3-2 자중, 열응력 및 크리프

3-2 자중, 열응력 및 크리프

 자중(dead weight)

그림 3-5 자중을 고려할 때 테이퍼진 봉의 FBD

부재가 길던가 부피가 클 때는 재료의 자중을 고려.

그림에서 x위치의 단면이 받는 힘 = 외력 P + x부분의 무게 W_x 그림3-5의 단면의 응력(W : 전체무게) σ_x는 식(3-5)과 같다.

x x

x

P W σ = ⁺ A

( W _x = ∫ 0 ^x A d _ξ ⋅ ξ γ ⋅ )

(3-5)

A

: 단면적, 단면이 길이에 따라 불균일 할 때

γ : 재료의 비중량

c.f) 전단변형률( γ)

그림 3-5 에서 dx부분의 신량dδ는 후크 법칙에 의해 식 (3-6)로 된다.

(

)

x

P W dx

d dx

A E E

δ = ⁺ = σ

x위치의 요소 dx부분의 변형량을 계산하여 전길이에 걸쳐 합하면 전체처짐이 된다.

0

( )

l x

x

P W dx δ = ∫ ⁺ A E

• 단면이 균일할 때

x

P Ax A

σ = ⁺ γ

^{P Al}

A σ = ⁺ γ

• 안전단면적

al

A P

σ γ l

= −

 열응력(thermal stress)

: 자유단이 구속되어있는 물체가 열을 받거나 잃을 때 물체 내부에 생기는 압축 또는 인장응력.

그림 3-6에서 보의 열팽창계수를 α라 하고, 보가 자유팽창했다면 보의 길이 l가 l′로 된다.

2 1

(1 ) , ( )

l ′ = l + ⋅ ∆ = + ⋅ ⋅ ∆ ∆ = − α t l l α t t t t

( δ

) = ⋅ ⋅ ∆ l α t 팽창량

팽창량은 실제로 구속되어 있어 팽창할 수 없으므로 그림처럼 압축력 P로 δP만큼 압축한 것과 같다.

P

Pl

δ = AE

부재는 평형을 유지해야 하므로 전체변형은 식(3-7)처럼 된다.

T P

0

l t Pl

δ δ δ α AE

∴ = + = ⋅ ⋅ ∆ + =

P E t

σ = A = − ⋅ ⋅ ∆ α

여기서 σ가 열응력이며, 이 경우 압축응력이 된다.

이 때 압축 열변형률(thermal strain)은 식 (3-8)과 같다.

l t

l t

ε = ^{⋅ ⋅ ∆} α = ⋅ ∆ α

만일, 반대로 온도가 강하한다면 인장 열변형률이 생긴다.

 크리프(creep)

: 응력이 일정할 때 시간이 경과함에 따라 변형률이 점점 증가하는 현상

그림 3-7 크리프 곡선

그림 3-7은 응력과 온도에

좌우되는 크리프 곡선을 나타냄.

파괴되기 전 그림 (b)는 세 부분 으로 나뉨.

OA

AB

BC

CD

응력이완(stress relaxation) : 변형률이 일정하게 하중을 주었을 때 시간이

[예제 3-4] 그림 4와 같이 양단이 고정되고 지름이 d₁, d₂인 강봉이

t₀에서 t₁으로 온도가 상승했을 때, l₁부분 및 l²부분의 열응력을 구하라.

단 t⁰=20℃, t₁=100℃, l₁= 100cm, l₂= 200cm, d₁= 30cm, d₂= 20cm, α = 1.1×10^-5/℃, E= 2.1×10⁶ kgf/cm²이다.

그림 4

풀이

봉은 온도 상승 때문에 생기는 신량과 양단의 구속 때문에 생기는 P로 인해 축 변형량은 같으므로 (a)에서 평형방정식을 적용시킨다.

FBD

1 2

1 1 0 2 1 0

1 2

( ) ( ) Pl Pl

l t t l t t

A E A E

α − + α − = +

따라서, 열응력 σ = P/A이므로 수치를 대입시킨다.

6 5

1 1 0

2 2

1 1 2

2

300 2.1 10 (1.1 10 ) 80

( )

( ) 100 200( 30 )

20

l E t t

l l d d

σ α ^{× × × × − ×}

∴ = − =

+ +

1, 010 kgf cm / 2

=

2

2 1 0

2 2

1 2

1

( ) 2, 270 / ( )

l E t t kgf cm

l d l d

σ α

∴ = − =

+

(압축)

) (

4

) (

2 2 2 2

1 1

0 1

d l d

l

l t

t p E

+

= −

∴ π α

3-3 경사면의 응력

그림 3-8 (a)에서 축력으로 수직인 단면에 생기는 응력은 σ_x = P/A.

임의 경사면(m-m면)의 면적은 그림 (b)의 FBD와 같은 A/cosθ이고 이 면의 응력 S는 P방향에서 식 (3-9)와 같다.

그림 3-8 경사면의 응력분석 (1)

/ cos

cos S P

A σ θ

= θ =

응력S를 그림 (c)와 같이 경사면에 수직인 σ_n과 접하는 면의 τ로 분해하면 식(3-10)로 된다.

cos cos

sin sin 2 2

n x

x

S S

σ θ σ θ

τ θ σ θ

= ⋅ = ⋅

= ⋅ =

.max

max 2

n x

x

σ σ

τ σ

=

=

(x축 방향, θ=0)

(x축과 45°방향, θ=45°)

위의 응력 S는 면에 수직인 수직응력(인장 또는 압축) σ_n과 면에 접하여 생기는 접선응력(tangential stress) 또는 전단응력(shearing stress) τ로 분해하여 취급한다.

식 (3-10)에서 θ대신 90°회전된 θ′즉, (π/2+ θ)를 대입하면 식 (3-12)가 된다.

2 2

cos ( ) sin

2

sin 2( ) sin 2

2 2 2

n x x

x x

σ σ π θ σ θ

σ π σ

τ θ θ

′ = + =

′ = + = −

여기서, 식 (3-10)과 식 (3-12)를 합하여 비교하면 식 (3-13)을 얻는다.

n n x const .

σ σ σ

τ τ

+ ′ = =

′ = −

(3-12)

(3-13) (3-11)

그림 (d)에서 mm단면과 나란히 있는 m′m′면, m″m″면에서도 같은 응력상태에 있을 것이고 그림 (d′)에서 요소 mmm′m′의 양면은 또한 같은 응력상태가 되어야 평형상태가 될 것이다.

그림(e)에서 mm면을 포함하는 작은 6면체를 생각하면 mm면에는 σ_n, τ, m′-m′면에서 σn′, τ′가 있고 서로 대면 하는 면은 같은 응력상태가 되며, 이 응력들은 θ에 따라 값이 달라진다.

그림 3-8 경사면의 응력분석 (2)