생명과학을 위한 수학2 기말고사 4,5,6번 문제 채점기준
December 7, 2020
4번
(a)
외적 a × b의 크기가 두 벡터 a,b가 이루는 평행사변형(밑면)의 넓이라는 사실을 적으면 5점.
외적벡터 a × b에 내린 c의 정사영의 크기가 밑면에 대한 평행육면체의 높이라는 사실을 이용해
|a × b| |c| cos(θ) = |(a × b) · c|
가 부피가 된다는 사실을 적으면 5점
(b)
세 벡터가 이루는 사면체의 부피는 평행육면체의 부피의 1/6이라는 사실을 이용해
|(Aa × Ab) · Ac| = det
Aa Ab Ac
= det(A) det
a b c
= (−2) × (−1) = 2
2 ÷ 6 = 1
3
와 같이 사면체의 부피를 구해내면 10점.
평행육면체의 부피만 구한경우 5점.
1
5번
(a)
두특성벡터 v1,v2에 대해서
av1+ bv2= 0
이 성립한다면 양변의 왼쪽에 A를 곱해
ar1v1+ ar2v2= 0
을 얻을 수 있다. av1+ bv2= 0의 양변에 r1, r2배를 해주면
ar1v1+ br1v2= 0 and ar2v1+ br2v2= 0
를 얻는데, 아까 구한 ar1v1+ ar2v2= 0를 두 식에서 빼주면,
b(r1− r2)v2= 0 and a(r2− r1)v1
을 얻는다. r16= r2이므로 r1− r26= 0이고 특성벡터는 영벡터가 아니므로 a = b = 0이 성립한다.
따라서 v1과 v2는 일차독립이다.
행렬v1 v2
는 정사각행렬이면서 열벡터가 일차독립이므로 가역행렬이다.
위와같이 두 특성벡터가 일차독립임을 보이면 5점.
두 열벡터가 일차독립이므로 행렬 v1 v2
이 가역행렬임을 적으면 5점.
예외적으로 두 특성치가 다르기때문에 행렬이 대각화 가능이고 이를 이용해 특성벡터로 이루어진 행렬이
가역임을 보였다면 답으로 인정함. 10점.
(b)
특성벡터들로 이루어진 기저가 존재한다면 일차독립인 n개의 특성벡터가 존재하므로 대각화 가능하다.
위와같은 명제를 적었다면 10점.
증명과정에서 “모든 특성치가 서로다르다” 등 사실이 아닌 명제를 적은 경우 0점.
특성벡터로 이루어진 기저로 부터 n개의 특성벡터가 일차독립이라는 사실을 명시적으로 적지 않은 경우 0점.
2
6번
(a)
n년이 후 1군 암소의 수를 xn, 2군 암소의 수를 yn, 3군 암소의 수를 zn이라고 할 때,
xn+1 =7
6yn+7
6zn
yn+1 =1
2xn
zn+1 =2
3yn+2
3zn
가 성립한다. 혹은
xn+1
yn+1
yn+1
=
0 6
7
6
7
1
2 0 0
0 2
3
2
3
xn
yn
yn
가 성립한다.
위와 같이 점화관계를 표현한 경우 5점.
(b)
행렬 A =
0 6
7 6
7
1
2 0 0
0 2
3 2
3
의 특성방정식은
det(xI3− A) = x3−
2
3x
2
− 7
12x = x(x +
1
2)(x −
7
6)
이므로 특성치는 0,−1
2,
7
6이고 우세한 특성치는
7
6이다.
따라서 충분한 시간이 흘렀을 때, 연간 개체수 증가율은 모두 7
6이다.
답을 잘 구한 경우 10점.
(c)
행렬 A의 특성치 7
6에 대한 특성벡터는
7
3
4
이다.
따라서 시간이 충분히 흘렀을 때 각 군을 구성하는 개체수의 비는 7 : 3 : 4가 된다.
답을 잘 구한경우 10점.
3
