[미적분]

[미적분]

무한등비급수+도형 (2020년-2015년)

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#감수학

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#감수학 - 1 -

#1. [2022학년도 대학수학능력시험 예시문항 26번(미적분)]

그림과 같이 OA_



^  OC_  인 직사각형 OA_B_C_이 있다. 선분 B_C_ 위의

B_D_ C_D_인 점 D_에 대하여 중심이 B_이고 반지름의 길가 B_D_인 원과 선분 OA_의 교점을 E_, 중심이 C_이고 반지름의 길이가 C_D_인 원과 선분 OC_의 교점을 C_라 하자.

부채꼴 B_D_E_의 내부와 부채꼴 C_C_D_의 내부로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻 은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분 OA_ 위의 점 A_, 호 D_E_ 위의 점 B_와 점 C_, 점 O 를 꼭짓점으로 하 는 직사각형 OA_B_C_를 그리고, 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 OA_B_C_에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [3점]

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#감수학 - 2 -

#2. [2021학년도(2020년시행) 대학수학능력시험 14번(가형)]

그림과 같이 AB_  , AD_   인 직사각형 A B_C_D_이 있다. 선분 AD_을    로 내분 하는 점을 E_이라 하고, 직사각형 A B_C_D_의 내부에 점 F_을 F_E_  F_C_,

∠E_F_C_  

 가 되도록 잡고 삼각형 E_F_C_을 그린다. 사각형 E_F_C_D_을 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분 A B_ 위의 점 B_, 선분 E_F_ 위의 점 C_, 선분 AE_ 위의 점 D_와 점 A 를 꼭짓점으로 하고 AB_  AD_     인 직사각형 A B_C_D_를 그린다. 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 A B_C_D_에 삼각형 E_F_C_를 그리고 사각형 E_F_C_D_를 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

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#감수학 - 3 -

#3. [2020년 고3 10월 전국연합학력평가 18번(가형)]

그림과 같이 길이가  인 선분 A_B_을 지름으로 하는 반원



의 호 A_B_을  등분하는 점 을 점 A_에서 가까운 순서대로 각각 C_, D_, E_이라 하고, 두 점 C_, E_에서 선분 A_B_에 내린 수선의 발을 각각 A_, B_라 하자. 사각형 C_A_B_E_의 외부와 삼각형 D_A_B_의 외부 의 공통부분 중 반원



_의 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분 A_B_를 지름으로 하는 반원



_를 반원



_의 내부에 그리고, 반원



_의 호 A_B_를  등분하는 점을

점 A_에서 가까운 순서대로 각각 C_, D_, E_라 하고, 두 점 C_, E_에서 선분 A_B_에 내린 수선의 발을 각각 A_, B_이라 하자. 사각형 C_A_B_E_의 외부와 삼각형 D_A_B_의 외부의 공통부분 중 반원



_의 내부에 있는 모양의 도형에 색칠을 하여 얻은 그림을



_라 하 자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

…







 …

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#감수학 - 4 -

#4. [2020년 고3 7월 전국연합학력평가 18번(가형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 A_B_C_의 세 선분 A_B_, B_C_, C_A_의 중점을 각각 D_, E_, F_이라 하고, 세 선분 A_D_, B_E_, C_F_의 중점을 각각 G_, H_, I_이라 하 고, 세 선분 G_D_, H_E_, I_F_의 중점을 각각 A_, B_, C_라 하자. 세 사각형 A_C_F_G_, B_A_D_H_, C_B_E_I_에 모두 색칠하여 얻은 그림을



이라 하자.

그림



_에서 삼각형 A_B_C_에 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 세 사각형 A_C_F_G_, B_A_D_H_, C_B_E_I_에 모두 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

…



_



_ …

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#감수학 - 5 -

#5. [2020년 고3 6월 평가원모의고사 20번(가형)]

그림과 같이 AB_  , AC_  이고 ∠B_AC_ 

 인 삼각형 AB_C_이 있다.

∠B_AC_의 이등분선이 선분 B_C_과 만나는 점을 D_, 세 점 A , D_, C_을 지나는 원이 선 분 AB_과 만나는 점 중 A 가 아닌 점을 B_라 할 때, 두 선분 B_B_, B_D_과 호 B_D_로 둘러싸인 부분과 선분 C_D_과 호 C_D_로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 점 B_를 지나고 직선 B_C_에 평행한 직선이 두 선분 AD_, AC_과 만나는 점 을 각각 D_, C_라 하자. 세 점 A , D_, C_를 지나는 원이 선분 AB_와 만나는 점 중 A 가 아닌 점을 B_이라 할 때, 두 선분 B_B_, B_D_와 호 B_D_로 둘러싸인 부분과 선분 C_D_와 호 C_D_로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

⋯



_



_ ⋯

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#감수학 - 6 -

#6. [2020년 고3 4월 전국연합학력평가 18번(가형)]

그림과 같이 두 선분 A_B_, C_D_이 서로 평행하고 A_B_ , B_C_ C_D_ D_A_ 인 사 다리꼴 A_B_C_D_이 있다.

세 선분 B_C_, C_D_, D_A_의 중점을 각각 E_, F_, G_이라 하고 두 개의 삼각형 C_F_E_, D_G_F_을 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



에 선분 A_B_ 위의 두 점 A_, B_와 선분 E_F_ 위의 점 C_, 선분 F_G_ 위의 점 D_ 를 꼭짓점으로 하고 두 선분 A_B_, C_D_가 서로 평행하며 B_C_ C_D_ D_A_,

A_B_  B_C_   인 사다리꼴 A_B_C_D_를 그린다.

그림



_을 얻는 것과 같은 방법으로 사다리꼴 A_B_C_D_에 두 개의 삼각형을 그리고 색칠하 여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]

A_ B_

C_ D_

E_ F_

G_

D_

A_ B_

C_

E_ F_

G_

A_ B_

C_ D_



_



_

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#감수학 - 7 -

#7. [2019년 2020학년도 대학수학능력시험 18번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형 ABCD 에 중심이 A 이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 ABD 를 그린다. 선분 AD 를    로 내분하는 점을 A_, 점 A_을 지나고 선분 AB 에 평행한 직선이 호 BD 와 만나는 점을 B_이라 하자.

선분 A_B_을 한 변으로 하고 선분 DC 와 만나도록 정사각형 A_B_C_D_을 그린 후, 중심이 D_이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 D_A_C_을 그린다. 선분 DC 가 호 A_C_, 선분 B_C_ 과 만나는 점을 각각 E_, F_이라 하고, 두 선분 DA_, DE_과 호 A_E_로 둘러싸인 부분과 두 선분 E_F_, F_C_과 호 E_C_로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림 을



_이라 하자.

그림



_에서 정사각형 A_B_C_D_에 중심이 A_이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 A_B_D_을 그린다. 선분 A_D_을    로 내분하는 점을 A_, 점 A_를 지나고 선분 A_B_에 평행한 직선이 호 B_과 만나는 점을 B_라 하자. 선분 A_B_를 한 변으로 하고 선분 D_C_과 만나도록 정사각형 A_B_C_D_를 그린 후, 그림



을 얻은 것과 같은 방법으로 정사각형 A_B_C_D_에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값 은? [4점]

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#감수학 - 8 -

#8. [2019년 10월 전국연합학력평가 19번(나형)]

그림과 같이 AB  , BC   이고 ∠ABC  ° 인 삼각형 ABC 가 있다. 사각형 D_BE_F_이 마름모가 되도록 세 선분 AB , BC, CA 위에 각각 점 D_, E_, F_을 잡고, 마름 모 D_BE_F_의 내부와 중심이 B 인 부채꼴 BE_D_의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림 을



_이라 하자.

그림



_에서 사각형 D_E_E_F_가 마름모가 되도록 세 선분 F_E_, E_C, CF_ 위에 각각 점 D_, E_, F_를 잡고, 마름모 D_E_E_F_의 내부와 중심이 E_인 부채꼴 E_E_D_의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]

…



_



_ …

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#감수학 - 9 -

#9. [2019년 9월 평가원모의고사 18번(나형)]

그림과 같이 중심이 O, 반지름의 길이가 이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 OAB 가 있 다. 선분 OA의 중점을 C, 선분 OB 의 중점을 D라 하자. 점 C를 지나고 선분 OB 와 평행한 직선이 호 AB 와 만나는 점을 E , 점 D를 지나고 선분 OA와 평행한 직선이 호 AB 와 만나 는 점을 F라 하자. 선분 CE 와 선분 DF가 만나는 점을 G, 선분 OE 와 선분 DG가 만나는 점을 H , 선분 OF와 선분 CG가 만나는 점을 I라 하자. 사각형 OIGH 를 색칠하여 얻은 그림 을



_이라 하자.

그림



_에 중심이 C, 반지름의 길이가 CI , 중심각의 크기가  인 부채꼴 CJI와 중심이 D, 반지름의 길이가 DH , 중심각의 크기가  인 부채꼴 DHK를 그린다. 두 부채꼴 CJI DHK에 그림



_을 얻는 것과 같은 방법으로 두 개의 사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [점]

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#감수학 - 10 -

#10. [2019년 7월 전국연합학력평가 19번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 A_B_C_이 있다. 세 선분 A_B_, B_C_, C_A_을

   로 내분하는 점을 각각 A_, B_, C_라 하자. 선분 B_C_을 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 B_C_를 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 세 선분 A_B_, B_C_, C_A_를    로 내분하는 점을 각각 A_, B_, C_이라 하자. 선분 B_C_를 지름으로 하는 반원의 내부와 선분 B_C_을 지름으로 하는 반원의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]

A_

B_ B_ C_

A_

C_

B_ B_ C_

A_ A_

C_ C_

B_ A_

⋯



_



_



_ ⋯

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#감수학 - 11 -

#11. [2019년 6월 평가원모의고사 17번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형 A_B_C_D_이 있다. 선분 C_D_의 중점을 E_이 라 하고, 직선 A_B_ 위에 두 점 F_, G_을 E_F_  E_G_, E_F_  F_G_     이 되도록 잡 고 이등변삼각형 E_F_G_을 그린다.

선분 D_A_과 선분 E_F_의 교점을 P_, 선분 B_C_과 선분 G_E_의 교점을 Q_이라 할 때, 네 삼각형 E_D_P_, P_F_A_, Q_B_G_, E_Q_C_로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에 선분 F_G_ 위의 두 점 A_, B_와 선분 G_E_ 위의 점 C_, 선분 E_F_ 위의 점 D_를 꼭짓점으로 하는 정사각형 A_B_C_D_를 그리고, 그림



_을 얻는 것과 같은 방법으 로 정사각형 A_B_C_D_에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

⋯



_



_ ⋯

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#감수학 - 12 -

#12. [2019년 5월 **교육청 20번(나형)]

그림과 같이 A_B_  



^ , B_C  



^ 인 직사각형 A_B_CD_이 있다. 직사각형 A_B_CD_ 의 내부에 점 A_을 중심으로 하고 반지름의 길이가



^  



^A_B_인 사분원을 그릴 때, 이 사 분원이 두 선분 A_B_, A_D_과 만나는 점을 각각 E_, F_이라 하고, 호 E_F_의 길이를 3등분 하는 점 중에서 점 E_에 가까운 점을 G_이라 하자. 사분원 A_E_F_의 내부와 세 점 G_, C, F_을 지나는 원의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_이라 하자.

그림 R_에서 점 F_을 지나고 선분 A_D_에 수직인 직선이 선분 B_C와 만나는 점을 B_라 하 고, 선분 F_B_와 선분 A_C의 교점을 A_, 점 A_에서 선분 D_C에 내린 수선의 발을 D_라 하 자. 직사각형 A_B_CD_의 내부에 점 A_을 중심으로 하고 반지름의 길이가



^  



^A_B_인 사분원을 그릴 때, 이 사분원이 두 선분 A_B_, A_D_과 만나는 점을 각각 E_, F_라 하고, 호 E_F_의 길이를 3등분하는 점 중에서 점 E_에 가까운 점을 G_라 하자. 사분원 A_E_F_의 내 부와 세 점 G_, C, F_을 지나는 원의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 R_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 13 -

#13. [2019년 4월 전국연합학력평가 18번(나형)]

B_C_ 이고 ∠B_A_C_  인 이등변삼각형 A_B_C_이 있다. 그림과 같이 중심이 선분 B_C_ 위에 있고 직선 A_B_과 직선 A_C_에 동시에 접하는 원



_을 그리고 이등변삼각형 A_B_C_의 내부와 원



_의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 원



_과 선분 B_C_이 만나는 점을 각각 B_, C_라 할 때, 삼각형 A_B_C_ 내부 의 점 A_를 삼각형 A_B_C_가 ∠B_A_C_   인 이등변삼각형이 되도록 잡는다. 중심이 선분 B_C_ 위에 있고 직선 A_B_와 직선 A_C_에 동시에 접하는 원



_를 그리고 이등변삼각 형 A_B_C_의 내부와 원



_의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

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#감수학 - 14 -

#14. [2019년 3월 전국연합학력평가 19번(나형)]

그림과 같이 중심이 O_, 반지름의 길이가  이고 중심각의 크기가 ° 인 부채꼴 O_A_B_에 서 두 선분 O_A_, O_B_ 위에 두 점 M_, O_를 각각 O_M_ 



^_{ }

O_A_, O_O_ 



^_{ } O_B_이 되도록 정하자. 두 점 M_, O_와 호 A_B_ 위의 두 점 C_, A_를 꼭짓점으로 하는 직사각형 O_M_C_A_를 그리고, 직사각형 O_M_C_A_와 삼각형 O_C_A_의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에 중심이 O_, 반지름의 길이가 O_A_이고 중심각의 크기가 ° 인 부채꼴 O_A_B_를 점 B_가 부채꼴 O_A_B_의 외부에 있도록 그리고, 두 선분 O_A_, O_B_ 위에 두 점 M_, O_을 각각 O_M_ 



^_{ }

O_A_, O_O_ 



^_{ }

O_B_가 되도록 정하자. 두 점 M_, O_과 호 A_B_ 위의 두 점 C_, A_을 꼭짓점으로 하는 직사각형 O_M_C_A_을 그리고, 직사각형 O_M_C_A_과 삼각형 O_C_A_의 내부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]

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#감수학 - 15 -

#15. [2018년 2019학년도 대학수학능력시험 16번(나형)]

그림과 같이 OA_  , OB_  



^ 인 직각삼각형 OA_B_이 있다. 중심이 O이고 반지름의 길 이가 OA_인 원이 선분 OB_과 만나는 점을 B_라 하자. 삼각형 OA_B_ 의 내부와 부채꼴 OA_B_의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R_이라 하자.

그림 R_에서 점 B 를 지나고 선분 A_B_에 평행한 직선이 선분 OA_과 만나는 점을 A_, 중심 이 O이고 반지름의 길이가 OA_인 원이 선분 OB_와 만나는 점을 B_이라 하자. 삼각형 OA_B_의 내부와 부채꼴 OA_B_의 내부에서 공통된 부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하 여 얻은 그림을 R_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림 R_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 S_이라 할 때,

lim

n → ∞

S_의 값은? [4점]

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#감수학 - 16 -

#16. [2018년 11월 대구교육청 19번(나형)]

그림과 같이 A_A_  , A_B_  인 직사각형 A_A_B_C_의 꼭짓점 A_에서 대각선 A_B_에 내린 수선의 발을 B_라 하고, 점 B_에서 두 선분 A_A_과 A_B_에 내린 수선의 발을 각각 C_, A_라 하자.

직사각형 A_A_B_C_의 꼭짓점 A_에서 대각선 A_B_에 내린 수선의 발을 B_이라 하고, 점 B_에서 두 선분 A_A_와 A_B_에 내린 수선의 발을 각각 C_, A_이라 하자.

이와 같이 자연수  에 대하여 직사각형 A_{n  }A_nB_nC_n의 꼭짓점 A_n에서 대각선 A_{n  }B_n에 내린 수선의 발을 B_{n  }이라 하고, 점 B_{n  }에서 두 선분 A_{n  }A_n과 A_nB_n에 내린 수선의 발을 각각 C_{n  }, A_{n  }이라 하자.

삼각형 A_{n  }B_nC_n의 넓이를



이라 할 때,



  

∞



_ 의 값은? [4점]

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 17 -

#17. [2018년 10월 전북교육청 17번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정삼각형











이 있다. 선분







의 중점을



이라 할 때, 점



_을 중심으로 하고 두 선분



_



_,



_



_과 각각 점



_과 점



_에서 접하는 반원을 그린 그림을



_이라 하자. 선분



_



_의 중점을



_라 하고, 두 점



_,



_를 각각 두 선분



_



_,



_



_위에 삼각형



_



_



_가 정삼각형이 되도록 잡는다. 선분



_



_의 중점을



_라 할 때, 점



_를 중심으로 하고 두 선분



_



_,



_



_와 각각 점



_와 점



_에서 접하는 반 원을 그린 그림을



_라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 있는 모든 반원의 호의 길이의 합을 _이라 할 때,

lim

 → ∞

_의 값은? (단, 모든 자연수  에 대하여 두 선 분



_



_,



_{  }



_{  }은 평행하다.) [4점]









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#감수학 - 18 -

#18. [2018년 10월 경남교육청 19번(나형)]

한 변의 길이가 1인 정사각형



가 있다. 그림과 같이 두 선분



,



의 중점을 각각



_,



_이라 하고, 두 선분



_,



_의 교점을



_이라 하자. 선분



_



_ 위의 한점



_, 선 분



_



_ 위의 한점



_과 선분



위의 두 점



_,



_을 꼭짓점으로 하는 정사각형



_



_



_



_을 그리고, 삼각형



_



_



_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 그려진 정사각형



_



_



_



_에서 두 선분



_



_,



_



_의 중점을 각각



_,



_ 라 하고, 두 선분



_



_,



_



_ 의 교점을



_라 하자. 선분



_



_ 위의 한 점



_, 선분







 위의 한 점



와 선분







 위의 두 점



,



를 꼭짓점으로 하는 정사각형



_



_



_



_를 그리고, 삼각형



_



_



_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

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#감수학 - 19 -

#19. [2018년 10월 평가원모의고사 19번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형 A_B_C_D_이 있다. 세 변 A_B_, B_C_, D_A_의 중점을 각각 E_, F_, G_이라 하자. 선분 G_F_을 지름으로 하고 선분 D_C_에 접하는 반원의 호 G_F_과 두 선분 G_E_, E_F_로 둘러싸인 모양의 도형의 외부와 정사각형 A_B_C_D_의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분 G_E_ 위의 점 A_, 선분 E_F_ 위의 점 B_와 호 G_F_ 위의 두 점 C_, D_를 꼭짓점으로 하고 선분 A_B_가 선분 A_B_과 평행한 정사각형 A_B_C_D_를 그린다. 정 사각형 A_B_C_D_에 그림



_을 얻는 것과 같은 방법으로 그린 모양의 도형의 외부와 정 사각형 A_B_C_D_의 내부의 공통부분을 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]



_



_ …

…

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 20 -

#20. [2018년 9월 평가원모의고사 19번(나형)]

그림과 같이 A_B_  , B_C_  인 직사각형 OA_B_C_이 있다. 중심이



_이고 반지름의 길이가 B_C_인 원과 선분 OC_의 교점을 D_, 중심이 O 이고 반지름의 길이가 OD_인 원과 선분 A_B_의 교점을 E_이라 하자. 직사각형 OA_B_C_에 호 B_D_, 호 D_E_선분 B_E_ 로 둘러싸인 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



에 선분 OA_ 위의 점 A_와 호 D_E_위의 점 B_, 선분 OD_위의 점



와 점 O를 꼭짓점으로 하고 A_B_  B_C_     인 직사각형 OA_B_C_를 그리고, 그림



_을 얻은 것 과 같은 방법으로 직사각형 OA_B_C_에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

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#감수학 - 21 -

#21. [2018년 7월 전국연합학력평가 19번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 AB_C_이 있다. 세 선분 B_C_, C_A_, A_B_의 중점을 각각 A_, B_, C_라 하자. 선분 C_C_를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 B_A_의 연 장선이 만나는 점을 P_, 선분 B_B_를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 C_A_의 연장선이 만 나는 점을 Q_이라 하자. 두 선분 C_A_, A_P_과 호 P_C_로 둘러싸인 영역과 두 선분 B_A_, A_Q_과 호 Q_B_로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 정삼각형 A_B_C_의 세 변 B_C_, C_A_, A_B_의 중점을 각각 A_, B_, C_이 라 하자. 선분 C_C_을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 B_A_의 연장선이 만나는 점을 P_, 선분 B_B_을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 C_A_의 연장선이 만나는 점을 Q_라 하자. 두 선분 C_A_, A_P_와 호 P_C_으로

둘러싸인 영역과 두 선분 B_A_, A_Q_와 호 Q_B_으로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림 을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

⋯











 ⋯

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#감수학 - 22 -

#22. [2018년 6월 평가원모의고사 18번(나형)]

그림과 같이 A_B_  , A_D_  인 직사각형 A_B_C_D_이 있다. 선분 A_D_ 위의

B_C_ B_E_, C_B_ C_F_인 두 점 E_, F_에 대하여 중심이 B_인 부채꼴 B_E_C_과 중심 이 C_인 부채꼴 C_F_B_을 각각 직사각형 A_B_C_D_ 내부에 그리고, 선분 B_E_과 선분 C_F_의 교점을 G_이라 하자. 두 선분 G_F_, G_B_과 호 F_B_로 둘러싸인 부분과 두 선분 G_E_, G_C_과 호 E_C_로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_ 이라 하자.

그림



_에서 선분 B_G_ 위의 점



_, 선분 C_G_ 위의 점



_와 선분 B_C_ 위의 두 점 B_, C_를 꼭짓점으로 하고 A_B_  A_D_    인 직사각형 A_B_C_D_를 그리고, 그림



_ 을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형



_



_



_



_ 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠 하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

⋯

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#감수학 - 23 -

#23. [2018년 5월 전북교육청 18번(나형)]

그림과 같이 



_  이고 ∠



  , ∠



_  인 직각삼각형



_



_이 있다. 선분



_ 의 중점을



이라 하고, 점



을 지나고 선분



에 수직인 직선과 직선







의 교점을





이라 하자. 점



_을 중심으로 하고 점



_을 지나는 원이 선분



_



_과 만나는 점을



_이라 할 때, 두 선분



_



_,



_



_과 부채꼴



_



_



_의 호



_



_으로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분



_



_의 중점을 지나고 직선



_



_과 평행한 직선이 두 선분



_,



_과 만나는 점을 각각



_,



_라 하자. 선분



_의 중점을



_라 하고, 점



_를 지나고 선분



에 수직인 직선과 직선







의 교점을



라 하자. 점



를 중심으로 하고 점



를 지나 는 원이 선분



_



_와 만나는 점을



_라 할 때, 두 선분



_



_,



_



_와 부채꼴



_



_



_의 호



_



_로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

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#감수학 - 24 -

#24. [2018년 4월 전국연합학력평가 18번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 AB_C_D가 있다. 정사각형 A_B_C_D의 두 대 각선의 교점을 B_라 하고, 점 B_에서 두 변 A_D, C_D에 내린 수선의 발을 각각 A_, C_라 하자. 점 B_를 지나고 두 변 A_B_, B_C_에 동시에 접하는 원을



_이라 하고, 원



_이 두 변 A_B_, B_C_에 접하는 점을 각각 P_, Q_이라 할 때, 삼각형 B_P_Q_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 정사각형 A_B_C_D의 두 대각선의 교점을 B_이라 하고, 점 B_에서 두 변 A_D, C_D에 내린 수선의 발을 각각 A_, C_이라 하자. 점 B_을 지나고 두 변 A_B_, B_C_ 에 동시에 접하는 원을



_라 하고, 원



_가 두 변 A_B_, B_C_에 접하는 점을 각각 P_, Q_ 라 할 때, 삼각형 B_P_Q_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 25 -

#25. [2018년 3월 전국연합학력평가 19번(나형)]

그림과 같이 A_B_  , B_C_  인 직사각형 A_B_C_D_이 있다. 선분 A_D_을 삼등분하는 점 중에서 A_에 가까운 점부터 차례대로 E_, F_이라 하고, 선분 B_F_과 선분 C_E_의 교점을 G_이라 하자. 삼각형 B_G_E_과 삼각형 C_F_G_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하 자.

그림



_에서 선분 B_C_ 위에 두 꼭짓점 B_, C_가 있고, 선분 B_G_ 위에 꼭짓점 A_, 선분 C_G_ 위에 꼭짓점 D_가 있으며 A_B_  B_C_    인 직사각형 A_B_C_D_를 그린다. 선분 A_D_를 삼등분하는 점 중에서 A_에 가까운 점부터 차례대로 E_, F_라 하고, 선분 B_F_와 선분 C_E_의 교점을 G_라 하자. 삼각형 B_G_E_와 삼각형 C_F_G_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

…











 …

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#감수학 - 26 -

#26. [2017년 2018학년도 대학수학능력시험 19번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 AB_C_ 이 있다. 선분 A_B_의 중점을 D_이라 하 고, 선분 B_C_위의 C_D_ C_B_인 점 B_에 대하여 중심이 C_인 부채꼴 C_D_B_를 그린다.

점 B_에서 선분 C_D_에 내린 수선의 발을 A_, 선분 C_B_의 중점을 C_라 하자. 두 선분 B_B_ B_D_ 과 호 D_B_로 둘러싸인 영역과 삼각형 C_A_C_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



이라 하자.

그림



_에서 선분 A_B_의 중점을 D_라 하고, 선분 B_C_ 위의 C_D_ C_B_인 점 B_에 대하 여 중심이 C_인 부채꼴 C_D_B_을 그린다. 점 B_에서 선분 C_D_에 내린 수선의 발을 A_, 선 분 C_B_의 중점을 C_이라 하자. 두 선분 B_B_, B_D_와 호 D_B_으로 둘러싸인 영역과 삼각 형 C_A_C_의 내부에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻 은 그림



에 색칠되어있는 부분의 넓이를



이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]



_



_

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#감수학 - 27 -

#27. [2017년 10월 전북교육청 18번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형















의 내부에 중심이 점



이고 반지름의 길이가 각각 



_



_{, }



 



_



_인 두 개의 사분원의 호를 그려 얻은 그림을



_이라 하자. 그림



_에서 정사각형



_



_



_



_의 내부에 있는 두 사분원의 호에 대하여 작은 호에 접하고 두 꼭짓점이 큰 호 위에 있는 정사각형



_



_



_



_를 그리고, 그 내부에 중심이 점



_이고 반지 름의 길이가 각각 



_



_{, }



 



_



_인 두 개의 사분원의 호를 그려 얻은 그림을



_라 하자. 이 와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 있는 모든 정사각형의 둘레의 길이의 합을



_이라 할 때,

lim

 → ∞



 의 값은? [4점]

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#감수학 - 28 -

#28. [2017년 10월 경남교육청 20번(나형)]

한 변의 길이가 2인 정육각형























이 있다.

그림과 같이 중심이



, 반지름의 길이가 







이고 중심각의 크기가  인 부채꼴











을 그리고 중심이



, 반지름의 길이가 







이고 중심각의 크기가  인 부채꼴



_



_



_을 그린 후 두 부채꼴



_



_



_과



_



_



_의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색 칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 



_



_  



_



_ 이고 ∠



_



_



_   가 되도록 선분



_



_위에 점



_, 호



_



_ 위에 점



_를 각각 잡고, 두 선분



_



_,



_



_를 이웃하는 두 변으로 하는 정육각형



_



_



_



_



_



_를 그린 후 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 두 부채꼴을 그려 두 부채꼴 의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 29 -

#29. [2017년 10월 전국연합학력평가 18번(나형)]

반지름의 길이가



^ 인 원



가 있다. 그림과 같이 원



위의 한 점 A 에 대하여 정삼각형 ABC 를 높이가 원



의 반지름의 길이와 같고 선분 BC 의 중점이 원



위의 점이 되도록 그린다. 그리고 정삼각형 ABC 와 합동인 정삼각형 DEF 를 점 D 가 원



위에 있고 네 점 B , C, E , F 가 한 직선 위에 있도록 그린다. 원



의 내부와 정삼각형 ABC 의 내부의 공통 부분인 모양의 도형과 원



의 내부와 정삼각형 DEF 의 내부의 공통부분인 모양의 도 형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 두 선분 AC, DE 에 동시에 접하고 원



에 내접하는 원을 그린 후, 새로 그 려진 원에 그림



을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형과 모양의 도 형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]



_



_



_

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 30 -

#30. [2017년 9월 평가원모의고사 18번(나형)]

그림과 같이 반지름의 길이가 인 원



에 내접하는 정삼각형 A_B_C_이 있다. 점 A_에서 선분 B_C_에 내린 수선의 발을 D_이라 하고, 선분 A_C_을   로 내분하는 점을 E_이라 하 자. 점 A_을 포함하지 않는 호 B_C_과 선분 B_C_로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 A_D_E_ 의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 R_이라 하자.

그림



_에 삼각형 A_B_D_에 내접하는 원



_와 원



_에 내접하는 정삼각형 A_B_C_를 그리 고, 점 A_에서 선분 B_C_에 내린 수선의 발을 D_, 선분 A_C_를   로 내분하는 점을 E_라 하자. 점 A_를 포함하지 않는 호 B_C_와 선분 B_C_로 둘러싸인 도형의 내부와 삼각형 A_D_E_의 내부를 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 31 -

#31. [2017년 7월 대구교육청 17번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가 



^ 인 정삼각형



에서 선분



의 중점을



라 하자. 중심 이



이고 두 변



,



에 동시에 접하는 원을 그릴 때, 이 원이 두 변



,



에 접하 는 점을 각각







라 하고, 변



와 만나는 점을 각각







라 하자.

두 선분



,



와 선분



를 지름으로 하는 위쪽 반원의 호



로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분



를 지름으로 하는 위쪽 반원의 호



의 3등분점 중 점



에 가까운 점을



, 점



에 가까운 점을



라 하자. 두 정삼각형



,



에서 각각 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 2개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]

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#감수학 - 32 -

#32. [2017년 7월 전국연합학력평가 18번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정삼각형 A_B_C_이 있다. 세 선분 A_B_, B_C_, C_A_의 중점을 각각 L_, M_, N_이라 하고, 중심이 M_, 반지름의 길이가 M_N_이고 중심각의 크기 가  인 부채꼴 M_N_L_을 그린 후 부채꼴 M_N_L_의 호 N_L_과 두 선분 A_L_, A_N_ 로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을



_이라 하자.

두 정삼각형 L_B_M_과 N_M_C_에 도형



을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 각각의 부채꼴의 호와 두 선분으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 각각



_,



_이라 하자. 정삼 각형 A_B_C_에서 세 도형



_,



_,



_으로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그 림을



_이라 하자.

그림



_에서 부채꼴 M_N_L_의 호 N_L_을 이등분하는 점을A_라 할 때, 부채꼴 M_N_L_에 내접하는 정삼각형 A_B_C_를 그리고 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]

A_

B_ M_

L_

C_ N_



_



_



_

A_

M_ B_

L_

C_ N_



_



_



_

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#감수학 - 33 -

#33. [2017년 6월 평가원모의고사 18번(나형)]

한 변의 길이가 



^ 인 정삼각형











이 있다. 그림과 같이 ∠











의 이등분선과

∠



_



_



_의 이등분선이 만나는 점을



_라 하자. 두 선분



_



_,



_



_를 각각 지름으로 하 는 반원의 내부와 정삼각형



_



_



_의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻 은 그림을



_이라 하자.그림



_에서 점



_를 지나고 선분



_



_에 평행한 직선이 선분







과 만나는 점을



, 점



를 지나고 선분







에 평행한 직선이 선분







과 만나는 점을



_라 하자. 그림



_에 정삼각형



_



_



_를 그리고, 그림



_을 얻는 것과 같은 방법으 로 정삼각형



_



_



_의 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을



라 하 자.이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은?



_



_



_

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#감수학 - 34 -

#34. [2017년 4월 전국연합학력평가 18번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD에서 선분 AB , 선분 CD, 선분 DA의 중 점을 각각 E , F, G라 하자. 선분 EG를 한 변으로 하고 점 A가 내부에 있도록 정삼각형 EGH 를 그리고, 선분 GF를 한 변으로 하고 점 D가 내부에 있도록 정삼각형 GFI를 그린 다. 두 정삼각형 EGH , GFI의 내부와 정사각형 ABCD의 외부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 선분 HG의 중점을 M, 선분 I G의 중점을 N이라 하고, 선분 HM을 한 변으로 하는 정사각형



_과 선분 I N을 한 변으로 하는 정사각형



_를 각각 정사각형 ABCD와 만 나지 않게 그린다. 정사각형



_,



_에 각각 그림



_을 얻은 것과 같은 방법으로 모양 의 개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



_의 값은? [4점]



_



_



_

kamdongmath.tistory.com

#감수학 - 35 -

#35. [2017년 3월 전국연합학력평가 19번(나형)]

그림과 같이 한 변의 길이가  인 정사각형 ABCD 가 있다. 이 정사각형에 내접하는 원을





이라 하자. 원



_이 변 BC, CD 와 접하는 점을 각각 E , F 라 하고, 점 F 를 중심으로 하고 점 E 를 지나는 원을



_라 하자. 원



_의 내부와 원



_의 외부의 공통부분인 모양의 도형과, 원



의 외부와 원



의 내부 및 정사각형 ABCD의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_이라 하자.

그림



_에서 두 꼭짓점이 변 CD 위에 있고 나머지 두 꼭짓점이 정사각형 ABCD의 외부 에 있으면서 원



_ 위에 있는 정사각형 PQRS 를 그리고, 이 정사각형 안에 그림



을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양과 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을



_라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여  번째 얻은 그림



_에 색칠되어 있는 부분의 넓이를



_이라 할 때,

lim

 → ∞



의 값은? [4점]



_



_



_