 예 : 1, 2차 미분방정식 

CT 시스템의 시간영역 해석

 LTI system의 입출력 미분방정식

• 차수 N이 높을수록 시스템의 역동성을 정교하게 표현:

미분방정식의 해를 구하는 것이 어려워짐

• t ≥ t₀(초기시간)에서 시스템의 응답을 관측

• 해를 구하려면 N 보다 낮은 차수 도함수의 출력 초기값이 필요

입출력 미분방정식에 의한 표현

0 0

( ) ( )

,

n m

N M

n n m m

n m

d y t d x t

a b N M

dt dt

 

 

 

( ) 0

0

( ) ( ), 0,1, , 1

k k

k

d y t

y t k N

 dt   

 예 : 1, 2차 미분방정식 ^

^

0 0 0

2

1 0 1 0 0 1

2

( ) ( ) ( ), (0)

( ) ( ) ( ) (0)

( ) ( ), (0) ,

dy t a y t b x t y y

dt

dy t dy t dx t dy

a a y t b b x t y y y

dt dt dt dt

  

     

 임펄스 응답 (Impulse Response)

• 정의 :

• 컨볼루션 적분(convolution integral) :

임펄스 응답에 의한 표현

[ ] T  ( )t

 h t( )

t ( ) ( )

x t  t

0 t

( ) ( ) y t h t

0 (1)

( ) [ ( )]

h t  T  t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t h t x t ^ x  h t  d

  



시스템에 대한 여러 가지 표현 방법

입출력 미분방정식

1 0

ya ya y  x

임펄스응답 h t( )

주파수응답/

전달함수 ( ) ( ) H  ^또는 H s 시간 영역

시간 영역

주파수 영역 또는 s-영역

 미분방정식의 예 :

1) 균일해(homogeneous solution) y_h(t) / 자연해(natural response) y_n(t) :

입력이 없는 경우 곧 인 경우의 해

미분방정식의 해

0

( ) ( ) ( ), (0) dy t ay t x t y y

dt   

( ) ( ) ( ) 0

h

h

dy t ay t x t

dt   

( ) 0 x t 

가정 : 을 위 식에 대입

특성방정식(Characteristic equation) :

균일해 : 는 임의의 상수 ( ) ^st

y th Ke

  ₀

st st st

sKe  aKe  s  a Ke 

0 s   a

( )

, y t

 Ke

K

s a

  

2) 특수해(particular solution) y_p(t) / 강제해(forced response) y_f(t) :

초기조건을 제외한 방정식의 해

특수해 유형

( ) ( ) ( )

p

p

dy t ay t x t

dt  

입력신호유형 특수해의형태

1 (^상수) A (^상수)

t (^직선) AtB (^직선)

t2 (^포물선) At²Bt C (^포물선) e^t (^지수함수) Ae^t (^{동일지수의지수함수})

cos t 또는 sin t (^정현파) AcostBsint (^{동일주파수정현파}) cos

e^t t ^또는 e^t sint _e^t_{( cosA} _t_Bsin_t)

3) 일반해(general solution) / 완전해(complete response) y(t) :

초기 조건(ICs)을 적용하여 균일해의 미지수 K를 결정

( )

( )

( )

y t  y t  y t  ICs

[예제 3.3]

1) 균일해

2) 특수해

3) 완전해

( ) 2 ( ) ( ), (0) 4 dy t y t u t y

dt   

2 0 2

s   s  

yp  A

2 1

( ) 2

t

h p

y t  y  y  Ke^ 

7 2 1

( ) , 0

2 2

y t e^ t t

   

0 2 1 1

A A 2

   

st

yh  Ke

Initial condition: (0) 1 4 y   K 2

( )

y t

 Ke

[예제 3.4]

1) 자연해

2) 강제해

2 2

( ) ( ) (0)

4 3 ( ) cos 2 , (0) 1, 0

dy t dy t dy

y t t y

dt  dt    dt 

2

1 2

3

1 2

4 3 ( 1)( 3) 0 1, 3

( )

h

s s s s p p

y t K e

K e

          

 

cos 2 sin 2 yp  A t  B t

st

yh  Ke

( 4 cos 2 4 sin 2 ) 4( 2 sin 2 2 cos 2 ) 3( cos 2 sin 2 ) cos 2

( 8 ) 1, ( 8 ) 0

1 8

65, 65

A t B t A t B t A t B t t

A B B A

A B

       

      

   

3) 완전해

3

1 2

1 2

1 2

1 2

1 8

( ) cos 2 sin 2

65 65

(0) 1 1

65

(0) 3 16 0

65

107 41

65 , 65

t t

h p

y t y y K e K e t t

y K K

y K K

K K

 

     

   

     

   

107 41

1 8

( ) cos 2 sin 2

65 65 65 65

t t

y t e

e

t t

    

[3.1] 다음과 같은 미분방정식에 대하여 에서 해를 구하라 .

(a) (b) (c) (d)

연습문제

0 t 

( ) 3 ( ) 10, (0) 2

dy t y t y

dt   

2 2

( ) ( ) (0)

5 6 ( ) 3, (0) 1, 1

dy t dy t dy

y t y

dt  dt     dt 

2 2

( ) ( ) (0)

4 3 ( ) 2sin , (0) 1, 0

dy t dy t dy

y t t y

dt  dt    dt 

( ) 2

4 ( ) 2 ^t, (0) 1

dy t y t e y

dt

    