는 기전력이 발생한다. 이때 생성된 반 시계방향(전기장 방 향)의 전류는 지면에 들어가는 방향으로 증가하는 자기 선속을 증가하 지 못하도록 방해한다(Lenz ^법칙).

수식적 표현: ^B

A C

d d B

d a E d s

dt^ 





열린 면적 A를 지나가는 전기장 선속: _E

AE d a

 



(a) Maxwell’s Induction Law: 열린 면적을 지나가는 전기장 선속을 시간에 따라 변화시키면 그 면에 원형고리의 자기장이 만들어 진다.

이 법칙은 Faraday Induction Law와 대칭이라 말할 수 있다.

수식적 표현: _{o o} ^E

C

d B d s

  dt^ 



변위전류(Displacement current^): i_{d o} ^{d E}

 dt^

 ^(3.12)

여기서 d_E/dt는 다음과 같이 쓸 수 있다.

E A

d d E

dt dt d a

 



지면으로 들어가는 방향으로 전기장이 증가하면 시계방향으로 자기장이 형성된다.

변위전류란 충전기 내의 전기장 선속이 증가하거나 감소할 때 충전기를 통해 흘러 나가는 전류이 다. (3.11)의 좌측 항을 변위전류로 다시 쓰면

CB d s o di



(b) Ampere’s Law: 직류전류 i는 그 주위에 자기장 고리를 만든다.

수식적 표현: _o

CB d s  i



(c) Maxwell-Ampere’s Law: (3.13)와 (3.14)를 한 식으로 묶으면

( )

o d

CB d s  i i



Maxwell 방정식의 적분형 종합 Gauss’ Law-Electric^:

A

o

E d a q

 



Gauss’ Law-Magnetic^: 0

AB d a 



Faraday’s Law^:

C A

E d s B d a t

    

 

Maxwell-Ampere’s Law^: _o( _d)

CB d s  i i



3.3.2 Maxwell

(3.16)과 (3.17)의 좌측 항은 divergence theorem(면적분을 체적분으로 바꾸는 정리)을 적용하고, 우측 항의 전하 q는 폐 곡면으로 둘러쳐진 체적 내에 고르게 분포되어 있다고 가정하자. 예를 들 면 볼링 공에 전하 q가 균일하게 분포되어 있다고 생각하라. 이때 총 전하 q^{는 전하밀도}

(charge density⁾  에 체적을 곱한 양으로 표시할 수 있다. 그리고 좌우 양변을 비교하면

Maxwell의 첫 번째와 두 번째 미분형 방정식이 얻어진다.

( ) 1

V A V

o o

E dV E d a dV E 

 

      

  

( ) 0 0

V B dV  AB d a    B

 

(3.18)과 (3.19)의 좌측 항에 Stock’s theorem(선적분을 면적분으로 바꾸는 정리)을 적용한다. 그 리고 전류 i와 i_d는 전류밀도(current density) J와 변위전류 밀도 J_d에 면적을 곱한 양으로 표 시하고 양변을 비교하면 Maxwell의 세 번째와 네 번째 미분형 방정식이 얻어진다.

( )

A C A

B B

E d a E d s d a E

t t

 

          

 

  

B 0

E t

  

 ^(3.22)

( ) o ( d) o( d)

A B d a  CB d s  A JJ d a   B  J J

  

o d o

B  J  J

   (3.23)

(3.23)식의 변형

(3.12)의 변위전류 _{d o} d ^E i  dt^ 에서

d A d

i 





로 다시 쓰면,

d o d o

A A

E E

J d a d a J

t t

 ^  ^

    

 

 

(3.24)를 (3.23)에 대입하면 변형된 네 번째 수식을 얻는다.

o o o

B E J

  ^t 

  

 ^(3.25)

직류전류 밀도: J E ^(3.26)

여기서 는 물질의 전기전도도(conductivity⁾

(3.26)을 (3.25)에 대입하면 다음과 같은 또 다른 형태의 변형된 수식을 얻을 수 있다.

o o o

B E E

  ^t  

  

 ^(3.27)

Maxwell 방정식의 미분형 종합

o

E 

   ^(3.28)

0

 B ^(3.29)

B 0

E t

  

 ^(3.30)

o o o

B E J

  ^t 

  

 ^(3.31)

3.4 ^{전자기파(} Electromagnetic Waves )의 정성적 기술

자유공간(free space: 진공인 공간)에서 E^와 B가 어떻게 진행(propagating^{)하는 지} Maxwell

방정식을 이용하여 분석해 본다. 진공 속은 매체가 없음으로 Maxwell 방정식의 우측 항들은 모 두 0이다. 즉 자유공간은 전하(charge^{)나 직류전류(}direct current^{)가 없다.}

0

 E ^(3.32)

0

 B ^(3.33)

B 0

E t

  

 ^(3.34)

o o 0 B E

  ^t

  

 ^(3.35)

o와 _o는 각각 자유공간에서의 유전율(permittivity)과 투자율(permeability)이다. 그리고

o o

  는 진공 속에서 빛의 속도와 다음의 관계를 갖는다.

1

o o

c^   ^(3.36)

(3.34)에 Curl ⁽)을 취하고 (3.35)를 시간에 대해 편미분하면

( ) 0 [ ( ) 2 ] ( ) 0

E B E E B

t t

 

          

  ^(3.37)

2 2

2 2 2 2

1 1

( ) E 0 ( ) E

B B

t c t t c t

         

    ^(3.38)

(3.32)에서  E 0 그리고 (3.38)을 (3.37)에 대입하면

2 2

2 2

1 E

E c t

  

 ^(3.39)

(3.35)에 Curl ⁽)을 취하고 (3.34)를 시간에 대해 편미분하면

2

2 2

1 1

( E) 0 [ ( ) ] ( E) 0

B B B

c t c t

 

           

  ^(3.40)

2 2

2 2 2

0 1

E B E B

t t t c t

   

      

    ^(3.41)

(3.33)에서  B 0 그리고 (3.41)을 (3.40)에 대입하면

2 2

2 2

1 B

B c t

  

 ^(3.42)

(3.39)와 (3.42)의 3-차원 공간에 대한 해(solution)는 각각 다음과 같다.

sin( )

EEm krt ^(3.43)

sin( )

BBm krt ^(3.44)

이러한 형태의 파를 진행파(propagating or traveling waves^{)라 한다.}

(3.43)과 (3.44)는 전기장 E^{와 자기장} B가 동시에 자유공간에서 r 방향으로 진행하는 파임을 나타낸다. 이것을 보기 위하여 전기장 E^가 y ^{축으로 진동하며} x축으로 진행한다고 가정하고,

y^{축의 진폭을} E_{m y,} E_m라 하자. 그러면 (3.43)의 형태는

j ( j) sin( )

y m

E  E kxt ^(3.45)

sin( )

y m

E E kxt ^(3.46)

전기장 EE_yj^는 x축으로 진행하기 때문에 이 파에 대한 Laplacian operator^는

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

x y z x

   

      

   

따라서 (3.46)에 대한 진행파의 파동 미분방정식은 다음과 같다.

2 2

2 2 2

y 1 y

E E

x c t

 

   ^(3.47)

이 파와 관련된 B를 찾기 위하여 Maxwell 방정식의 (3.34)를 이용한다.

0 [(i j k ) ( _yj)] ( _xi _yj _zk) 0

E B E B B B

t x y z t

    

          

    

( E^y k E^y i) ( B^x i B^y j B^z k) 0

x z t t t

    

    

    

( E^y B^x) i B^y j ( E^y B^z)k 0

z t t x t

    

     

     ^(3.48)

양변을 비교하면 각 성분은 0이므로 다음의 두 관계식을 얻는다.

y x

E B

z t

 

   ^(3.49)

y z

E B

x t

 

 

  ^(3.50)

(3.46)에서 E_y는 z의 함수가 아니기 때문에 (3.49)는 값이 없다. 즉 z축을 따라 진행하는 파가 아니기 때문에 z와 관련된 값이 없다. 따라서 (3.50)만 의미가 있다.

(3.50)을 B_z에 대해 적분하면,

[ sin( )] cos( )

y

z m m

B E dt E kx t dt k E kx t dt

x x  

 

       

 

  

sin( )

z m

B k E kx t

  (3.51)

2 / 1 1

2 k

f f c

 

 ^  ^  ^{ (3.52)}

그러므로 (3.51)은 다음과 같이 표현된다.

1 1

sin( )

z m y

B E kx t E

c  c

   (3.53)

sin( )

z m

B B kxt ^(3.54)

m m

B E

 c or E_m cB_m ^(3.55)

결과 해석

sin( )

y m

E E kxt 를 Maxwell 방정식에 적용한 결과 이와 관련된 B_z B_msin(kxt)를 얻 었다. 즉 전기장 E_y가 y축으로 sin(kxt)에 의해 진동하며 x축을 따라 진행할 때, B_z는 z

축으로 sin(kxt)로 진동하며 위상이 같게 x축을 따라 진행한다. 종합하면

( , ) sin( )

y m

E x t E kxt (3.56)

( , ) sin( )

z m

B x t B kxt ^(3.57)

이 두 파는 다음의 그림처럼 서로 직교하며 진행한다. 여기서 B_mE_m/c이다. 벡터 k (wave vector)를 파가 진행하는 x축으로 선택하면, E는 y축, B는 z축에 놓이게 된다. 여기서 k은

wave vector k가 진행하는 방향의 unit vector이며 여기서는 x축의 단위벡터 i와 같다.

k E cB (3.58)

3.5 파장과 주파수로 본 전자기파의 분류

AM(Amplitude Modulation) FM(Frequency Modulation)

VHF(Very High Frequency): 군 통신용 및 TV UHF(Ultra High Frequency): 군 통신용 및 TV Microwave ⁽10 ~ 10 m^{1 2 ):} Cellular phone

적외선(Infrared^): 10^6 ~ 10 m^3

근 적외선(near IR^): 0.78 ~ 3 m 범위로 이 영역은 주로 야시장비에 이용된다.

중 적외선(intermediate IR^): 3 ~ 6 m

원 적외선(far IR): 6 ~ 15 m 범위로 주로 열 추적장치에 이용된다.

극 적외선(extreme IR): 15 m ~ 1mm

※ 인체는 3 m ^{에서 시작하여} 10 m 근방을 가장 강하게 내보내고 극 적외선을 약하게 방출 한다.

가시광선(Visible light): 400 ~ 780 nm

※ 우측 그림은 가시광선에 대한 파장 별 눈의 감도를 나타낸 것이다.

그림에서 보듯 눈이 감지할 수 있는 최고 감도는 연두색 파장 (555 nm)이다.

자외선(Ultraviolet or UV): 10^7 10 m^{8 ,} Photon energy로 대충 3.2 ~ 100eV.

X -선: 10^910^13m

 ^-선: 10^14m이하

3.6 Energy and Momentum

3.6.1

Poynting Vector

전자기파의 단위면적과 단위시간당 전달하는 에너지를 벡터로 나타낸 것이 Poynting vector이다.

Poynting vector^{: 1}

o

S E B

   ^(3.59)

S는 파가 진행하는 방향 즉 propagating vector인 k k( 2 / )  방향과 일치한다.

S의 단위: [J / s m ] [W / m ] ²  ²

E와 B는 수직이며 EE_msin(krt), BE c/ ^이므로 S는 다음과 같다.

1 1 2

o o

S EB E

 c

  ^(3.60)

1 ^{2 2}

sin ( )

m o

S E kx t

c 

   ^(3.61)

빛의 세기(intensity) 또는 빛의 조사강도(irradiance) I 는 S의 평균값으로 나타낸다.

2 2

1 _m sin ( )

o

I S E kx t

c 

      ^(3.62)

※ sin (² kxt)1/ 2 1 2

2 _o ^m

I E

c

 ^(3.63)

2 2

1 1

( ) 2

m

rms

o o

I E I E

c c

   ^(3.64)

에너지 밀도(Energy density) 및 점 광원의 세기

EcB의 관계로부터 전기장 에너지 밀도와 자기장 에너지 밀도의 동등성 증명

2 2

2 2

1 1 1

( )

2 2 2 2

E o o o B

o o o

B B

u  E  cB  u

  

     ^(3.65)

전자기 파가 진행하는 모든 곳에서 u_E u_B^이다.

점 광원의 거리에 따른 빛의 세기 I : 점 광원이 발산하는 에너지 율(일률)을 P_s라 할 때 점 광 원으로부터 거리 r에 있는 구면으로 나오는 일률은 점 광원이 내보내는 일률과 같다. 수식의 표 현은 전기장을 계산하는 Gauss 법칙과 유사하다.

(4 2)

s s

AI daP  I r P



4 2

Ps

I ^ r ^(3.67)

3.6.2 Photon energy and Momentum

Photon energy: Ehf

Photon^의 momentum^: p ^{h E}

 c

 

※ Energy^단위 Joule⁽J^)을 electron volt⁽eV^{)로 환산법} 1e1.60 10 ^19C

1eV^{의 정의:} 1V의 퍼텐셜 차 속에 놓여 있는 전자의 운동에너지, 즉

1eV(1 )(1V) 1.60 10e   ^19J

단위환산 인자:

19 19

eV 1.60 10 J

1 1.60 10 J eV





  



(예 1) 파장이 550 nm인 가시광선의 에너지

34 8

19 9

(6.63 10 J s)(3.0 10 m / s)

3.61 10 J 550 10 m

E hf hc



 



  

    



19

19

(3.61 10 J)( eV ) 2.26 eV 1.60 10 J

E  ^ _ 



(예 2) 파장이

o

1A인 X ray^{의 에너지}

34 8

15 10

(6.63 10 J s)(3.0 10 m / s)

1.99 10 J 1.0 10 m

E hc



 



  

   



15 4

19

(1.99 10 J)( eV ) 1.24 10 eV 12.4 KeV 1.60 10 J

E  ^ _   



광압(Photon pressure)

전자기파는 에너지뿐만 아니라 선운동량도 가지고 있다. 표면에 물체가 d 의 에너지를 흡수하면 그 물체는 선운동량의 변화를 가져온다.

어떤 물체의 면적 A^{가 시간} dt ^동안에 d 의 빛 에너지를 완전히 흡수하는 경우를 생각한다.

이때 빛의 세기는 I 이고 면에 수직으로 입사한다고 가정한다.

d IAdt ^(3.68)

전자기파의 선운동량: h hf

p f c



    d I A

dp dt

c c

   ^(3.69)

Newton^{의 제} 2^법칙: dp I A

F  dt  c ^(3.70)

흡수 광압: _a F I

p  A c (3.71)

완전 반사 광압: 2

r

p I

 c ^(3.72)

※ 반사가 흡수보다 운동량의 변화가 두 배 큰 이유

질량 m^{인 공을 벽에} v의 속력을 가지고 x축 방향으로 던지는 경우를 생각하자. 즉 v₁v^,

그리고 벽에 탄성 충돌한 후 튕겨 나오는 속도를 v₂^{라 하면} v₂  v^{, 즉} x방향으로 공은 튀어 나온다.

공의 운동량 변화:  p m v( ₂v₁)m v v[  )] 2mv^{, 벽의 운동량:}  p 2mv

연습문제

3.1 그림과 같은 반경 R인 구에 있는 총 전하는 q이다. 이 구가 (a) 도체 구 일 때(전하는 구각에 고르게 분포)와 (b) 부도체 구(전하는 전 체적에 고 르게 분포)일 때 거리 r₁, r₂에서의 전기장을 각각 구하여라.

3.2 ¹⁹⁷₇₉ Au의 원자핵 반경은 R6.2 10 ^15m이다. 구내에 양전하가 고르게 분포되어 있다. 내, 외부에 따른 거리 r에서의 전기장의 세기를 구하여라.

3.3 우측 그림은 a r b인 원형 단면적에 직류전류 i가 흐르는 긴 도선이 다. 다음의 영역에서 자기장을 각각 구하여라.

(a) ra (b) a r b (c) rb

3.4 가우스 표면의 모양이 직각 원통으로 양끝 면의 반지름은 12.0 cm이고 원

통의 길이는 80.0 cm이다. 한쪽 끝 면을 통해서 안쪽으로 들어가는 자기장 다발이 25.0 Wb 이 다. 다른 쪽 끝 면에서는 1.60 mT의 균일한 자기장이 그 면에 수직으로 밖을 향하고 있다. 굽은 면(원통 측면)을 통해 지나가는 자기장 다발의 크기와 방향은 각각 무엇인가?

3.5 반경 R10.0cm내부(그림 참조)에서 자기장이 dB dt/ 0.15 T / s로 변할 때, (a) r5.0cm인 곳에서 유도 전기장의 크기는 얼마인가?

(b) r15.0cm인 곳에서 유도 전기장은 얼마인가?

(c) 거리에 따른 전기장의 세기를 그려라.

3.6 전기장의 크기는 E(0.500 V/m s)(1 r R t/ ) 로 주어지고, rR

이며 여기서 t의 단위는 초이다. 반지름 거리가 (a) 2.00 cm와 (b) 5.00 cm인 곳에서 유도되는 자기장의 크기는 각각 얼마인가?

3.7 B x t_y( , )B_msin(kx t )^{일 때} E x t_z( , )를 구하여라.

3.8 평행판 축전기와 solenoid에 축적된 에너지를 각각 계산하여 전기장과 자기장의 에너지 밀도 가 다음과 같음을 증명하라.

2

2

o E

u  E

 ^{, 2}

B 2

o

u B

 

3.9 파도함수의 주기는  2 / 이다. 한 주기 동안의 평균은 다음과 같이 적분한다.

( ) 1 ^t ( ') ' f t t ^ f t dt



  



여기서 t'^은 dummy variable이다. 다음을 증명하라.

2 1

( ) sin ( )

f t k r t 2

     ^{, 2} 1

( ) cos ( )

f t k r t 2

    

( ) sin( ) cos( ) 0

f t k r t k r t

      

3.10 주파수가 f 100 MHz^이고 flux density^가 I 19.88 W / m²인 평면파를 내보내는 안테나 앞에 서있다고 가정하라. Photon flux density (photon fluence), 즉 단위면적당, 단위시간당의 광 자(photon)의 수를 계산하라.

3.11 단색광원(monochromatic source)이 등방적(isotropic)으로 P_s 100 W 를 방출한다. (a)

1m^{떨어진 곳에서} flux intensity는 얼마인가? (b) 그 점에서 E^와 B의 진폭은 얼마인가?

3.12 주파수가 10 Hz^{19 인} X ray photon ^하나의 momentum^{은 얼마인가?}

3.13 혜성의 먼지입자는 광압에 의해 해가 비치는 반대편으로 밀린다. 입자의 크기가 얼마일 때 태양의 중력과 광압이 평형을 이루는가? 여기서 먼지 입자의 밀도는 _d 3.5 10 kg / m ^{3 3}이다.

입자가 빛을 받는 단면적: r²

태양으로부터 R의 거리에 있는 먼지입자에 입사하는 광의 세기:

4 2

I P

R



3.14 1.0 mW ^레이저가 2 mm^{인 광선지름(}beam diameter)을 가지고 있다. 빛이 퍼져나가는 것 은 무시할 정도로 작다고 가정하고 레이저의 근방에서 에너지 밀도(energy density)를 계산하여라.

3.15 태양으로부터 1.5 10 m ¹¹ 떨어진 지구 대기에 도달하는 빛의 intensity^는 I 1.4 kW / m²

이다. (a) 태양을 향해 정면으로 서 있는 금속반사체의 표면에 작용하는 평균 복사압을 구하여라.

(b) 직경이 1.4 10 m ⁹ 인 태양의 표면에 작용하는 평균 압력을 결정하라.

3.16 입사 intensity I 인 편광된 빛을 반으로 줄이기 위한 다른 편광판의 편광각도는 얼마인가?