4장. 전계의 에너지 및 전위

(1)

4장. 전계의 에너지 및 전위

쿨롱의 법칙; 전하분포- 힘 (벡터함수)

가우스 법칙; 전하분포- 전기장 (벡터함수)

⇒ 에너지? (스칼라 함수)

(2)

4.1 전기장 내에서 점전하 에너지

 전기장 E 내에서 전하 Q를 dL만큼 이동시킬 때, 전기장에 의한 힘

 전하를 이동시키기 위한 힘

 Q를 dL만큼 이동시키는데 외부에서 행한 일

 유한 거리만큼 이동시키는데 필요한 일

E F

_E =

Q

E

appl

F

= −

L E L

F L

F d d Q d

dW

= _appl ⋅ = − _E ⋅ = − ⋅

∫

^⋅

−

= ^final

initial

d Q

W E L

mgh

w

= −

F

_g ⋅

h

= −

(3)

 응용예제 4.1

(4)

4.2 선적분

 경로를 여러 개 선분으로 적분

∫ ^⋅

−

=

^final

initial

d

Q

W E L = − Q ⁽ E

_L1

ΔL

1

+ E

_L2

ΔL

2

+  + E

_L6

ΔL

6

⁾

) ( E

₁

⋅ ∆ L

₁

+ E

₂

⋅ ∆ L

₂

+ + E

₆

⋅ ∆ L

₆

−

= Q 

) ( L

₁

L

₂

L

₆

E ⋅ ∆ + ∆ + + ∆

−

= Q 

)

;

(

E

₁ =

E

₂ ==

E

₆ =

E

균일한 전기장

Q E

⋅

L

BA

−

=

선분벡터 향하는

로 :

B

에서

A

L

BA

(5)

<예제4.1> 균일하지 않은 다음의 전계 인 전계에서 2C의 전 하를 점 B(1,0,1)에서 A(0.8, 0.6,1)까지 x²+y²=1, z=1 인 원호에 따라서 이동시키는데 요하는 일을 구해 본다.

<예제4.2> 만일 점 B와 A를 연결하는 직선을 적분로로 택하는 경우에는 우선

이 직선의 방정식을 구해 본다.

z y

x

y a a a

E = + + 2

(6)

 dL의 표기

 선전하의 경우

(1) ρ=ρ₁에서 한바퀴 이동

)

(

직각 좌표계

z y

x

dy dz

dx

d L

=

a

+

a

+

a

)

(

원통 좌표계

dz

z

d d

d L

=

ρ a

_ρ+

ρ φ a

_φ +

a

)

(

sin _φ 구 좌표계

θ

θ φ

θ a a

a

L dr rd r d

d

= _r+ +

ρ ρ

ρ

πε ρ

ρ a

a E

2 0

E

= L

=

1

φ

ρ a

L d

d

=

φ

ρ

ρ φ

ρ πε

ρ a a

∫

^⋅

−

= ^final

initial

L

d

Q

W

₁

1

2 0

2

0 0

=

⋅

−

=

^Q ∫

^π

_πε ^ρ

^L

^a

^ρ

^a

^φ

(7)

(2) ρ=a 에서 ρ=b까지 이동

b > a ⇒ W < 0 ;스스로 이동

b > a ⇒ W > 0 ;외부에서 일을 해야함.

ρ

ρ πε

ρ a a

∫ ^⋅

−

=

^final

initial

L

d

Q W

2

0

a b Q

Q

^b

d

^L

a

L

ln

2

₀

= −

₀

⋅

−

= ∫ _πε ^ρ _ρ ^ρ _πε ^ρ

ρ

ρ a

L d

d

=

(8)

<응용 예제4.2> 4C 전하를 B(1,0,0)에서부터 A(0,2,0)까지 다음의 전계에서 경로 y=2-2x, z=0으로 이동할 때 필요한 일을 계산하여라.

(a) 5 a_x V/m (b) 5x a_x V/m (c) 5x a_x + 5y a_y V/m

<응용 예제 4.3> 전계 E가 시간적으로 변화할 경우, 보존법칙이 반드시 성립하

지 않음을 나중에 볼 것이다(만약 그것이 보존이 아니면, 식 (3)에 의해 표 현되는 일은 사용한 경로의 함수가 될 수 있다.) 어느 순간 전계가 E=ya_x V/m 일 때, 3C 의 점전하를 다음 점을 잇는 직선으로 이루어지는 경로를 따라 점(1,3,5)에서 점 (2,0,3)까지 움직이는데 필요한 일을 계산하라.

(a)점(1,3,5)에서 점(2,3,5),(2,0,5)를 거쳐 점 (2,0,3)까지 (b)점(1,3,5)에서 (1,3,3),(1,0,3)을 거쳐 점(2,0,3)까지

(9)

4.3 전위차 및 전위의 정의

 단위 시험 전하를 이동시키는데 가해주는 일(Q=1)

 (cf: 전기장 – 단위전하에 작용하는 힘)

 B→A점으로 이동시키는데 요하는 일

 단위

Joule/Coulomb (J/C) = volt (V)

∫

^⋅

−

= ^final

initial

d Q

W E L

∫

^⋅

−

=

= ^final

initial

d

V E L

전위차

∫

^⋅

−

= ^A

AB B

d

V

E L

V

Q

d W

V

^A ^AB

AB = −

∫

B

^E

⋅

^L

=

J 10 1.6

C)(1V) 10

(1.6 1eV

19 -

19 ×

=

×

= ⁻

(10)

선전하의 경우(Q를 ρ=b에서 a를 이동)

전위차

a b W Q

^L ln

2 ₀ ⋅

=

πε ρ

a b Q

V

_ab

W

^L ln 2 ₀ ⋅

=

πε

ρ

응용예제 4.4

(11)

4.4 점전하에 의한 전위

 r = r_A및 r_B 사이에서 전위차?

r_B> r_A→ V_AB> 0 r_B< r_A→ V_AB< 0

2 r 0

r

Q 4

1 a a

E ⁼ ^E

^r ^r

⁼ πε ^d ^L ⁼ ^dr ^a

^r

)

A (B

V

AB ⁼ ⁻

∫

B^A

E

^⋅

d L

에서 로 이동 1 ) ( 1

4 Q r

Q 4

1

0 2

0 A B

r

r^A

dr r r

B

−

=

−

=

∫ _πε _πε

(12)



r

_B

→ ∞ 로 선택



등전위면 (Equipotential surface) ; 같은 전위값을 가지는 모든 점들 로 이루어진 표면

A

r

₀

0

AB 4

) Q 1 ( 1

4 V Q

=

πε

− ∞ ⁼

πε

4 V Q

0

r

=

πε

V E ⊥ 항상

(13)

<응용 예제 4.4> E= 6x

²

a

_x

+ 6ya

_y

+ 4a

_z

V/m 인 전계가 있다. 다음 값을 구하라.

(a) 점 M(2,6,-1)와 점 N(-3,-3,2) 사이의 전위차 V

_MN

(b) 점 Q(4,-2,-35)에서 V=0이라고 할 때 전위 V

_M

(c) 점 P(1,2,-4)에서 V=2이라고 할 때 전위 V

_N

<응용예제 4.5> 15nC 의 점전하가ㅑ 자유공간 내의 원점에 놓여있다.

점 P

₁

(-2,3,-1)에서 V

₁

를 계산하라.

(a) (6,5,4)에서 V=0 일 때

(b) 무한장에서 V=0 일 때

(c) (2,0,4) 에서 V= 5V 일 때

(14)

4.5 전하 시스템의 전위계 : 보존적 성질

 점전하계, 전하 Q₁이 r₁에 위치, r 에서의 전위?

 n 개의 점전하

 연속적 분포 Q_m → ρ_vΔv

 선전하 분포

Q 4

) 1 ( V

1 1

0

r r

r

= −

πε

Q 4

) 1 ( V

n

1 m

m 0

∑

= −

=

r

m

r r

πε

n n

n

v

r r r r

r r r

− + ∆

− +

= ∆

0 v 1

0

1 1 v

4 ) (

4 ) ) (

( V

πε

ρ πε

ρ 

^⇒ ⁼

∫

vol ₋^′ _′ ^′

v d r r

r

(

r

)

4 ) 1 ( V

^v

0

ρ πε

∫

₋^′ _′ ^′

= vol

L d r r

r

(

r

)

4 ) 1 ( V

ρ

^L

πε

표면 전하 분포

∫

₋^′ _′ ^′

=

r d S

r

1 ( )

) ( V

ρ

^S

πε

(15)

 고리 형태의 선전하 (ρ =a) z축 상에서의 전위 V?

 폐곡선을 따라 일주하는데 요하는 일 A-B 사이의 전위차

A, B 가 동일점

⇒ 보존계(conservative field)

2

- 2

,

, z

,

a a z

ad L

d

′ =

φ

′

r

=

a

_z

r

′=

a

_ρ

r r

′ = +

2 2 0 2

2 2

0 0 2

1 4

V 1

z a

a z

a

ad

_L

L

= + +

=

∫

^π

_πε ^ρ ^φ

′

_ε ^ρ

V

AB ⁼

V

A ⁻

V

B ⁼ ⁻

∫

B^A

E

^⋅

d L

0 ∫ ^{E d} ⋅ ^L =

(16)

4.6 전위의 그래디언트

 작은 선분벡터를 생각

( θ; E와 Δ L 사이각)

 ΔL과 E가 반대방향일 때 (θ=180°) dV/dL이 최대

 ΔL이 등전위면

∫

^⋅

−

=

E d L V

cos

E L θ L

E ⋅ ∆ ≅ − ∆

−

=

∆V

θ cos dL E

dV = −

-1) (cos

max

=

E θ

dL dV

= 0

∆

⋅

−

=

∆ V E L

) V E ( ⊥

(17)

 벡터로 표기

a_N; 높은 전위 방향을 향하는 단위 벡터

 V의 전미분

 벡터적으로 표기

dL

N

dV a E

max

−

=

때 가질 방향을 같은

이 과

은

max

dL N

dV ∆L a

Normal

dL dV dL

dV =

max

V

V grad

= − = − ∇

−

=

⇒

_N

Normal

dL

dV a E

z dz dy V

y dx V x dV V

∂ + ∂

∂

= ∂

dz dy

dx

d L E

_x

E

_y

E

_z

E ⋅ = − − −

−

=

x V

x

∂

− ∂

= E

y V

y

∂

− ∂

=

E z

V

z

∂

− ∂

= E

V V

V

∂ ∂

∂

(18)

 벡터 연산자

 다른 좌표계

<예제 4.3> 주어진 전위계 V= 2x²y - 5z와 점 P(-4,3,6) 에서 여러 가지 값을 구해보자.

전위 V, 전계 세기 E, E의 방향, 전속 밀도 D와 체적전하밀도 ρ_v

)

(

_x _y _z 직각 좌표계

z V y

V x

V V a a a

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

)

(

1 _z 원통 좌표계

z V V

V V a a a

∂ + ∂

∂

= ∂

∇ _ρ _φ

φ ρ ρ

)

( sin

1

1 _θ _φ 구 좌표계

φ θ

θ ^a ^a

a

∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

V

r V

r r

V V

_r

V

E = − ∇

z y

x

y z

x a a a

∂ + ∂

∂

= ∂

∇

(19)

4.7 전기 쌍극자 (Electric dipole)

- 전하가 부호 반대

- 충분히 먼 거리에서의 전기장

 점 P에서의 전기장?

(전위 V를 구하고 E를 구하는 방법)

4 Q 1 ) ( 1

4 V Q

2 1

1 2 0 2

1

0

R R

R R R

R

= −

−

=

πε πε

r R

R

₁ ≅ ₂ ≅

R

₂ −

R

₁ ≅

d

cos

θ

2

4

0

Qdcos πε r

= θ

sin ) 1 ( 1

_θ _φ

φ θ

θ

^a ^a

a

E ∂

+ ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

−∇

= V

r V

r r

V V

_r

) sin cos

2 Qd (

E = θ a + θ a

(20)

 쌍극자 모멘트 (dipole moment)로 표현 - -Q에서 Q까지 거리 ; d

- 쌍극자 모멘트 p = Qd (단위 ; C · m)

(일반화 ; r′은 쌍극자 중심 위치 벡터)

θ cos

r

= d d ⋅a

2

4

0

1 V = p r ⋅ a

^r

πε

r r

r r r

r p

− ′

′ ⋅

= −

₂

4

0

1 πε

(21)

<예제 4.9> 자유공간 내의 원점에 놓여 있는 전기쌍극자의 모멘트가 이다. 다음 점들에서 전위를 구하라.

(a) 점 P(2,3,4)에서

(b) r=2.5, θ=30°,Φ=40°에서 V를 구하라.

<예제 4.10> 자유공간 내에 원점에 쌍극자 모멘트 가 놓여 있

다.

(a) P(r=4, θ=20°,Φ=0°) 에서 V를 구하라. (b)P에서 E를 구하라.

m nC 2

3 − + ⋅

= a

_x

a

_y

a

_z

p

m nC

6 ⋅

= a

_z

p

(22)

4.8 정전계의 에너지 밀도

 외부에서 한 일

 Q₁의 전계 내에 Q₂를 가져오는데 필요한 일 Q₃ 을 가져오는데 필요한 일

 전하계 전부를 그 위치에 가져 오는데 필요한 일

QV d

Q

W

= −

∫

⋅ =

E L

^V

⁼ ⁻

∫

^{E d}

^⋅

^L

21 2

2

Q V

W =

32 3 31 3 32

31

3

W W Q V Q V

W = + = +

+  +

+ +

= Q

₂

V

₂₁

Q

₃

V

₃₁

Q

₃

V

₃₂

Q

₄

V

₄₁

Q

₄

V

₄₂

Q

₄

V

₄₃

W

_E

) (

2 W

_E

= Q

₁

V

₁₂

+ V

₁₃

+ V

₁₄

+  + Q

₂

V

₂₁

+ V

₂₃

+ V

₂₄

+  + Q

₃

V

₃₁

+ V

₃₂

+ V

₃₄

+ 

13 1 31 1 3 13

1 3 31

3

4 4

Q V

R Q Q

V

Q = = =

πε 역순서 πε

전하의

+  +

+ +

= Q

₁

V

₁₂

Q

₁

V

₁₃

Q

₂

V

₂₃

Q

₁

V

₁₄

Q

₂

V

₂₄

Q

₃

V

₃₄

W

_E

(23)

 m번째 전하 위치에서의 전위

 연속적인 전하 분포

+ +

+

= _m_,₁ _m_,₂ _m_,₃

m

V V V

V

∑

=

= +

+ +

=

^N

m

m m

E

Q V Q V Q V Q V

W

1 3

3 2 2 1

1

2 ) 1 2 (

1 

∫

= vol v

E

Vdv

W ρ

2 1

(24)

 D, E로 표기

) ( )

( )

( V = V ∇ ⋅ + ⋅ ∇ V

⋅

∇ D D D

∫

∫ ⁼ ^∇ ^⋅

=

vol v vol

E

Vdv Vdv

W ( )

2 1 2

1 ρ D

dv V d

V dv

V

S V

vol

( )

2 ) 1

2 ( 1 )

( )

( 2 [

1 ∫ ^∇ ^⋅ ⁻ ^⋅ ^∇ ⁼ ∫ ^⋅ ⁻ ∫ ^⋅ ^∇

= D D D S D

)

r , 1

r , (V 1

0

₂

d r

²

d

V ⋅ → ∝ ∝ ∝

⇒

∞

→ D S D S

r

∫

^⋅ ⁼

= vol vol

E

dv E dv

W

₀ ²

2 1 2

1

D E ε

2

dW

_E = 1

D

⋅

E dv

→

; 2

1 D ⋅ E 에너지 밀도

dv = dW

_E

) Joule/m

;

( 단위

³

(25)

3.3절 동축 케이블 내경 ; a 외경 ; b

내부 표면 전하 밀도;

총 전하량 ; 0

 a< ρ <b 에서 가우스 표면 선택

(a< ρ <b)

 단위 길이당 전하량

ρ

S

L D

Q

= 2

πρ

S L

z S

ad dz aL

Q

^π

ρ φ ² π ρ

0 2

0

⋅ =

= ∫ ∫

=

ρ

ρ a D = a

^S

ρ

a

S

D

=

S

L

π a ρ

ρ

= 2 _ρ

πρ ρ a D 2

=

L

(26)

 동축 케이블의 경우 에너지는? (3.3절에서)

ρ ρ

ρ ^S

D = a

_ρ

ρ ε

ρ a E

0

a

S

=

a b dz La

d a d

W

^L ^b ^S

a

S

E ln

2 1

0 2 2 0

2

0 2 2

0

ε

ρ φ π

ρ ρ ρ

ε ε ρ

∫ ∫ ∫

π ⁼

=

a< ρ <b 에서

ρ ρ

_S

S

D

=

a

(27)

<예제 4.11> 자유 공간의 영역 2 mm < r < 3 mm, 0 < θ < 90° , 0 < Φ < 90°에 전위계가 다음과 같이 주어졌을 때 거기에 축적되는 에너지를 구하라.

V r

300cos

(b) 200 ,

) (

₂

θ

r V

a

V

=

4장. 전계의 에너지 및 전위