기술통계-수치적 방법

(1)

기술통계-수치적 방법

Descriptive Statistics-

Numerical Methods

(2)

학습내용

 중심위치

 산포

 box plot

 상관계수 , 회귀식

(3)

모수와 통계량

구분 모수

(parameter)

통계량

(statistic)

대상 모집단의

특성치

표본의

특성치

성질 상수

constant (확률)변수

(random) variable

모집단의

크기 N n

평균

μ X

표준편차

σ s

(4)

중심위치

변동(산포)

모양

데이터의 특성

(5)

데이터의 특성

Mean Median Mode

중심위치

Range

Interquartile Range Variance

산포

Skewness Kurtosis

모양

데이터의 특성 및 측도

(6)

중심위치 (Central Tendency)



데이터들이 어디를 중심으로 분포하는가?



평균(mean, average)

 모평균

 표본평균



중앙값(median)

 (n+1)/2번째 크기의 값



최빈값(mode)

(7)

Excel 함수



average : average(데이터 범위)



median : median(데이터 범위)



mode : mode(데이터 범위)



데이터-데이터분석-기술통계법

(8)

중심위치 측도의 비교



중앙값과 최빈값

 정보의 유실

 극단적인 비대칭분포, 異常値(outlier)가 있을 경우



평균

 ‘통계적으로’ 좋은 성질이 많다.

 극단적인 수치에 민감하다.

 다듬은 평균(trimmed mean)

 가장 큰 값과 가장 작은 값 각각 일정한 수 만큼을 제외하고 구한 평균

 체조, 피겨스케이팅의 점수



서열데이터, 범주형 데이터의 경우

 평균은 부적절

(9)

Skewness(왜도)

Right-Skewed Left-Skewed Symmetric

Mean = Median = Mode

Mean Median Mode Mode Median Mean

3 1

3

3 ) (

) 2 )(

1 ( s

x x

n n

a n

n

i

 i





 

(10)

중심위치와 산포

A 반

B 반

A반과 B반의 중심위치(평균)는 같지만 ...

(11)

산포 /변동(dispersion/variation)



중심위치에서부터 흩어져 있는 정도

 범위

 사분위 범위

 평균편차

 분산

 표준편차



산포는 작아야 좋은가, 커야 좋은가?

 원자재나 부품의 품질(균질성)

 교통수단별 목적지까지의 소요 시간

 학생의 성적분포 – 대학입시

 투자 대안의 수익률

 투구의 속도

(12)

범위(Range)



R = X_max - X_min



구하기가 쉽다.



정보의 유실



range(데이터 범위)

(13)

평균편차

N x MAD

N

i

 i







¹

|

| 



Mean Absolute Deviation(MAD)



avedev(데이터 범위)

(14)

분산과 표준편차

) (

1 2 1

2 2

N x

N

i

i N

i





















(15)

모집단과 표본의 분산, 표준편차

1 2

2 2

1 2

2 2

1 ) (

)

(

s n s

x x

s

σ N σ

x

n

i

i N

i

 













표본 모집단

표준편차 분산





Variance Standard deviation

(16)

간편 계산 공식

 

   





 ⁿ

i

n

i

i i

n

i

i x x x n

x

1 1

2 2

1 2 ( ) /

)

(

(17)

변동계수(Coefficient of Variation)

x CV s

CV  , 







상대적인 측도



2 이상의 그룹의 비교(달러와 원화 환율의 변동 비교)

(18)

사분위 범위(사분편차)



p%번째 백분위수(pth percentile)

 크기 순으로 p%째의 수

 수능점수, SAT

 p%번째 백분위수의 위치 L_p=(n+1)*p/100



4분위수(quartile) : 크기 순으로 배열된 데이터를 4등분한 수

 Lower Quartile(Q₁) = (n+1)/4 번째 위치한 수

 Upper Quartile(Q₃) = 3(n+1)/4 번째 위치한 수

 (n+1)/4나 3(n+1)/4가 정수가 아니면 인접한 두수를 이용한 보간법으로 구함



4분위범위(interquartile range; IQR) = Q₃ - Q₁

 범위에 비해 異常値의 영향을 적게 받음 → Box plot

(19)

Box plot



상자(box)와 수염(whisker)으로 구성; box-whisker plot



box 구성 : Q₁, 중앙값(median), Q₃



outlier(이상치) : 상자에서 1.5*IQR 밖에 있는 점, o으로 표시



whisker : 이상치를 제외한 점 중에서 가장 극단적인(크거나 작은) 점 까지 연장

median

Q1 Q3

o outlier

min max

(20)

Box plot 작성

 box



Q

₁

= 63, median=73, Q

₃

=84

 Fence



IQR=84-63=21



**H-spread = 1.5*IQR =31.5**



fence



lower fence = Q

₁

**- 1.5*IQR=63-31.5=31.5**



upper fence = Q

₃

**+1.5*IQR=84+31.5=115.5**

 outlier(이상치)



fence 밖의 점

 whisker

 이상치를 제외한 점 중에서 가장 크거나(98) 작은 (53)점까지 연장

4 5 3 7 9

11 6 1 2 3 5 6 7 8 (7) 7 0 2 3 4 4 5 7 8 8 1 4 5 6 6 7 8 1 9 8

LO 21

경영통계 성적

(21)

Box Plot



중심위치, 산포도, 대칭성, 꼬리의 길이, outlier(이상치) 등의 정보 제공

 중심부분(middle)및 꼬리의 패턴

 이상치의 존재 유무 확인



이상치의 원인은 판독(reading) 오류, 기록의 오류, malfunction(이 상 기능) 등이지만 중요한 정보가 담겨있을 수도 있다.

(22)

두 변수간의 관련성



두 변수간의 선형관계

 방향(정, 음)

 강도



공분산



상관계수



결정계수

(23)

공분산

1 )]

)(

[(

1 



 



n

y y

x x

S

n

i

i i

xy

N y x

N

i

y i

x i

xy

 



 ¹

)]

)(

[(  

모공분산



표본공분산

(24)

상관계수(correlation coefficient)

y x

xy

S S r  S

y x

xy



  

모상관계수

표본상관계수

1. σ_xy나 S_xy는 측정단위에 따라 크기가 달라진다.

2. ρ나 r은 측정단위와 무관하다(-1≤ ρ,r≤1).

(25)

상관분석

Strong Positive Correlation Weak Positive Correlation

No Correlation Nonlinear Relation

두 변수간의 선형관계(linear correlation)

(26)

Line Fitting

0 50 100

0 20 40 60

A

B

(27)

최소자승법

x b b

y y y

e   ˆ , ˆ  

잔차(residual)

y ˆ

i

y ˆ  b ₀  b ₁ X y _i

x _i

e

_i

y

x

(28)

최소자승선

x b y

b

S b S

x b b

y

x xy

1 0

1 2

1 ˆ 0









(29)

Excel 활용



상관계수

 데이터-데이터분석-상관분석

 correl(array1,array2)



회귀식

 데이터-데이터분석-회귀분석