Chapter 3: Two-dimensional steady-state conduction
■ 서론
▶ 2-D steady state equation
열전도계수를 상수라고 가정하면 정상상태에서 열원이 없는 경우의 3 차원 열전달은 라플라스 방정식으로 나타낼 수 있다.
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+𝜕2𝑇
𝜕𝑦2+𝜕2𝑇
𝜕𝑧2 = 0
현재 2 차원을 다루고 있으므로, z 방향을 제거하면, 𝑥와 𝑦로 공간이 구성된 2 차원 상태의 정상상태 전도식을 얻을 수 있다(그림 1).
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2+𝜕2𝑇
𝜕𝑦2= 0
Figure 1. 1D, 2D and 3D heat conduction equations
▶ 풀이
이 방정식과 같은 열전도 방정식의 목적은 주어진 열의 흐름으로부터 생기는 다른 열의 흐름이나 온도를 예측하는 것으로, 방정식은 해석적, 도표적 및 수치적 방법의 3 가지 방법을 이용하여 풀이할 수 있다.
1) 해석적 (수학적) 방법: 미분방정식을 직접적으로 풀이함. 가장 정확한 해를 구할 수 있으나, 사용 가능한 경우가 매우 제한적이며, 복잡한 식의 경우 풀이가 어려움
2) 도표적 방법: 등온선과 열유선을 이용한 도표(그림)를 통해서 풀이하는 방법으로 실용적인 방법은 아니고 등온선과 열유선이 직교함을 보여줄 때 이용한다.
3) 수치적 방법: 수치해석을 이용하여 근사적인 해를 구하는 방법으로 복잡한 시스템에도 적용 가능한 가장 효과적인 방법임
2 차원 방정식의 일반적인 풀이는 x 와 y 방향에 대한 온도변화에 따른 열흐름을 벡터의 합을 통해서 계산이 가능하다.
𝑞𝑥= −𝑘𝐴𝑥
𝜕𝑇
𝜕𝑥, 𝑞𝑥= −𝑘𝐴𝑥
𝜕𝑇
𝜕𝑦,
𝒒 = 𝒒𝒙+ 𝒒𝒚
다시 말해서, 총열흐름을 나타내는 벡터는 등온선에 수직한 방향이고, 총열흐름을 x 와 y 방향으로 나누어 구한 각각의 방향으로 열흐름의 벡터합이 총열흐름이 된다.
Figure 2. Vector for total heat transfer
■ 수학적 해석 방법
해석적 방법은 주어진 미분방정식을 직접적, 수학적으로 풀이하는 것이다. 따라서 해석적 방법은 모든 경우에 있어서 항상 가능한 것이 아니고, 때로는 대단히 복잡하고 어려워 실제로 적용이 불가능한 경우도 있다(이런 경우에 수치해석을 이용하여 근사적인 해를 구한다).
직사각형 평판에서의 온도분포를 생각해 보자. 평판에서 세면의 온도는 𝑇1으로 유지되고, 윗면에서의 온도분포는 상수일 수도 있고 사인파와 같은 좀더 복잡한 함수 일수도 있다고 가정하자(그림 3).
Figure 3. Heat flux and isothermal lines in plane (Holman 10th edition, 2011)
편미분 방정식의 일반적인 풀이 방법으로 활용되는 변수분리법을 이용하여 문제를 풀도록 한다. 미분 방정식의 풀이가 X 와 Y 의 곱이라고 가정( 𝑻 = 𝑿𝒀 )하면, 다음과 같은 네가지의 경계조건을 주어진 문제로부터 구할 수 있다 (마지막 경계조건의 경우 평판의 윗면의 온도가 사인파인 경우라 생각한다).
𝑦 = 0
에서
𝑇 = 𝑇1𝑥 = 0
에서
𝑇 = 𝑇1𝑥 = 𝑊
에서
𝑇 = 𝑇1 𝑦 = 𝐻에서
𝑇 = 𝑇𝑚𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥𝑊+ 𝑇1
𝑇 = 𝑋𝑌를 x, y 에 대해서 2 번 미분하고 양변을 변수 분리하여 정리하면 다음과 같은 미분방정식을 얻을 수 있다.
−1 𝑋
𝑑2𝑇 𝑑𝑥2=1
𝑌 𝑑2𝑇 𝑑𝑦2
이를 각각의 변수에 대해서 풀어주어 최종해를 구하면 다음과 같은 해를 얻을 수 있다(자세한 풀이는 교과서를 참고하라.
𝑇 − 𝑇1
𝑇2− 𝑇1=2
𝜋∑(−1)𝑛+1+ 1
𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑥
𝑊 ∙𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑛𝜋𝑦/𝑊) 𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑛𝜋𝐻/𝑊)
∞
𝑛=1
■ 도표적 해석
내부표면의 온도가 𝑇1이고, 외부표면의 온도가 𝑇2인 2 차원 시스템의 열전달을 계산하고자 할 때, 서로 직교하는 등온선과 열유선을 그리고 이들이 형성한 곡선망을 통해 열전달을 계산할 수 있다. 이렇게 구하는 방법을 도표적 해석이라 한다.
설계한 곡선망의 단위 깊이에 대한 열의 흐름은 푸리에의 법칙에 의해 다음과 같이 표시 할 수 있다.
∆𝑞 = 𝑘∆𝑚 × (1)𝛥𝑇 𝛥𝑛
Figure 4. Basics in graphical analysis
에너지 보존의 법칙에 근거하여 각각의 열흐름은 열이 흐르는 통로안에 있는 각 곡선망에 대해서 동일할 것이며 전체적인 열흐름은 모든 통로에 대한 열흐름의 총합과 같을 것이다. 즉, 전체 열흐름은 각각의 열흐름과 열유선 개수의 곱을 통해서 구할 수 있다(즉, 열이 지나는 통로의 총 개수 곱하기 각각의 열흐름).
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑀∆𝑞
만약 그림을 𝛥𝑛 = 𝛥𝑚이 되게 그렸다면 열흐름은 요소를 통한 온도 차 𝛥𝑇에 비례하고, 흐르는 열량이 일정하기 때문에 열이 흐르는 동일한 통로 안에서 각 용소에서의 온도 차 𝛥𝑇는 동일하여야 한다. 따라서 한 요소에서의 온도 차 𝛥𝑇는 다음과 같다.
𝛥𝑇 =𝛥𝑇𝑜𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙𝑙 𝑁
여기서, 𝑁: 외부와 내부사이의 온도증분
이 때 단위 깊이에 대한 열흐름은 단위 사각형의 크기에 상관없이 다음과 같이 될 것이다 (왜냐하면 ∆𝑚과
∆𝑛의 크기가 같으므로, 상쇄되어 없어진다 – 그러므로 단위 사각형의 크기에 상관이 없다).
∆𝑞 = 𝑘𝛥𝑇
만약 두개의 등온선의 온도를 각각 𝑇ℎ와 𝑇𝑐라 한다면 온도변화는 다음과 같이 쓸 수 있다.
∆𝑇 =𝑇ℎ− 𝑇𝑐 𝑁
♠ (예시) 그림 4 에서 𝑇1와 𝑇2 사이에는 5 개의 사각형이 있으므로 (온도가 5 번 증가하므로) N = 5 이다.
그러므로 총열흐름은 아래와 같은 형태가 된다.
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑀∆𝑞 = 𝑀𝑘∆𝑇 =𝑀
𝑁𝑘(𝑇ℎ− 𝑇𝑐)
결국, 열전달을 계산하기 위해서는 곡선망을 만들어 온도증분과 열이 흐르는 통로의 수를 세어보면 된다.
주의할 점은 ∆𝑚과 ∆𝑛의 크기가 거의 같아야 하고, 등온선과 열유선이 직교하여야 한다.
주어진 그림에서 대략적으로 M=15, N=5 이라 할 수 있고, M/N=3 이 된다. 따라서 온도차와 열전도계수를 알면 총 열전달율을 구할 수 있다.
도표적 해석의 관건은, 열유선과 등온선이 직교하는 곡선망을 그릴수 있는가와 각각의 사각형에 대해서
∆𝑚 과 ∆𝑛 을 얼마나 같게 그릴 수 있느냐이다. 하지만, 도표법은 등온선과 열유선 사이의 관계 (서로 직교한다)를 보여주기 위한 것이며 실제 문제에는 별로 도움되지 않는다(왜 그럴까?).
Figure 5. Process for setting up graphical analysis
■ 전도형태계수
도표적 해석에서 구한 다음의 식을 생각해 보자.
𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=𝑀
𝑁𝑘(𝑇ℎ− 𝑇𝑐)
위의 식에서 M/N(열이흐르는 통로의 계수/온도증분)을 전도형태계수라 부른다. 다시 말해서, 온도 2 개만이 논의되는 경우에는 전도형태계수 S 를 정의함으로써 문제를 쉽게 접근할 수 있다.
𝑞 = 𝑘𝑆∆𝑇𝑜𝑣𝑒𝑟𝑎𝑙𝑙
𝑆 =𝑀 𝑁
여러 형태에 대한 S 의 값들이 교과서의 표 3.1 에 수록되어 있으므로, 표를 이용하여 주어진 경우에 대한 열전도를 간단히 구할 수 있다 (더 많은 것이 참고 문헌에 있다).
♠ (참고) 표속에 나오는 역 쌍곡 cos 함수는 다음식으로 계산 가능
cosh−1𝑥 = ln(𝑥 ± √𝑥2− 1)
■ 전도형태계수 예제
1. A horizontal pipe 15 cm in diameter and 4 m long is buried in the earth at a depth of 20 cm. The pipe-wall temperature is 75℃, and the earth surface temperature is 5℃. Assuming that the thermal conductivity of the earth is 0.8 𝑊/𝑚℃, calculate the heat lost by the pipe.
