Vol. 11, No. 2, 2008, p. 93~98
93
지형을 고려한 주파수 영역 가중평균 유한요소법 탄성파 모델링
최지향1·남명진2*·민동주1·신창수1·서정희3
1서울대학교 에너지시스템공학부
2The University of Texas at Austin, USA (전 한국지질자원연구원 지하수지열연구부)
3별세, 전 서울대학교 지구환경시스템공학부
Elastic Wave Modeling Including Surface Topography
Using a Weighted-Averaging Finite Element Method in Frequency Domain
Jihyang Choi
1, Myung Jin Nam
2*, Dong-Joo Min
1, Changsoo Shin
1and Jung Hee Suh
31
Dept. of Energy System Eng., Seoul National University
2
Dept. of Petroleum and Geosystems Eng., The University of Texas at Austin, USA
(Formerly Groundwater and Geothermal Div., Korea Institute of Geoscience and Mineral Resources)
3
Deceased, Formerly Dept. of Civil, Urban and Geosystem Eng., Seoul National University
요 약:실제육상탄성파탐사는불규칙한지표 지형이있는탄성 매질에서수행되며
,
이경우지표의불규칙한특성이파의 전파에영향을미치게된다
.
지형을고려한탄성파전파특성을규명하기위해서주파수영역가중평균유한요소법을이용한
2
차원탄성파모델링을연구하였다.
먼저지표굴곡이없는 균질반무한공간에대해지표위에공기층이있는경우와없는경우를비교해서공기층의존재가계산결과에미치는영향을확인하였다
.
불규칙지표를포함하는모형에가중평균유한요소법을적용할경우일반적인유한요소법의경우에비해격자개수를적게설정할수있어 계산시간 을절약할수있고수치계산주시에도큰차이가없음을확인하였다
.
지표면에경사면과계단형태의불규칙지형이있는균질모형에대한 탄성파거동을살펴보면불규칙지표면의모서리에서새로운송신원이존재하는것과같은효과가 나타나는것과레일리파가불규칙지표에서더커지는것을확인할수있었다
.
주요어:불규칙지표
,
가중평균유한요소법,
탄성파모델링,
공기층Abstract:
Surface topography has a significant influence on seismic wave propagation in a reflection seismic exploration.
Effects of surface topography on two-dimensional elastic wave propagation are investigated through modeling using a weighted-averaging (WA) finite-element method (FEM), which is computationally more efficient than conventional FEM.
Effects of air layer on wave propagation are also investigated using flat surface models with and without air. To validate our scheme in modeling including topography, we compare WA FEM results for irregular topographic models against those derived from conventional FEM using one set of rectangular elements. For the irregular surface topography models, elastic wave propagation is simulated to show that breaks in slope act as a new source for diffracted waves, and that Rayleigh waves are more seriously distorted by surface topography than P-waves.
Keywords:
surface topography, weighted-averaging FEM, elastic wave modeling, air layer
서 론
실제 육상 탄성파 탐사가 이루어지는 지각은 탄성매질이므 로 P파와 SV파의 거동을 함께 계산하는 탄성파(elastic wave) 모델링을 이용하면 현재 일반 육상파 탐사에 널리 쓰이고 있 는 음향파 모델링보다 지형의 정보를 더 정확히 계산할 수 있
다. 비균질 매질에서의 탄성파 모델링 연구는 staggered-grid 유한차분법(Virieux, 1986), 유한부피법(Hirsch, 1988), 유한요 소법(Zhang, 2002) 등을 통해 발전해왔다. 이 중 유한차분법과 유한부피법은 자유 경계면에서의 파의 거동을 계산할 때 계산 상의 어려움이 있고, 특히 불규칙한 지표 지형을 가지는 모형 에서의 자유 경계면을 표현하는 조건이 복잡하고 까다로운 것 에 비해, 유한요소법은 국지 좌표계 영역에서의 평형을 맞춰주 는 것만으로 자유 경계면 조건을 만족하는 장점이 있다 (Zhang, 2002).
유한요소법을 이용한 탄성파 파동 방정식의 수치 모델링은 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 가능하다. 일반적으로 시간
2007
년1
월3
일접수; 2007
년9
월1
일채택*Corresponding author E-mail: [email protected]
Address: Dept. of Petroleum and Geosystem Eng.,
The Univ. of Texas at Austin, CPE 5.162, 26th and Speedway
1 University Station, C03000, Austin, TX 78712, USA
어왔다
.
유한요소법을 이용한주파수 영역 탄성파모델링 연구는
Lymer and Drake (1972)
의표면파에대한적용으로부터시작되었다
.
이후Marfurt (1984)
는혼합절충형질량행렬을이용해서
,
그리고Min
et al.(2003)
은비대칭형복소임피던스행 렬과 상반성을 만족하는 가중평균 유한요소법(weighted- averaging finite-element method)
을이용,
파장당격자수를줄 여서계산속도를향상시켰다.
이상의탄성파모델링연구는주파수영역의계산속도향상 에중점을둔연구로
,
실제탄성파반사법탐사시꼭고려해야할불규칙 지형에대해서는적용되지않았다
.
불규칙한지표 기복은탄성파탐사결과에큰영향을미치는요소로써,
지표 기복의정도가미소하거나넓은지역에걸쳐서서서히변화하는경우에는정보정
(static correction)
을이용해서불규칙한지형의영향을제거할수있다
(Tessmer and Kosloff, 1994).
그러 나지형의불규칙성이큰경우에는그영향을쉽게제거하기가 어렵고,
결과신호가심하게왜곡된경우에는해석오류를초 래한다.
따라서지표에서급격한기복이있는경우,
불규칙지형이탄성파신호에어떤영향을주는지에대한연구가필요하 다
.
이연구에서는계산속도가향상된Min
et al.(2003)
의주 파수영역가중평균유한요소법을이용하여불규칙한지표지 형이있는모형에서의탄성파거동특성을살펴보고자한다.
이연구에서는 먼저
,
자유경계면조건식이 없는상태에서 모형에공기층을포함한경우가중평균유한요소법적용이가 능한지를확인하기위해서균질반무한매질위에공기층이있 는경우와 공기층이없는 경우의탄성파거동을 비교하였다.
합성탄성파단면을비교하고
,
특정위치에서의트레이스에대 해수치오차를계산하여보았다.
다음으로공기층을포함하는 동일한크기의불규칙한지표지형모형에대해서가중평균 유한요소법과일반적인 유한요소법을각각적용하였다.
가중평균유한요소법과일반적인유한요소법의결과탄성파단면 을도시하고
,
두경우의격자개수를비교하여가중평균유한 요소법의속도개선을확인하였다.
최종적으로간단한불규칙 지형모형에대해서탄성파모델링을수행하여탄성파거동 특성을규명하고,
지형의영향을살펴보았다.
수있다
.
, (2)
.
여기서 ux
,
uz는Fourier
변환된 x,
z 방향의 변위,
fx,
fz는Fourier
변환된 x,
z방향의송신원이다.
가중평균유한요소법
(2)
식과같은파동방정식을계산하기위해서가중평균유한요소법을이용한다
. Galerkin
법을이용한유한요소방정식을행렬식으로나타내면다음과같다
.
. (3)
여기서
, M
g은대역질량행렬(global mass matrix),
Kg는대역강성행렬
(global stiffness matrix)
을나타내며,
ug는대역변위벡터이고
,
fg는대역하중벡터이다. (3)
식을복소임피던스행렬
S
를이용해간단히표현하면다음과같다.
. (4)
복소임피던스행렬S는산재
(sparse)
행렬이고, (4)
식을계산하 기위해서는UMF package (Davis, 1997)
를이용하였다.
가중평균유한요소법은사각형기본요소를확장한네가지 크기의사각형요소에대한유한요소파동방정식들을선형결 합하여전체파동방정식을구성한다
(Fig. 1). (3)
식의대역 질 량행렬과대역강성행렬을계산하기위해서(a)
가장일반적인 형태인x축과z축방향으로각각한격자간격(
Δx,
Δz), (b)
x축 방향으로는한격자간격, z
축방향으로두배의 격자간격(
Δx, 2
Δz), (c)
x축방향으로두배의격자간격,
z축방향으로한격 자간격(2
Δx,
Δz), (d)
x축과z축방향으로각각두배의격자간 격(2
Δx, 2
Δz)
의네가지크기의격자를이용하는유한요소파동방정식을선형결합하는것이다
.
여기서Δx와 Δz
는기본격 자간격이고,
이연구에서는 Δx=
Δz=
Δ인정사각형요소가기 본요소이다.
선형결합에서사용하는가중계수는모든방향의ρω2ux ∂
∂x
---
(λ+ 2
μ)∂u---
∂xx λ∂uz---
∂z+
∂z---
∂ μ ∂uz---
∂z+
∂u---
∂xz⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ + =
fxρω2uz ∂
∂z
---
(λ+ 2
μ)∂u---
∂zz λ∂ux---
∂x+
∂x---
∂ μ ∂uz---
∂x+
∂u---
∂zx⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ + =
fzω2Mgug
+
Kgug=
fgω2Mg
+
Kg( )ug
=
Sug=
fg전파각과주파수에대해수치오차를최소화시키는과정을거
쳐구한다
. 1%
오차범위에서주파수영역탄성파파동방정식계산시
S
파한파장당필요한격자수는일반적인유한요소법의경우
33.3
개이나,
가중평균 유한요소법을이용하면5
개로줄어든다
(Min et al ., 2003).
물성값계산
불규칙지형을사각형격자만을이용해표현하려면경사면 이계단식으로나타나는등실제지형과오차가생기게된다
.
이에대해
Baba and Seama (2002)
는사각형요소를이용하여불규칙한해저지형을모사할때
,
먼저해저면고도정보를이 용하여높이가다른사각형격자형태로지형을모사한후,
실제계산시이용할격자구성에서한격자내에경계면이있을 때면적비로가중평균한물성값을격자의대표물성값으로대 입하는방법을이용하였다
.
이에착안하여이연구에서는실제지형에되도록 근접한물성분포를 구현하기위해
, 5
점가우스구적법
(Gaussian Quadrature)
을이용해서각요소에대입할물성값을계산하였다
.
하나의사각형요소를국지좌표계(
국부 좌표계, local/reference coordinate)
로보냈을때그요소안에25
개의격자점을두어그위치에서의물성값을선형결합하여 해당요소의대표물성값을계산하였다.
국지좌표계에서격자 점위치는x , z
방향모두0,
±0.53846931,
±0.90617985
지점에 있고이위치에대한가중계수는각각0.06320988, 0.05318096,
0.02632521
이다.
불규칙 지표위에 놓이는격자에서 네종류의요소각각에대한
25
점의위치를Fig. 2
에표시하였다.
검은점은매질
,
흰점은공기층에위치하는격자점이다. 수치 계산 결과
공기층의영향확인
평평한지표면의균질반무한공간에대한수치 계산결과와 동일한매질의지표면위에공기층이있는경우의수치계산결
과를비교하기위해
Fig. 3
과같은모형을설정했다.
매질의크기는
x
방향3000 m, z
방향960 m
이고, P
파속도2000 m/s, S
파속도
1000 m/s
로포아송비는약0.33
이며,
밀도는2.5 g/cm
3이다
.
격자크기는 Δ=12 m
로지표면위에공기층이없는경우
250
×80
개이고, 240 m
두께의 공기층이있는경우250
×100
개이다.
송수신기는모두지표면에위치하고,
송신원은수 직방향으로전파하는최대주파수15 Hz
인1
차미분Gaussian wavelet
으로x
방향가운데인1500 m
지점에위치한다.
수신기 는x
방향120 m
지점에서2880 m
지점까지24 m
간격으로116
개가있다.
Fig. 4
의탄성파기록은Fig. 3
에대한모델링결과이다.
두경우모두수평변위와수직변위에서모두속도가가장빠른
P
파의전파를볼수있고,
거의감쇠없이균일한진폭을보이며전파하는레일리파의거동을관찰할수있다
.
전파되는파동의진폭
,
위상모두거의유사한결과를보인다.
또한Fig. 3
의두모형에대해송신원에서
540 m, 900 m
떨어진지점에서수신되는신호를
Fig. 5
와같이비교해보았다.
진폭의크기에는미소한차이가있지만위상은일치함을볼수있다
.
또한공기층의두께에따른변화를수치적으로확인하기위 해송신원에서
540 m, 900 m
떨어진 지점에서 트레이스의rms (root mean square)
오차를계산해보았다. rms
오차계산 식은(5)
식과같다.
(5)
여기서
, a
i는공기층이없는 경우의트레이스의진폭, b
i는공 기층이 있는 경우의 트레이스의 진폭, e
는rms
오차이다. Table 1
은공기층의두께를24 m, 72 m, 120 m, 240 m
로바꾸e ∑
(b
i– a
i)2a
i2--- ∑
=
Fig. 1.
Four kinds of the rectangular element sets, (a) (
Δx,
Δz)-, (b) (
Δx, 2
Δz)- (c) (2
Δx,
Δz)-, and (d) (2
Δx, 2
Δz)-element sets, used in
WA FEM.
Fig. 2.The property of each element is obtained by averaging the
values of 25 points in a corresponding set of elements; black and
white dots indicate points in the earth and the air, respectively; (a)
(
Δx,
Δz)-, (b) (
Δx, 2
Δz)- (c) (2
Δx,
Δz)-, and (d) (2
Δx, 2
Δz)-element
sets, used in WA FEM.
어가며구한
rms
오차이다.
공기층이두꺼워질수록오차는작 아지고있고,
오차감소의정도도더작아지는것을볼수있 다.
이결과를 통해공기층의물성을 요소에직접 넣은수치계산이유효함을알수있고
,
공기층의두께가수치해에큰영 향을주지않음을확인할수있다.
일반적인유한요소법과의결과비교
불규칙지표모형의수치계산에가중평균유한요소법과종 래의일반적인 유한요소법을이용하는 경우를비교해보았다
.
모형의전체크기는
x
방향3000 m, z
방향1080 m
이고,
경사 면은x
방향왼쪽으로부터960 m
떨어진지점부터시작하여폭240 m,
높이240 m
로하강하는 경사로 경사각은45
도이다(Fig. 6).
매질의속성은이전과동일하고송신원역시동일한Gaussian wavelet
으로x
방향 정중앙지표에있고,
수신기는x
방향으로
24 m
간격으로120 m
지점에서2880 m
지점까지지표면위에
116
개가위치한다.
경사면에위치하는수신기의x
방향간격을일정하게유지하였다
.
일반적인유한요소법은
S
파한파장당필요한격자개수가33.3
개이므로격자크기를 Δ=2 m
로했을때Fig. 6
의모형계산에필요한요소개수는
1000
×540
개가 된다.
이에비해 가중평균유한요소법을적용할때에는
S
파한파장당격자가5
개만있으면되므로 Δ
=12 m
의요소개수는250
×90
개,
일반 적인유한요소법을이용하는경우의1/36
수준이다.
Fig. 4.
Synthetic seismograms of horizontal (left) and vertical (right) displacements for two homogeneous half-space models with (a) and without (b) air layer, which are shown in Fig. 3.
Fig. 5.
Numerical solutions, horizontal (left) and vertical (right) displacements, for two models without (solid line) and with (cross) an air layer, respectively. Seismograms are recorded for 2.0 seconds with source-receiver offsets of (a) 540 and (b) 900 m, respectively.
Table 1.
RMS Errors of numerical solutions for homogeneous half space models with the air layer.
Thickness of
air layer Distance from a source
RMS error (%) Horizontal
displacements Vertical displacements
24 m 540 m 0.327802 0.335563
900 m 0.432951 0.413660
72 m 540 m 0.254558 0.271988
900 m 0.351867 0.377201
120 m 540 m 0.244130 0.258334
900 m 0.339340 0.366583
240 m 540 m 0.239945 0.248144
900 m 0.332508 0.359284
이두경우의격자구성에따른탄성파모델링결과에서송 신원으로부터
540 m, 900 m
떨어진수신기에서 수신되는트레이스를
Fig. 7
과같이비교하였다.
송신원에서상대적으로가까운수신점의신호가전반적으로진동이심하게나타나긴 하지만이는가중평균유한요소법과일반적인유한요소법을 쓴두경우에서공통적으로나타나는현상으로경사면이계단 식으로모사되면서탄성파가그모서리에회절반사된결과로 생각된다
.
두방법의진폭은좀차이가있지만위상은거의유 사한전파양상을볼수있다.
가중평균유한요소법은격자크기에따라다른종류의유한 요소파동방정식을선형결합하여계산하기때문에계산량이 늘어나긴하지만종래의일반적인유한요소법을이용하는경
우보다기본격자수가
1/36
로줄어드는폭이 더커서전체적으로저장용량이나계산시간을획기적으로절약할수있는이 점이있다
.
불규칙지표가있는모형
불규칙지표면이탄성파전파에미치는영향을알아보기위
해서지표면이계단형태인모형
(Fig. 8a)
과지표면에경사면이있는 모형
(Fig. 8b)
에대해서수치 계산을수행하였다.
두모형모두공기층을포함한전체크기는 x방향
3000 m,
z방향
1200 m
이고,
격자 크기는 Δ=12 m
로동일하여격자 개수는
250
×100
개이다.
송신원과수신기의위치는이전의경우와 같이,
송신원은모형지표의한가운데에있고수신기는x방향 간격을동일하게하였다.
계단 모형에서고도 차이가 나는부분은 x방향왼쪽부터
960 m, 2040 m
떨어진지점이고,
경사모형의경사면은x방향왼쪽으로부터
960 m
떨어진지점부터시작하여폭240 m,
높 이240 m
로경사각은45
도이다(Fig. 8).
Fig. 8
의두모형에 대한탄성파 기록은Fig. 9
와같다.
두모형에대한단면모두에서강한 진폭을가진레일리파
(R
로표시
)
의전파를확인할수있다. Fig. 9a
에서P
파와레일리파가전파하는모습과
,
계단의모서리에서P
파와레일리파의반사굴절 양상을볼수있다
.
강한진폭의 레일리파는계단의 모서리부분에서새로운송신원의역할을하고,
여기서부터새 로운P
파와레일리파가전파됨을확인할수있다. Fig. 9b
에서 는경사면에서회절된파들의군집을볼수있다.
양쪽결과모두에서
,
레일리파의회절이P
파의회절보다더욱강하게나 타난다.
결 론
이연구에서는불규칙한지표지형이있는
2
차원탄성매질 에서의탄성파거동을규명하기위해서주파수영역가중평균 유한요소법을적용하였다.
우선,
지표 기복이없는균질반무한매질위에공기층이있는경우와지하매질만존재하는경 우의탄성파 모델링결과를비교해 보았다
.
공기층의존재가 탄성파신호의진폭을감소시키는양상을보이지만그값이 크지않고,
위상에는영향을미치지않았다.
따라서공기의물성을요소에직접대입해서모델링에적용할수있음을확인 하였다
.
다음으로불규칙지표가있는매질에공기층의물성을 포함하는모형에대해 가중평균유한요소법을이용한경우와 종래의유한요소법을이용한경우의탄성파모델링결과를비 교하였다.
가중평균 유한요소법을이용하면분산이 일어나지 않는오차범위내에서일반적인유한요소법을이용하는경우만큼정확한결과를얻기위해서필요한총격자개수가
1/36
이상으로감소하여저장용량과 계산시간의효율이증대함을 알수있었다
.
비교 연구다음으로는
,
간단한형태의 불규칙지표 지형이 있는모형에대해서탄성파모델링을수행하였다.
대상모형은 지표면에수직으로급격히떨어지는계단이있는모형과비스 듬한경사면이있는모형의두종류이다.
탄성파기록모두에 Fig. 6.A homogeneous half-space model with an incline.
Fig. 7.
Numerical solutions, horizontal (left) and vertical (right)
displacements, for the model shown in Fig. 6 by WA (solid line)
and conventional FEMs (dashed line with open circle). Time-series
are collected for 2.0 seconds with source-receiver offsets of (a) 540
and (b) 900 m, respectively.
형을 구성하고 가중평균 유한요소법을 이용하여 계산상의 효 율성을 높일 수 있음을 알 수 있었다. 모델링을 통해 탄성파의 전파 거동을 확인하고, 불규칙 지형의 존재가 탄성파 신호에 큰 영향을 주는 것을 관찰하였다. 이후 추가적인 연구를 통해 불규칙 지표 특성에 따른 탄성파 신호의 회절 양상을 규명하여 탄성파 탐사 결과 해석에 도움을 줄 수 있을 것으로 기대한다.
참고문헌
Baba, K., and Seama, N., 2002, A new technique for the incorporation of seafloor topography in electromagnetic modeling, Geophys. J. Int. ,
150, 392-402.
Davis, T. A., 1997, UMFPACK Version 2.2 Quick Start Guide, /www.cise.ufl.edu/research/sparce/umfpack
Hirsch, C., 1988, Numerical computation of internal and external flows , John Wiley & Sons, Inc.
Lysmer, J., and Drake, L. A., 1972, A finite element method for seismology: method in computational physic , Academic Press.
Marfurt, K. J., 1984, Accuracy of finite-difference and finite- element modeling of the scalar and elastic wave equations, Geophysics ,
49, 533-549.
Min, D.-J., Shin, C., Prett, R. G., and Yoo, H. S., 2003, Weighted-averaging finite-element method for 2D Elastic Wave Equations in the frequency domain, Bulletin of Seismological Society of America ,
93, 904-921.
Pilant, W. L., 1979, Elastic waves in the earth , Elsevier Scientific.
Stekl, I., and Pratt, R. G., 1999, Accurate viscoelastic modeling by frequency-domain finite difference using rotated operators, Geophysics ,
64, 1779-1794.
Tessmer, E., and Kosloff, D., 1994, 3-D elastic modeling with surface topography by a Chevychev spectral method, Geophysics ,
59, 464-473.
Virieux, J., 1986, P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method, Geophysics ,
51
, 889-901.
Zhang, J., and Verschuur, D. J., 2002, Elastic wave propagation in heterogeneous anisotropic media using the lumped finite- element method, Geophysics ,
67, 625-638.
Fig. 9.
Synthetic seismograms of horizontal (left) and vertical (right) displacements for the two models with (a) a staircase and (b) an incline, which are shown in Fig. 8. P-waves and Rayleigh waves are indicated P and R, respectively.
Fig. 8.
