5 Z 4, pp. 526∼531

 5 Z 4, pp. 526∼531

Œ

£

?’ Ò ×-– ¥ ¹ Å= k8 ý ± n É •  × ¿ R <% i; c" e  ¹ ÅM X ê s ” Ö «à à Å

† ç

¡­ ¤ . > · + ä ' Ö <) ç 

Ö 

¦ í ß –@ /† < Ɠ § Ó ü t o † < Æõ , Ö  ¦ í ß – 680-749

(2010¸   2 Z 4 4{ 9  ~ à Î6 £ §, 2010¸   2 Z 4 26{ 9  à º& ñ ‘ : r ~ à Î6 £ §, 2010¸   5 Z 4 11{ 9  > F  S X ‰& ñ )

F

K5 Å q- Ä »„  ^ ‰_  ] X 8 ú ¤   H % ƒ\ " f { 9 # Q
  H „  l  © œ_  7 £ x”   ‰ & ³ © œ`  ¦ s  : r& h Ü ¼– Ð ƒ  ½ ¨ % i  .z  ´] j ] j Œ •

÷

&  H ™ è ü < q 5 p w ô  Ç ï  r2 " é ¶ ] X 8 ú ¤`  ¦ F K5 Å q-”  / B N- Ä »„  ^ ‰-”  / B N Ü ¼– Ð s À Ò# Qt   H  ×  æ ] X ½ + Ë_  — ¸4 S q– Ð 

&

ñ # Œ  e  ¦  Û ¼ ~ ½ Ó& ñ d ” _  K $ 3 & h  K \  ¦ ½ ¨ % i  . Õ ª   õ  K $ 3 & h , à ºu & h Ü ¼– Ð „  l  © œ`  ¦ ] X 8 ú ¤ ½ ¨› ¸ü <

Ä

»„   © œÃ º_  † < Êà º– Ð ½ ¨ % i  . Ä »„  ^ ‰ _ ô  Ç „  l  © œ 7 £ x”  “ É r  Œ ™×  æ] X ½ + Ë\ " f˜ Ð   H  ×  æ] X ½ + Ë ½ ¨› ¸\ " f  8

‰

&

³$  > 
 z Œ ¤ .

Ù þ

˜d ” # Q: „  l  © œ 7 £ x”  , ”  / B N  õ , Ä »„  ^ ‰  õ , F K5 Å q-Ä »„  ^ ‰ ] X 8 ú ¤,  Œ ™×  æ] X ½ + Ë

Enhancements of the Electric Fields Near the Contact between a Metal and a Dielectric

Y. J. Jang · M. S. Chung ^∗

Department of Physics, University of Ulsan, Ulsan 680-749

(Received 4 February, 2010 : revised 26 February, 2010 : accepted 11 May, 2010)

We investigated the behavior of the electric field near a junction composed of a metal, a dielectric, and vacuum. By using the two-dimensional model of a quadruple junction composed of a metal, vacuum, a dielectric, and vacuum, we calculated the electric field near the junction as a function of the configuration and the dielectric constant. We found that the obtained field was enhanced more strongly for the quadruple junction than for the associated triple junction.

PACS numbers: 77, 51.50, 52.80, 77.22, 79.70

Keywords: Electric field enhancement, Vacuum breakdown, Dielectric breakdown, Metal-dielectric contact, Triple junction

I. " e  ] Ø

{ 9

ì ø Í& h Ü ¼– Ð Ä »„  ^ ‰  H „  l  © œ`  ¦ y Œ ™™ èr v   H ´ òõ \  ¦ ˜ Ð

#

Œï  r  . Õ ª Q
, F K5 Å q õ  Ä »„  ^ ‰ ] X 8 ú ¤   H Â Ò   H \ " f „   l

 © œs  B Ä º y © œ >  7 £ x”  ÷ &  H ‰ & ³ © œ“   ”  / B N  õ  ¢ ¸  H Ä »

„

 ^ ‰ õ  š ¸A  „   Ò'  › ' a8 £ ¤ ÷ &# Q M ® o   [1–5]. F K5 Å q- Ä »„  

^

‰-”  / B N _   Œ ™×  æ] X ½ + Ë ´ òõ  “ ¦• ¸ Ô  ¦ o   H s ü < ° ú  “ É r „  l 



© œ 7 £ x”  “ É r Ä »„  ^ ‰\  _ ô  Ç ´ òõ s  . F K5 Å q _  — ¸€ ª œs  ¶ ð7 á ¤

∗

E-mail: [email protected]

l  M :ë  H \ 
 
  H — ¸€ ª œ ´ òõ ü <  H % 3 ƒ  y  ½ ¨Z >  ) a  .

½

¨^ ‰& h Ü ¼– Ð Ä »„  ^ ‰_  ´ òõ \  ¦ ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H ‰ & ³ © œ“ É r 1997¸   Geis Õ ªÒ  ¨ [6] \ " f à º' Ÿ ô  Ç z  ´+ « >\ " f › ' a8 £ ¤ ÷ &% 3  . Õ ª ˜ Г ¦

\

 _  €  , F K5 Å q 0 A\  { 9 ˜ 2 ³  s   7 H × ¼\  ¦ à ºf ” €  `  ¦  ‚   s

 ÷ &• ¸2 Ÿ ¤  8 Z þ t§ 4  8m  B Ä º 7 £ x”   ) a „  l  © œ~ ½ ÓØ  ¦ s  { 9 # Q z

Œ

¤ . Ä »„  ^ ‰_  ] X 8 ú ¤ y Œ •s  Z þ t # Q
m  „  l  © œ 7 £ x”  s  { 9 # Q è

ß –  כ s  .  z  ´ ] X 8 ú ¤ y Œ •s  „  l  © œ 7 £ x”  \  x 9 ] X     H › ' a 8

£

¤“ É r ´ ú §s  ˜ Г ¦  ) a   [7–12]. Õ ª ‰ & ³ © œ`  ¦ [ O " î  9  H s  : r

ƒ

 ½ ¨  H 1998¸   Sch¨ achter [13] \  _  # Œ % ƒ6 £ § Ü ¼– Ð s À Ò# Q

&

’

  H X <, Õ ª  H “ ¦„   ) a  Œ ™×  æ] X ½ + Ë_  2 " é ¶ — ¸4 S q`  ¦  6   x # Œ

-526-

Fig. 1. Triple and quadruple junctions. The contact of metal(W) and dielectric makes triple junctions of metal- vacuum-dielectric (small circle) and quadruple junctions of metal-vacuum-dielectric-vacuum (large circle).

„

 l  © œ~ ½ ÓØ  ¦ „  À Óx 9 • ¸ Ä »„   © œÃ º\    H  & h Ü ¼– Ð q Y V† < Ê

`

 ¦ ˜ Ð% i t ë ß –, ] X 8 ú ¤ y Œ •_  % ò † ¾ Ó`  ¦ “ ¦ 9 t  3 l w % i  .



Œ

™×  æ] X ½ + Ë\ " f Ä »„   © œÃ ºü < ] X 8 ú ¤ y Œ •_  % ò † ¾ Ó — ¸¿ º\  _ ô  Ç

„

 l  © œ 7 £ x”  \  @ /ô  Ç s  : rƒ  ½ ¨  H ‘ : r $  \  _  # Œ s À Ò

#

Q& ’   [7,14,15]. F K5 Å q, Ä »„  ^ ‰, ”  / B N s  s À ҍ  H ½ ¨› ¸\  ¦

"

é

¶: Ÿ x Ü ¼– Ð & ñ “ ¦, Õ ª » ¡ ¤ s   Œ ™×  æ] X ½ + Ës    H — ¸4 S q`  ¦   6

 

x † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹, „  l  © œ 7 £ x”  \  ] X 8 ú ¤ y Œ •s  B Ä º Å Òכ ¹ô  Ç כ ¹™ è e ”

`  ¦ µ 1 ߁ n = à º e ” % 3  . ¢ ¸ô  Ç Ä »„   © œÃ ºü < ½ ¨› ¸ " f– Ð ƒ  › ' a

÷

&# Q Ä »„  ^ ‰_  ´ òõ \  ¦   & ñ   H ‰ & ³ © œ`  ¦ ì  r$ 3 ½ + É Ã º e ” % 3 



.
  Ä »„  ^ ‰_  ´ òõ   H   H‘ : r& h Ü ¼– Ð Ä »„  ^ ‰_  ì  rF G

\

 _ ô  Ç ‰ & ³ © œe ” `  ¦ µ 1 ß+ À I . Õ ª  X < Fig. 1\ " f ˜ Ð1 p w s  F K 5

Å

q õ  Ä »„  ^ ‰_  ] X 8 ú ¤“ É r ”  / B N õ  † < Êa   Œ ™×  æ] X ½ + Ëë ß –s   m 



  ×  æ] X ½ + ËÜ ¼– Е ¸
 è ß – . Figure 2ü < ° ú  s  F K5 Å q-”   /

B N- Ä »„  ^ ‰-”  / B N-F K5 Å q Ü ¼– Ð ƒ    ÷ &  H ] X 8 ú ¤ s  ë ß –[ þ t # Q| 9  à º e ”

 . Õ ª  ×  æ] X ½ + ˓ É r  Œ ™×  æ] X ½ + ËÜ ¼– Ð ~ 1 >  ¨ 8 Š " é ¶| ¨ c ÷  r ë ß –   m

 ,  Œ ™×  æ] X ½ + Ë\ " f ˜ Ð# ŒÅ ҍ  H „  l  © œ 7 £ x”  õ    É r Ä »„  

^

‰_  ´ òõ \  ¦ “ ¦¹ 1 Ͻ + É Ã º e ”  . Õ ªA " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H  

×

 æ] X ½ + Ë — ¸4 S q`  ¦  6   x # Œ F K5 Å q- Ä »„  ^ ‰_  ] X 8 ú ¤ \ " f
 

  H „  l  © œ 7 £ x”  `  ¦ ì  r$ 3   9 ô  Ç .

II. ± n ɶ  ¥ ¿ R <% i; c" e  þ u § ­ Ž U ê sX N ËÅ k Ä8 ý A 0

F

K5 Å q õ  Ä »„  ^ ‰_  ] X 8 ú ¤“ É r Fig. 1 õ  ° ú  s  à ºf ” €  \   H & h 

\

 K { © œ÷ &t ë ß – à º¨ î ~ ½ ӆ ¾ ÓÜ ¼– Ѝ  H ‚  \  K { © œ  ) a  . s  Qô  Ç ] X

8 ú ¤ — ¸€ ª œ“ É r ] X 8 ú ¤  H % ƒ\ " f  H 2 " é ¶ @ /g A`  ¦ ° ú   H  “ ¦ 

&

ñ ½ + É Ã º e ”  . Õ ªA " f ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  H Fig. 2 \ " fü < ° ú  s , U

 ´s  ` s “ ¦ ì ø Í â R“   " é ¶: Ÿ x s  F K5 Å q, ”  / B N, Ä »„  ^ ‰, ”  / B N _  4  Òì  r Ü ¼– Ð s À Ò# Qt “ ¦, Õ ª » ¡ ¤`  ¦ ] X 8 ú ¤ t & h Ü ¼– Ð ˜ Ѝ  H 2 

"

é

¶  ×  æ] X ½ + Ë — ¸4 S q`  ¦  6   x ô  Ç . Õ ªo “ ¦ F K5 Å q, ”  / B N, Ä »„  

^

‰, ”  / B N s  ë ß –× ¼  H ] X 8 ú ¤ y Œ •`  ¦ y Œ •y Œ • α, θ ¹ , θ 2 ü < θ ³ Ü ¼– Ð ³ ðr  ô

 Ç . Õ ª ³ ðr \   H θ 3 =0 _   â Ä º\   ×  æ] X ½ + Ës   Œ ™×  æ] X ½ + Ë Ü

¼– Ð ¨ 8 Š " é ¶ ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ “ ¦, θ 1 õ  θ 2   H † ½ Ó © œ ”  / B N õ  Ä »„  ^ ‰\  ¦

Fig. 2. Cylindrical quadruple junction. The quadruple junction is the axis of the cylinder of radius R and length

` which is composed of metal, vacuum, dielectric and vacuum subtended by angle α, θ ₁ , θ ₂ and θ ₃ , respectively.

Here, θ ₁ + θ ₂ + θ ₃ = θ _t = 2φ − α.

 ? /  H y Œ •s  ÷ &• ¸2 Ÿ ¤ Ù þ ¡ . — ¸Ž  H  â Ä º\  θ ¹ + θ 2 + θ 3 = θ t = 2φ − α s  . 2 " é ¶& h  — ¸4 S q“ É r `  R“     H  \  ¦ _ p 

  H X <, ~ à Ì} Œ • ] j Œ •\ " f  Å Ò ^  ¦ à º e ”   H l  s   [16].

z 

´] j& h Ü ¼– Ð `“ É r à º mm & ñ • ¸s “ ¦, R“ É r µ m & ñ • ¸_  ß ¼l  s

 .

F

G ý a³ ð( r,θ )\  ¦  6   x €  , 2 " é ¶  e  ¦  Û ¼ ~ ½ Ó& ñ d ” _  K 

“

  „  l  ( J $ ™[ >  ֍  H r- t à º_  Á ºô  Ç/ å L à º– Ð ³ ð‰ & ³ ) a   [17]:

Φ = P

n r ^ν

ⁿ

(A n sin ν n θ + B n cos ν n θ). Õ ª  X <, › ' a d ” % ò % i 

“

  ] X 8 ú ¤  H % ƒ“   / B M“ É r r“ É r à º nm s  s “ ¦, R“ É r mm s Ù ¼

–

Ð, rRs  . Õ ª כ “ É r Φ _  @ / Òì  r ° ú כs   © œ ± ú “ É r t à º _

 † ½ Ó\  e ” 6 £ §`  ¦ _ p ô  Ç . 7 £ ¤, ] X 8 ú ¤   H % ƒ_  % ò % i \ " f Φ



 H  6 £ § õ  ° ú  s  š ¸f ”  ô  Ç > h_  † ½ ÓÜ ¼– Ð ³ ð‰ & ³ # Œ• ¸ Ø  æì  r 



 [17].

Φ 1 = A 1 r ^ν sin νθ, 0 ≤ θ ≤ θ 1 (”  / B N) (1)

Φ ₂ = r ^ν (A ₂ sin νθ + B ₂ cos νθ),

θ 1 ≤ θ ≤ θ 1 + θ 2 ( Ä »„  ^ ‰) (2)

Φ 3 = A 3 r ^ν sin ν(2π − α − θ),

θ ₁ + θ ₂ ≤ θ ≤ θ 1 + θ ₂ + θ ₃ = θ _t (”  / B N) (3)

#

Œl " f x 9  / å J    H % ò % i `  ¦ ³ ðr    H X <, à º 1, 2, 3“ É r Fig. 2 ü < ° ú  s  y Œ •y Œ • ”  / B N, Ä »„  ^ ‰, ”  / B N`  ¦
  · p . >  Ã

º A ⁱ (i=1, 2, 3) ü < B ²   H Φ \   Òõ ÷ &  H  â >  › ¸| Ü ¼– Ð

½

¨ô  Ç . Õ ªX O >  Φ `  ¦ % 3 “ ¦, „  l  © œ F `  ¦ ½ ¨ô  Ç . ‘ : r ƒ  ½ ¨

\

" f › ' a d ” “ É r F  l  ˜ Ð   H „  l  © œ_  [ jl  F = |∆Φ|s  Ù

¼– Ð, d ”  (1)-(3)Ü ¼– РÒ'   6 £ § õ  ° ú  s  ½ ¨ô  Ç .

F ₁ = A ₁ νr ^ν−1 (4)

F 2 = (A ² ₂ + B ₂ ² ) ^1/2 νr ^ν−1 (5)

F 3 = A 3 νr ^ν−1 (6)

#

Œl " f x 9  / å J    H % ò % i `  ¦
  · p .  À » d ” \  _  €  , ½ ¨

›

¸ü < Ä »„  ^ ‰\  @ /ô  Ç F_  _ ” > r$ í s  @ / Òì  r ν _  ° ú כ\  _ 

# Œ   & ñ H † d`  ¦
  · p . ¢ ¸ô  Ç Õ ª כ “ É r Ä »„  ^ ‰_  % ò † ¾ ÓÜ ¼

–

Ð „  l  © œs  B Ä º y © œK 4 R" f { 9 # Q
  H  õ ‰ & ³ © œ“ É r 0 Au  r

\

 y © œ >  _ ” > r † < ʕ ¸
  · p . > à º A ⁱ ü < B ² `  ¦ : Ÿ x # Œ ì

ø Í% ò ÷ &  H _ ” > r$ í “ É r Â Ò & h s   t

à º ν ü < > à º A i ü < B 2 `  ¦ ½ ¨   H ~ ½ Ó& ñ d ” “ É r Φ ü <    0

A_  à ºf ” $ í ì  r D n = D _θ = (ε/r)(∂Φ/∂θ) _  ƒ  5 Å q › ¸| Ü ¼

–

Ð % 3 # Q”   . ¿ º ƒ  5 Å q › ¸| `  ¦ ”  / B N õ  Ä »„  ^ ‰ ë ß –
  H 0 A u

 θ = θ 1 ü < θ 1 = θ 2 \  & h 6   x † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹  6 £ § õ  ° ú  “ É r 4 > h _

 d ” s  % 3 # Q”   .

(1 − ε) tan νθ ₁ 1 + ε tan ² νθ 1

= ε tan νθ ₃ + tan ν(θ ₁ + θ ₂ )

1 − ε tan νθ 3 tan ν(θ 1 + θ 2 ) (7)

η 1 ≡ A 1 /A 2 = ε(1 + tan ² νθ 1 )

1 + ε tan ² νθ ₁ (8)

η 2 ≡ B 2 /A 2 = (ε − 1) tan νθ 1

1 + ε tan ² νθ ₁ (9)

η 3 ≡ A 3 /A 2 = sin ν(θ 1 + θ 2 ) + η 2 cos ν(θ 1 + θ 2 ) sin νθ ₃ (10)

#

Œl " f ε  H Ä »„   © œÃ º\  ¦
  · p . d ”  (7)-(10)`  ¦ s 6   x

€   d ”  (1)-(6)Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H Φ ü < F \  Ÿ í† < ʝ ) a p t >  Ã

º  H š ¸f ”  A ₂ s  . A 2   H F K5 Å q ³ ð€  \  Å Ò# Qt   H  Òõ   ) a

„

 0 A ° ú כ`  ¦
 ? /  H  â > › ¸| Ü ¼– Ð % 3 # Q”   . Õ ª  X < d ”  (7)“ É r A 2 `  ¦   & ñ t  · ú §“ ¦• ¸ Û  ¦ # Q ν `  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ”   H ~ ½ Ó

&

ñ d ” “  X <, ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f ×  æd ” s  ÷ &  H d ” s l • ¸  . Õ ª d ”

“ É r θ 3 = 0 s  €  ,  6 £ § õ  ° ú  “ É r ç ß –é ß –ô  Ç ~ ½ Ó& ñ d ” s   ) a  .

ε tan νθ 1 = − tan νθ 2 (11)

Fig. 3. Enhancement parameter ν . The ν is obtained for θ 0 = 0 (upper, triple junction), 15 ^◦ (middle, asymmet- ric quadruple junction), θ 1 (lower, symmetric quadruple junction). When ν and θ 2 are given in units of ν 0 and θ t , the plots of ν vs. θ 2 are independent of α. We use ε

= 5.7(solid, diamond) and 10.4 (dotted, GaN).

s

 כ “ É r  Œ ™×  æ] X ½ + Ë_   â Ä º\  ν \  @ /ô  Ç ~ ½ Ó& ñ d ” s   [7, 14,15]. : £ ¤ y  ε = 1{ 9  M :  H d ”  (7)õ  (11)“ É r  6 £ § õ  ° ú  “ É r ν _  ° ú כ\ " f ë ß –7 á ¤ ô  Ç .

ν = ν 0 = π

θ ₁ + θ ₂ + θ ₃ = π

θ _t = π

2π − α (12) Ä

»„  ^ ‰ \ O “ ¦ ”  / B N ë ß – e ”   H  â Ä º\  K { © œ÷ &  H K s  .

¢

¸ô  Ç Õ ª ° ú כ“ É r ”  / B N s  \ O “ ¦ Ä »„  ^ ‰ë ß – e ”   H  â Ä º\  K { © œ÷ &



 H K s l • ¸  . Õ ª QÙ ¼– Ð, ε = 1\ " f_  K  ν ⁰   H l ï  r

° ú

כÜ ¼– Ð, ε > 1\ " f_  K  νü < „  l  © œ F\  @ /ô  Ç Ä »„  ^ ‰_ 

% ò

† ¾ Ó`  ¦ ì  r$ 3    H X <  6   x ) a  .

s

] j, α, θ ¹ , θ 2 , ε _  & ñ K ”   ° ú כ\ " f d ”  (7)`  ¦ Û  ¦ # Q" f ν`  ¦ ½ ¨ô  Ç . Õ ªX O >  # Œ α, θ 1 , θ ₂ , ε _  † < Êà º– Ð ν`  ¦ ½ ¨ 

“

¦,
  „  l  © œ F`  ¦ α, θ 1 , θ 2 , ε _  † < Êà º– Ð % 3   H  . ¢ ¸ ô

 Ç θ ₁ + θ 2 + θ 3 = θ t = 2φ − α s Ù ¼– Ð, € 9 כ ¹ €   θ ₃ _  † < Êà º

–

Е ¸ % 3   H  . > í ß –  ) a   õ \  ¦ Fig. 3 \ 
 Í Ç x . Õ ªa Ë >\ 

"

f ˜ Ð1 p w s ,  Œ ™×  æ] X ½ + Ë\  @ / # Œ  ×  æ] X ½ + Ë`  ¦
 ? /  H ] X  8

ú

¤ y Œ • θ 3   H 3 > h_   â Ä º\  ¦ “ ¦ 9 % i  : θ 3 = 0 (  Œ ™×  æ] X ½ + Ë), 15 ^◦ ( q @ /g A  ×  æ] X ½ + Ë), θ 1 ( @ /g A  ×  æ] X ½ + Ë). ] j{ 9  0 A\ 
 

 · p Õ ªA á ԍ  H  Œ ™×  æ] X ½ + Ë_    õ “  X <, s p  µ 1 ϳ ð  ) a ƒ  ½ ¨ s

  [14,15]. 7 £ ¤ d ”  (11)`  ¦ Û  ¦ # Q" f % 3 “ É r ν s  . Õ ªo “ ¦ d ”

 (4)-(6)\ • ¸
 
1 p w s , ν > ν ⁰ s €   F  H y Œ ™™ è “ ¦, ν < ν ₀ s €   F  H 7 £ x”  ô  Ç .  ×  æ] X ½ + Ë\ " f % 3 “ É r ν  H @ /Â Ò ì

 r _  % ò % i \ " f ν ⁰ ˜ Ð   Œ • . Õ ª ×  æ \ " f• ¸ @ /g A  ×  æ] X ½ + Ë _

 ν  H  © œ  Œ •“ ¦ ¢ ¸ô  Ç † ½ Ó © œ ν < ν 0   H Å Ò3 l q ½ + É ë ß –ô  Ç & h s 



. Ä »„  ^ ‰_  % ò † ¾ Ós  † ½ Ó © œ „  l  © œ 7 £ x”  ë ß –`  ¦  l r †   



 H _ p s  .

Fig. 4. Minimum enhancement factor ν _min . The ν _min is obtained as a function of the metallic contact angel α for ε = 5.7 (solid line) and 10.4 (dotted line).

Ä

»„   © œÃ º  H ε=5.7(  s   7 H × ¼)ü < ε=10.4(GaN)_  ¿ º

° ú

כë ß –`  ¦ # Œl \ " f “ ¦ 9 % i  . ν \  @ /ô  Ç ε_  % ò † ¾ ӓ É r s  p

 s „    Œ ™×  æ] X ½ + Ë_  ƒ  ½ ¨\ " f à º' Ÿ  % i  . ε=1 \ " fÂ Ò '

 ε = ∞ \  s Ø Ô  H # Œ Q ° ú כ\  @ / # Œ ν`  ¦ ½ ¨ % i % 3  .

<

É

ª p – Ðî  r & h “ É r ¿ º F G é ß –_  ° ú כ ε = 1õ  ε = ∞ \ " f  H K 

$ 3

& h  K  ν 0 , ν ∞ `  ¦ ½ ¨½ + É Ã º e ” “ ¦, 1 < ε < ∞\  K { © œ÷ &



 H — ¸Ž  H ν  H („  l  © œ y Œ ™™ è_   â Ä º) ν ⁰ < ν < ν _∞ ¢ ¸  H ν _∞ < ν < ν 0 („  l  © œ 7 £ x”  _   â Ä º)\  Ÿ í† < ʝ ) a    H  כ s 



. ε & t €  , ν  H „  l  © œs  y Œ ™™ è   H # 3 0 A\ " f  H  8 y

Œ

™™ è “ ¦ 7 £ x    H # 3 0 A\ " f  H  8 7 £ x”  ô  Ç  (Fig. 3 ‚ à Ð

›

¸).

F

K5 Å q y Œ • α   H # Œ Q ° ú כ`  ¦ “ ¦ 9½ + É € 9 כ ¹ \ O % 3  . ν ⁰ \ 

@

/ô  Ç α_  % ò † ¾ ӓ É r d ”  (12)\ " f ˜ Ѝ  H  כ õ  ° ú  s  B Ä º ß ¼



. Õ ª  X < ° ú  “ É r % ò † ¾ Ós  ν\ " f• ¸ e ”  . 7 £ ¤ α \  @ /ô  Ç ν 0 ü <

ν _  _ ” > r$ í s  & ñ S X ‰ y   © œ W÷ &# Q, q  ν/ν 0   H α \  1 l qw n & h s 



. Õ ª ° ú  “ É r { 9 › ' a$ í `  ¦ s „    Œ ™×  æ] X ½ + Ë ƒ  ½ ¨\ " f · ú ˜€ Œ ¤  H X <

[15],  ×  æ] X ½ + Ë\ " f• ¸ & h 6   x ÷ &% 3  . Õ ªA " f Fig. 3õ  ° ú  s  ν ü < θ ² `  ¦ ν 0 ü < θ ^t _  é ß –0 A– Ð
 Í Ç x . Õ ªü < ° ú  “ É r ý a³ ð\ 

"

f Õ ª 9”   Õ ªA á ԍ  H α \  1 l qw n & h s l  M :ë  H s  . Õ ªA á Ô

\

" f ˜ Ð 8 • ¸ ν  H ν 0 ˜ Ð  θ ² \     & t “ ¦  Œ • ”   .

7

£ ¤, d ”  (4)-(6)Ü ¼– Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H „  l  © œ F Ä »„  ^ ‰_  ´ òõ 

\

 _  # Œ 7 £ x”  õ  y Œ ™™ è { 9 # Qè ß – . Å Ò3 l q ½ + Éë ß –ô  Ç & h “ É r  

×

 æ] X ½ + Ë\ " f Å Ò# Qt   H ν ° ú כs   Œ ™×  æ] X ½ + Ë\ " f˜ Ð  ± ú >  0 A u

 # Œ, „  l  © œ 7 £ x”  s   8 { 9 # Qz Œ ™`  ¦ ˜ Ð# Œï  r  .

Figure 3 \ " f ˜ Ѐ   Õ ªA á Ô_  þ j™ è ° ú כ“ É r ] X 8 ú ¤ y Œ •õ  Ä

»„   © œÃ º_  † < Êà ºs  . ν_  þ j™ è° ú כ`  ¦ ν min s   €   ν _min /ν ₀   H ε õ  θ 3 _  † < Êà ºs  . θ 3 ={ 9 & ñ “    â Ä º, ν min “ É r

š

¸f ”  εü < α_  † < Êà ºs  . ፠ H = å Q  Òì  r _  F K5 Å q _  — ¸€ ª œ`  ¦
 

? /  H X <, Õ ª — ¸€ ª œs  ¶ ð7 á ¤ ½ + Éà º2 Ÿ ¤ „  l  © œ“ É r y © œK ”   . Õ ª ü

< ° ú  “ É r 7 £ x”  “ É r F K5 Å q — ¸€ ª œ\  _ ô  Ç „  l  © œ 7 £ x”  s  . F K5 Å q l

 \  „  l  © œ 7 £ x”  “ É r ν \  @ /ô  Ç α_  % ò † ¾ ÓÜ ¼– Ð
 
  H X

<, d ”  (12)ü < q 5 p w ô  Ç  ⠆ ¾ Ó`  ¦
 ± ú ˜  כ Ü ¼– Ð l @ /  ) a  .

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H ν min \  @ /ô  Ç α_  % ò † ¾ Ó`  ¦ à ºu & h Ü ¼– Ð >  í

ß – % i   (Fig. 4 ‚ à Л ¸).d ”  (12)\  _  €  , ε=1“    â Ä º\  α=0 \ " f ν ^min =0.5 s  . ε° ú כs  & t €  " f ν ^min ° ú כ“ É r & h & h 



Œ

• t “ ¦, „  l  © œ F  H & h & h   8 7 £ x”   ) a  . Fig. 4\ " f ˜ Ð

€

 , ε=10.4_  ν ^min “ É r α = 180 ^◦ _   â Ä º\ " f ˜ Ѐ   0.4˜ Ð 



Œ

• . 0.5˜ Ð   Œ •“ É r  כ s  . Õ ª ë ß –
p u Ä »„  ^ ‰\  _  # Œ „   l

 © œ 7 £ x”  s   8 { 9 # Qz Œ ™`  ¦ _ p ô  Ç .

III.  ¹ ÅM X ê s ” Ö «à à Å8 ý 4  ˜ m

‘

: r ƒ  ½ ¨\ " f  H θ 3 = θ 1 “   @ /g A  ×  æ] X ½ + Ë\  @ / # Œ „   l

 © œ 7 £ x”  `  ¦ > í ß – % i  . Õ ªX O l  l  0 AK " f F K5 Å q \  Â Ò õ

  ) a „  0 A V   H  â > › ¸| `  ¦  6   x # Œ  f ”  & ñ t  3 l w ô

 Ç p t  > à º A 2 `  ¦  6 £ § õ  ° ú  s  ½ ¨ % i  . Ä º‚   F K5 Å q ³ ð€  

\

 6 £ § _  „    Q ” > r F ô  Ç “ ¦ & ñ  . Õ ª Q€  , F K5 Å q„  

^

‰  H „  0 A V`  ¦ Ä »t  “ ¦, ”  / B N õ  Ä »„  ^ ‰ % ò % i \  „  l  © œ

\

 -t  W $  © œ  ) a  . F K5 Å q ³ ð€  \  „   x 9 • ¸  H ε− → n · − → F Ü ¼

–

Ð Å Ò# Qt “ ¦ „  l  © œ / B N ç ß –\  \  -t  x 9 • ¸  H εF ² /2 Ü ¼– Ð Å

Ò# Qt Ù ¼– Ð, d ” (4)-(6)õ  d ”  (8)-(10)`  ¦ s 6   x €   Qü < W

`

 ¦ > à º A ² _  † < Êà º– Ð ³ ð‰ & ³½ + É Ã º e ”  . Õ ªX O >  % 3 # Q”   Q ü

< W  H ¨ î ' Ÿ ó ø Í » ¡ ¤„  l \ " f % 3 # Qt   H W = (1/2)CV ² = (1/2)QV õ  ° ú  “ É r + þ AI _  › ' a > d ” `  ¦ ë ß –7 á ¤ ô  Ç “ ¦ & ñ  .

#

Œl " f C  H » ¡ ¤„  l _  6   x | ¾ Ó`  ¦
  · p . ½ ¨› ¸\  _ ô  Ç  s

  H V`  ¦ F K5 Å q ³ ð€  _  „  0 A  m “ ¦ ´ òõ „  0 A– Ð @ /^ ‰† < Ê Ü

¼– Ð+ ‹ “ ¦ 9½ + É Ã º e ”  . Õ ª Q€    6 £ § õ  ° ú  s  Vü < A 2 \ 

@

/ô  Ç › ' a > d ” s  % 3 # Q”   .

V = 2W/Q = −ηνR ^ν A ₂ (13)

η = η ² ₁ θ 1 + ε(1 + η ² ₂ ) θ 2 + η ₃ ² θ 3

2 (η ₁ + η ₂ ) (14)

#

Œl " f η 1 , η ₂ , η ₃ “ É r d ”  (8)-(10)Ü ¼– Ð Å Ò# Qt   H “   s 



. d ”  (13)õ  d ”  (4)-(6)`  ¦ s 6   x €   [ j % ò % i \ " f „  l  © œ _

 [ jl   H  6 £ § õ  ° ú  s  Å Ò# Q”   .

F 1 (r) = η ₁ η

 R r

 1−ν

 −V R



, (15)

F ₂ (r) = p1 + η ² ₂ η

 R r

 1−ν

 −V R



, (16)

F 3 (r) = η 3

η

 R r

 ^1−ν  −V R



, (17)

F`  ¦ V/R _  é ß –0 A\  ¦
  · p d ” s  . “    ν, η 1 , η ₂ , η ₃ , η



 H ½ ¨› ¸ü < Ä »„   © œÃ º_  † < Êà ºs Ù ¼– Ð, d ”  (15)-(17)Ü ¼– Ð ³ ð

‰

&

³÷ &  H F  H ½ ¨› ¸, Ä »„   © œÃ º, 0 Au _  † < Êà º– Ð Å Ò# Q& ’ 6 £ §`  ¦

  · p .

Ä

»„  ^ ‰ \ O   H  â Ä º  H „  l  © œ F 0 “ É r Ä »„  ^ ‰\  _ ô  Ç ´ ò õ

 \ O   H l ï  r „  l  © œ`  ¦
  · p . Õ ª ° ú כ“ É r Ä »„  ^ ‰\  ¦ ”   /

B

N Ü ¼– Ð @ /^ ‰ô  Ç  â Ä º_  F ¹ \  K { © œ  ) a  . Õ ª ° ú כ“ É r @ /g A  

×

 æ] X ½ + Ë\ " f θ 1 = θ ₃ = θ _t /2“    â Ä º\  F 1 ° ú כ\  K { © œ÷ &l 

•

¸ ô  Ç . Õ ª  â Ä º, ν = ν 0 s “ ¦ η = θ t /4 s  . ¢ ¸ô  Ç Õ ª כ “ É r θ 2 = 0 ü < ε=1`  ¦ _ p ô  Ç . Õ ªA " f d ”  (15)Ü ¼– РÒ'   6 £ § õ

 ° ú  s  % 3 # Q”   .

F 0 = 4 θ t

 R r

 1−ν

0

 −V R



. (18)

”

 / B N% ò % i \ " f Ä »„  ^ ‰\  _ ô  Ç „  l  © œ 7 £ x”  `  ¦ „  l  © œ 7 £ x

”

 “    β– Ð ³ ðr  €  , ⍠ H F 1 ü < F 0 _  q – Ð ³ ðr   ) a  :

β(r) = F 1 (r)/F 0 (r) = θ t

4

 η 1

η

  R r

 ^ν

0

−ν

(19)

#

Œl " f r“ É r ] X ½ + Ë\ " f Ò' _   o s  . d ”  (19)  H β  Ä

»„   © œÃ º εü <  o _  q  R/r° ú כ\  ß ¼>  _ ” > r “ ¦ e ” 6 £ §`  ¦

  · p . ë ß –{ 9  Ä »„   © œÃ º B Ä º  H Ä »„  ^ ‰\  ¦  6   x ô  Ç 

€

  B Ä º  H „  l  © œ 7 £ x”  `  ¦ 4 R“ : r  . Õ ª 7 £ x”  “ É r ”  / B N õ  Ä

»„  ^ ‰_  — ¸Ž  H % ò % i \ " f
 è ß – . ‘ : r ƒ  ½ ¨\ " f  6   x ô  Ç

° ú

כ ε=5.7, 10.4_   â Ä º\ " f ˜ Ѐ  , ε  H 2 C  t  7 £ x  t  3

l wÙ þ ¡  H X <, „  l  © œ 7 £ x”  “ É r 2 C  s  © œ 7 £ x  % i  . ¢ ¸ô  Ç rs  0 \  ] X   H €   B Ä º  H 7 £ x”  s  { 9 # Qè ß – . z  ´] j– Ð r“ É r 1 nm

&

ñ • ¸_  ° ú כs “ ¦ R“ É r Ò  re  ¦ _  ß ¼l “   à º µ m & ñ • ¸\  K { © œ

 )

a  . Õ ª QÙ ¼– Ð R/r= 10 ³ - 10 ⁴  | ¨ c  כ s  .

d ”

 (19)\  _  €  , ν < ν 0   H β >1 s # Q" f „  l  © œ 7 £ x”  

`

 ¦
  · p . { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð ν  Œ • t €   β 7 £ x    H X <, þ

j™ è ° ú כ ν min õ  þ j@ / „  l  © œ 7 £ x”   β _max _  0 Au   H › ¸F K  s

 è ß – . Õ ªü < ° ú  “ É r s   H d ”  (15)-(17)– Ð ³ ð‰ & ³÷ &  H — ¸

Ž

 H „  l  © œ_  7 £ x”  _  þ j@ /° ú כ\ • ¸  _  q 5 p w > 
 è ß –



. { 9 ì ø Í& h Ü ¼– Ð, ε >1s €   ⍠ H ν/nu 0 \     , 7 £ ¤ θ 2 /θ _t \ 



  7 £ x”  õ  y Œ ™™ è\  ¦ ô  Ç . Figure 3\  _  €  , ν/ν ₀   H  Œ ™

×

 æ] X ½ + Ë\ " f  H 1 ˜ Ð  & t l • ¸ “ ¦  Œ • t l • ¸ ô  Ç . 7 £ ¤

„

 l  © œ“ É r 7 £ x”  õ  y Œ ™™ è\  ¦ ô  Ç . Õ ª  X <, @ /g A  ×  æ] X ½ + Ë\ 

"

f  H ν/ν 0   H † ½ Ó © œ 1˜ Ð   Œ •Ü ¼Ù ¼– Ð, † ½ Ó © œ β>1e ” `  ¦ _ p ô  Ç



. Õ ªü < ° ú  “ É r ì  r$ 3  M :ë  H \ , @ /g A  ×  æ ] X ½ + Ë_  _ p   8

Fig. 5. Field enhancement β of the symmetric quadru- ple junction. The β represents the enhancement for the vacuum field F 1 (solid line) and the dielectric field F 2

(dotted line). We take ε = 5.7 (lower line) and 10.4 (upper line).

×

 æ כ ¹ # Œ à ºu & h Ü ¼– Ð „  l  © œ 7 £ x”  `  ¦ > í ß – % i  . > í ß – ô

 Ç β`  ¦ Fig. 5 \ 
 Í Ç x . Figure 5\ " f ˜ Ð1 p w s , 0 Au   H R/r =10 <sup>4</sup> Ü ¼– Ð “ ¦& ñ “ ¦, Ä »„   © œÃ º ε=5.7ü < 10.4`  ¦ “ ¦ 9

% i  . ε=5.7\ " f þ j@ / „  l  © œ 7 £ x”   β _max “ É r ”  / B N \ " f 66.1 s “ ¦ Ä »„  ^ ‰\ " f 26.1s % 3  . ε=10.4\ " f þ j@ / „  l 



© œ 7 £ x”   β max “ É r ”  / B N \ " f 207.6s “ ¦ Ä »„  ^ ‰\ " f 57.8s 

%

3  . B Ä º Å Ò3 l q ½ + Éë ß –ô  Ç „  l  © œ 7 £ x”  s  . Õ ªü < ° ú  “ É r „   l

 © œ 7 £ x”  “ É r ε  & f ” \      8 { 9 # Qz Œ ™“ É r ì  r" î  .

s

ü < ° ú  “ É r Ä »„  ^ ‰\  _ ô  Ç „  l  © œ 7 £ x”  “ É r Ä »„  ^ ‰_  ì  r F

G M :ë  H Ü ¼– Ð ì  r$ 3  ) a  .  Ä »„   \  ¦ F K5 Å q \  Z  ~ Ü ¼€   F K5 Å q

—

¸€ ª œ\  _ ” > r >  ÷ &  H X <, ¶ ð7 á ¤ ô  Ç / B M“   F K5 Å q- Ä »„  ^ ‰ ] X ½ + Ë



 H % ƒ\ " f €  „   x 9 • ¸ Z  } “ ¦ „  l  © œs  [ j . Õ ª „  l  © œ\  _

 # Œ Ä »„  ^ ‰ ì  rF G ÷ &Ù ¼– Ð, ] X ½ + Ë Â Ò   H \   8 ´ ú §“ É r ì  rF G s

 { 9 # Qè ß – . Õ ª ì  rF G„   _  “  § 4 Ü ¼– Ð ] X ½ + Ë  H % ƒ\   Ä »

„

    H  8 ´ ú §s  — ¸s >  ÷ &# Q  8 y © œô  Ç „  l  © œ`  ¦ + þ A$ í ô  Ç .

Õ

ªü < ° ú  “ É r õ & ñ Ü ¼– Ð, F K5 Å q- Ä »„  ^ ‰ ] X 8 ú ¤   H % ƒ\ " f  H y © œô  Ç

„

 l  © œs  + þ A$ í s   ) a  . Õ ªo “ ¦ ] X 8 ú ¤ y Œ •“ É r “  § 4 ~ ½ ӆ ¾ Ó\  › ' a

>

÷ &Ù ¼– Ð, „  l  © œ_  7 £ x”  õ  y Œ ™™ è\  ¦   & ñ ô  Ç . ¢ ¸ô  Ç „  l 



© œ 7 £ x”  “ É r 0 Au \  ß ¼>  _ ” > r ô  Ç . " é ¶ o & h Ü ¼– Ð ] X ½ + Ë& h \ 

"

f „  l  © œs  µ 1 Ïí ß –ô  Ç . ‘ : r   õ   H, Õ ªü < ° ú  “ É r / B M s  z  ´F 

t  · ú § 8 • ¸, ] X 8 ú ¤ t & h \   î  r / B M \ " f ”  / B N  õ , Ä »

„

 ^ ‰ õ  „  l  © œ 7 £ x”  s  { 9 # Qz Œ ™`  ¦
  · p .

„

 l  © œ“ É r F K5 Å q l  – Е ¸ 7 £ x”   ) a  . Õ ª כ “ É r F K5 Å q- Ä »„  

^

‰ ] X 8 ú ¤ \ " f ˜ Ðs   H „  l  © œ 7 £ x”  \  ¿ º כ ¹“  s  ” > r F † < Ê`  ¦ _

p ô  Ç . d ”  (19)\ " f ˜ Ð1 p w s , F=βF 0 % ƒ! 3  ³ ðr ÷ &  H X <, ⍠ H Ä »„  ^ ‰\  _ ô  Ç 7 £ x”  `  ¦
 ? /“ ¦, F ⁰   H F K5 Å q l  \  _

ô  Ç 7 £ x”  `  ¦ Ÿ í† < Êô  Ç . d ”  (12)ü < (18)\ " f ˜ Ѐ  , F K5 Å q y Œ •

α   Œ • | 9 à º2 Ÿ ¤ F 0 ° ú כs  7 £ x  “ ¦, ν min ° ú כs   Œ • ”   .

Õ

ªX O >  F K5 Å q — ¸€ ª œ\  _ ô  Ç „  l  © œ 7 £ x”  “ É r F 0 \  Ÿ í† < Ê÷ &# Q e ”

 .   " f „  ^ ‰ „  l  © œ 7 £ x”  “ É r ¿ º 7 £ x”  _  ½ + Ës   m “ ¦ Y

 L Ü ¼– Ð Å Ò# Q”   . F K5 Å q- Ä »„  ^ ‰ ] X 8 ú ¤ Â Ò   H _  „  l  © œs  F K 5

Å

q — ¸€ ª œ\  _  # Œ 7 £ x”   ) a  €   Ä »„  ^ ‰\  _ ô  Ç „  l  © œ 7 £ x

”

 ´ òõ  Õ ª ë ß –
p u  8 ‰ & ³$  >  { 9 # Qè ß – .

IV. + s Ç Â ] Ø

F

K5 Å q- Ä »„  ^ ‰\ " f › ' a8 £ ¤ ÷ &  H „  l  © œ 7 £ x”  `  ¦ F K5 Å q- Ä »„  

^

‰-”  / B N- Ä »„  ^ ‰ ¢ ¸  H F K5 Å q-”  / B N- Ä »„  ^ ‰-”  / B N _   ×  æ ] X 

½

+ Ë — ¸4 S q– Ð" f ì  r$ 3  % i  . 2 " é ¶& h  ½ ¨› ¸\  ¦ & ñ † < ÊÜ ¼– Ð+ ‹



e  ¦  Û ¼ ~ ½ Ó& ñ d ” _  K $ 3 & h  K \  ¦ ½ ¨ # Œ, „  l  © œ`  ¦ ½ ¨› ¸ ü

< Ä »„   © œÃ º_  † < Êà º– Ð ½ ¨ % i  . % 3 # Q”   „  l  © œ“ É r  Œ ™×  æ ] X

½ + Ë\ " f˜ Ð   H  ×  æ] X ½ + Ë\ " f  8 7 £ x”  ÷ &% 3  .

P

c p 8 ý ò k >

s

  7 Hë  H“ É r 2009¸   Ö  ¦ í ß –@ /† < Ɠ § ƒ  ½ ¨q _  t " é ¶ Ü ¼– Ð s  À

Ò# Q& ’  .

Y

c p w Š à U Ø ”  ô

[1] A. Watson, J. Appl. Phys. 38, 2019 (1967).

[2] G. N. Fursei and P. N. Vorontsov-Vel’yaminov, Sov.

Phys. Tech. Phys. 12, 1370 (1968).

[3] R. V. Latham, Vacuum 32, 137 (1982).

[4] X. Ma and T. S. Sudarshan, J. Vac. Sci. Technol. B 16, 745 (1998).

[5] X. Ma and T. S. Sudarshan, J. Vac. Sci. Technol. B 16, 1174 (1998).

[6] M. W. Geis, N. N. Efremow, Jr., K. E. Krohn, J. C.

Twichell, T. M. Lyszczarz, R. Kalish, J. A. Greer and M. D. Taber, Lincoln Lab. J. 10, 3 (1997).

[7] M. S. Chung, B.-G. Yoon, P. H. Cutler and N. M.

Miskovsky, J. Vac. Sci. Technol. B 22, 1240 (2004).

[8] T. Takuma, IEEE Transaction on Electric Insulation 26, 500 (1991).

[9] O. Yamamoto and T. Takuma, Electrical Eng.

Japan 131, 1(2000)

[10] X. Ma and T. S. Sudarshan, J. Vac. Sci. Technol. B 19, 683 (2001).

[11] T. Kawamoto, T. Takuma, H. Goshima and H.

shinkai, Electrical Eng. Japan 167, 1(2009)

[12] N. M. Jordan et al., J. Appl. Phys. 102, 03301 (2007).

[13] L. Sch¨ achter, Appl. Phys. Lett. 72, 421 (1998).

[14] M. S. Chung, T. S. Choi, and B.-G. Yoon, Appl.

Surf. Sci. 251, 177 (2005).

[15] M. S. Chung, S. C. Hong, P. H. Cutler and N. M.

Miskovsky, B. L. Weiss and A. Mayer., J. Vac. Sci.

Technol. B 24, 909 (2006).

[16] M. W. Geis, S. Deneault, K. E. Krohn, M.

Marchant, T. M. Lyszczarz and D. L. Crooke, Appl.

Phys. Lett. 87, 192115 (2005).

[17] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed.

(John Wiley & Sons, New York, 1999). p.75.