수 리 경 제 입 문

수 리 경 제 입 문

한양대학교

경제금융대학

1. 과목 개요

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개요

• 본 과목은 경제학에서 많이 사용되는 수학적 개념과 원 리를 다룸

• 본 과목의 목표는 학생들이 상위 경제학 과목을 학습하 는데 필요한 수학적 지식을 익힐 수 있도록 하는 것임

• 주요 주제 다음과 같음 – 함수의 기초

– 지수함수, 로그함수 – 함수의 극한과 연속 – 함수의 미분

– 미분 규칙 – 미분 응용 – 적분 및 응용

– 선형대수의 기초 – 행렬대수

– 선형연립방정식의 풀이 – 다변수함수와 미분

– 음함수 정리

– 다변수 함수의 최적화 – 등식제약하의 최적화

2. 함수의 기초

함수의 정의

• 정의역(domain)과 공변역(codomain)이라는 두 집 합이 있다고 하고, 각각 𝑋와 𝑌로 표시하자.

• 함수란 𝑋의 원소들을 𝑌의 원소들과 짝지어주는 규 칙 중 다음을 만족하는 것

1. 𝑋의 모든 원소마다 적어도 하나의 짝이 𝑌 속 에 있어야 한다

2. 𝑋의 원소 하나가 2개 이상의 𝑌의 원소를 짝으 로 가지면 안된다.

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함수의 그래프

• 함수 𝑓: 𝑋 → 𝑌의 그래프는 (𝑥, 𝑓 𝑥 )(x, f(x))의 좌표를 갖는 점들의 집합

• 𝑋 축 상의 각 점 𝑥위에 함수값 𝑓 𝑥 에 해당하는 점 𝑦 를 찾아 이들을 그림으로 표현

• (예)

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑋 = 1, … , 100 𝑌 = {1, … , 100}

함수 𝒇: 𝑿 → 𝒀

• [단조함수] 임의의 정의역의 원소 𝑥₁ ≥ 𝑥₂에 대해서 – 𝑓 𝑥₁ ≥ 𝑓(𝑥₂)이면, 𝑓는 단조증가함수

– 𝑓 𝑥₁ ≤ 𝑓(𝑥₂)이면, 𝑓는 단조감소함수 – 이 때, 강부등호가 성립하면, 강단조함수

• [단사함수] 𝑓 𝑥₁ = 𝑓(𝑥₂)가 𝑥₁ = 𝑥₂를 의미하면, 𝑓를 𝑋에서 𝑌로의 일대일(one-to-one) 혹은 단사함수

(injection)라고 한다.

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함수 𝒇: 𝑿 → 𝒀

• [전사함수] 𝑓 𝑋 = 𝑌이면, 𝑓를 𝑋에서 𝑌로의 전사함 수(surjection 또는 onto)라고 한다.

• [전단사함수] 𝑓가 𝑋에서 𝑌로의 단사함수이면서 동 시에 전사함수일 경우, 이를 전단사함수(bijection)라 고 한다.

• [역함수] 𝑓: 𝑋 → 𝑌가 전단사함수일 때, 다음과 같이 정의된 함수 𝑓⁻¹: 𝑌 → 𝑋를 𝑓의 역함수(inverse

function)이라고 한다.

임의의 𝑦 ∈ 𝑌에 대해 𝑓 𝑥 = 𝑦일 경우 𝑓⁻¹ 𝑦 = 𝑥

3. 지수함수와 로그함수

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지수함수: 𝒚 = 𝒃 ^𝒙

• ‘밑’이 상수, ‘지수’에 독립변수

• 밑수를 𝑏(> 0) 라 할 때 𝑓 𝑥 = 𝑏^𝑥의 형태

• 모든 𝑏에 대해 𝑓 0 = 1

• 𝑏 > 1이면, 강단조증가함수

• 0 < 𝑏 < 1이면, 강단조감소함수

• 𝑔 𝑥 = 𝑏^−𝑥일 때, 𝑓 𝑥 = 𝑔 −𝑥 이고 𝑓 −𝑥 = 𝑔 𝑥 이다.

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숫자 𝒆

• 연 이자율 𝑟에 이자를 𝑛번 나누어 복리로 지급하는 예금에 1년간 원금 𝐴를 예금

– 매 지급시기에 적용되는 이자율은 𝑟/𝑛 – 최초 지급시기 원금과 이자의 합은

𝐴 + 𝐴 𝑟

𝑛 = 𝐴 1 + 𝑟 𝑛

– 2회차 지급시기 원금과 이자의 합은 𝐴 1 + 𝑟

𝑛 + 𝐴 1 + 𝑟 𝑛

𝑟

𝑛 = 𝐴 1 + 𝑟 𝑛

2

– 같은 방식으로, 연말에 받게되는 금액은 𝐴 1 + 𝑟

𝑛

𝑛−1 + 𝐴 1 + 𝑟 𝑛

𝑛−1 𝑟

𝑛 = 𝐴 1 + 𝑟 𝑛

𝑛

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숫자 𝒆

• 매순간마다 계속해서 이자를 지급하는 방식을 연속 복리라고 한다.

• 만약 원금 𝐴 = 1

,

𝑛→∞lim 1 + 1 𝑛

𝑛

≡ 𝑒 – 𝑛 = 1: 1 + 1 ²= 2

– 𝑛 = 2: 1 + 1/2 ² = 2.25 – 𝑛 = 4: 1 + 1/4 ³= 2.441 … – 𝑛 = 7: 1 + 1/7 ⁷= 2.546 …

– 𝑒 = 2.718 … > 1이므로 증가함수

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현재가치 계산

• 연 이자율이 임의의 값 𝑟일 때, 연속복리하에서 1년 후 받게 되는 금액은 𝐴𝑒^𝑟

𝑛→∞lim 1 + 𝑟 𝑛

𝑛 = lim

𝑚→∞ 1 + 1 𝑚

𝑚𝑟

= lim

𝑚→∞ 1 + 1 𝑚

𝑚 𝑟

(이 때, 𝑚 = 𝑛/𝑟)

• 𝑡년 후 원리금합계는 𝐴𝑒^𝑟 × ⋯ × 𝑒^𝑟 = 𝐴𝑒^𝑟𝑡

• 따라서, 𝑡년 후 𝐵의 현재가치는 𝐴 = 𝐵𝑒^−𝑟𝑡

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로그함수: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 _𝒃 𝒙

• 지수함수의 역함수를 로그함수라고 함.

• 즉, 𝑥 = 𝑏^𝑦 ⇔ 𝑦 = log_𝑏 𝑥

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로그함수: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 _𝒃 𝒙

• 𝑏 > 1인 경우로 국한. 정의역은 𝑥 > 0

• 로그함수의 성질

– 0 < 𝑥 < 1이면 𝑦 = log_𝑏 𝑥 < 0 – 𝑥 > 1이면 𝑦 = log_𝑏 𝑥 > 0

– log_𝑏 𝑥₁𝑥₂ = log_𝑏 𝑥₁ + log_𝑏 𝑥₂ – log_𝑏 𝑥₁/𝑥₂ = log_𝑏 𝑥₁ − log_𝑏 𝑥₂ – log_𝑏 𝑥^𝑘 = 𝑘 log_𝑏 𝑥

• 𝑏 = 10이면 상용로그라 부름

• 𝑏 = 𝑒이면 자연로그라 부르고 𝑦 = ln 𝑥로 표시

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지수 및 로그함수의 응용

• 시간 𝑡에 따라 일정한 증가율 𝑟로 연속적으로 증가 하는 변수 𝑋를 함수로 표기

𝑋 𝑡 = 𝑋₀𝑒^𝑟𝑡

• 이 식의 양변에 자연로그를 씌워주면 ln 𝑋(𝑡) = ln 𝑋₀𝑒^𝑟𝑡 + ln 𝑋₀ + 𝑟𝑡

• 지수 형태의 증가식이 1차식으로 변환됨

4. 함수의 극한과 연속

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함수의 극한

• 함수 𝑓: 𝑋 → 𝑌를 생각하자.

• 𝑥 → 𝑎일 때 𝑓 𝑥 → 𝐴이면, 함수 𝑓는 𝑥 = 𝑎에서 극한 값 𝐴를 갖는다.

𝑥→𝑎lim 𝑓(𝑥) = 𝐴

• 우극한은 lim

𝑥→𝑎⁺ 𝑓(𝑥), 좌극한은 lim

𝑥→𝑎⁻ 𝑓(𝑥)

• lim

𝑥→𝑎⁺ 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎⁻ 𝑓(𝑥)이면 극한이 존재한다.

예시

– 𝑥값이 1로 접근하는 방법은 두 가지.

– 𝑥값이 오른쪽에서 접 근하든 왼쪽에서 접 근하든 함수값은 3에 수렴함.

– 따라서 lim

𝑥→1 𝑓(𝑥) = 3

• (예) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1

𝑓 𝑥

20

극한의 성질

• 함수의 극한은 다음과 같은 성질을 같는다.

– lim

𝑥→𝑎 𝐶 = 𝐶 – lim

𝑥→𝑎 𝑥 = 𝑎 – lim

𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± lim

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) – lim

𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) lim

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) – lim

𝑥→𝑎 𝑔(𝑥) ≠0이면 lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥

𝑔 𝑥 = ^{𝑥→𝑎lim}_lim^{𝑓 𝑥}

𝑥→𝑎𝑔 𝑥

함수의 연속

• 함수 𝑓가 lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)이면 점 𝑥 = 𝑎에서 연속이 라고 한다.

• 함수 𝑓(𝑥)와 𝑔(𝑥)가 𝑥 = 𝑎에서 연속일 때, 다음의 함 수들도 𝑥 = 𝑎에서 연속이다.

– 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 , c𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥), ^{𝑓 𝑥}_{𝑔 𝑥} (단,𝑔(𝑥) ≠ 0)

• 𝑥 = 𝑎에서 함수 𝑔(𝑥)가 연속이고, 함수 𝑓(𝑥)가 𝑔 𝑎 에서 연속이면, 합성함수 𝑓(𝑔 𝑥 )는 𝑥 = 𝑎에서 연속 이다.

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불연속 함수

• 불연속 함수의 예

– 𝑦 = ^𝑥_𝑥 – 𝑦 = ln 𝑥

5. 함수의 미분

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미분계수와 도함수

• 함수 𝑦 = 𝑓(𝑥)에서 점 𝑥₀, 𝑦₀ 에서 𝑥₁, 𝑦₁ 사이의 변 화율은 다음과 같다.

∆𝑦

∆𝑥 = 𝑓 𝑥₁ − 𝑓(𝑥₀)

𝑥₁ − 𝑥₀ = 𝑓 𝑥₀ + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥₀) 𝑥₁ − 𝑥₀

• 이 때, 순간 변화율을 미분계수라고 한다.

• 독립변수 𝑥와 미분계수 값 사이의 관계가 “함수”이 면 이를 도함수라고 부른다.

𝑓^′ 𝑥 = lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

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예시

• (예) 𝑓 𝑥 = 𝑥

𝑓^′ 𝑥 = lim

Δ𝑥→0

𝑥 + Δ𝑥 − 𝑥

Δ𝑥 = 1

• (예) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑓′(𝑥) = lim

Δ𝑥→0

ln 𝑥 + Δ𝑥 − ln 𝑥

Δ𝑥 = lim

Δ𝑥→0

1

Δ𝑥 ln 𝑥 + Δ𝑥 𝑥

= lim

Δ𝑥→0 ln 1 + Δ𝑥 𝑥

Δ𝑥1

= ln 𝑒^𝑥1 = 1 𝑥

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미분계수와 도함수

• 도함수도 함수이므로, 도함수의 도함수를 정의할 수 있고, 이를 이계도함수라고 부른다.

𝑓^′′ 𝑥 = lim

∆𝑥→∞

𝑓^′ 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓^′ 𝑥

∆𝑥 = 𝑑²𝑦 𝑑𝑥²

• 마찬가지로 고계도함수를 정의할 수 있다.

– 𝑓^′ 𝑥 , 𝑓^′′ 𝑥 , 𝑓^′′′ 𝑥 , … – ^𝑑𝑦_𝑑𝑥 , ^𝑑_𝑑𝑥^2𝑦₂ , ^𝑑_𝑑𝑥^3𝑦₃ , … .

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미분계수와 접선의 방정식

• 도함수의 정의로 부터

Δ𝑥→∞lim

𝑓 𝑎 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑎)

Δ𝑥 − 𝑓^′(𝑎)

= lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 − 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

𝑥 − 𝑎 = 0

• 함수 𝑓(𝑥)의 𝑥 = 𝑎에서 접선의 방정식은 𝑦 = 𝑓 𝑎 + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎)

• 𝑓′(𝑎)는 𝑥 = 𝑎에서 𝑓(𝑥)의 접선의 기울기

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미분계수와 함수의 그래프

• 𝑓^′ > 0이고 𝑓^′′ > 0이면 기울기가 점점 커지는 증가 함수 그래프

• 𝑓^′ < 0이고 𝑓^′′ > 0이면 기울기가 점점 커지는 감소 함수 그래프

• 𝑓^′ > 0이고 𝑓^′′ > 0이면 기울기가 점점 작아지는 증 가함수 그래프

• 𝑓^′ < 0이고 𝑓^′′ < 0이면 기울기가 점점 작아지는 감 소함수 그래프

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예시

• (예) 𝑓(𝑥) = 𝑥³ – 𝑓^′ 𝑥 = 3𝑥² – 𝑓^′′ 𝑥 = 6𝑥 – 𝑥 > 0일 때,

𝑓^′ > 0, 𝑓^′′ > 0 – 𝑥 < 0일 때,

𝑓^′ > 0, 𝑓^′′ < 0

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미분가능

• 도함수의 정의 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑓^′ 𝑥 = lim

Δ𝑥→∞

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥) Δ𝑥

• 𝑓^′ 𝑎 가 존재하면, x = 𝑎에서 미분가능하다. 즉,

Δ𝑥→0lim⁺

𝑓 𝑎 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑎)

Δ𝑥 = lim

Δ𝑥→0⁻

𝑓 𝑎 + Δ𝑥 − 𝑓(𝑎) Δ𝑥

• 함수 𝑓(𝑥)가 𝑥 = 𝑎에서 미분가능하면, 𝑓(𝑥)는 𝑥 = 𝑎 에서 연속이다.

(증명) lim

𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 −𝑓 𝑎

𝑥−𝑎 𝑥 − 𝑎 + 𝑓(𝑎) = lim

𝑥→𝑎 𝑓′(𝑎) × 0 + 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑎)

미분이 불가능한 경우

– 𝑦 = 1 − ln 𝑥 – 𝑦 = |𝑥|

32

로피탈 정리(L’Hospital’s Theorem)

• 𝑓 𝑎 = 𝑔 𝑎 = 0이고 𝑓와 𝑔가 𝑥 = 𝑎에서 미분가능하 면 다음이 성립한다

𝑥→𝑎lim

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥)

(증명)

𝑥→𝑎

lim

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)

𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑎) = lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎) 𝑥 − 𝑎

𝑥→𝑎

lim

𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑎) 𝑥 − 𝑎

= 𝑓′(𝑎)

𝑔′(𝑎) = lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥)

• lim

𝑥→𝑎

1 𝑓(𝑥)

1 𝑔(𝑥)

=

1 𝑓(𝑎)

1 𝑔(𝑎)

=

1 01 0

= ^∞_∞ = ^−∞_∞ = _−∞^∞ 로 변형될 수 있음

6. 미분 규칙

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두 함수 합의 미분

• 미분가능한 두 함수 합의 미분

𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ^′ = lim

Δ𝑥→∞

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 + 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) Δ𝑥

= lim

Δ𝑥→∞

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥

Δ𝑥 + lim

Δ𝑥→∞

𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 Δ𝑥

= 𝑓^′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)

• 비슷하게, 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ^′= 𝑓^′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)

두 함수 곱의 미분

• 미분 가능한 두 함수 곱의 미분

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥

= lim

Δ𝑥→∞

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) Δ𝑥

= lim

Δ𝑥→∞

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) Δ𝑥

= lim

Δ𝑥→∞

𝑓 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥

Δ𝑥 𝑔 𝑥 + Δ𝑥 + lim

Δ𝑥→∞

𝑔 𝑥 + Δ𝑥 − 𝑔 𝑥 + Δ𝑥

Δ𝑥 𝑓 𝑥

= 𝑓

𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)

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합성함수의 미분

• 함수 𝑓와 𝑔가 미분가능하고, 두 함수의 합성함수를 ℎ 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 )라 하자. 그러면 ℎ^′ 𝑥 = 𝑔^′ 𝑓 𝑥 𝑓′(𝑥) 이 성립한다.

(증명) 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑠 = 𝑓(𝑡)라고 하자. 그러면 lim

𝑡→𝑥 𝑢(𝑡) = 0 과 lim

𝑠→𝑦 𝑣(𝑠) = 0을 만족하는 어떤 𝑢와 𝑣가 있어 다음을 만 족한다.

𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑥 = (𝑡 − 𝑥)[𝑓^′ 𝑥 + 𝑢 𝑡 ] 𝑔 𝑠 − 𝑔 𝑦 = (𝑠 − 𝑦)[𝑔′ 𝑦 + 𝑣 𝑠 ]

합성함수의 미분

그러면

ℎ 𝑡 − ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑡 − 𝑔 𝑓 𝑥

= 𝑓 𝑡 − 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔^′ 𝑦 + 𝑣 𝑠

= 𝑡 − 𝑥 ∙ 𝑓^′ 𝑥 + 𝑢 𝑡 ∙ [𝑔^′ 𝑦 + 𝑣 𝑠 ] 따라서 𝑡 ≠ 𝑥일때,

ℎ 𝑡 − ℎ(𝑥)

𝑡 − 𝑥 = 𝑔^′ 𝑦 + 𝑣 𝑠 ∙ [𝑓^′ 𝑥 + 𝑢 𝑡 ]

함수 𝑓는 연속이므로, 𝑡 → 𝑥일때 𝑠 → 𝑦임을 알 수 있다.

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역함수의 미분

• 함수 𝑓의 역함수를 𝑔 ≡ 𝑓⁻¹이라고 하면, 𝑔^′ 𝑦 = 1/𝑓′(𝑥)가 성립한다.

(증명) 역함수의 정의에 의해 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ). 연쇄법칙을 이용하여

1 = 𝑔^′ 𝑓 𝑥 𝑓^′ 𝑥 = 𝑔^′ 𝑦 𝑓′(𝑥) 따라서 𝑓′(𝑥) ≠ 0일 때 𝑔^′ 𝑦 = 1/𝑓′(𝑥).

예시

• (예) 𝑔 𝑦 = 𝑒^𝑦, 𝑦 = 𝑓 𝑥 = ln 𝑥라고 하면 𝑔^′ 𝑦 = 1

𝑓^′(𝑥) = 𝑥 = 𝑒^𝑦

• (예) 𝑓 𝑥 = 𝑥^𝑛의 미분

함수 𝑓와 자연로그함수의 합성함수는 ln 𝑓(𝑥) = 𝑛 ln 𝑥 이므로,

𝑑(ln 𝑓 𝑥 )

𝑑𝑥 = 𝑛 𝑑 ln 𝑥

𝑑𝑥 ⇒ 𝑑 ln 𝑦 𝑑𝑦

𝑑𝑓(𝑥)

𝑑𝑥 = 𝑛 1

𝑥 ⇒ 1 𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑛 𝑥

⇒ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 𝑛𝑦

𝑥 = 𝑛𝑥^𝑛

𝑥 = 𝑛𝑥^𝑛−1

7. 미분의 응용

‘한계’ 개념

• ‘한계’=‘도함수’

• 한계비용=비용함수의 도함수

– 재화의 생산량을 무한히 조금 더 늘릴 때 추가로 필요한 비용

• (예) 비용함수 𝐶 𝑥 = 100 + 10𝑥² – 𝐶 0 = 100은 고정비용

– 고정비용 이외의 부분은 가변비용 – 한계비용은 𝐶^′ 𝑥 = 20𝑥

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탄력성

• 𝐴의 𝐵 탄력성

Δ𝐴/𝐴

Δ𝐵/𝐵 = Δ𝐴 Δ𝐵

A

𝐵 ^Δ𝐵→0

𝑑𝐴 𝑑𝐵

A 𝐵

• Δ𝐵가 무한히 작아질 때의 극한값, 𝐵가 변할 때 𝐴가 얼마나 영향을 받는지를 나타냄

• 선형수요함수 𝑄 = 𝑎 − 𝑏𝑃의 가격탄력성 𝜖 = 𝑑𝑄

𝑑𝑃 𝑃

𝑄 = −𝑏 𝑃 𝑎 − 𝑏𝑃

미분량

• Δ𝑦 = 𝑓 𝑥₀ + Δ𝑥 − 𝑓(𝑥₀), 𝑑𝑦 = 𝑓^′ 𝑥₀ Δ𝑥

• Δ𝑥 → 0이면 Δ𝑦 → 𝑑𝑦가 성립. Δ𝑥 → 0인 경우 𝑑𝑥로 표시

• (예) 함수 𝑓 𝑥 = 𝑥²의 𝑥₀ = 1에서 근사계산 – 𝑓 1 = 1, 𝑓 1.01 = 1.01² = 1.0201이므로

Δ𝑦 = 1.0201 − 1 = 0.0201 – 𝑓^′ 𝑥₀ = 2𝑥₀ = 1이므로

𝑑𝑦 = 𝑓^′ 𝑥₀ Δ𝑥 = 2 × 0.01 = 0.02

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최적화

max 𝑥 𝑓(𝑥)

• 선택변수 𝑥를 선택하여 목적함수 𝑓(𝑥)를 최적화(극 대/극소) 시키는 것.

– 최대점: 모든 𝑥에 대해서 𝑓 𝑥^∗ ≥ 𝑓(𝑥) – 최소점: 모든 𝑥에 대해서 𝑓 𝑥^∗ ≤ 𝑓(𝑥)

– 극대점: 𝑥^∗ 주변의 𝑥에 대해서 𝑓 𝑥^∗ ≥ 𝑓(𝑥) – 극소점: 𝑥^∗ 주변의 𝑥에 대해서 𝑓 𝑥^∗ ≤ 𝑓(𝑥)

• 최대점을 포함한 모든 극대점을 찾는 문제를 “극대 화”라고 부름

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일계조건(First Order Condition)

• 목적함수 𝑓: 𝑋 → 𝑌가 미분가능하고, 𝑥^∗ ∈ 𝑋라고 하자.

그러면 𝑓^′ 𝑥^∗ = 0이 성립한다.

– (증명) 𝑥^∗가 극대점인 경우, 𝑥^∗ 근처의 모든 𝑥에 대해 𝑓 𝑥^∗ ≥ 𝑓(𝑥)이므로 다음이 성립.

Δ𝑓 = 𝑓 𝑥^∗ + Δ𝑥 − 𝑓 𝑥^∗ ≤ 0

Δ𝑓의 근사값인 𝑑𝑓에 대해서 다음이 성립.

𝑑𝑓 = 𝑓^′ 𝑥^∗ 𝑑𝑥 ≤ 0

𝑑𝑥 > 0과 𝑑𝑥 < 0가 모두 가능하므로 𝑓^′ 𝑥^∗ = 0.

– 필요조건: 𝑥^∗가 최적해라면 일계조건을 마족해야 함. 하지만 일계조건을 만족한다고해서 반드시 최 적해인 것은 아님.

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이계조건(Second Order Condition)

• [극대 이계조건] 𝑓^′′ 𝑥^∗ < 0

• [극소 이계조건] 𝑓^′′ 𝑥^∗ > 0

• 일계조건과 함께 최적해의 충분조건

– 𝑓^′ 𝑥^∗ = 0이고 𝑓^′′ 𝑥^∗ < 0이면 𝑥^∗는 극대해 – 𝑓^′ 𝑥^∗ = 0이고 𝑓^′′ 𝑥^∗ > 0이면 𝑥^∗는 극소해 – 𝑓^′ 𝑥^∗ = 0이고 𝑓^′′ 𝑥^∗ = 0이면 알 수 없음

• (예) 𝑓 𝑥 = −𝑥², 𝑔 𝑥 = 𝑥², ℎ 𝑥 = 𝑥³

– 𝑥^∗ = 0은 함수 𝑓의 극대해, 𝑔의 극소해, ℎ에서는 극대도 아니고 극소도 아님

독점기업의 이윤극대화

• 역수요함수: 𝑃 𝑄 = 𝑎 − 𝑏𝑄

• 수입함수: 𝑅 𝑄 = 𝑃𝑄 = 𝑎𝑄 − 𝑏𝑄²

• 비용함수: 𝐶 𝑄 = 𝑐𝑄 + 𝑓

• 이윤함수:

Π 𝑄 = 𝑅 𝑄 − 𝐶 𝑄 = 𝑎𝑄 − 𝑏𝑄² − (𝑐𝑄 + 𝑓)

• 일계조건:

𝑑Π(Q)

𝑑𝑄 = 𝑑𝑇(𝑄)

𝑑𝑄 − 𝑑𝐶 𝑄

𝑑𝑄 = 𝑎 − 2𝑏𝑄^∗ = 0

• 이계조건:

𝑑²Π(𝑄)

𝑑𝑄² = −2𝑏 < 0

8. 적분 및 응용

부정적분

• 미분의 반대 과정으로서 적분

– 미분은 어떤 함수가 주어지면 그 도함수를 구하는 것

– 적분은 주어진 함수의 역도함수를 구하는 과정.

즉 도함수를 주면 원래 함수가 무엇이었는지를 알 아내는 계산

• (예) 𝐹 𝑥 = 𝑥² + 𝐶를 미분하면 𝐹^′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 2𝑥.

따라서,

𝐹 𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥² + 𝐶

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기본 규칙

𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑥^𝑛𝑑𝑥 = 1

𝑛 + 1 𝑥^𝑛+1 + 𝐶 𝑒^𝑥𝑑𝑥 = 𝑒^𝑥 + 𝐶

1

𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶

부분적분

• 함수 곱의 미분에서 도출

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ^′ = 𝑓^′ 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔^′(𝑥)

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ^′𝑑𝑥 = 𝑓^′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥

⇒ 𝑓 𝑥 𝑔^′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓^′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

• (예) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥의 부정적분 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 1

𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶

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치환적분

• 적분의 대상이 합성함수인 경우, 합성함수의 ‘속함수’

를 새로운 변수로 치환

– 피적분함수가 𝑓(𝑔(𝑥))일 때, 𝑔(𝑥) = 𝑧로 치환하면, 𝑓(𝑧)로 단순해짐

– 𝑥에 대한 적분계산을 𝑑𝑧 = 𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥라는 미분량식 을 활용하여 𝑧에 대한 적분계산으로 변환

• (예) 𝑧 = 2𝑥 + 1이고 𝑑𝑥 = ¹₂ 𝑑𝑧 2𝑥 + 1 ²𝑑𝑥 = 𝑧² 1

2 𝑑𝑧 = 1 2

𝑧³

3 + 𝐶 = 2𝑥 + 1 ³

6 + 𝐶

정적분

• 그래프 아래의 면적

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정적분

• 면적의 근사치 계산

정적분

• 𝑥₀, … , 𝑥_𝑛을 다음과 같이 정의하자.

𝑥₀ = 𝑎, 𝑥₁ = 𝑎 + ∆, 𝑥₂ = 𝑎 + 2∆, … , 𝑥_𝑛 = 𝑎 + 𝑛∆= 𝑏

• 다음을 리만합(Rieman Sum)이라고 부른다.

𝑓(𝑥₁) 𝑥₁ − 𝑥₀ + 𝑓 𝑥₂ 𝑥₂ − 𝑥₁ + ⋯ + 𝑓 𝑥_𝑛 𝑥_𝑛 − 𝑥_𝑛−1 = 𝑓(𝑥_𝑖)∆

𝑛

𝑖=1

• Δ를 0에 가깝게 (즉,

n

∆→0lim 𝑓(𝑥_𝑖)∆

𝑛

𝑖=1

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

56

정적분의 성질

• 정적분의 성질

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎 𝑎

= 0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑐 𝑏

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑐 𝑎

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

= − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑏

• (예)

1

𝑥 𝑑𝑥

𝑒 1

= ln 𝑥 ₁^𝑒 = ln 𝑒 − ln 1 = 1 − 0 = 1

미적분학의 기본정리

• 함수 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅가 연속함수라고 하자. 그러면, 𝑓는 역도함수 𝐹를 가지고 다음이 성립함

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) – 부정적분과 정적분의 연결

– 즉, 함수 𝑓(𝑥)의 그래프와 𝑥-축사이의 면적은 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 이다.

58

미적분학의 기본정리

• 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑦 𝑑𝑦_𝑎^𝑥 라고 하자. 그러면 𝐹는 𝑎에서 𝑥까 지 𝑓의 그래프 아래의 면적이다.

• 그러면, 𝐹 𝑥 + ∆𝑥 − 𝐹(𝑥) ≈ 𝑓(𝑥)∆𝑥.

면적

≈ 𝑓(𝑥)∆𝑥

미적분학의 기본정리

• 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑦 𝑑𝑦_𝑎^𝑥 로 정의. 𝑥, 𝑥 + ℎ ⊂ (𝑎, 𝑏)인 ℎ > 0에 대해서, 𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹(𝑥)

ℎ = 1

ℎ 𝑓 𝑦 𝑑𝑦

𝑥+ℎ

𝑎 − 𝑓 𝑦 𝑑𝑦

𝑥

𝑎 = 𝑓 𝑦

ℎ 𝑑𝑦

𝑥+ℎ 𝑥

• 𝑓가 연속이므로, 𝑦 ∈ 𝑥, 𝑥 + ℎ 인 모든 𝑦에 대해 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑦) < 𝜀.

𝑓(𝑦) ℎ 𝑑𝑦

𝑥+ℎ 𝑥

− 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑦) ℎ 𝑑𝑦

𝑥+ℎ 𝑥

− 𝑓 𝑥

ℎ 𝑑𝑦

𝑥+ℎ

𝑥

= 𝑓 𝑦 − 𝑓(𝑥)

ℎ 𝑑𝑦

𝑥+ℎ 𝑥

≤ 𝑓 𝑦 − 𝑓 𝑥

ℎ 𝑑𝑦

𝑥+ℎ 𝑥

< 𝜀ℎ

ℎ = 𝜀

• 그러므로 lim

ℎ→0

𝐹 𝑥+ℎ −𝐹(𝑥)

ℎ = 𝑓(𝑥). 𝐹의 정의에 의해 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

= 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

60

이상적분 (Improper Integral)

• 정적분 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎^𝑏 에서

1) 𝑎와 𝑏 중 적어도 하나가 무한대이거나, (예: 𝑏가 무한대)

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

∞ 𝑎

= lim

𝑏→∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

2) 피적분함수가 unbounded 일 때

(예: 𝑥 = 0에서 𝑓(𝑥)가 정의되지 않을 때) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 0

= lim

𝜀→0 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 𝜀

이상적분 (Improper Integral)

• (예) 1

𝑥 𝑑𝑥

1 0

= lim

𝜀→0

1

𝑥 𝑑𝑥

1 𝜀

= lim

𝜀→0 2 𝑥 ¹_𝜀 = lim

𝜀→0 2 − 2 𝜀 = 2

• (예) 1 𝑥 𝑑𝑥

∞ 1

= lim

𝑏→∞

1 𝑥 𝑑𝑥

𝑏 1

= lim

𝑏→∞ log 𝑥 ₁^𝑏 = lim

𝑏→∞ log 𝑏 = ∞

62

응용: 소비자 잉여

• 소비자잉여: 소비자가 특정재화를 특정량 만큼 구입 하기 위하여 지불하고자 하는 금액과 실제로 지불한 금액의 차이

• 재화의 역소비함수 𝑝 = 𝐷⁻¹(𝑞)가 연속함수이고, 재 화의 가격이 𝑝₀, 이 때 소비자의 구매량이 𝑞₀라고 하 자. 소비자 잉여(CS)는 다음과 같이 정의된다.

𝐶𝑆 = 𝐷⁻¹ 𝑞 𝑑𝑞

𝑞₀ 0

− 𝑝₀𝑞₀

• (예) 수요함수: 𝑞 = 20 − 2𝑝, 𝑝₀ = 5.

𝐶𝑆 = 1

2 (2 − 𝑞)

10 0

𝑑𝑞 − 5 × 10 = 25

63

응용: 현재가치 계산

• 변수 𝑥의 값이 시간 𝑡의 연속함수이며 그 값은 𝑥(𝑡) 를 따라 변한다고 하자. 그러면 𝑡 = 𝑠일 때 𝑥의 값은 𝑥 𝑠 이고 현재가치(𝑡 = 0일 때)는 𝑥(𝑠)𝑒^−𝑟𝑠.

• 이제 𝑡 = 0에서 𝑡 = 𝑇까지에 대응하는 𝑥(𝑡)값들의 현 재가치의 연속합은

𝑥(𝑡)𝑒^−𝑟𝑡

𝑇 0

𝑑𝑡

• (예) 모든 𝑡에 대해 𝑥(𝑡) = 𝐴이고 𝑇 = ∞일 때 (예를 들어 연금 𝐴를 연속적으로 받는 상황)

𝑥(𝑡)𝑒^−𝑟𝑡𝑑𝑡

∞ 0

= lim

𝑇→∞ 𝐴𝑒^−𝑟𝑡𝑑𝑡

𝑇 0

= lim

𝑇→∞ − 𝐴

𝑟 𝑒^−𝑟𝑡

0 𝑇

= 𝐴

𝑟 lim

𝑇→∞ 1 − 𝑒^−𝑟𝑇 = 𝐴 𝑟

9. 선형대수의 기초

벡터 (Vector)

• 숫자(스칼라)들을 한 방향으로 배열한 것

– 좌우로 늘어놓는 경우 행벡터(row vector)

– 상하로 늘어놓는 경우 열벡터(column vector)

• 벡터의 ‘차원’: 배열에 포함된 숫자의 개수

• (예) 𝑣 = 0,1 ∈ 𝑅², 𝑤 = 1,2,3 ∈ 𝑅³

66

벡터 사이의 거리 및 벡터의 길이

• 선분 𝑙의 길이는?

(𝑙의 길이)²

= (𝑚의 길이)²+(𝑛의 길이)²

= 𝑎₁ − 𝑎₂ ² + 𝑏₁ − 𝑏₂ ²

• 점𝑃와 𝑄사이의 거리는 𝑃𝑄 = 𝑙의 길이

= 𝑎₁ − 𝑎₂ ² + 𝑏₁ − 𝑏₂ ²

𝑏₂

𝑏₁

𝑎₁ 𝑎₂

𝑙

𝑚

𝑛 𝑃

𝑄

𝑅

벡터 사이의 거리 및 벡터의 길이

𝑃

𝑄

𝑆 𝑅

𝑇

𝑏₁ 𝑏₂

𝑐₁ 𝑐₂

𝑎₂ 𝑎₁

• 𝑃𝑄 ² = 𝑃𝑅 ² + 𝑅𝑄 ²

• 𝑃𝑅 ² = 𝑅𝑇 ² + 𝑆𝑅 ² = 𝑎₁ − 𝑎₂ ² + 𝑏₁ − 𝑏₂ ²

• 𝑃𝑄 ² = 𝑎₁ − 𝑎₂ ² + 𝑏₁ − 𝑏₂ ² + 𝑐₁ − 𝑐₂ ²

• 두 벡터 𝑣와 𝑢 사이의 거리는

• 벡터 𝑣의 길이는

𝑣 = 𝑣₁² + ⋯ + 𝑣_𝑛²

68

선형결합과 선형독립

• 𝛼_𝑖 ∈ ℝ은 스칼라이고, 벡터 𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑘 ∈ ℝ^𝑛

• 다음을 선형결합(linear combination)이라고 한다.

𝑣 = 𝛼₁𝑣₁ + 𝛼₂𝑣₂ + ⋯ + 𝛼_𝑘𝑣_𝑘

• 아래의 선형결합을 살펴보자.

𝛼₁𝑣₁ + 𝛼₂𝑣₂ + ⋯ + 𝛼_𝑘𝑣_𝑘 = 0

• 위 식을 만족하는 해는 적어도 하나 존재한다.

𝛼₁ = 𝛼₂ = ⋯ = 𝛼_𝑘 = 0

선형결합과 선형독립

• 이 해가 유일한 해일 때 𝑣₁, … , 𝑣_𝑘는 선형독립

(linearly independent), 다른 해가 존재할 때는 선 형종속(linearly dependent)이라고 한다.

• 선형종속이면, 𝛼_𝑖 ≠ 0인 𝑖가 최소한 하나 존재하고, 다음이 성립한다.

𝑣_𝑖 = − 𝛼₁

𝛼_𝑖 𝑣₁ + ⋯ + 𝛼_𝑖−1

𝛼_𝑖 𝑣_𝑖−1 + 𝛼_𝑖+1

𝛼_𝑖 𝑣_𝑖+1 + ⋯ 𝛼_𝑘 𝛼_𝑖 𝑣_𝑘

70

선형결합과 선형독립

• (예) 𝑣₁ = 1,1,1 , 𝑣₂ = 3,4,5 , 𝑣₃ = −2, −2, −2 은 선 형독립인가 선형종속인가?

• (예) 𝑣₁ = 1,0,0 , 𝑣₂ = 0,1,0 , 𝑣₃ = 0,0,1 은 선형독 립인가 선형종속인가?

𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₁ 𝑥₂

(a) 선형종속 (b) 선형독립

10. 행렬대수

72

행렬

• 스칼라들을 행과 열로, 즉 직사각형 모양으로 배열 한 것.

𝐴 = 𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛} =

𝑎₁₁ ⋯ 𝑎_1𝑛

⋮ ⋱ ⋮

𝑎_𝑚1 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛

– 행렬에 𝑚행과 𝑛열이 있을 때, 𝑚 × 𝑛차원 – 𝑚 = 𝑛 이면 정사각형렬

– 정사각행렬 𝑎_𝑖𝑖 = 1, 𝑎_𝑖𝑗 = 0이면 단위행렬 𝑰 – 𝑚 = 1 (𝑛 = 1)이면 𝑛 (𝑚)차원 행(열)벡터

행렬의 연산

• 행렬의 합: 𝐴 + 𝐵 = 𝑎_𝑖𝑗 + 𝑏_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛}

• 스칼라 곱: 𝛼𝐴 = 𝛼𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛}

• 행렬의 곱: 𝐴는 𝑚 × 𝑛, 𝐵는 𝑛 × 𝑝 행렬일 때, 𝐴𝐵 = 𝑎_𝑖𝑟𝑏_𝑟𝑗

𝑛

𝑟=1 𝑚×𝑝

• 전치행렬: 주어진 행렬에서 행과 열의 역할을 서로 바꾸어서 만든 행렬

𝐴^𝑇 = 𝑎_{𝑖𝑗 𝑚×𝑛}^𝑇 = 𝑎_{𝑗𝑖 𝑛×𝑚}

74

행렬의 연산

• (예) 𝐴는 3 × 3, 𝐵는 3 × 2 행렬

𝐴𝐵 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

𝑏₁₁ 𝑏₁₂ 𝑏₂₁ 𝑏₂₂ 𝑏₃₁ 𝑏₃₂

=

𝑎₁₁𝑏₁₁ + 𝑎₁₂𝑏₂₁ + 𝑎₁₃𝑏₃₁ 𝑎₁₁𝑏₁₂ + 𝑎₁₂𝑏₂₂ + 𝑎₁₃𝑏₃₂ 𝑎₂₁𝑏₁₁ + 𝑎₂₂𝑏₂₁ + 𝑎₂₃𝑏₃₁ 𝑎₂₁𝑏₁₂ + 𝑎₂₂𝑏₂₂ + 𝑎₂₃𝑏₃₂ 𝑎₃₁𝑏₁₁ + 𝑎₃₂𝑏₂₁ + 𝑎₃₃𝑏₃₁ 𝑎₃₁𝑏₁₂ + 𝑎₃₂𝑏₂₂ + 𝑎₃₃𝑏₃₂

• (예) 𝐴는 3 × 3 𝐴 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃

𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ , 𝐴^𝑇 =

𝑎₁₁ 𝑎₂₁ 𝑎₃₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₂ 𝑎₃₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₃ 𝑎₃₃

75

역행렬

• 정사각 행렬 𝐴의 역행렬 𝐴⁻¹:

𝐴𝐴⁻¹ = 𝐴⁻¹𝐴 = 𝐼 – 𝐴^{−1 −1} = 𝐴

– 𝐴의 역행렬 𝐴⁻¹는 단 하나 뿐이다

(증명) 𝐴의 역행렬이 𝑋와 𝑌가 있다고 해보자. 그러면 𝑌 = 𝑌𝐼 = 𝑌 𝐴𝑋 = 𝑌𝐴 𝑋 = 𝐼𝑋 = 𝑋

– 𝐴^{𝑇 −1} = 𝐴^{−1 𝑇}

(증명) 𝐴𝐵 ^𝑇 _𝑖𝑗 = 𝐴𝐵 _𝑗𝑖 = 𝐴_{ℎ 𝑗ℎ}𝐵_ℎ𝑖 = 𝐴_{ℎ ℎ𝑗}^𝑇 𝐵_𝑖ℎ^𝑇 = 𝐵_{ℎ 𝑖ℎ}^𝑇 𝐴^𝑇_ℎ𝑗 = 𝐵^𝑇𝐴^𝑇 _𝑖𝑗

– 𝐴𝐵 ⁻¹ = 𝐵⁻¹𝐴⁻¹

(증명) 𝐴𝐵 𝐵⁻¹𝐴⁻¹ = 𝐴 𝐵𝐵⁻¹ 𝐴⁻¹ = 𝐴𝐼𝐴⁻¹ = 𝐴𝐴⁻¹ = 𝐼

– 단, 모든 행렬이 역행렬을 가지는 것은 아님

76

행렬식

• 행렬식은 𝑛 × 𝑛행렬 𝐴에 일정한 법칙에 따라 하나의 실수를 대응시키는 것. det 𝐴 또는 |𝐴|로 표시

• 소행렬 𝐴_𝑖𝑗: 행렬 𝐴에서 𝑖번째 행과 𝑗번째 열을 지우 가 남은 (𝑛 − 1) × (𝑛 − 1)행렬

• 여인수(cofactor): 𝐶_𝑖𝑗 ≡ −1 ^𝑖+𝑗det (𝐴_𝑖𝑗)

• 행렬식은 임의의 𝑖행 또는 𝑗열에 관한 여인수 전개로 재귀적으로 정의

det 𝐴 = 𝑎_𝑖1𝑐_𝑖1 + ⋯ + 𝑎_𝑖𝑛𝑐_𝑖𝑛 = −1 ^𝑖+𝑗𝑎_𝑖𝑗det (𝐴_𝑖𝑗)

𝑛

𝑗=1

det 𝐴 = 𝑎_1𝑗𝑐_1𝑗 + ⋯ + 𝑎_𝑛𝑗𝑐_𝑛𝑗 = −1 ^𝑖+𝑗𝑎_𝑖𝑗det (𝐴_𝑖𝑗)

𝑛 𝑖=1

행렬식의 성질

1) det 𝐴 = det 𝐴^𝑇

– (예) 𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 , 𝐴^𝑇 = 𝑎 𝑐

𝑏 𝑑 , |𝐴| = |𝐴^𝑇| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

2) 임의의 두 행(열)의 위치를 서로 바꾸면 행렬식의 값은 부호가 변함.

– (예) 𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 , 𝐵 = 𝑐 𝑑

𝑎 𝑏 , B = − 𝐴 = 𝑏𝑐 − 𝑎𝑑

3) 어떤 행(열)의 모든 원소에 공통인 인수는 행렬식 밖으로 묶어 낼 수 있음.

– (예) 𝐴 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 , 𝐵 = ℎ𝑎 ℎ𝑏

𝑐 𝑑 , |𝐵| = ℎ|𝐴|

78

행렬식의 성질

4) 두 행(열)이 같거나 비례하면 행렬식의 값은 0.

(증명) 행렬 𝐴의 두 행이 같다면, 두 행의 위치를 바꾸어 도 동일한 행렬이고 성질 (2)에 의해서 |A| = −|𝐴|. 따라 서 |A| = 0.

만약 두 행이 비례하면, 성질 (3)에 의해서 공통인 인수 를 밖으로 묶어 내면, 두 행이 동일한 행렬이 되므로

|A| = 0.

열에 대해서도 같은 증명.

5) 한 행(열)의 원소가 모두 0이면 그 행렬식은 0.

(증명) 해당하는 행(열)을 택해서 여인수 전개를 할 것.

행렬식의 성질

6) 행렬 𝐴, 𝐵, 𝐶가 있을 때, 행렬 𝐴의 한 행(열)이 행렬 𝐵, 𝐶의 같은 행(열)의 합(차)이고, 나머지 행과 열은 모두 동일하면, det 𝐴 = det 𝐵 ± det (𝑐)

– (예) 𝑎 + 𝑘 𝑏 + 𝑙

𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 + 𝑘 𝑙

= 𝑎 + 𝑘 𝑑 − 𝑏 + 𝑙 𝑐 𝑐 𝑑

• (주의) det 𝐴 + 𝐵 ≠ det 𝐴 + det (𝐵).

– (예) 𝐴 = 1 2

3 4 , 𝐵 = 3 2

6 4 이면 𝐴 + 𝐵 = 4 4

9 8 . 이 때 |𝐴| = −2, |𝐵| = 0, |𝐴 + 𝐵| = −4

80

행렬식의 성질

7) 한 행(열)의 각 원소에 임의의 수를 곱하여 다른 행(열)의 대응원소에 더하여도 행렬식은 같음.

– (예) 𝑎 + 𝑘𝑐 𝑏 + 𝑘𝑑

𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 + 𝑘𝑐 𝑘𝑑 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 + 𝑘 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 = 𝑎 𝑏

8) 두 정방행렬 𝐴와 𝐵의 곱 𝐴𝐵의 행렬식은 𝑐 𝑑

det 𝐴𝐵 = det 𝐴 det (𝐵)

– (예)

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

𝑒 𝑓 𝑔 ℎ =

𝑎𝑒 + 𝑏𝑔 𝑎𝑓 + 𝑏ℎ 𝑐𝑒 + 𝑑𝑔 𝑐𝑓 + 𝑑ℎ

81

행렬식 성질의 응용

• (예) 성질 (7)을 이용한 행렬식 계산

1 2 3 4 0 4 2 1 0

5 2

3 4 8 3 5

=

1 2 3 4

0 4 2 1

0

0 2

−7 4 8

−12 −15

= 4 2 1

2 4 8

−7 −12 −15 = 4 2 1

−6 0 6 17 0 −9

= −2 −6 6

17 −9 = 96

• (예) 성질 (8)을 이용하면

det 𝐴 det 𝐴⁻¹ = det 𝐴𝐴⁻¹ = det 𝐼 = 1.

따라서

det 𝐴⁻¹ = 1 det (𝐴)

82

역행렬과 행렬식

• 행렬 𝐴의 역행렬은

𝐴⁻¹ = 1

|𝐴| 𝐶^𝑇

• 따라서 다음이 성립한다.

𝐴 1

|𝐴| 𝐶^𝑇 = 1

|𝐴|

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

𝐶₁₁ 𝐶₂₁ 𝐶₃₁ 𝐶₁₂ 𝐶₂₂ 𝐶₃₂

𝐶₁₃ 𝐶₂₃ 𝐶₃₃ = 𝐼

83

역행렬과 행렬식

• 일반적으로 다음이 성립한다. (𝑖 ≠ 𝑘)

𝑎_𝑘1𝐶_𝑖1 + 𝑎_𝑘2𝐶_𝑖2 + ⋯ + 𝑎_𝑘𝑛𝐶_𝑖𝑛 = 0

(증명) 3 × 3의 경우 (일반적으로 성립함). 아래의 행렬 𝐵를 생각해보자.

𝐵 =

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑏₁ 𝑏₂ 𝑏₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

그러면, det 𝐵 = 𝑏₁𝐶₂₁ + 𝑏₂𝐶₂₂ + 𝑏₃𝐶₂₃이다. 이때

𝑏 = (𝑏₁, 𝑏₂, 𝑏₃)이 (𝑎₁₁, 𝑎₁₂, 𝑎₁₃)이거나 (𝑎₃₁, 𝑎₃₂, 𝑎₃₃)이 면 행렬식의 성질(4)에 의해 det 𝐵 = 0.

84

고유근과 고유벡터

• 고유벡터(eigenvector): 𝑛 × 𝑛 행렬 𝐴에 대해 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥

을 만족하는 𝑥 ≠ 0인 벡터 𝑥

• 고유근(eigenvalue): 이 때의 𝜆

• 고유근을 구하는 문제: (𝐴 − 𝜆𝐼)𝑥 = 0가 𝑥 ≠ 0인 해 를 갖기 위한 스칼라 𝜆를 결정하는 문제.

– |𝐴 − 𝜆𝐼| ≠ 0이면 (𝐴 − 𝜆𝐼)의 역행렬이 존재하여 유일한 해 𝑥 = 0을 얻음.

– 𝑥 ≠ 0인 해를 가지려면 𝑨 − 𝜆𝑰 = 𝟎이어야 함.

85

고유근과 고유벡터

• 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0은 𝐴의 고유방정식(characteristic polynomial of 𝑨)

– 𝐴가 𝑛 × 𝑛 행렬이면 𝐴 − 𝜆𝐼 = 0은 𝜆에 관한 𝑛 차 다항식으로 𝑛 개의 고유근 𝜆₁, 𝜆₂, ⋯ , 𝜆_𝑛을 가짐

• 𝐴 − 𝜆_𝑖𝐼 𝑥 = 0, 𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛을 풀면 고유근 𝜆_𝑖에 대 응하는 고유벡터 𝑥^𝑖(≠ 0) 를 얻음.

– 고유벡터 𝑥¹, 𝑥², ⋯ , 𝑥^𝑛을 구할 수 있음.

• 고유근은 실수 혹은 허수. 어떤 근은 중근도 가능. 단, 𝐴가 대칭행렬이면 그 고유근은 반드시 실수.

– 경제학에서 고유근의 문제를 다루는 경우 대부분 𝐴가 대칭행렬

86

고유근과 고유벡터

• (예) 𝐴 = 3 1

1 3 의 고유근과 고유벡터를 구하라.

(풀이)

3 11 3

𝑥₁

𝑥₂ = 𝜆 𝑥₁

𝑥₂ ⇒ 3 − 𝜆 1 1 3 − 𝜆

𝑥₁

𝑥₂ = 0 0 3 − 𝜆 1

1 3 − 𝜆 = (3 − 𝜆)²−1 = 0 ⇒ 𝜆₁ = 2, 𝜆₂ = 4

– 𝜆₁ = 2일 때 1 1 1 1

𝑥₁

𝑥₂ = 0

0 ⇒ 𝑥¹ = 𝑐₁ 1

−1 (𝑐₁ ≠ 0) – 𝜆₂ = 4일 때 −1 1

1 −1

𝑥₁

𝑥₂ = 0

0 ⇒ 𝑥² = 𝑐₁ 1

1 (𝑐₂ ≠ 0) – 하나의 고유근에 대응하는 고유벡터는 유일하지 않다

11. 선형연립방정식의 풀이

88

선형연립방정식

𝑎 ₁₁ 𝑥 ₁ + 𝑎 ₁₂ 𝑥 ₂ + ⋯ + 𝑎 _1𝑛 𝑥 _𝑛 = 𝑏 ₁ 𝑎 ₁₁ 𝑥 ₁ + 𝑎 ₁₂ 𝑥 ₂ + ⋯ + 𝑎 _1𝑛 𝑥 _𝑛 = 𝑏 ₂

⋮

𝑎 ₁₁ 𝑥 ₁ + 𝑎 ₁₂ 𝑥 ₂ + ⋯ + 𝑎 _1𝑛 𝑥 _𝑛 ⋮

=

⋮ 𝑏 _𝑛

𝑎 ₁₁ 𝑎 ₁₂ ⋯ 𝑎 _1𝑛 𝑎 ₂₁ 𝑎 ₂₂ ⋯ 𝑎 _2𝑛

⋮

𝑎 _𝑚1 ⋮

𝑎 _𝑚2 ⋱ ⋮

⋯ 𝑎 _𝑚𝑛

𝑥 ₁ 𝑥 ₂

⋮ 𝑥 _𝑛

=

𝑏 ₁ 𝑏 ₂

⋮ 𝑏 _𝑛

𝐴𝑥 = 𝑏

역행렬을 이용한 풀이

• 선형 연립방정식을 𝐴𝑥 = 𝑏라는 행렬 형태 쓴 후, 행 렬 𝐴의 역행렬 𝐴⁻¹를 계산하여 해를 구함.

𝑥^∗ = 𝐴⁻¹𝑏

• 이 때, 역행렬은

𝐴⁻¹ = 1

det (𝐴) 𝐶^𝑇

• (예) 1 1 1 2

𝑥₁

𝑥₂ = 0 𝑥₁^∗ 1

𝑥₂^∗ = 𝐴⁻¹ 0

1 = 2 −1

−1 1 0

1 = −1 1

90

크레이머 공식 (Cramer’s Rule)

• 연립방정식이 𝐴𝑥 = 𝑏일 때,

𝑥_𝑖 = det (𝐴 𝑖 ) det (𝐴)

– 이 때, 행렬 𝐴 𝑖 는 행렬 𝐴의 𝑖번째 열을 벡터 𝑏로 대체하여 얻어진 행렬

𝐴 𝑖 =

𝑎₁₁ ⋯ 𝑏₁ ⋯ 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ ⋯ 𝑏₂ ⋯ 𝑎_2𝑛

⋮

𝑎_𝑚1 ⋮

⋯

⋮ ⋮ ⋮

𝑏_𝑛 ⋯ 𝑎_𝑚𝑛

크레이머 공식 (Cramer’s Rule)

(증명)

𝑥

= 𝐴

𝑏 = 1

|𝐴| 𝐶

𝑏 = 1

|𝐴|

𝐶

⋯ 𝐶

⋮ ⋱ ⋮

𝐶

⋯ 𝐶

𝑏

⋮

𝑏

= 1

|𝐴|

𝑏

𝐶

𝑛

𝑖=1

⋮

𝑏

𝐶

𝑛

𝑖=1

이므로

𝑥_𝑗^∗ = 1

|𝐴| 𝑏_𝑖𝐶_𝑖𝑗

𝑛 𝑖=1

= |𝐴 𝑗 |

|𝐴|

𝐴 = ^𝑛_𝑖=1 𝑎_𝑖𝑗𝐶_𝑖𝑗 (𝑗열에 대한 여인수 전개)이므로 ^𝑛_𝑖=1 𝑏_𝑖𝐶_𝑖𝑗 는 𝐴의 𝑗열을 𝑏로 대체하여 만들어진 행렬의 행렬식이다.

92

크레이머 공식 (Cramer’s Rule)

• (예)

2 −3 0 4 −6 1 1 10 0

𝑥₁ 𝑥₂

𝑥₃ = 2 7 1

𝑥₁ = det 𝐴(1)

det 𝐴 =

det 2 −3 0 7 −6 1 1 10 0 det 2 −3 0 4 −6 1 1 10 0

= −23

−23 = 1

Gauss-Jordan 소거법

• 역행렬 계산, 크레이머의 공식 이용 연립방정식 풀이 법은 𝐴⁻¹ 존재 시에만 적용 가능

• 𝐴⁻¹가 존재하지 않는 경우에도 적용할 수 있는 연립 방정식 풀이법

• 미지수 소거법의 행렬 버전

– 한 방정식에 0 아닌 상수를 곱한다.

– 두 방정식의 위치를 바꾼다.

– 한 방정식에 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.

– 한 행의 상수배를 다른 행에 더한다.

94

Gauss-Jordan 소거법: 예제

2𝑥₁ + 5𝑥₂ = 19 ⋯ (1) 𝑥₁ + 𝑥₂ = 5 ⋯ (2) - 식 (1)과 (2)의 위치를 바꿈.

𝑥₁ + 𝑥₂ = 5 ⋯ (1)′

2𝑥₁ + 5𝑥₂ = 19 ⋯ (2)′

- 1 ^′ × (−2) + (2)′

𝑥₁ + 𝑥₂ = 5 ⋯ (1)′′

0𝑥₁ + 3𝑥₂ = 9 ⋯ (2)′′

2 5 | 19 1 2 | 5

1 1 | 5 2 5 | 19

1 1 | 5 0 3 | 9

Gauss-Jordan 소거법: 예제

- 2 ^′′ × 1/3

𝑥₁ + 𝑥₂ = 5 ⋯ (1)′′′

0𝑥₁ + 𝑥₂ = 3 ⋯ (2)′′′

- 2 ^′′′ × −1 + (1)′′′

𝑥₁ + 0𝑥₂ = 2 0𝑥₁ + 𝑥₂ = 3

1 1 | 5 0 1 | 3

1 0 | 2 0 1 | 3

12. 다변수함수와 미분

97

다변수함수

• 경제학 및 사회과학에서는 설명요인(독립변수)이 여 러 개인 경우가 많음.

• 두 개 이상의 독립변수가 하나의 종속변수에 대응되 는 다변수함수를 사용

• 𝑓: 𝑅^𝑛 → 𝑅

– 독립변수가 𝑛개이고 함수값이 실수인 경우 – (예) 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ = 𝑎₁𝑥₁ + 𝑎₂𝑥₂

,

– 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ = 𝑘𝑥₁^𝑏1𝑥₂^𝑏2 – 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ = min 𝑥₁, 𝑥₂

98

다변수함수의 그래프

• 𝑦 = 𝑓 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 의 그래프는

(𝑥₁, … , 𝑥_𝑛, 𝑓 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛 )

을 만족하는 점들의 집합으로 (𝑛 + 1)차원

• 이변수함수를 그림으로 나태는 방법들 – 그래프 (3차원 그림)

– 등위선 (변수 중 하나를 고정시킴)

다변수함수의 그래프

• (예) 𝑦 = 𝑓 𝑥₁, 𝑥₂ = 𝑥₁𝑥₂

100

편미분

• 경제학에서는 설명요인(독립변수)이 여러 개인 경우 가 많아서 다변수함수 모형이 자주 사용됨

• 여러 개의 독립변수 중 나머지 변수는 고정시키고 하나의 변수만을 변화시킬 때의 함수 값의 변화

– 다른 변수는 상수로 취급한 채, 한 변수로만 미분 하면 됨

– 편도함수를 도출하는 과정이 편미분

𝜕𝑓(𝑥₁, 𝑥₂)

𝜕𝑥₁ = 𝑓₁ = lim

Δ𝑥₁→0

𝑓 𝑥₁ + Δ𝑥₁, 𝑥₂ − 𝑓(𝑥₁, 𝑥₂) Δ𝑥₁