1 16
2018학년도 경찰대학 제1차 시험 제 2 교시 수학 영역
※ 총 6쪽 25문항(3점 5문항, 4점 15문항, 5점 5문항)입니다.
[1~20] 각 문항의 답을 하나만 고르시오.
1.
1)
⋯
의 값은?
[3점]
①
②
③
④
⑤
2.
2) 인 복소수 에 대하여
가 양의 실수일
때, 의 값은? (단, , 는 실수이다.) [3점]
① ② ③
④ ⑤
3.
3 ) 입학정원이 35명인 학과는 올해 대학수학능력시험 4개 영역 표준점수의 총합을 기준으로 하여 성적순에 의하여 신입생을 선 발한다. 올해 학과에 지원한 수험생이 500명이고 이들의 성적 은 평균 500점, 표준편차 30점인 정규분포를 따른다고 할 때, 학과에 합격하기 위한 최저점수를 아래 표준정규분포표를 이 용하여 구한 것은? [3점]
P ≤≤
① 530 ② 535 ③ 540 ④ 545 ⑤ 550
4.
4 ) 직선
위에 두 점 A 과 P
이 있다.점 P를 지나고 직선
에 수직인 직선이 축과 만나
는 점을 Q라 할 때, lim
→∞AP
AQ
의 값은? [3점]
① ② ③ ④ ⑤
1
2 수학 영역
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5.
5) 10이하인 세 자연수 , , 에 대하여lim
→∞
을 만족시키는 순서쌍 의 개수는? [4점]
① 5 ② 7 ③ 9 ④ 12 ⑤ 15
6.
6) 양수 가 을 만족시킬 때, 의 최댓값은?[4점]
① ② ③
④ ⑤
7.
7 ) 다항식 을 , ,
로 나눈 나머지를 각각 , , 라 할 때,
를 로 나눈 나머지는? [4점]
① -4 ② -2 ③ 2 ④ 4 ⑤ 6
8.
8 ) 두 점 O , A 에 대하여 점 P가 곡선 위를 움직일 때, OP AP의 최솟값은? [4점]① 7 ②
③ 8 ④
⑤ 9
수학 영역 3
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3 16
9.
9) 함수
의 그래프와 직선 이 한 점 에서 만나고, 그 만나는 점은 제 1사분면에 있다.
직선 이 축과 만나는 점을 A, 축과 만나는 점을 B 라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이가 1이다. 의 값은?
(단, , 은 상수이고, O는 원점이다.) [4점]
① ② ③
④ ⑤
10.
10) 실수 에 대하여 이차방정식 의 두 실근 을 , ( )라 할 때,
의 최솟값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
11.
11) 두 점 A , B 과 연립부등식
≤ ≥ 의 영역 에 속하는 점 P 에 대하여 삼각형 ABP의 넓이의 최댓값을 , 최솟값을 이라 하자. 의 값은? [4점]
① ②
③
④ ⑤
12.
12) 720의 모든 양의 약수를 , , , ⋯, 이라고 할 때,
log의 값은? (단, log , log 로 계산한다.) [4점]
① 140 ② 143 ③ 146 ④ 149 ⑤ 152
4 수학 영역
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13.
13) 1, 2, 3, 4, 5 의 숫자가 각각 적힌 5개의 공을 모두 3개의 상자 , , 에 넣으려고 한다. 각 상자에 넣어진 공에 적힌 수의 합이 11이하가 되도록 공을 상자에 넣는 방법의 수는?(단, 빈 상자의 경우에는 넣어진 공에 적힌 수의 합을 0으로 생 각한다.) [4점]
① 190 ② 195 ③ 200 ④ 205 ⑤ 210
14.
14) 홀수의 눈이 나올 때까지 주사위를 던지는 시행을 반복한다.10회 이하에서 1의 눈이 나와 시행을 멈출 확률은? [4점]
①
②
③
④
⑤
15.
15) 방정식 의 실근의 개수를 , 모든 실근의 합 을 라 할 때, 의 값은? (단, 는 를 넘지 않는 최대정수 이다.) [4점]① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16
수학 영역 5
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5 16
16.
16) 그림과 같이 한 변의 길이가 1인 흰색 정사각형 을 사등 분하여 오른쪽 위의 한 정사각형을 검은색으로 칠한 전체 도형 을 이라 하고, 의 검은 부분의 넓이를 이라 하자.의 각 정사각형을 사등분하여 얻은 도형이 이면 으로, 이면 으로 모두 바꾼 후 얻은 전체 도형을 라 하고,
의 검은 부분의 넓이를 라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 번째 얻은 전체 도형 의 검은 부분의 넓이를 이라 할 때, 의 값은? [4점]
①
②
③
④
⑤
17.
17) 음이 아닌 정수 에 대하여 최고차항의 계수가 1인 차 다 항함수 는 다음 조건을 만족시킨다.(가) ,
(나) 음이 아닌 서로 다른 정수 , 에 대하여
의 값은? [5점]①
②
③
④
⑤
6 수학 영역
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18.
18) 함수
⋯
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, 는 를 넘지 않는 최대정수이다.) [5점]
<보 기>
ㄱ.
ㄴ. 자연수 에 대하여
ㄷ. 자연수 에 대하여
≤
일 때,
을 만족시키는 자연수 의 개수는 1이다.
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
19.
19) 첫째항이 1이고 공비가 ( )인 등비수열 {}에 대하여 함수
은 에서 최솟값을 갖는다.
그 최솟값을 이라 할 때, 의 값은? [5점]
① ② ③
④ ⑤
수학 영역 7
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7 16
20.
20) 미분가능한 함수 , 가 ,
, lim
→
을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른것은?
[5점]
<보 기>
ㄱ. ′ ′
ㄴ. 는 에서 극솟값 1을 갖는다.
ㄷ.
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
[21～25] 각 문항의 답을 답안지에 기재하시오.
21.
21) log 을 만족시키는 자연수의 순서쌍 의 개수 를 구하시오. [3점]
22.
22) 수열 {}이 ,
( ≥ )
을 만족시킬 때,
,
이라 하자.
의 값을 구하시오. [4점]
8 수학 영역
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23.
23) 집합 에서 집합 로의 함수 가 ∘ ∘
를 만족시킬 때, 함수 의 개수를 구하시오. [4점]
24.
24) ≤ ≤ 인 자연수 , , 에 대하여 함수 의 도함수 ′가 ′
일 때, 에서 가 극댓값을 갖도록 하는 순서쌍
의 개수를 구하시오. [4점]
25.
25) 함수 에 대하여 이차함수 , 가
를 만족시킬 때, 의 값을 구하시오. [5점]
※ 확인 사항
문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.
수학 영역 9
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9 16 2018학년도 경찰대학 제1차 시험 해설
1 ② 2 ① 3 ④ 4 ③ 5 ②
6 ④ 7 ① 8 ① 9 ② 10 ⑤
11 ③ 12 ② 13 ⑤ 14 ④ 15 ⑤ 16 ④ 17 ① 18 ③ 19 ① 20 ⑤ 21 9 22 297 23 81 24 20 25 57
1) ②
이므로 주어진 식의 값은
2) ①
이므로, 양의 실수이면 , 이다.
에서 이므로
3) ④
수험생의 성적을 는 정규분포 N 을 따르고 합격하려면 상위
,
따라서
,
∴ ×
4) ③
이므로 Q
A Q
,A P
∴ lim
→ ∞AP
AQ
5) ②
i) ( ) 이면
이므로
, --- ii) ( ) 이면
이므로
--- , , iii) ( ) 이면
이므로
--- , , 따라서 모두 7개 이다.
6) ④
라 하면
이므로 에서
,
즉 을 만족하는 양수 가 존재하도록 하는 의 범위를 구한다.
에 대한 이차함수 의 절편은 양수 이므로 대칭축에서
, 즉 이고 --- ㉠ 판별식에서 ≥ , ≥ ,
≥ , ≤ －－－㉡
㉠, ㉡에서 따라서 ≤ 이므로 구하려는 최댓값은 이다.
7) ①
ㄱ) 에서
이므로
ㄴ) 에서
이므로
ㄷ) 에서
이므로
∴ , , ,
∴ 8) ①
O A 의 중점을 M이라고 하면 M
,O P O A O M P M, O M
P M
′
10 수학 영역
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따라서
일 때 는 최솟값(극솟값)인데,
에서 이때
이므로 최솟값은
이다.
그러므로 구하려는 최솟값은
이다.9) ②
과 이 한 점에서 만나므로
,
---㉠
와 좌표축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이가 1 이므로
, －－－㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
,
, ,
,
∴ 10) ⑤
이차함수 의 그래프는 대칭축이 이므로 이 이차함수의 그래프와 의 그래프는 그림과 같고, 정적분의 값은 색칠된 영역의 넓이이다. 따라서
최솟값은
일 때,
이다.
11) ③
직선 AB의 기울기는
이다.
그림과 같이 기울기가
인 직선이 각각의 이차함수에 접할 때 삼각형
ABP의 넓이의 최대와 최소이다.
두 접선 사이의 거리를 라 하면,
AB 에서 구하려는 값은
와 에서
,
,
,
∴
×
×
×
그러므로
이다.
12) ②
일반적으로 자연수 의 양의 약수의 개수가 개 이면 양의 약수의 곱은
이다. 따라서
log log log
log log
log log
log log
13) ⑤
5개의 합은 15 이므로 5개를 한상자에 넣으면 안된다.
4개의 수 중 , 이므로 합이 11이하인 경우는 위 두 가지이므로
4개, 1개, 0개롤 넣는 경우의 수는 ×
3개의 합에서 , 이것만 아니면 합이 11이하이므로 5개중 3개를 뽑는 방법 C 가지 중 9가지가 가능하고, 3개, 2개, 0개 또는 3개, 1개, 1개를 넣으면 된다.
따라서 경우의 수는 ×
2개, 2개, 1개씩 넣는 방법의 수는 ×
∴
14) ④
1의 눈이 나오기 이전에는 모두 짝수의 눈이 나와야 한다.
따라서 구하려는 확률은
⋯
×
15) ⑤
≤ 이면 이므로 인데, 양변의 그래프는 그림과 같다.
따라서 실근은
≤ : -- ,
≤ : --
수학 영역 11
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11 16
≤ : --
∴ ,
,
16) ④
도형 에서 검은 부분, 흰 부분의 넓이를 각각 , 이라 하면
,
,
이므로
,
따라서 ,
이므로
,∴
17) ①
라 하면
∴ ,
,
라 하면
,
,
18) ③ ㄱ.
⋯ 이므로
≤ ≤ ;
, ≤ ≤ ;
이므로
× × ㄴ. (짝수) 이면
이므로
⋯ ① (홀수) 이면
의 값은 ≤ ≤ ;
≤ ≤ ;
이므로
⋯ ② ① ② 에서∴
(참) ㄷ. ≤
일때, 이므로
식에 대입하면
∴ 2개 (거짓) 19) ①
은 들의 중앙값인 에서 최소이므로 , 이다.
최솟값은
인데,
× ∴ × 20) ⑤
lim
→
에서 , ′
에서
에서
이므로 ㄱ. ′ lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′ -(a) 추가로
′ lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
′ -(b) ㄷ. (a),(b)에서
′
′
′
정리하면
′ ′ 적분하면
∵ ㄴ. ㄷ에서 ≥ 이므로
를 포함하는 열린구간에서 ≤ 인 점이 없다.
따라서 이 열린구간에서 ≥ 이므로
에서 극솟값 1 을 갖는다.
21) 9 log
에서
이므로 , 따라서 은 100의 양의 약수이다. 즉
12 수학 영역
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, , , , , , , ,
과 같이 자연수의 순서쌍 은 모두 9개 이다.
22) 297
,
이므로
이다.
× ×
∴
×
23) 81
, 그림과 같이
i) 이거나
ii) , , 이면 ∘ ∘ 를 만족한다.
ㄱ) 6개 모두 i)인 경우 -- 1가지 ㄴ) 3개가 i)이고 3개가 ii)인 경우는 우선 3개를 뽑는 경우의 수는 C 이고, 대응순서가 , 인 두 가지 경우가 있으므로
× 가지
ㄷ) 3개씩 두쌍이 ii) 인 경우는
3개씩 분할하는 방법의 수가 C×C×
이고
그 각각에 대하여 대응순서를 정하는 방법이 두 가지씩 이므로
× ×
∴
24) 20
′ 에서 도함수의 부호와 함수의 증감이
⋯ -1 ⋯ 0 ⋯ 1 ⋯
′ 0 0 0
↗ 극대 ↘ ↗
와 같아야 한다. 따라서 과 은 홀수이다.
≤ ≤ 을 만족하는 경우는 ㄱ) 이 모두 홀수인 경우 :
ㄴ) 짝수, 홀수인 경우:
이면 이면 이면
∴
25) 57
에서
′
″ 이차함수 라하고
을 대입하면, , ∴ 이제 양변을 미분하면
을 대입하면, 또 양변을 미분하면
을 대입하면, , ∴ 또 양변을 미분하면
그러므로
,
∴
