제 7 장 응력과 변형률의 해석

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-2

제 7 장 응력과 변형률의 해석

7.1 소개

- 미세요소의 방향 (각도)에 따른 응력 및 변형률의 변화

(1 축 응력 (2.6 절), 순수 전단 (3.5 절) : 경사면의 응력 산정법 참조)

- 경사면에서의 응력을 산정하는 일반적인 방법 : 모어의 원

- 응력은 텐서(tensor) 의 일종

- 텐서  2 개 이상의 방향이 필요함 (cf 벡터는 1 개의 방향)

- 응력, 변형률, 관성모멘트 : 텐서

7.2 평면

- 부호 - 수직 - 전단 - 평형 - 그림

면응력

규약: 양의 응력 

x

_: x

응력 

xy

_{: x}

을 고려하면 (c)의 경사면

의 면에 양의

x _{방향의 면에} x 방향의 면에

: 

xy

 

yx

면의 응력: 평

방향으로 작 에 + x _방향으

에 + y _방향으

평형을 고려하

작용하는 응력 으로 작용하는

으로 작용하는

하면: 

x y1 1



력: 양의 응력 는 응력 ( 

y

_도

는 응력

1 1



y x

력

도 동일)

Mechanic

 경사

- 각각 - 좌측 - x

₁

_방

1 x

x









 

 

 

 



위 식을

1

1 1 x

x y

 



 

 

 

여기서,

cs of Materials

단면에서의 의 면의 면적 면적 A

0

_{, 밑}

방향, y

₁

_방향

1 0

0

1 1 0

0

sec tan si sec tan co

x y

y y

A A

A A

 

 



 





연립하여 풀

cos

2

( )

x

x y

  

 



 

0

^o

  이면

90

^o

  이면

; 부호에 유

s, 7^th ed., Jame

응력

적  _{응력 }

밑면적 A

0

tan

향의 힘의 평형

0

0

0

0

cos

in t

sin os

x

yx

x

yx

A

A

A

A

 

 

 

 





 



풀면

sin

2

2 sin cos



y



 





면 

x1

 

x

_,

면 

x1

 

y

_,

의 ( x

1

_축이

es M. Gere &

힘의 총량

n  _{, 경사면적}

형식을 각각

0

sin tan cos

cos tan sin

xy

xy

A

 

 

 

 









2

2 sin cos (cos

xy

xy

 

 

 

1 1

x y xy

  

, 

x y1 1

  

x

수직축)

Barry J. Goo

적 A

0

sec 

고려하면,

0

0







2

s

sin )





 ⁽

xy

  

yx

dno

(7-3a,b)

Pa

age 07-4

 평면응력에서의 변환공식

배각의 공식사용

2

1

2

1 1

cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 ) sin cos sin 2

2 2 2

           

1

1 1

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 2 2

x y x y

x xy

x y

x y xy

   

   

     

 

   

  

   



 평면 응력의 변환공식

y

1

면에 작용하는 수직 응력 

y1

_는 

_x1

_{의 식에}     90

^o

을 대입하면,

1

cos 2 sin 2

2 2

x y x y

y xy

   

  ^  ^    

Mechanic

cs of Materials

 의 변화

s, 7^th ed., Jame

화에 따른 

x

es M. Gere &

1

x

, 

x y1 1

_{의 변}

Barry J. Goo

변화 그래프

dno

( 

_y

 0.2 



x

_, 

_xy

 0.8 

Pa



x

_{인 경우)}

age 07-6

 평면

단축 응력

y xy

  

1

1 1 x

x y

 



 

 

 



순수전단

x y

  

1

1 1 x x y

 



 

 



응력의 특별

력 (uniaxial s

y

 0 _{인 경우} (1 cos 2 2

(sin 2 2

x

x

 

 





단 (pure shea

 0 _{인 경우} sin 2

cos 2

xy xy

 

 

한 경우

stress)

우

2 ) )



 ^{ 2.6}

r)

우

 3.5 절의

절의 식과 동

의 식과 동일 동일

일

Mechanic

2 축 응력

xy

0

  _인

1

1 1 x

x y

 



 

 

 



- 2 축

cs of Materials

력

인 경우

2 2 s

x y

x y

  

 

 

 

응력의 예:

s, 7^th ed., Jame

cos 2 2

in 2

x y

  





두께가 얇은

es M. Gere &



은 압력용기 등

Barry J. Goo

등등

dno

Pa

age 07-8

 예제

문제

x

16,

  45

^o

 

7-1

, 000 psi _, 

만큼 경사진

6, 000 p



y



요소 위에

psi _, 

_xy

 

_y

작용하는 응

4, 000 p

yx



응력을 구하기

psi

기

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-10

풀이

11, 000 psi 2

x y

  

 _, 5, 000 psi

2

x y

  

 _, 

_xy

 4, 000 psi sin 2   sin 90

^o

 1 , cos 2   cos 90

^o

 0

이 값들을 공식에 대입하면,

1

cos 2 sin 2 15, 000 psi

2 2

x y x y

x xy

   

  ^  ^     

_

1 1

sin 2 cos 2 5, 000 psi 2

x y

x y xy

     ^      

_

1

cos 2 sin 2 7, 000 psi

2 2

x y x y

y xy

   

  ^  ^     

_

 예제

문제 좌측에 도

7-2

도시한 응력 요소를 15

^o_{시계 방향으으로 회전한 응}

_{응력 요소의 응력 구하기 기}

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-12

풀이

원래 요소의 그림에서 각각의 응력의 크기와 방향을 읽으면,

46 MPa



x

  _, 

_y

 12 MPa _, 

_xy

 

_yx

  19 MPa

시계 방향으로 15

^o

_{회전 }    15

^o (

   15

^o

대신    75

^o

사용해도 무방 (수직 축이 x

1

₎

17 MPa 2

x y

  

  _, 29 MPa

2

x y

  

  _, 

_xy

  19 MPa sin 2   sin( 30 ) 

^o

  0.5 _, cos 2   cos( 30 ) 

^o

 0.8660

이 값들을 공식에 대입하면,

1

cos 2 sin 2 32.6 MPa

2 2

x y x y

x xy

   

  ^  ^      

_

1 1

sin 2 cos 2 31.0 MPa

2

x y

x y xy

     ^      

_

1

cos 2 sin 2 1.4 MPa

2 2

x y x y

y xy

   

  ^  ^      

_

Note

-    75

^o

을 사용하여도 동일한 결과, 단 이 경우 x

1

_축과 y

₁

_{축이 바뀜.}

- Check: 

x1

 

y1

 

x

 

y

7.3 주응력과 최대 전단응력

1

1 1

cos 2 sin 2

2 2

sin 2 cos 2 2

x y x y

x xy

x y

x y xy

   

   

     

 

   

  

   



 평면 응력의 변환공식

- 

x1

_, 

_{x y1 1}

_{는 } 의 변화에 따라 그 값이 변화 (앞의 그래프 참조) - 

x1

이 최대 혹은 최소값일 때  주응력 (principal stress)

1

( ) sin 2 2 cos 2 0

x

x y xy

d d

     

 ^{    }



tan 2

_p

2

^xy

x y

 

  



윗식을 만족하는 θ 는 0°~180° 사이에서 2 개이며 그 차이는 90°

θ : 주각 (Principal Angles), 주각 방향과 직교하는 방향  주축

Mechanic

tan 2 

_p

좌측의 그

 c

sin 과 co

1

 





* 단면의

cs of Materials

2

_xy

x y



  



그림에서 R

cos 2

_p



^x

 

os 대신 이 값

2 2

2

x y

x y

x y

  

 

 

  

  

  

의 성질에서

s, 7^th ed., Jame

이므로

2



x

 

  



2

x y

R





, sin

값들을 공식에

2 cos

2

2

x y

x y

x y

 

  

 



 

 

  

  

사용한 원리

es M. Gere &

2 y 2

xy

 ^   



2

_p ^xy

R

  

에 대입하여

2 2

2 sin

2

xy

x y

xy

xy

R

 

 







 

 



 

 

리와 동일

Barry J. Goo

주응력 

1

_을

2

xy

xy

R



  

 

 

dno

을 구하면,

Pa

age 07-14

- 또 다른 주응력 

2

_는 

_p

 

_p

 ⁹⁰ 에 해당하는 값을 구하여도 되며, 또 다른 방법으로  

1



2

 

x

 

y

을 사용하는 것이 더욱 편리함.

2 1

2

2

2 2

x y

x y x y

xy

   

   



  

   

    

 

주응력 구하는 일반식 

2 2

1,2

2 2

x y x y

xy

   

  ^  ^  ^{ }   

 

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 주각

cos 2

2

x y

p

R

    ^ _, sin 2

_p ^xy

R

  

 주평면에서의 전단응력

- 주평면에서의 전단응력은 

x y1 1

_{의 계산식에} 2 

_p

에서의 삼각함수 값을 대입하여 구함.

 

_{x y}1 1

 0  이 식은

1

1 1

2 sin 2 cos 2 0

2

x y

x

xy

x y

d d

 

   





  

     

   ^{과 동일함}

- 주평면에서 전단응력 = 0

 최대전단응력

- 최대 전단응력을 구하기 위하여 

x y1 1

_{의 식을 } 에 대하여 미분한다.

1 1

( ) cos 2 2 sin 2 0

x y

x y xy

d d

     

 ^{    }

따라서 tan 2

2

x y

s

xy

  



  

윗식을 만족하는 θ 는 0°~180° 사이에서 2 개이며 그 차이는 90°

- 따라서 최대 전단은 서로 직교하는 두 평면에서 발생.

주각의 공식은

tan 2

_p

2

^xy

x y

 

  



이므로 2 

_s

_와 2 

_p

는 서로 수직  

s

_와 

_p

_{는 서로 45}

^o

확인:

cos 2 sin 2

p

0

s





 ^  ^{  sin 2}  ^{sin 2}   ^{cos 2}  ^{cos 2}   ⁰ _ cos(2   2  )  0

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-18

 최대 전단응력이 발생하는 평면은 주평면과  45

^o

의 각도를 가진다.

최대전단응력 

max

_{이 크기는}

2

2

max

2

x y

xy

 

  ^  ^{ }   

  ^{, 그리고} 

^min

  

^max

- 이 값은 주응력을 이용하여 구할 수도 있다. 

^{max 1 2}

2

    ^

최대전단응력이 발생하는 평면에서의 수직 응력은

^{1 1}

2

x y

x y aver

 

      ^ (0 이 아님!!)

- 단축 응력, 2 축 응력  최대 전단응력평면은 x  y _평면과 45

^o

위치에서 발생

- 순수전단의 경우  최대 전단응력은 x  y _{평면에서 발생}

 특별

단축

 tan 2

 x  y

(전단응력 주응력 상

순수

이 경우

 tan 2

 

p



주응력의

   

한 경우

응력과 2 축

2 

_p

 0

y _{평면이 주평}

력이 0 이므로 상태)

전단 주평면은

2 

_p

  45 , 135

^{o o}



의 값은



축 응력의 경우

평면.

로 현재상태가 우

가

Mechanic

세번째 주 - 지금 - 실제 - 3 차원 - 

₃

_의

cs of Materials

주응력

까지는 z 축 구조물은 3 원 해석 필요 의 크기에 따

s, 7^th ed., Jame

축 회전만 고려

3 차원이므로 요

따라 3 차원 주

es M. Gere &

려

σ 가 존재

주응력의 해석

Barry J. Goo

함 (평면응력

석이 달라짐.

dno

력일 경우 σ

0)

Pa

age 07-20

 평면

- 최대

( 

max

(평면응력

, x y

내와 평면

전단응력은

2 x

)

1

x

2

  

력일 경우 σ

y _{축에 대해}

외의 전단응

은 x   y z _축

max 1

(  )

_y



0)

회전하여 구 응력

축 각각을 회

1

( 2

 

 

구한 전단응력

전시켜서 구

max

)

_z1



  

력

 평면 외

구할 수 있다.

1 2

2

  

외 전단응력

즉 3 가지 경 경우가 존재함 함.

Mechanic

 예제

문제

x

12,

 

(a) 주응 (b) 최대

cs of Materials

7-3

, 300 psi _, 

력을 구하고 전단응력을

s, 7^th ed., Jame

4, 200



y

 

회전된 (회전 구하고 회전

es M. Gere &

0 psi _, 

_xy

 

전각을 정확히 전된 (회전각

Barry J. Goo

4, 70



yx

 

히 표시) 응력 을 정확히 표

dno

0 psi

력요소에 표시 표시) 응력요소

시하기

소에 표시하

Pa

기

age 07-22

풀이

(a) 먼저 주각 

p

_{를 구하면,} ^{tan 2 2 2( 4, 700) 0.5679}

12,300 ( 4, 200)

xy p

x y

 

 

    

  

 2 

_p

 150.3 , 330.3

^{o o}

_ 

_p

 75.2 , 165.2

^{o o}

12, 300 4, 200

4, 050 psi

2 2

x y

      _, 12,300 4, 200

8, 250 psi

2 2

x y

     

(해 1) 평면응력 변환공식 에 대입하여 구함.

1 2

cos 2 sin 2 5, 440 psi

2 2

x y x y

x xy

   

    ^  ^       _ 

_p

 75.2

^o

_{일 경우}

1 1

cos 2 sin 2 13, 540 psi

2 2

x y x y

x xy

   

    ^  ^      _ 

_p

 165.2

^o

_{일 경우}

(해 2) 주응력 구하는 일반식에 대입하여 구함

2 2

1,2

4, 050 9, 490 13, 540 and 5, 440

2 2

x y x y

xy

   

  ^  ^  ^{ }       

 

^

Mechanics of Materials, 7^th ed., James M. Gere & Barry J. Goodno Page 07-24

- 

1

의 방향을 결정하기 위하여,

2 2

2

x y

R  

xy

 

 

   

 

8, 250

cos 2 0.869

2 9, 490

x y

p

R

    ^   _, 4, 700

sin 2 0.495

9, 490

xy

p

R

    ^  

 2 

_p

 330.3

^o

_ 

_p

 165.2

^o

(b) 최대전단응력은 유도된 공식을 이용함

2

2 2 2

max

(8, 250) ( 4, 700) 9, 490 psi

2

x y

xy

 

  ^  ^{ }       

 

^

1 1

45

^o

165.2

^o

45

^o

120.2

^o

s p

      

_

2 1

90

^o

120.2

^o

90

^o

30.2

^o

s s

      

이때 축응력의 값은

^{1 2}

4, 050 psi

2

x y

x x aver

 

      ^ 

_