근궤적의 실예

(1)

Copyright  Chul-Goo Kang

Control Engineering

근궤적의 실예

학습목표

1. 근궤적의 실예

2. 근궤적과 등이득궤적의 직교성 3. 조건부안정시템과 비최소위상시스템

(2)

Ex.1: , ( ) 1 )

2 )(

1 ) (

( 



  H s

s s s s K G

) 2 )(

1 (s s s

 K

 ) (s

R ^C^(s⁾

(1) 근궤적은 ?

(2) dominant closed-loop pole의 가 0.5일때

K= ? 

Sol.: 개루프극점 0, -1, -2 개루프영점 없음

6 , 2 에서 0 ) ( ) (

교점 허수축과의

) 0 ( 58 . 1 ), 0 ( 42 . 0 0

) 2 )(

1 ( 이탈점

0 1 3

0 ) 3 (

60 , 180 , 0 60

3 ) 2 1 ( 180 점근선



































 



 







 



 

K s

j j

s

K K

ds s dK

s s s K

k

a a







(3)

따라서,

함. 하여야 같게 을 scale 허수축의 실수축과

근궤적은 때의

이 있음. 수도 구할 를 곱하여

이를 재서 거리를 까지의 2 - 1, - 0, 교점에서 또는

04 . 1 )

2 )(

1 (

58 . 0 33 . 0 읽으면 좌표를 교점의

다음 그은 60 선을

실수축과 음의

선도에서 근궤적

60 cos

5 . 0 이므로 cos

58 . 0 33 . 0

K s s s K

j s

j

s 































(4)

] Im[s



]

 Re[s



 ⁿ

 

 

























cos ,

2 2

0 ) )(

(

이면 폐루프극점이

2 2

2 2 2



























n

n ns s

s s

j s j s

j s

Ex. 2: , ( ) 1 3

2 ) 2 ) (

( ₂ 



  H s

s s

s s K G



 ) (s

R ^C^(s⁾

3 2

) 2 (

2 

 s s

s

K _{근궤적은 ?}

복귀점 :

2 개루프영점 :

2 1 개루프극점 :

2 1 0

3 2

3 0 2 1 2

2 2



















 



 

dK

j j s

s s

s s K s

* Why  cos?

(5)





















 







 





145 215

180 ] 90 [ 55

) 180 2 1 )(

2 1 (

) 2 (

or j s

j s

s GH K



일부인가? 원의

근궤적이 위



일부 3 원의

) 2 소거 (

2 2

) 3 2 (

) 2 (

) 2 2 ( ) 3 2 (

) 2 (

) 1 2 2 ( ) 3 2 (

) 2 (

대입 , 3 1 2

) 2 (

1

: . .

2 2

2 2 2

2 2























 















 











 























































K K K

j j

K K

j j K K

j s s

s s K

GH eq ch

출발각도: 에서

2

1 j

s 

* 근궤적이 원일 가능성

2개의 개루프극점과 2개의 개루프영점 2개의 개루프극점과 1개의 개루프영점 1개의 개루프극점과 2개의 개루프영점

(6)

* P, PD, velocity feedback control system의 비교



 ) (s

R C(s)

) 1 5 (

1 s 5 s



 ) (s

R C(s)

) 8 . 0 1 (

5  s

) 1 5 (

1 s s

s 8 . 0 1



 ) (s

R C(s)

) 1 5 (

1 s 5 s



5 K



5 K



5 K

Shortest rise time (fast response)

Least maximum overshoot (best relative stability)

(7)

4. 근궤적과 등이득궤적의 orthogonality

1 ) ( 3, 2

) 2 ) (

( ₂ 



  H s

s s

s s K G

locus) gain (constant 등이득궤적

: 1

locus) (root :근궤적 ) 2 1 ( 180









 GH

k GH

s 평면에서 근궤적과 등이득궤적은 직교한다.

왜냐하면 analytic function은 conformal mapping 하므로.

예:

1 1

1 GH

(8)

조건부안정시스템 (conditionally stable system)

 j

14 K

64 K

195 K



안정 195일때

, 64 14

  

 K K

비최소위상시스템 (nonminimum phase system) 모든 closed-loop pole과 zero가 LHP에 있으면

최소위상시스템 closed-loop pole과 zero 중 일부가 RHP에 있으면 K가 어떤 값 이하가 아니라 특정 범위에서 안정한

시스템 Ex.:

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