생명과학을 위한 수학 2 중간고사
(2017년 10월 21일 오후 1:00-3:00) 학번: 이름: 모든 문제의 답에 풀이과정을 명시하시오. (총점 200점) 문제 1. [20점] 다음 급수가 수렴하는지 발산하는지 판정하고 그 이유를 설명하시오. (a) (5점) ∞ X n=1 n! 104n (b) (5점) ∞ X n=1 √ n log(n + 1) (c) (5점) ∞ X n=1 (−1)n n 3n (d) (5점) ∞ X n=2 1 n log n 문제 2. [20점] 다음 멱급수의 수렴구간을 구하시오. (a) (10점) ∞ X n=1 1 ntan 1 n xn (b) (10점) ∞ X n=1 −2 3 n (x + 1)n 문제 3. [10점] 다음 적분의 근삿값을 오차 10−5 이하가 되도록 구하시오. Z 0.5 0 cos(x2) dx 문제 4. [20점] 다음 무한급수의 합을 구하시오. (a) (10점) ∞ X n=1 n2 3n (b) (10점) ∞ X n=0 1 (2n + 1)4n 문제 5. [20점] 다음과 같이 정의된 주기가 2π 인 함수 f (x) 에 대하여 물음에 답하시오. f (x) = ( x, 0 ≤ x < π π, π ≤ x < 2π (a) (15점) f (x)의 푸리에 급수를 구하시오. (b) (5점) (a)를 이용하여 다음 급수의 합을 구하시오. ∞ X n=1 1 (2n − 1)2 12 문제 6. [10점] 어느 이벤트 회사 직원들이 3곳의 자동차 렌트카 업체로부터 여러대의 차를 빌렸는데, 60% 는 업체 A, 30% 는 업체 B, 10% 는 업체 C에서 빌렸다. 어떤 이벤트를 위해서는 빌린차들 중 일부에 개조가 필요한데, 업체 A의 차 중에는 9%, 업체 B의 차 중에는 2%, 업체 C의 차 중에는 6% 가 이에 해당한다고 한다. (a) (5점) 회사가 빌린 자동차 중에서 한 대를 뽑았을 때 그 차가 이벤트를 위해서 개조가 필요한 차일 확률은 얼마인지 구하시오. (b) (5점) 회사가 빌린 자동차 중에서 한 대를 뽑았을 때 그 차가 개조가 필요한 자동차라면, 이 자동차가 업체 B에서 빌렸을 확률은 얼마인지 구하시오. 문제 7. [10점] 음이 아닌 정수값을 갖는 확률변수 X 의 확률질량함수 p(n) 이 다음과 같을 때, 상수 C 를 구하고, 확률생성함수 f (t) 를 구하시오. p(n) = C n 3n 문제 8. [20점] 어떤 과목의 시험 범위는 11개의 분야로 나뉘어져 있고, 이 중 서로 다른 분야에서 7개의 문제가 출제된다고 한다. 어떤 학생이 9개의 분야를 공부하였을 때, X 를 공부한 분야에서 출제된 문제의 수를 나타내는 확률 변수라 하자. 다음 물음에 답하시오. (a) (5점) 7문제 모두가 공부한 분야에서 출제될 확률 P(X = 7) 을 구하시오. (b) (5점) 6문제만 공부한 분야에서 출제되고 1문제는 공부하지 않은 분야에서 출제될 확률 P(X = 6) 을 구하시오. (c) (10점) 몇 문제가 공부한 분야에서 출제될 것이라고 기대할 수 있는지 기댓값 E(X) 을 구하시오. 문제 9. [15점] 이산확률변수 X 의 확률생성함수가 다음과 같을 때 물음에 답하시오. f (t) = 4t 5 − t (a) (5점) 음이 아닌 정수 n 에 대하여, X 의 확률질량함수 pX(n) = P(X = n) 을 구하시오. (b) (5점) X 의 기댓값 E(X) 을 구하시오. (c) (5점) X 의 분산 Var(X) 을 구하시오. 문제 10. [25점] 당첨확률이 0.2% 인 즉석 복권이 있다고 하자. 어떤 사람이 이 복권을 산다고 했을 때, 다음 물음에 답하시오. ((d)번 문제의 마지막 질문을 제외하고 나머지 문제들에 대해서는 풀이 과정 없이 답만 적어도 됨.) (a) (6점) 당첨 여부를 하나씩 확인하면서 2번째 당첨될 때까지 계속해서 복권을 살 경우, 구입한 복권의 개수를 X 라 하자. X 가 이루는 확률 분포의 확률질량함수와 확률생성함수를 구하고, 기댓값과 분산을 구하시오. (b) (6점) 1000장의 복권을 살 경우 이 중 포함된 당첨 복권의 개수를 Y 라 하자. Y 가 이루는 확률 분포의 확률질량함수와 확률생성함수를 구하고, 기댓값과 분산을 구하시오. (c) (6점) 모수가 2 인 푸아송 분포를 Z 라 하자. Z 가 이루는 확률 분포의 확률질량함수와 확률생 성함수를 구하고, 기댓값과 분산을 구하시오. (d) (7점) 위의 Z 의 확률생성함수 f (t) 의 원점에서의 3차 테일러 근사 다항식을 구하고, 이를 이용하여 1000개의 복권 중에서 당첨 복권이 3개 이하일 확률을 구하시오. 문제 11. [30점] 어떤 방사성 물질(원자)이 붕괴하는데 걸리는 시간을 나타내는 확률변수 X 는 모수가 λ 인 지수분포를 따른다고 한다. 다음 물음에 답하시오. (a) (6점) 방사선 붕괴가 일어날 확률이 0.5 가 되는 시간(반감기)를 구하시오. (b) (8점) 확률변수 Y = log X의 확률밀도함수 g(y) 를 구하시오. (c) (8점) X 의 적률생성함수 mX(t) = E(etX) 를 구하시오. (d) (8점) 적률생성함수 mX(t) 를 이용하여 기댓값과 분산을 구하시오.
