수열의 극한
1
수열의 극한
10쪽 1 ⑴ an=7n-5 ⑵ an=2N_! 2 ⑴ 0 ⑵ E 11쪽 1 O 1 1 2 3 4 5 6 7 8 n an 0.5 20에 한없이 가까워진다. 스스로확인하기 0, 0 01 ⑴ 3 ⑵ 0 ⑶ 2 ⑷ 1 02 0 스스로확인하기 ⑴ E ⑵ -E 03 ⑴ 발산(E) ⑵ 발산(-E) 04 ⑴ 발산(E) ⑵ 수렴, 2 ⑶ 발산(-E) ⑷ 발산(진동) 05 예 1 n, 2n수열 9an0의 일반항 an은 an=0이므로 lim
n`! Ean=0이다. 그러나 함수의 극한 lim x`! E`f{x}는 존재하지 않는다. 따라서 수열의 극한과 함수의 극한이 다름을 알 수 있다. 수학 역량 기르기 15쪽
0
1
수열의 극한
11~15쪽 16쪽 limn`! Ean+ limn`! Ebn= limn`! E{an+bn}=3
3lim
n`! Ean= limn`! E3an=3
스스로확인하기 ⑵ n+11 ⑶ [1+ 1n ] 01 ⑴ 5 ⑵ 0 ⑶ 3 ⑷ -1 02 거짓, 예를 들어 an=n, bn=1 n@이면 n`lim! Eanbn=0이 지만 lim n`! Ean=E이다.
0
2
수열의 극한값의 계산
16~19쪽 1 2 3 \ 4 1 ⑴ 수렴, 1 ⑵ 발산(진동) 2 ⑴ -4 ⑵ - 1 10 3 1 4 0<x<1 5 ⑴ lim n`! E 3n@-n n@+n+3= limn`! E 3-1n 1+n1+3 n@ =3 ⑵ lim n`! E 2n+1 n@-3n+5= limn`! E 2 n+ 1 n@ 1-3 n+ 5 n@ =0 6 ⑴ lim n`! E n#-5n+2 3n@+1 = limn`! En\ 1-n@5+n#2 3+ 1 n@ 이때 lim n`! En=E, n`lim! E 1-n@5 +n#2 3+1 n@ = 13이므로 lim n`! E n#-5n+2 3n@+1 =E 따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다. 23~25쪽 03 ⑴ 13 ⑵ 0 04 ⑴ 발산(-E) ⑵ 발산(E) 05 1 20쪽 1 양의 무한대로 발산한다. 20에 수렴한다. 01 ⑴ 수렴, 0 ⑵ 발산(E) ⑶ 수렴, 0 ⑷ 발산(진동) 02 0 03 ⑴ 발산(E) ⑵ 수렴, 3 ! 0<r<1일 때, lim n`! E r@N 1+rN= 0 1+0=0 (수렴) @r=1일 때, lim n`! E r@N 1+rN=1+11 =12 (수렴) #r>1일 때, lim n`! E r@N 1+rN= limn`! E rN [ 1r ]N+1 =E (발산) 수학 역량 기르기 22쪽0
3
등비수열의 극한
20~22쪽⑵ lim n`! E{-n@+4n+2}= limn`! En@[-1+ 4n+ 2n@] 이때 lim n`! En@=E, n`lim! E[-1+ 4n+ 2n@]=-1이 므로 lim n`! E{-n@+4n+2}=-E 따라서 주어진 수열은 음의 무한대로 발산한다. 7 lim n`! Ean=a (a는 실수)라고 하면 a@-2a+4=3이므로 a=1 따라서 lim n`! Ean=1 8 an+bn=-{2n@+n}, anbn=-n@이므로 lim n`! E[ 1an + 1 bn ]= limn`! E an+bn anbn = limn`! E 2n@+n n@ = lim n`! E[2+ 1n ]=2 9 lim n`! E 1@+2@+3@+ y +n@ n{1+2+3+ y +n} = lim n`! E n{n+1}{2n+1} 6 n\n{n+1}2 = lim n`! E 2n+1 3n = limn`! E 2+ 1 n 3 = 23 10 - 2n-1 n@+1< 2n-1n@+1`\{-1}N< 2n-1n@+1이고 lim n`! E[- 2n-1n@+1]=0, n`lim! E 2n-1 n@+1=0이므로 lim n`! E -2n-1 n@+1\{-1}N==0 11 ⑴ lim n`! E 5N+1 4N = limn`! E-[ 54 ]N+[ 14 ]N==E 따라서 주어진 수열은 발산한다. ⑵ lim n`! E 3N"! 3N-2N= limn`! E 3 1-[ 23 ]N =3 따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 3이다. 12 수열 9r@N0이 수렴하므로 0<r@<1 즉, -1<r<1이므로 - 23< r-13 <0 따라서 수열 -[ r-1 3 ]N=은 수렴한다. 13 ㄱ. |x|>1일 때, lim n`! E[ 1x ]@N=0이므로 f{x}= lim n`! E x@N_!-1 x@N+1 = limn`! E 1 x- 1x@N 1+ 1 x@N = 1x ㄴ. |x|<1일 때, lim n`! Ex@N_!=0, n`lim! Ex@N=0이므로 f{x}= lim n`! E x@N_!-1 x@N+1 =-1 ㄷ. x=1일 때, f{1}= lim n`! E 1@N_!-1 1@N+1 =0 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 14 근과 계수의 관계에 따라 an, bn은 이차방정식 x@-2N"!x+{2N+3N}{2N-3N}=0의 두 근이다. 이때 an>bn이므로 an=2N+3N, bn=2N-3N 따라서 lim n`! E bn an= limn`! E 2N-3N 2N+3N = lim n`! E [ 23 ]N-1 [ 23 ]N+1 =-1 15 n=1, 2, 3, y일 때, 한 변의 길이가 n1인 모든 정사 각형의 개수는 1, 4, 9, y이므로 an=n\n=n@ 이때 한 변의 길이가 1 n인 모든 정사각형의 꼭짓점의 개수는 전체 꼭짓점의 개수와 같으므로 bn={n+1}\{n+1}=n@+2n+1 따라서 lim n`! E bn an= limn`! E n@+2n+1 n@ = lim n`! E[1+ 2n+ 1n@]=1 16 접선의 방정식을 y=k{x-2n}(k는 상수)이라고 하면 접선의 y절편은 -2kn이고, an>0이므로 k<0 이때 원점과 접선 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 와 같으므로 |2kn| 1k@+13=n 양변을 제곱하여 정리하면 4k@n@=n@{k@+1}, 3k@=1 그런데 k<0이므로 k=- j3k 3 따라서 an= 2j33 kn이므로 lim n`! E an n+1= limn`! E 2j3k 3 n n+1 = lim n`! E 2j3k 3 1+ 1n = 2j3k 3 1 0 2 ⑴ 0 ⑵ 0 26쪽
32쪽 p에 한없이 가까워진다. 01 ⑴ 수렴, 32 ⑵ 발산 02 ⑴ 263 ⑵ 1918 03 1 04 ⑴ 19813 ⑵ 1123999 05 0.999y= 910+ 9 10@+ 910#+y= 9 10 1- 1 10 =1이다. 진자의 추가 정지할 때까지 움직인 거리의 합은 1\h+2\ 23h+2\[ 23 ]@h+2\[ 23 ]#h+y =h+2h-23+[ 23 ]@+[ 23 ]#+ y= =h+2h\ 2 3 1- 23 =5h` 즉, 5h`m이다. 수학 역량 기르기 36쪽
0
2
등비급수
32~36쪽 1 \ 2 3 4 1 ⑴ 수렴, 1 ⑵ 발산 2 7 3 ⑴ 수렴, 1 4 ⑵ 발산 4 - 12<x< 12 5 1 jn+2l+jn+1l=jn+2l-jn+1l이므로 급수의 제n항까지의 부분합을 Sn이라고 하면 Sn=jn+2l-j2k lim n`! ESn= limn`! E{jn+2l-j2k}=E 따라서 주어진 급수는 발산한다. 6 n=1?E[an3N-1]이 수렴하므로 lim n`! E[ an 3N-1]=0 즉, lim n`! E an 3N=1 따라서 lim n`! E an+2N"! 3N_!+2N_!= limn`! E an 3N+2[ 23 ]N 1 3+ 12 [ 2 3 ]N =3 7 ?E n=1an=a, E ? n=1bn=b (a, b는 실수)라고 하면 2a-b=6, a+2b=4이므로 a= 165 , b= 25 따라서 n=1?Ean+?E n=1bn= 165 + 25= 185 8 n>2일 때, an=Sn-Sn-1=n-1 a1=S1=0이므로 an=n-1 이때 anan'21 = 1 {n-1}{n+1} = 1 2 [ 1 n-1- 1n+1 ] 이므로 ?n k=2 1 akak'2= 12 [1+ 12- 1n- 1n+1 ] 따라서 n=2?E anan'21 = lim n`! E n ? k=2 1 akak'2= 34 9 주어진 급수의 합은 ?E n=1 2 n{n+1} 급수의 제n항까지의 부분합을 Sn이라고 하면 Sn=2[1- 1 n+1 ] lim n`! ESn= limn`! E2[1- 1n+1 ]=2 따라서 구하는 급수의 합은 2이다. 37~39쪽2
급수
27쪽 1 ⑴ n n+1 ⑵ 3{3N-1} 2 2308 28쪽 1 2에 한없이 가까워진다. 01 ⑴ 수렴, 34 ⑵ 발산 스스로확인하기 1 5, 발산 02 ⑴ 발산 ⑵ 발산 03 ⑴ 0 ⑵ 8 1단계 1 2K_!+1+y+ 12K> 12K+y+ 12K= 2K_ ! 2K = 12 2단계 S N>1+ 12+ 1 2+y+ 12=1+k2 3단계 lim k`! E[1+ k2 ]=E이므로 k`lim! ESN=E 따라서 급수 ?E n=1 1 n이 발산함을 알 수 있다. k 2K_!개k
k개 수학 역량 기르기 31쪽0
1
급수
28~31쪽10 등비수열 9an0은 첫째항이 a, 공비가 r이므로 ?E n=1an= a1-r=2 yy ① 수열 9an@0은 첫째항이 a@, 공비가 r@이므로 n=1?Ean@= a@ 1-r@= a1+r\ a1-r=6 즉, 1+ra =3 yy ② ①_②를 하면 1+r1-r= 23 따라서 a= 125 , r=- 15 11 ?E n=1[ 12 ]N`cos` n2p =-[ 12 ]@+[ 12 ]$-[ 12 ]^+[ 12 ]*-y = - 1 4 1-[- 14 ] =- 15 12 ⑴ ?E n=1 2N+{-3}N 4N = E ? n=1[ 12 ]N+ E ? n=1[- 34 ]N= 47 ⑵ ?E n=1[ 2N" ! 5N + 32N ]=2 E ? n=1[ 25 ]N+3 E ? n=1[ 12 ]N= 133 13 정사각형 Rn의 한 변의 길이를 an이라고 하면
a1=4, a2=2, a3=1, y 즉, an=4\[ 12 ]N_! 이때 정사각형 Rn의 넓이를 bn이라고 하면 bn=16\[ 14 ]N_! 따라서 수열 9bn0은 첫째항이 16이고 공비가 1 4인 등 비수열이므로 ?E n=1bn= 16 1-14 =643 14 1.23^5^=1.2+0.035+0.00035+y = 1210+[ 35 10#+ 3510%+y] = 1210+ 35 1000 1- 1 100 = 1223990 15 |a|<1, |b|<1이므로 n=1?EaN, n=1?E bN은 각각 수렴하 고, a+b=- 17, ab=- 17이므로
b-a1 n=1?E{bN-aN}= 1b-a [?E
n=1 bN-E ? n=1aN] = 1b-a [1-bb -1-a ]a = 1 1-{a+b}+ab=1 16 다음 그림과 같이 반원 Cn, Cn'1의 중심 On, On'1에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 각각 D, E라 하고, 점 On'1에서 선분 DOn에 내린 수선의 발을 F라고 하자. B O A On'1 Qn On Cn rn Cn'1 6" E F D 반원 Cn의 반지름의 길이를 rn이라고 하면 CAOB= p 6이므로 직각삼각형 OnFOn'1에서 sin`p 6= OX nFZ OXn'1ZOnZ= r n-rn'1 rn+rn'1 sin`p 6= 12이므로 rn'1= 13rn 즉, 수열 9rn0은 첫째항이 1이고 공비가 1 3인 등비수 열이므로 rn=[ 13 ]N_! 이때 반원 Cn의 넓이를 an이라고 하면
a1=p2, a2=p2\[ 13 ]@, a3=p2\[ 13 ]$, y 따라서 수열 9an0은 첫째항이 p 2이고 공비가 1 9인 등 비수열이므로 ?E n=1an= p 2 1- 19 = 9 16p 1 an= 4 3N{3@-1}N_!= 43 [ 8 3 ]N_!이므로 lim n`! Ean= limn`! E 4 3 [83 ]N_!=E 따라서 급수 ?E n=1an은 발산한다. 2 bn=[ 1 3 ]@N\8N_!= 19 [ 8 9 ]N_!이므로 n=1?Ebn= 1 9 1- 8 9 =1 40쪽
3 예 코흐의 눈송이를 만드는 과정은 다음과 같다. [1단계] 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 각 변을 3 등분하고, 가운데 선분 위에 그 선분을 한 변으로 하는 정삼각형을 그려 새로운 도 형을 만든다. [2단계] 새로운 도형의 각 변에 대하여 [1단계]의 과정을 반복한다. 1 y [1단계] [2단계] [3단계] [n단계]에서 늘어난 도형의 넓이를 an이라고 하면 a1= j312k, a2= j312k\ 49, a3= j312k\[ 49 ]@, y 즉, an= j312k\[ 49 ]N_! 따라서 코흐의 눈송이의 넓이는 j34k+?E n=1an= j3 k 4 + j3k 12 1- 49 = 2j35 k 에 수렴한다. 1 ② 2 lim n`! E 4n@+2n-1 {n+2}{n+1}= limn`! E 4n@+2n-1 n@+3n+2 = lim n`! E 4+ 2 n- 1n@ 1+ 3n+ 2 n@ =4 3 a=0이면 주어진 수열은 발산하므로 a=0 lim n`! E an@+bn-3 4n+1 = limn`! E bn-3 4n+1= b4이므로 b 4=3에서 b=12 4 lim n`! E 1 {4n@-1}an= limn`! E -n@+1 4n@-1\ 1 {n@+1}an= = lim n`! E 1+ 1 n@ 4- 1 n@ \ lim n`! E 1 {n@+1}an = 14\ 13= 112 5 an=3+{n-1}\4=4n-1이므로 2n-14n-1<bn< 2n+3 4n-1 42~44쪽 lim n`! E 2n-1 4n-1= 12, n`lim! E 2n+3 4n-1= 12이므로 lim n`! Ebn= 12 6 주어진 수열이 수렴하려면 x=4 또는 -1<x@-3<1 이때 -1<x@-3<1, 즉 2<x@<4에서 -2<x<-j2k 또는 j2k<x<2 즉, 정수 x는 -2, 2, 4이므로 그 개수는 3이다. 따라서 ②이다. 7 ㄷ. (반례) ?E n=1 1 jn+1l+jnk은 양의 무한대로 발산하 지만 lim n`! E 1 jn+1l+jnk=0이다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 8 ?E
n=1{2an-3}이 수렴하므로 n`lim! E{2an-3}=0
즉, lim n`! Ean= 32 따라서 lim n`! E 4an-1 2an+3= 4\ 32-1 2\ 3 2+3 = 56 9 an+bn=- 4N2N=-2N, anbn=- 12N이므로 {an-bn}@={an+bn}@-4anbn=4N+ 42N 따라서 구하는 급수의 합은 ?E n=1 4N+ 42N 5N = E ? n=1[ 45 ]N+4 E ? n=1[ 110 ]N= 409 10 ?E n=1rN이 수렴하므로 -1<r<1 ㄹ. - 54< r4-1<- 34이므로 n=1?E [ r4-1]N은 항상 수렴하는 것은 아니다. 따라서 보기 중 항상 수렴하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 11 1@+2@+3@+y+n@=n{n+1}{2n+1} 6 ▶ 30 % 따라서 lim n`! E 1@+2@+3@+ y +n@ n# = lim n`! E n{n+1}{2n+1} 6n# = lim n`! E 2+ 3 n+ 1n@ 6 = 13 ▶ 70 % 12 ⑴ lim n`! Ean=a, n`lim! Ebn=b (a, b는 실수)라고 하자. 이때 an>0이므로 a>0 ▶ 20 % lim n`! E{2an-bn}=-1에서 2a-b=-1 yy ①
lim n`! Eanbn=3에서 ab=3 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=1, b=3 따라서 lim n`! Ean=1, n`lim! Ebn=3 ▶ 50 % ⑵ lim
n`! E{an@-bn@}= limn`! Ean@- limn`! Ebn@
=1@-3@=-8 ▶ 30 % 13 ! f{2}= lim n`! E 2@N"!-2+1 2@N+2 = lim n`! E 2- 2 2@N+ 12@N 1+ 2 2@N =2 ▶ 30 % @ f[ 1 2 ]= limn`! E [ 12 ]@N"!- 12+1 [ 12 ]@N+2 =1 4 ▶ 30 % # f{-1}= lim n`! E {-1}@N"!-{-1}+1 {-1}@N+2 = 13 ▶ 30 % !~#에서 f{2}f[ 1 2 ]f{-1}=2\ 14\ 13= 16 ▶ 10 % 14 주어진 등비급수는 첫째항이 1, 공비가 cos`x이므로 1+cos`x+cos@`x+cos#`x+y=1-cos`x1 ▶ 40 % 즉, 1-cos`x1 =2+j2k이므로 cos`x= j22k ▶ 30 % 이때 0<x<p이므로 x=p4 ▶ 30 % 15 점 Pn의 x좌표 an에 대하여 lim n`! Ean = j32k- 12\ j32k+[ 12 ]@\ j32k -[ 1 2 ]#\ j32k+y = j3k 2 1-[- 1 2 ] = j33k ▶ 40 % 점 Pn의 y좌표 bn에 대하여 lim n`! Ebn= 12+[ 12 ]@+[ 12 ]#+y= 1 2 1- 1 2 =1 ▶ 40 % 따라서 lim
n`! Eanbn= limn`! Ean\ limn`! Ebn= j33k ▶ 20 %
1
여러 가지 함수의 미분
48쪽 1 ⑴ 2 ⑵ 2 2 f'{x}=2x 49쪽 한없이 커진다. 스스로확인하기 ⑴ 4 9 ⑵ E ⑶ E 01 ⑴ 54 ⑵ 0 ⑶ 0 02 ⑴ 수렴, 1 ⑵ 발산 스스로확인하기 ⑴ 0 ⑵ E ⑶ E 03 ⑴ 1 ⑵ -E ⑶ -E 04 t=x1로 놓으면 x`!`0+일 때 t`!`E이므로 lim x`! 0+a x!=0에서 lim t`! EaT=0 따라서 0<a<1이므로 lim x`! Eloga`x=-E 05 ⑴ 수렴, 2 ⑵ 발산 06 ⑴ 1 e^ ⑵ e@ 07 ⑴ 12 ⑵ -4 08 ⑴ -1 ⑵ 32 1년 후의 원리합계는 100[1+ 350n ]N만 원이다. t= 3 50n으로 놓으면 n`!`E일 때 t`!`0이므로 lim n`! E100[1+ 350n ]N =100`limt`! 09{1+t} 1 t0 3 50 =100e503 따라서 1년 후의 원리합계의 극한값은 100e503만 원이다. 수학 역량 기르기 54쪽0
1
지수함수와 로그함수의 극한
49~54쪽미분법
55쪽 eH-1, 1, e 01 ⑴ y'=eX_# ⑵ y'={1+x}eX 02 ⑴ y'=1 x ⑵ y'= 3 x`ln`2 03 x+1h , e, x+110
2
지수함수와 로그함수의 미분
55~57쪽 58쪽 수현, 윤아: 1, 서준, 세민: 1 20
3
삼각함수의 덧셈정리
58~62쪽63쪽 12 스스로확인하기 ⑴ 0 ⑵ -1 ⑶ 1 01 ⑴ 2 ⑵ -1 ⑶ 2j3k ⑷ 1 02 ⑴ 2 ⑵ - j2k 4 스스로확인하기 ⑴ x, 1, 12 ⑵ 2x, 2x 03 ⑴ 4 ⑵ 1 04 ⑴ -1 ⑵ 1
0
4
삼각함수의 극한
63~66쪽 1 \ 2 3 4 \ 69~71쪽 1 ⑴ 수렴, 0 ⑵ 발산 2 ⑴ y'={x@+2x}eX ⑵ y'= 1 x`ln`5 3 ⑴ 수렴, 2 ⑵ 발산4 ⑴ y'=cos`x+j5k`sin`x ⑵ y'=2eX`sin`x
5 lim x`! E 2@X_!+3X 2@X+3X"!= limx`! E 1 2+[ 34 ]X 1+3[ 34 ]X = 1 2 6 lim
x`! E9log`ax-log`{2x+5}0= limx`! Elog` ax2x+5
=log`a2 따라서 log`a2=1이므로 a2=10, a=20 7 t=x-2로 놓으면 x`!`2일 때 t`!`0이므로 lim x`! 2{x-1} 2 x-2=lim t`! 0
9
{1+t} 1 t0
@=e@ 8 f'{x}=2eX"#[ln`x+ 1x ]이므로 f'{1}=2e$ 9 tan`a= 43, tan`b=- 12이므로tan`{a+b}=1-tan`a`tan`btan`a+tan`b =12
10 lim x`! 0 sin@`x cos`x-cos@`x=limx`! 0 1-cos@`x cos`x{1-cos`x} =lim x`! 0 1+cos`x cos`x =2 11 lim x`! 0 x@ sin`x`cos`x=limx`! 0 x sin`x\limx`! 0 x cos`x=0 12 lim x`! 0{1-cos`x}=0이므로 lim x`! 0{ax`sin`x+b}=0, b=0 이것을 문제의 식의 좌변에 대입하면 lim x`! 0 1-cos`x ax`sin`x =lim x`! 0 {1-cos`x}{1+cos`x} ax{1+cos`x}`sin`x =lim x`! 0 sin@`x ax{1+cos`x}`sin`x =a1lim x`! 0 sin`x x \limx`! 0 1 1+cos`x= 1 2a 따라서 2a1 =14이므로 a=2 13 함수 f{x}가 x=0에서 미분가능하면 연속이므로 lim x`! 0+f{x}= limx`! 0-f{x}=f{0}에서 a=be yy ① 스스로확인하기 ⑵ tan`45!, 1, -2-j3k 01 ⑴ j6k+j24 k ⑵ j6k-j24 k ⑶ 2-j3k 02 ⑴ j33k ⑵ j69k ⑶ - 5j2k 2
03 cos`b, sin`b, cos`a, sin`a
04 예[재연]sin` 2 3p=2`sin` p 3`cos` p 3= j32k 05 p4
BCZ=b`cos`b, ACZ=a`sin`a이므로 삼각형 ABC의 넓이는 12ab`sin`a`cos`b BCZ=a`cos`a, CDZ=b`sin`b이므로 삼각형 DBC의 넓이는 12ab`cos`a`sin`b 삼각형 ABD의 넓이는 12ab`sin`{a-b} 이때 삼각형 ABD의 넓이는 삼각형 ABC의 넓이에서 삼각형 DBC의 넓이를 뺀 것과 같으므로 12ab`sin`{a-b} =12ab`sin`a`cos`b- 12ab`cos`a`sin`b 즉, sin`{a-b}=sin`a`cos`b-cos`a`sin`b` 수학 역량 기르기 62쪽 67쪽 1 01 ⑴ y'=-sin`x-2`cos`x ⑵ y'=cos@`x-sin@`x 02 5j3k
0
5
삼각함수의 미분
67~68쪽1 eX\G{x}=f{x}의 양변을 x에 대하여 미분하면 eX\G{x}+eX\G'{x}=f'{x} f{x}+eX\G'{x}=f{x}, eX\G'{x}=0 그런데 모든 실수 x에 대하여 eX>0이므로 G'{x}=0 2 G'{x}=0이므로 G{x}=c{c는 상수)라고 하자. G{0}=1이므로 G{x}=1에서 f{x}=eX 따라서 f{x}=eX뿐이다. 3 H'{x}=0이므로 H{x}=k{k는 상수)라고 하자. 이때 H{0}=0이므로 H{x}=0 따라서 g{x}=sin`x, h{x}=cos`x뿐이다. 72쪽 또 함수 f{x}는 x=0에서 미분가능하므로 lim h`! 0+ f{0+h}-f{0} h = limh`! 0-f{0+h}-f{0} h 에서 1=be, 즉 b=e 이것을 ①에 대입하면 a=1 14 f'{x}=sin@`x-cos@`x+cos`x이므로 lim h`! 0 f{p+2h}-f{p-h} 3h =lim h`! 0 f{p+2h}-f{p} 2h \ 2 3 +lim h`! 0 f{p-h}-f{p} -h \13 =f'{p}=-2 15 구하는 극한값은 lim n`! E[ 12\ n+1 n \ n+2 n+1\y\ n+n+1 n+n ]@N = lim n`! E[ 2n+12n ]@N= limn`! E[1+ 12n ]@N=e 16 x=0인 실수 x에 대하여 0<|cos` 1x |<1이므로 각 변에 |sin`x|를 곱하면 0<|sin`x`cos` 1x |<|sin`x| 이때 lim
x`! 0|sin`x|=0이므로 limx`! 0|sin`x`cos` 1x |=0
따라서 lim x`! 0sin`x`cos` 1 x=0 17 BHZ=a`sin`h, CHBA=h이므로 lim h`! 0+ AHZ ah@= limh`! 0+ a`sin`h`tan`h ah@ = lim h`! 0+ sin`h h \ limh`! 0+ tan`h h =1
2
여러 가지 미분법
74쪽 1{f`J`g}{x}=x@+1 2y'=5`cos`x 75쪽 1- c 1+DELTAx 2-c 01 ⑴ y'=- 4x {2x@+1}@ ⑵ y'= -2x#+6x@+7{x#+2x+3}@ 02 예 [문제] f{x}=x@+x+1로 정한다. [답][x@+x+1x+1 ]'= x@+2x {x+1}@ 03 ⑴ {csc`x}'=- cos`xsin@`x=- 1sin`x\ cos`xsin`x =-csc`x`cot`x 따라서 {csc`x}'=-csc`x`cot`x이다. ⑵ {cot`x}'=-sec@`x tan@`x =-1 sin@`x=-csc@`x 따라서 {cot`x}'=-csc@`x이다. 04 ⑴ y'=1+sec@`x ⑵ y'=cot`x-x`csc@`x
0
1
함수의 몫의 미분법
75~78쪽 79쪽 1y= 1 2x 2 dy dx= dydu\ dudx= 12 01 ⑴ y'=5{3x@+1}{x#+x-2}$ ⑵ y'= 5 {5x+3}ln`10 ⑶ y'=2e@X_! ⑷ y'=2sec@`{2x+1} 02 ⑴ y'=2\5@X"#`ln`5 ⑵ y'={2x-1}3x@-x`ln`3 스스로확인하기 2x, 2x, x1 03 ⑴ y'=ln`|x+1|+x+1x ⑵ y'= 4x {2x@-1}ln`3 04 ⑴ y'= x-4 2{x-2}jx-2l ⑵ y'= 4x#+7x@+2x+1{x+1}@ 05 ⑴ y'=2 x# ⑵ y'= 4 3#jxk ⑶ y'= 1 2jx-1l ⑷ y'=exE_! [수현] y'=3x@\x@-{x#-2}\2x x$ =1+ 4 x# [윤아] y=x- 2 x@에서 y'=1+ 4 x# 따라서 두 학생의 방법으로 구한 결과는 서로 같다. 수학 역량 기르기 84쪽0
2
합성함수의 미분법
79~84쪽1 2 \ 3 4 5 1 ⑴ y'=- 1 x@ ⑵ y'=-2`csc@`x`cot`x ⑶ y'=2x+12 ⑷ y'= 2 5%1x#2 2 dydx=4t 3 y"= 1 x 4 y'= x@-10x-7 {x-5}@ 이므로 a=1, b=-10 5 u=cos`x로 놓으면 y=sin`u에서 dydx=dydu\dudx=cos`u\{-sin`x} =-sin`x`cos`{cos`x} 6 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 ln`|y|=3`ln`|2x+1|-2`ln`|x-3| 양변을 x에 대하여 미분하면 yy'=2x+16 - 2x-3= 2{x-10} {2x+1}{x-3} 따라서 y'=2{x-10}{2x+1}@ {x-3}# 7 f'{x}=- 1 x@- 2x#- 3x$-y- 10x!!이므로 f'{1}=-1-2-3-y-10=-55 8 f'{x}= 13{3x@+4x+7){x#+2x@+7x-3}-3@ 이므로 f'{2}=1 9 dxdh=2`sec@`h, dhdy=3`sec`h`tan`h이고, tan`h= j33k, sec`h= 2j33 k 이므로 구하는 접선의 기울기는 dxdy= 3`tan`h2`sec`h= 34 10 양변을 x에 대하여 미분하면 2x-[y+x dydx ]-2y dydx=0 따라서 dydx= 2x-y x+2y (단, x+2y=0) 91~93쪽 85쪽 t y -1 -12 0 12 1 32 2 y x y -3 -2 -1 0 1 2 3 y y y 92 2 12 0 12 2 92 y O x y 1 -1 -2 -3 2 3 2! 2( 2 01 ⑴ dydx= 43t ⑵ dxdy= t@-1 2t#
1 dxdy=-2`sin`2h =-cot`2h2`cos`2h
2 dxdy= -2t@+2 {1+t@}@ -4t {1+t@}@ =t@-12t 3 dxdy=t@-12t 에 t=tan`h를 대입하여 정리하면 dxdy=tan@`h-12`tan`h =-{cos@`h-sin@`h}2`sin`h`cos`h
=-cos`2hsin`2h =-cot`2h 따라서 1, 2에서 구한 dydx는 서로 같다. 수학 역량 기르기 86쪽
0
3
매개변수로 나타낸 함수의 미분법
85~86쪽 87쪽 1y=11-x@3 2y=-11-x@3 01 dxdy=- 2x3y(단, y=0) 02 ⑴ dxdy= 1 eY+3 ⑵ dy dx=-csc`y (단, 0<y<p) 수현, f{j2k}=2이므로 g{2}=j2k이다. 따라서 f'{x}=2x이므로 g'{2}= 1 f'{j2k}= j 2k 4 수학 역량 기르기 89쪽0
4
음함수와 역함수의 미분법
87~89쪽 90쪽 1 f'{x}=3x@ 29f'{x}0'=6x0
5
이계도함수
90쪽 스스로확인하기 -sin`x 01 ⑴ y'=4x#+6x ➡ y"=12x@+6 ⑵ y'=x+11 ➡ y"=- 1 {x+1}@ ⑶ y'=2e@X ➡ y"=4e@X ⑷ y'=-sin`{x+2} ➡ y"=-cos`{x+2}11 양변을 x에 대하여 미분하면 eX+eY dy dx=0 즉, dxdy=- eeYX eX+eY=2에 x=0을 대입하여 풀면 y=0 따라서 x=0에서 dxdy의 값은 -1이다. 12 양변을 y에 대하여 미분하면 dxdy=2{y@-2}-2y\2y {y@-2}@ =-2{y@+2} {y@-2}@ 즉, dxdy=-{y@-2}@ 2{y@+2} (단, -1<y<1) 따라서 y=0에서 dydx의 값은 -1이다. 13 lim x`! 9{x-9}=0이므로 limx`! 99f{x}-30=0 즉, f{9}=3이므로 g{3}=9 한편 lim x`! 9 f{x}-3 x-9 =limx`! 9 f{x}-f{9} x-9 =f'{9} 즉, f'{9}= 12이므로 g'{3}= 1 f'{9}=2 따라서 g{3}+g'{3}=9+2=11 14 양변에 자연로그를 취하여 정리하면 f{x}= 129ln`{1+cos`x}-ln`{1-cos`x}0 즉, f'{x}= 1 2 [ -sin`x
1+cos`x- sin`x1-cos`x ] =- sin`x
1-cos@`x=- 1sin`x=-csc`x 따라서 f"{x}=csc`x`cot`x이므로 f"[ p
6 ]=2j3k
1 세 점 O{0, 0}, A1{2, 0}, A2{1, 3}에 대한 베지어 곡선을 매개변수 t로 나타낸 함수는 x=2t, y=-6t@+6t dx dt=2, dy dt=-12t+6이므로 dy dx=-6t+3
2 세 점 O{0, 0}, A1{2, 0}, A2{k, 3}에 대한 베지어 곡선을 매개변수 t로 나타낸 함수는 x={2-2k}t@+2kt, y=-6t@+6t dx dt={4-4k}t+2k, dy dt=-12t+6이므로 dxdy={2-2k}t+k-6t+3 따라서 lim t`! 0+ dy dx= 3k=a, t`lim! 1-dy dx= 3k-2=b 3 예컴퓨터에 쓰이는 글꼴 개발 94쪽
3
도함수의 활용
95쪽 1y=4x-4 2 극댓값: 7, 극솟값: 3 96쪽 -15 01 ⑴ y=2x-4 ⑵ y=x-1 02 ⑴ y=x+2 ⑵ y=x-p6+ j32k 03 ⑴ y=1 4x+1 ⑵ y=x-1 곡선 y=f{x}와 직선 y=x는 한 점에서 만나므로 그 점에서 접한다. h{x}=x라 하고, 곡선 y=f{x}와 직 선 y=h{x}의 접점의 x좌표를 t라고 하면 f{t}=h{t}에서 aT=t yy`① f'{t}=h'{t}에서 aT`ln`a=1 yy`② ①을 ②에 대입하면 a=et! 이것을 ①에 대입하여 풀면 t=e 따라서 a=ee! 수학 역량 기르기 98쪽0
1
접선의 방정식
96~98쪽 99쪽 1 극대, 작다 2 극소, 크다 01 극댓값: 12p+ j32k, 극솟값: 125 p- j32k 02 예 f{x}=x$이면 f"{x}=12x@ 이때 f"{0}=0이지만 x=0의 좌우에서 f"{x}의 부호가 바뀌지 않으므로 점 {0, 0}은 곡선 y=f{x} 의 변곡점이 아니다. 03 ⑴ 0<x<23에서 위로 볼록, x<0 또는 x>23에서 아래로 볼록하며 변곡점의 좌표는 {0, 1}, [ 23, 1127 ]이다. ⑵ x<-1 또는 x>1에서 위로 볼록, -1<x<1에 서 아래로 볼록하며 변곡점의 좌표는 [-1, 1 2`ln`2], [1, 1 2`ln`2]이다. 04 ⑴ x O 1 y je \\\\\\\\\\\\\\\\\\\e j2 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\2 j2 \\\\\\\\\\\\\\\\\\\2 ⑵ x O y p 2p p 2p0
2
함수의 그래프
99~103쪽1 2 \ 3 1 y=2x+1 2 극댓값: -4j2k, 극솟값: 4j2k 3 ⑴ {1, -1} ⑵ [ p2, 0] 4 속도: {2, 4}, 가속도: {0, 2} 5 f{x}=1-xx 라고 하면 f'{x}= 1 {1-x}@ 접점의 좌표를 [t, 1-t ]t 라고 하면 f'{t}=4에서 1 {1-t}@=4이므로 t= 12 또는 t= 32 109~111쪽 즉, 접점의 좌표는 [ 12, 1], [ 32, -3] 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=4x-1 또는 y=4x-9 6 f{x}= 1x이라고 하면 f'{x}=- 1 x@ 접점의 좌표를 [t, 1 t ]이라고 하면 접선의 방정식은 y=- 1 t@x+ 2t 이 접선이 점 {2, 0}을 지나므로 0=- 2 t@+ 2t, t=1 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=-x+2 7 f{x}={x-1}eX이라고 하면 f'{x}=xeX 접점의 좌표를 {t, {t-1}eT}이라고 하면 접선의 방 정식은 y=teTx-{t@-t+1}eT 이 접선이 {k, 0}을 지나므로 0=kteT-{t@-t+1}eT t@-{k+1}t+1=0 이차방정식의 판별식을 D라고 하면 D={k+1}@-4>0, {k+3}{k-1}>0 따라서 k<-3 또는 k>1 8 f{x}=x@+4`cos`x라고 하면 f"{x}=2-4`cos`x 곡선이 위로 볼록하면 f"{x}<0이므로 2-4`cos`x<0, cos`x> 12 이때 0<x<p이므로 0<x<p 3 9 f"{x}=2eX`cos`x이므로 0<x<2p일 때, f"{x}=0에서 x=p2 또는 x= 32p 따라서 x=p 2와 x= 32p의 좌우에서 각각 f"{x}의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 [ p2, ep2], [32 p, -e2#p] 10 f{x}=eX-x에서 f'{x}=eX-1 -3<x<1일 때, f'{x}=0에서 x=0 x -3 y 0 y 1 f '{x} - 0 + f{x} 1 e#+3 ↘ 1 ↗ e-1 따라서 함수 f{x}는 x=-3에서 최대이고 최댓값은 1 e#+3이고, x=0에서 최소이고 최솟값은 1이다. 104쪽 2개 01 2 02 a>1 03 f{x}=x`ln`x-x+1이라고 하면 f'{x}=ln`x f'{x}=0에서 x=1 x 0 y 1 y f '{x} - 0 + f{x} ↘ 0 ↗ 함수 f{x}는 x=1에서 최소이고 최솟값은 0이므로 x>0인 모든 x에 대하여 x`ln`x-x+1>0 따라서 x>0일 때, 부등식 x`ln`x>x-1이 성립한다.
0
3
방정식과 부등식에의 활용
104~105쪽 106쪽 1 5 3`m/s 2 1 3`m/s@ 스스로확인하기 eT, e@ 01 속도: 1, 가속도: - j3k 2 02 ⑴ 속도: {-1, 4}, 속력: j17k ⑵ 가속도: {2, 2}, 가속도의 크기: 2j2k dx dt=v, dy dt=H{6k#t@-6k@t}이므로 d@x dt@=0, d@y dt@=H{12k#t-6k@} 따라서 시각 t에서 항공기의 가속도는 {0, H{12k#t-6k@}} 수학 역량 기르기 108쪽0
4
속도와 가속도
106~108쪽11 f{x}=x#+ 3x이라고 하면 f'{x}=3x@- 3 x@ f'{x}=0에서 x=-1 또는 x=1 한편 f{-x}=-f{x}이므로 함수 y=f{x}의 그래 프는 원점에 대하여 대칭이다. x 0 y 1 y f '{x} - 0 + f{x} ↘ 4 ↗ 또 lim x`! 0+ f{x}=E, lim x`! E f{x}=E이다. 따라서 함수 y=f{x}의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으므로 실수 k의 값의 범위는 k<-4 또는 k>4 12 f{x}=ln`x- 1 ex라고 하면 f'{x}= 1x- 1e f'{x}=0에서 x=e x 0 y e y f '{x} + 0 -f{x} ↗ 0 ↘ 함수 f{x}는 x=e에서 최대이고 최댓값이 0이므로 x>0인 모든 x에 대하여 ln`x-1ex<0 따라서 x>0일 때 부등식 ln`x< 1ex가 성립한다. 13 dxdt=2t, dydt=2-t이고 점 P의 속력이 4이므로 1{2t}@+{23-t}@3=4, {5t+6}{t-2}=0 그런데 t>0이므로 t=2 따라서 t=2일 때 점 P의 속도는 {4, 0} 14 ! 직선 y=kx (k는 상수)와 곡선 y=eX의 접점의 좌 표를 {t, eT}이라고 하면 접선의 방정식은 y=eTx+{1-t}eT 이 접선이 직선 y=kx와 일치하므로 eT=k, {1-t}eT=0 즉, t=1이므로 k=e @ 직선 y=kx (k는 상수)와 곡선 y=ln`x의 접점의 좌표를 {t, ln`t}라고 하면 접선의 방정식은 y= 1tx-1+ln`t 이 접선이 직선 y=kx와 일치하므로 1t=k, -1+ln`t=0 즉, t=e이므로 k= 1e x O y 1 -4 -1 4 y=k y=f{x} 1 cot`a{x}= x60의 양변을 x에 대하여 미분하면 -csc@`a{x}\a'{x}=601 즉, a'{x}=-x@+360060 cot`b{x}= 50-x30 의 양변을 x에 대하여 미분하면 -csc@`b{x}\b'{x}=-301 즉, b'{x}={50-x}@+90030 112쪽 !, @에서 1e<a<e 15 f{x}=xe_X이라고 하면 f'{x}={1-x}e_X, f"{x}={x-2}e_X f"{x}=0에서 x=2 x=2의 좌우에서 f"{x}의 부호가 바뀌므로 A[2, 2 e@] 또 f'{2}=- 1 e@이므로 점 A에서 접하는 접선의 방 정식은 y=- 1 e@x+ 4e@ 따라서 B{4, 0}, C[0, 4 e@]이므로 삼각형 OBC의 넓 이는 12\4\ 4 e@= 8e@ 16 f{x}={ln`x}@-4`ln`x라고 하면 f'{x}= 2`ln`x-4 x f'{x}=0에서 x=e@ x 0 y e@ y f '{x} - 0 + f{x} ↘ -4 ↗ 함수 f{x}는 x=e@에서 최소이고 최솟값은 -4이므 로 x>0인 모든 x에 대하여 {ln`x}@-4`ln`x>-4 따라서 a<-4 x O y y=e!x y=ex y=eX y=ln x
2 h{x}=p-a{x}-b{x}이므로 h'{x}= 60 x@+3600 -30 {50-x}@+900 0<x<50일 때, h'{x}=0에서 x=100-20j17k x 0 y 100-20j17 k y 50 h '{x} + 0 -h{x} ↗ 극대 ↘ h{x}는 x=100-20j17k에서 최대이다. 따라서 x=100-20j17k일 때 태양열을 수집하는 시 간이 최대이다. 3 a'{x}=- 60 x@+3600, b'{x}= 30 {50-x}@+900 이고, 1의 결과와 같다. 1 lim x`! 0 ln`{1+4x} e@X-1 =limx`! 0 -ln`{1+4x} 4x \ 2x e@X-1\2= =1\1\2=2 따라서 ④이다. 2 t=p 2-x로 놓으면 x`!` p 2일 때 t`!`0이므로 lim x`! 2" sin`2x 2"-x=limt`! 0 sin`{p-2t} t =limt`! 0 sin`2t t =lim t`! 0 sin`2t 2t \2=2 3 f'{x}= 2`tan`x`sec@`x
tan@`x = 2`sec@`xtan`x 이므로 f'[p4 ]=4 따라서 ⑤이다. 4 양변에 자연로그를 취하면 y`ln`x=x`ln`y 양변을 x에 대하여 미분하면 dydx\ln`x+y\ 1x=ln`y+x\ 1y\ dydx 따라서 dxdy= ln`y-xy ln`x-xy =y{x`ln`y-y} x{y`ln`x-x} (단, y`ln`x-x=0) 5 양변을 y에 대하여 미분하면 dxdy=sec`y`tan`y+csc@`y 즉, dydx= 1 sec`y`tan`y+csc@`y [단, 0<y< p 2 ] 114~116쪽 따라서 y=p6에서 dydx의 값은 143 이므로 ③이다. 6 f{x}+f{4-x}=8의 양변에 x=4를 대입하면 f{4}+f{0}=8, f{4}+10=8 즉, f{4}=-2이므로 g{-2}=4 f{x}+f{4-x}=8의 양변을 x에 대하여 미분하면 f'{x}-f'{4-x}=0 양변에 x=4를 대입하면 f'{4}-f'{0}=0, f'{4}+3=0 따라서 f'{4}=-3이므로 g'{-2}= 1 f'{4}=- 13 7 ① 8 ㄴ. f"{x}=2e_X`sin`x이고, 0<x<p에서 f"{x}>0이므로 곡선 y=f{x}는 아래로 볼록하 다. 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 9 f{x}=2x-2`ln`x라고 하면 f'{x}=2- 2 x f'{x}=0에서 x=1 x 0 y 1 y f '{x} - 0 + f{x} ↘ 2 ↗ 또 lim x`! 0+f{x}=E, lim x`! Ef{x}=E이다. 따라서 함수 y=f{x}의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 실수 a의 값의 범위는 a<2 10 f'{x}=2`ln`x+2이므로 ▶ 40 % lim h`! 0 f{e+2h}-f{e-3h} h =lim h`! 0 f{e+2h}-f{e} 2h \2 +lim h`! 0 f{e-3h}-f{e} -3h \3 =5f'{e} ▶ 40 % =5\4=20 ▶ 20 %
11 세 직선 y=3x, y=2x, y=mx가 x축과 이루는 예 각의 크기를 각각 a, b, c라고 하면
tan`a=3, tan`b=2, tan`c=m ▶ 20 %
이때 b=a-c이므로
tan`b=1+tan`a`tan`ctan`a-tan`c ▶ 50 %
따라서 2= 3-m1+3m이므로 m= 17 ▶ 30 % x O y 1 2 y=a y=f{x}
12 f'{x}= ax@-6ax+3b-3 {x-3}@ 이고, f'{0}=2에서 3b-39 =2, b=7 ▶ 40 % f'{2}=-6에서 4a-12a+18=-6, a=3 ▶ 40 % 따라서 f'{x}= 3x@-18x+18 {x-3}@ 이므로 f'{1}= 34 ▶ 20 % 13 두 함수의 그래프의 교점의 x좌표를 t라고 하면 f{t}=g{t}에서 t`ln`t=ln`t, {t-1}`ln`t=0 즉, t=1이므로 교점의 좌표는 {1, 0} ▶ 30 % 이때 f'{x}=1+ln`x, g'{x}= 1x이므로 점 {1, 0} 에서 접하는 접선의 기울기는 f'{1}=g'{1}=1 ▶ 30 % 따라서 구하는 접선의 방정식은 y=x-1 ▶ 40 % 14 모든 실수 x에 대하여 eX>0이므로 x<keX에서 x eX<k f{x}= x eX라고 하면 f'{x}= 1-xeX f'{x}=0에서 x=1 x y 1 y f '{x} + 0 -f{x} ↗ 1e ↘ 함수 f{x}는 x=1에서 최대이고 최댓값은 1e이므로 모든 실수 x에 대하여 eX <x 1e ▶ 60 % 따라서 k>1e이므로 실수 k의 최솟값은 1e이다. ▶ 40 % 15 ⑴ dxdt=2at+a`cos`t, dydt=a`cos`t이므로
d@xdt@=2a-a`sin`t, d@ydt@=-a`sin`t 이때 t=p2에서 가속도의 크기가 5j2k이므로 1a@+{-a}@3=5j2k, a@=25 그런데 a>0이므로 a=5 ▶ 50 % ⑵ dxdt=10t+5`cos`t, dydt=5`cos`t이므로 t=p2에 서 점 P의 속력은 1{5p}@+0@3=5p ▶ 50 % 120쪽 1 ⑴ 1 4x$+C ⑵ 1 5 x%-1 3x#+C 2 ⑴ 1 ⑵ -2 3 121쪽 -1 3x_#+C, 3x3!+C 스스로확인하기 ⑵ ln`|x| 01 ⑴ - 1 4x$+C ⑵ 2 3xjxk+C ⑶ -1 2`ln`|x|+C 02 ⑴ x-3`ln`|x|- 5 2x@+C ⑵ 23xjxk-2x+2jxk+C 스스로확인하기 ⑵ ln`9 03 ⑴ eX"@+C ⑵ ln`88X + 5_X ln`5+C 04 {80e_!+20}`!C 스스로확인하기 ⑵ tan`x, 2`sec`x 05 ⑴ 3`sin`x+2`cos`x+C ⑵ -2`cot`x-csc`x+C 06 220`V 07 ⑴ x-sin`x+C ⑵ -cot`x-x+C
0
1
여러 가지 함수의 부정적분
121~125쪽1
여러 가지 적분법
적분법
126쪽 120{2x+3}( 2 1 20{2x+3}!)+C 01 ⑴ -16{2-x}*+C ⑵ j2x+9l+C ⑶ 13e#X"^+C ⑷ -18`sin`{2-8x}+C 02 ⑴ - 1 x@+3+C ⑵ 1 3{ln`x}#+C 1 dx d F{ax+b}={ax+b}'F'{ax+b} =af{ax+b} 이므로 ? f{ax+b}`dx=1aF{ax+b}+C 수학 역량 기르기 128쪽0
2
치환적분법
126~130쪽131쪽 1eX+xeX 2xeX-eX+C 01 ⑴ 14`sin`2x- 1 2x`cos`2x+C ⑵ 12xe@X-1 4e@X+C 02 예[부분적분법] f{x}=ln`x, g'{x}= 1 x로 놓으면 ?ln`xx `dx={ln`x}@-?ln`x x `dx 따라서 ?ln`xx `dx=1 2{ln`x}@+C 03 ⑴ 12eX{sin`x-cos`x}+C ⑵ eX{x@-2x+2}+C [수현] f{x}=sin`x, g'{x}=cos`x로 놓으면 ?sin`x`cos`x`dx=sin@`x-?sin`x`cos`x`dx 즉, ?sin`x`cos`x`dx=12`sin@`x+C [재연] f{x}=cos`x, g'{x}=sin`x로 놓으면 ?sin`x`cos`x`dx=-cos@`x-?sin`x`cos`x`dx 즉, ?sin`x`cos`x`dx =- 12`cos@`x+C1=-12{1-sin@`x}+C1 =12`sin@`x+C[단, C=-12+C1]` 따라서 수현이와 재연이가 구한 결과는 서로 같다. 수학 역량 기르기 133쪽
0
3
부분적분법
131~133쪽 134쪽 x%+3x+C, x%+3x, 38 스스로확인하기 ⑴ p, 2 ⑵ 1 2 01 ⑴ 1 ⑵ e- 1 e 02 ⑴ 7 2 ⑵ 3 2{e$-1} 03 ⑴ p4 ⑵ p8 04 ⑴ 1- 2 e ⑵ 3 2p-30
4
여러 가지 함수의 정적분
134~137쪽 1 2 \ 3 \ 4 \ 1 ⑴ 4x-8jxk+ln`|x|+C ⑵ 13e#X- 3X ln`3+C ⑶ 23 j3k 2 ⑴ 29{2+3x}j2+3xl+C ⑵ xeX+C 3 ⑴ 12 [e- 1 e ] ⑵ p-2 18 4 f`'{x}=4x%-x+2 x@ =4x#-1 x+ 2x@이므로 f{x}=x$-ln`|x|-x2+C 이때 곡선 y=f{x}가 점 {1, -5}를 지나므로 1-2+C=-5, C=-4 따라서 f{x}=x$-ln`|x|- 2 x-4 5 ⑴ t=x#+1로 놓으면 dxdt=3x@이므로 ? x@ 1x#+13`dx= 1 3 ? 3x@ 1x#+13`dx =13 ? 1 jtk`dt=23 jtk+C =23 1x#+13+C ⑵ t=ln`x로 놓으면 dxdt=1 x이므로 ?{ln`x}#x `dx=?t#`dt=14t$+C =14{ln`x}$+C 6 ⑴ ?1+e@Xe@X `dx= 1 2 ? {1+e@X}' 1+e@X `dx =1 2`ln`{1+e@X}+C⑵ ?cos`x-sin`xsin`x+cos`x`dx=?{sin`x+cos`x}'sin`x+cos`x `dx =ln`|sin`x+cos`x|+C 138~140쪽 2 ax+b=t, 즉 x=t-b a 로 놓으면 dx dt= 1 a이므로 ? f{ax+b}`dx=?f{t}\1a`dt =1a ? f{t}`dt=1aF{t}+C =1aF{ax+b}+C 따라서 1의 결과와 같다. 03 ⑴ 2`ln`{eX+3}+C ⑵ ln`|ln`x|+C 04 ⑴ 1 2x@+4x+6`ln`|x-1|+C ⑵ ln`| xx+3 |+C 05 예 [문제] f{x}=x+1, g{x}=x#+3x@+3x+3으 로 정한다. [답] 13x#+x@+x+2`ln`|x+1|+C
7 f'{x} f{x}=-2의 양변을 x에 대하여 적분하면 ln`f{x}=-2x+C, 즉 f{x}=e-2x+C f{0}=1e에서 C=-1이므로 f{x}=e-2x-1 8 ⑴ x-2=t, 즉 x=t+2로 놓으면 dx dt=1 x=2일 때 t=0, x=3일 때 t=1이므로 /2#xjx-2l`dx=/0!{t+2}jtk`dt ={25t2%+43t2#}0!= 2615 ⑵ /02"cos#`x`dx=/02"{1-sin@`x}cos`x`dx t=sin`x로 놓으면 dxdt=cos`x x=0일 때 t=0, x=p2일 때 t=1이므로 /02"{1-sin@`x}cos`x`dx =/0!{1-t@}`dt={t-1 3t#}0!= 23 9 구하는 정적분의 값은 /1@x@+3x3 `dx=/1@[ 1 x -1 x+3 ]dx ={ln`|x|-ln`|x+3|}1@ ={ln`| x x+3|}1@=ln` 85 10 ⑴ x=2`sin`h[- p2<h< p2 ]로 놓으면 dxdh=`2`cos`h x=0일 때 h=0, x=1일 때 h=p6이므로 /0! 1 14-x@3`dx =/06" 1 14-4`sin@`h3\2`cos`h`dh =/06"2`cos`h1 \2`cos`h`dh =/06"`dh={h}06"=p6 ⑵ x=3`tan`h[-p2<h< p2 ]로 놓으면 dxdh=3`sec@`h x=0일 때 h=0, x=3일 때 h= p4이므로 /0# 4 x@+9`dx =/04" 4 9`tan@`h+9\3`sec@`h`dh =/04" 4 9`sec@`h\3`sec@`h`dh =/04"43`dh={43h}04"=p3 11 f{x}=?{4x+1}`ln`x`dx에서 f{x}={2x@+x}`ln`x-?{2x@+x}\ 1 x`dx ={2x@+x}`ln`x-?{2x+1}`dx ={2x@+x}`ln`x-x@-x+C f{1}=3에서 -1-1+C=3, C=5 따라서 f{x}={2x@+x}`ln`x-x@-x+5이므로 f{e}=e@+5
12 ?e@X`sin`x`dx=-e@X`cos`x+2?e@X`cos`x`dx =-e@X`cos`x
+2[e@X`sin`x-2?e@X`sin`x`dx] 5?e@X`sin`x`dx=e@X{2`sin`x-cos`x}
즉, ?e@X`sin`x`dx=e@X[ 25`sin`x-15`cos`x]+C` 따라서 a= 25, b=- 15 13 ⑴ f{t}=?k`sin`2pt`dt=- k2p`cos`2pt+C 이때 f{0}=3에서 C=2pk +3 즉, f{t}=-2pk `cos`2pt+ k2p+3 추의 높이가 최대가 되려면 cos`2pt=-1이어야 하므로 p +3=7k 따라서 k=4p ⑵ f{t}=5-2`cos`2pt이므로 f[ 136 ]=4 따라서 구하는 추의 높이는 4`cm이다.
14 In=/0!xNeX`dx={xNeX}0!-/0!nxN_!eX`dx =e-n/0!xN_!eX`dx
이때 In-1=/0!xN_!eX`dx이므로 In=e-nIn-1 따라서 I5=e-5I4이므로 10I4+2I5=2e
1 f{t}=?100keKT`dt=100eKT+C t=0일 때 100`g이므로 f{0}=100에서 C=0 따라서 f{t}=100eKT이므로 10000년 후의 !$C의 양은 f{10000}=100e10000k=100e-1.2=30` 즉, 30`g이다. 2 Ln=/0N(-kteKT}`dt ={-teKT}0N+/0NeKT`dt =-neKN+{eKT k }0N =-neKN+ ekKN- 1k =- n e0.00012n -1 0.00012 [ 1 e0.00012n-1] 이때 공학적 도구를 이용하면 lim n`! E n e0.00012n=0, lim n`! E 1 e0.00012n=0 이므로 lim n`! ELn= 1 0.00012=8333.33y 따라서 !$C의 평균 수명은 8333년이다. 3 예 2004년 일본의 한 대학교수 팀은 백두산 화산 폭발 의 증거인 탄화목을 방사성 탄소 연대 측정법으로 측정한 결과 화산 폭발이 938년 정도에 일어났음을 밝혀내었다. [참고 자료: 진재운, “백두산에 묻힌 발해를 찾아서”] 141쪽 147쪽 A-B+C 01 ⑴ e-1 ⑵ 32 네 점 O{0, 0}, A[p4, 0], B[p4, 1], C{0, 1}에 대 하여 S=(fOABC의 넓이)-/04"tan`x`dx =p4+{ln`|cos`x|}04"=p4-ln`j2k 수학 역량 기르기 148쪽 02 ⑴ 4912 ⑵ 2j2k
0
2
넓이
147~149쪽 150쪽 118p 218p, 1의 결과와 같다. 01 50 02 2e$- 2 e$ 1 도형의 꼭짓점에서 단면까지의 거리가 x일 때, 정사 각뿔과 원뿔의 단면의 넓이를 각각 S{x}, T{x}라 고 하면 S{x}：a@=x@：h@, T{x}：pr@=x@：h@` 즉, S{x}：a@=T{x}：pr@이므로 S{x}：T{x}=a@：pr@ 2 정사각뿔의 부피를 S라고 하면 S=/0HS{x}`dx 한편 1에서 T{x}=pr@ a@ S{x}이므로 원뿔의 부피 를 T라고 하면 T=/0HT{x}`dx=/0Hpr@ a@ S{x}`dx =pr@ a@ S 따라서 S：T=1：pr@ a@ =a@：pr@이므로 두 입체도 형의 부피의 비는 두 단면의 넓이의 비와 같다. 수학 역량 기르기 152쪽0
3
부피
150~152쪽2
정적분의 활용
142쪽 1 ⑴ 1 ⑵ 12 2 323 143쪽 1 [그림 1] [그림 2] [그림 3] M 4800 3400 2700 m 800 1100 1600 M-m 4000 2300 1100 20에 가까워진다. 01 ⑴ 1 n, 2 n, 3 n, y, n-1 n , n n ⑵ Un= 14 [1+ 2n+ 1 n@] ⑶ 1 4 02 p20
1
정적분과 급수
143~146쪽 03 예[수현] f{x}=ln`x, a=1, b=2로 놓으면 DELTAx=b-an = 1n, xk=a+kDELTAx=1+nk ` 이므로 lim n`! E 1 n n ? k=1ln`[1+ kn ] =/1@ln`x`dx={x`ln`x}1@-{x}1@ =2`ln`2-11 2 \ 3 \ 4 1 ln`[4+ x2 ] 2 ln`5 3 p+2 4 j3k+ p6 5 f{x}=j2+xk, a=0, b=1로 놓으면 DELTAx=1n, xk= k n 따라서 구하는 극한값은 lim n`! E n ? k=1q2+ kne\ 1n =/0!j2+xl`dx ={23{2+x}j2+xl}0!=2j3k- 4j23 k 6 닫힌구간 {0, p2 }에서 두 곡선의 교점의 x좌표는 sin`x=cos`2x, sin`x=cos@`x-sin@`x {2`sin`x-1}{sin`x+1}=0 sin`x=1 2이므로 x= p 6 157~159쪽 153쪽 10 28 스스로확인하기 ⑴ p2 ⑵ 1, 1, p4 01 ⑴ 1- 1e ⑵ 위치의 변화량: e-2-1e, 움직인 거리: e-2+1e 154쪽 선분 AB의 길이, 1{DELTAx}@+3{DELTAy}@3 02 j2k{e-1} 03 ⑴ e- 1 e ⑵ e@+1 4 예 [민지]x=r`cos`t, y=r`sin`t에서 dx dt=-r`sin`t, dy dt=r`cos`t이므로 점 P가 움직 인 거리는 /0@|1{-r`sin`t}@+3{r`cos`t}@3`dt =/0@|r`dt={rt}0@|=2pr 따라서 원의 둘레의 길이가 2pr임을 알 수 있다. 수학 역량 기르기 156쪽
0
4
속도와 거리
153~156쪽 따라서 구하는 도형의 넓이는 /06"{cos`2x-sin`x}`dx +/ 6" 2" {sin`x-cos`2x}`dx ={12`sin`2x+cos`x}06" +{-cos`x-1 2`sin`2x}6" 2" =3j3k 2 -1 7 곡선과 직선의 교점의 좌 표는 {3, 2} 따라서 구하는 넓이는 /-1# jx+1l`dx-2 ={2 3(x+1)jx+1l}-1# -2= 10 3 8 y'= 1x이므로 접점의 좌표를 {t, ln`t}라고 하면 접 선의 방정식은 y=1tx-1+ln`t 이 접선이 원점을 지나므로 -1+ln`t=0, t=e 즉, 접점의 좌표는 {e, 1}이고, 접선의 방정식은 y=1ex, 즉 x=ey 한편 y=ln`x에서 x=eY 따라서 구하는 도형의 넓이 는 곡선 x=eY과 x축 및 직 선 x=ey로 둘러싸인 도형 의 넓이와 같으므로 /0!{eY-ey}`dy ={eY- e2y@}0!= e2-1 9 단면의 넓이는 12p[ 12 jx`cos`xl]@= p8`x`cos`x 따라서 구하는 입체도형의 부피는 /02"p8`x`cos`x`dx =p 8 [{x`sin`x}0 2" -/02"sin`x`dx] =p8 [p2+{cos`x}02"]=p{p-2}16 10 점 P가 움직인 거리는 /0@|4{j3k`cos`t-sin`t6}@+{-j3k`sin6`t-cos`t}@6`dt =/0@|2`dt={2t}0@|=4p O 2 1 -1 -1 y x 3 y=x-1 x=y@-1 {y>0} O 1 1 y x e y=e!x y=ln`x11 구하는 곡선의 길이는 / -2! 2! r1+[- 2x 1-x@]@y`dx =/ -2! 2! 1+x@ 1-x@`dx=/-2! 2! [-1- 2x@-1]`dx =/ -2! 2! [-1- 1x-1+x+1 ]1 `dx ={-x+ln`| x+1 x-1 |}-2! 2! `=-1+2`ln`3 12 반원의 중심을 원점 O, 반 원의 지름 AB를 포함하는 직선을 x축으로 정하자. 이 때 반원 위의 한 점 P{x, y}{-2<x<2}에 서 x축에 내린 수선의 발을 H라고 하면 직각삼각형 POH에서 PHZ=14-x@3 단면의 넓이는 j34k{14-x@3}@= j3k 4 {4-x@} 따라서 구하는 입체도형의 부피는 j3k 4 /-2@{4-x@}`dx= j 3k 4 { 4x-1 3x#}-2@ = 8j3k 3 13 t초 동안 원은 t라디안만큼 굴러가므로 t초 후 점 P의 좌표는 {t-sin`t, 1-cos`t} 따라서 점 P가 움직인 거 리는 /0@|1{1-cos`t}@3+sin@`t3`dt =/0@|12{1-cos`t}3`dt
=/0@|r2-1-[cos@` t2 y-sin@`2 ]=yt `dt =/0@|q4`sin@`2te`dt=/0@||2`sin` t2 |`dt =/0@|2`sin`2t`dt={-4`cos`2t}0@|=8 O y x A B H 2 -2 2 P 2 O P C x y t-sin`t cos`t sin`t t 1 t 1-cos`t 1 1+1 2@+ 1 3@+y+ 1 n@<1+/1N 1 x@`dx이므로 Sn<Tn 2 Tn=1+/1N 1 x@`dx=1+{- 1x}1N=2- 1n이므로 lim n`! ETn=2 160쪽 1 p 2 t=e@X으로 놓으면 dxdt=2e@X이므로 ?e@Xf{e@X}`dx=12 ?f{t}`dt =12F{t}+C=12F{e@X}+C 따라서 ②이다. 3 x=3`tan`h[- p2<h< p 2 ]로 놓으면 dxdh=3`sec@`h x=0일 때 h=0, x=j3k일 때 h= p6이므로 /0j3k 1 x@+9`dx =/06" 1 9`tan@`h+9\3`sec@`h`dh =/06" 1 9`sec@`h\3`sec@`h`dh =/06"13`dh={13h}06"=18p 4 f{x}=?{x-1}e@X`dx ={x-1}2 e@X-?12e@X`dx
={x-1}2 e@X-14e@X+C={2x-3}4 e@X+C 162~164쪽 1에 따라 lim n`! ESn< limn`! ETn이므로 n`! ElimSn<2` 따라서 ?E n=1 1 n@<2가 성립함을 알 수 있다. 3 오른쪽 그림과 같이 곡 O x y 1 2 3 4 1 yynn+1 y=x!{x>0} 선 y= 1x에 대하여 닫 힌구간 [1, n+1]을 n 등분 하여 만든 직 사각형의 넓이의 합을 Sn이라고 하면 Sn=1+ 1 2+ 13+y+ 1n Tn=/1N"!x1`dx라고 하면 Tn<Sn Tn=/1N"!x1`dx={ln`|x|}1N"!=ln`{n+1}이므 로 lim n`! ETn=E 따라서 lim n`! ESn=E이므로 E ? n=1 1 n=E임을 알 수 있다.
f{0}=-34에서 C=0 따라서 f{x}={2x-3}4 e@X이므로 f{1}=-e@4 5 y=ln`x에서 x=eY O x y 1 2 y=x y=ln`x y=2 따라서 구하는 도형의 넓이 는 곡선 x=eY과 x축 및 두 직선 x=y, y=2로 둘러싸 인 도형의 넓이와 같으므로 /0@{eY-y}`dy={eY-y@ 2 }0@=e@-3 6 두 곡선 y=f{x}, y=g{x}는 직선 y=x에 대하여 대칭이다. S1=/0!f{x}`dx, ` S2=/3E"@g{x}`dx라고 하면 /0!f{x}`dx+/3E"@g{x}`dx =S1+S2=1\{e+2}=e+2 7 단면의 넓이는 4`tan@`x 따라서 구하는 입체도형의 부피는 /04"4`tan@`x`dx=4/04"{sec@`x-1}`dx =4{tan`x-x}04"=4-p 8 점 P가 움직인 거리는 /0|1{t`sin`t}@+3{t`cos`t}@3`dt=/0|t`dt ={12t@}0|=p@2 따라서 ②이다. 9 15 2 +ln`4 10 F{x}=? 4 x@-4`dx=?[ 1x-2- 1x+2 ]`dx =ln`|x-2|-ln`|x+2|+C =ln`| x-2x+2 |+C ▶ 70 % 따라서 F{8}-F{3}=ln`3 ▶ 30 % 11 f{x}=2x+3jxk에 대하여 DELTAx=n1, xk=k n ▶ 20 % O x y y=x 1 3 e+2 e+2 3 1 y=f{x} y=g{x} S1 S2 S2 따라서 lim n`! E 1 n n ? k=1`f[2+ 2kn ] ` =/0!f{2+2x}`dx ▶50 % ` =/0!{4+4x+3j2+2xl}`dx ={4x+2x@+{2+2x}2#}0! =14-2j2k ▶30 % 12 주어진 도형을 y축의 방향으로 -2만큼 평행이동하여 생각하면 두 도형 A, B의 넓이가 같으므로 /0A (jxk-2}`dx=0 ▶ 60 % {23xjxk-2x}0A=0, 2a{jak-3}=0 그런데 a>4이므로 jak=3, a=9 ▶40 % 13 밑면의 중심을 원점 O, 그 점을 지나고 밑면에 수직인 직선을 x축으로 정하자. 이때 x축에 수직인 평면으로 용기를 자른 단면의 넓이는
p-ln`{x+e}jx+el =@=9ln`{x+e}0@x+e p ▶30 %
따라서 용기의 부피는
/0e#-e9ln`{x+e}0@x+e p`dx ▶ 20 %
이때 ln`{x+e}=t로 놓으면 dxdt=x+e이고 x=0일 때 t=1, x=e#-e일 때 t=3이므로 구하는 용기의 부피는 /1# pt@`dt={p3t#}1#= 263 p▶50 % 14 ⑴ dxdt=-3a`cos@`t`sin`t, dydt=3a`sin@`t`cos`t이 므로 점 P가 움직인 거리는 /02"1{-3a`cos@`t`sin`t}@+3{3a`sin@`t`cos`t}@3`dt =/02"`|3a`sin`t`cos`t|`dt =/02"`| 32a`sin`2t|`dt=/02"32a`sin`2t`dt ={-3 4a`cos`2t}0 2" =3 2a 즉, 32a=3이므로 a=2 ▶50 % ⑵ /04#p1{-6`cos@`t`sin`t}@+3{6`sin@`t`cos`t}@3`dt =/04#p|6`sin`t`cos`t|`dt=/04#p|3`sin`2t|`dt =/02"3`sin`2t`dt+/ 2" 4#p {-3`sin`2t}`dt ={-32`cos`2t}02"+{32`cos`2t} 2" 4#p =92▶50 %
170~173쪽
I
수열의 극한
1 ④ 2 3 3 0 4 a=0이면 주어진 수열은 발산하므로 a=0 lim n`! E an@+8n+3 bn+1 = limn`! E 8n+3 bn+1= 8 b이므로 8 b=2에서 b=4 5 lim n`! E bn-an an = limn`! E[ bn an-1]=0이므로 n`lim! E bn an=1 따라서 lim n`! E an@-anbn+bn@ an@+anbn+bn@ = lim n`! E 1-bn an+[ bn an ]@ 1+bnan+[bnan ]@ =13 6 lim n`! E[ an n@+1-2]=3에서 n`lim! E an n@+1=5이므로 lim n`! E an 2n@-n= limn`! E n@+1 2n@-n\ an n@+1 = lim n`! E 1+ 1 n@ 2- 1n \ lim n`! E an n@+1=52 7 1\2+2\3+3\4+y+n{n+1} =?n k=1k{k+1}= n ? k=1k@+ n ? k=1k= n#+3n@+2n 3 따라서 lim n`! E 1\2+2\3+3\4+ y +n{n+1} {2n-1}# =13 lim n`! E n#+3n@+2n 8n#-12n@+6n-1= 1 24 8 3 9 ㄱ. an-bn=cn이라고 하면 lim n`! Ecn=0이므로 lim n`! Ebn= limn`! E{an-cn} = limn`! Ean- limn`! Ecn=a
ㄴ. (반례) 9an0: 1, 0, 1, 0, y 9bn0: 0, 1, 0, 1, y이면 lim
n`! Eanbn=0이지만 n`! Eliman=0, n`! Elimbn=0이다.
ㄷ. cn=bnan이라고 하면 lim n`! Ecn=a{a>0}이므로 lim n`! Ebn= limn`! Eancn=E 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 10 ③ 11 23 12 ㄱ. a>b일 때, lim n`! E aN"!+bN"! aN+bN = limn`! E a+b[ b a ]N 1+[ ba ]N =a ㄴ. a<b일 때, lim n`! E aN"!+bN"! aN+bN = limn`! E a[ ab ]N+b [ ab ]N+1 =b ㄷ. a=b일 때, lim n`! E aN"!+bN"! aN+bN = limn`! E 2aN"! 2aN =a (또는 b) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ이다. 13 Sn=n\n91+{2n-1}0 2 =n# n>2일 때, an=Sn-Sn-1=3n@-3n+1 a1=S1=1이므로 an=3n@-3n+1 따라서 lim n`! E an 4n@= limn`! E 3n@-3n+1 4n@ = 3 4 14 x+y=3N yy ①, 2x-y=2N yy ② 두 직선의 교점의 좌표가 {an, bn)이므로 ①, ②를 연 립하면 an=3N+2N3 , bn=2\3N-2N3 따라서 lim n`! E bn an= limn`! E 2-[ 2 3 ]N 1+[ 23 ]N =2 15 lim n`! E[ an n-a]=0에서 n`lim! E an n=a이므로 lim n`! E n 3an-2= limn`! E 1 3an n - 2n =3a1 즉, 3a1 =16이므로 a=2 16 125 17 1 4n@-1= 12 [2n-11 -2n+1 ]1 이므로 급수의 제n항까지의 부분합을 Sn이라고 하면 Sn=12 [1-2n+1 ]1 따라서 lim n`! ESn= 1 2n`lim! E[1- 12n+1 ]= 1 2
18 n=1?Ean이 수렴하므로 lim
n`! Ean=0 E
?
n=1an=3이므로 n`lim! ESn= limn`! ESn-1=3
따라서 lim n`! E 2an+Sn-1 4an@+2Sn= 1 2 19 2<x<8 20 ㄱ. lim n`! Ean=0, n`lim! Ebn=0이므로 lim
n`! Eanbn= limn`! Ean\ limn`! Ebn=0
ㄴ. n=1?Ean=a, n=1?E{an+bn}=b (a, b는 실수)로 놓으면 n=1?Ebn=?E n=19{an+bn}-an0=b-a 따라서 n=1?Ebn은 수렴한다. ㄷ. (반례) an=[ 1 2 ]N, bn=[ 13 ]N이라고 하면 a=?E n=1an=1, b= E ? n=1bn= 1 2 이때 anbn=[ 1 6 ]N이므로 E ? n=1anbn= 1 5 따라서 n=1?Eanbn=ab 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 21 an= 1 2rN_!이라고 하면 an'2= 12rN"!이므로 ?E n=1anan'2= E ? n=1 1 4r@N = 1 4r@ 1-r@= r@ 4{1-r@} 즉, r@ 4{1-r@}= 14이므로 1-r@=r@, r@= 12 따라서 ?E n=1an@= a 1@ 1-r@= [ 12 ]@ 1-1 2 = 1 2 22 0.24^5^=0.2+0.045+0.00045+y =102 +[ 45 10#+ 45 10%+y] = 2 10+ 45 1000 1- 1 100 = 2 10+ 45 990= 27 110 23 700+700\ 9 10+700\[ 910 ]@+y= 700 1- 910 =7000 따라서 사용 가능한 시간의 총합은 7000시간이다. 24 [n단계]에서 새로 만든 나뭇가지의 길이의 합을 an{n>1}이라고 하면
a1=3\14, a2=3@\[ 14 ]@, a3=3#\[ 14 ]#, y
즉, ?E n=1an= 3 4 1-34 =3 따라서 처음 주어진 나뭇가지의 길이 1을 포함한 모든 나뭇가지의 길이의 합은 1+3=4 25 원 Cn의 반지름의 길이를 rn이 라고 하면 원 C n에 내접하는 정사각형의 대각선의 길이는 원 Cn의 지름의 길이와 같으므 로 2rn 원 Cn에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는 이 정사각형에 내접하는 원 Cn'1의 지름의 길이와 같으므로 2rn'1 직각이등변삼각형 ABH에서 2rn'1：2rn=1：j2k, rn'1= j2 k2 rn 이때 원 Cn의 넓이가 bn이므로 bn'1=1 2bn 따라서 수열 9bn0은 첫째항이 4p이고 공비가 1 2인 등 비수열이므로 ?E n=1bn= 4p 1- 12 =8p Cn Cn'1 2rn'1 2rn B A H 174~177쪽
II
미분법
1 lim x`! 0x=0이므로 lim x`! 0ln`{a+2x}=0, ln`a=0 즉, a=1 이때 b=lim x`! 0 ln`{1+2x} 2x \2=2 2 ③ 3 tan`a+tan`b= 32, tan`a`tan`b= 12이므로 tan`{a+b}= tan`a+tan`b1-tan`a`tan`b=3 따라서 ⑤이다. 4 lim x`! 0 f{sin`x} x =limx`! 0 sin`x{sin`x+1} x =lim x`! 0 sin`x x \limx`! 0{sin`x+1}=15 구하는 극한값은 lim x`! 0 1 sin`x x + sin`2x 2x \2+y+ sin`nx nx \n = 1 1+2+y+n= 2 n{n+1} 이때 2 n{n+1}= 145이므로 n{n+1}=90, {n+10}{n-9}=0 그런데 n은 자연수이므로 n=9 따라서 ④이다. 6 y'= -24x$+24x@ {x@+1}$ 이므로 a=-24, b=24 7 양변에 자연로그를 취하면 ln`f{x}=sin`x`ln`x 양변을 x에 대하여 미분하면 f '{x} f{x}=cos`x`ln`x+ sin`x x 즉, f'{x}=xsin`x[cos`x`ln`x+ sin`x
x ] 따라서 f'{p}=-ln`p이므로 ②이다. 8 f{x}=ln`{eX+e@X+e#X+y+e!)X}이라고 하면 f'{x}= eX+2e@X+3e#X+y+10e!)X eX+e@X+e#X+y+e!)X 따라서 구하는 극한값은 lim x`! 0 ln`{eX+e@X+e#X+y+e!)X}-ln`10 x =lim x`! 0 f{x}-f{0} x-0 =f'{0}= 112 9 양변을 y에 대하여 미분하면 dxdy=y`cos`y-sin`y {y+sin`y}@
즉, dydx=y`cos`y-sin`y{y+sin`y}@ [단, 0<y< 65p] 따라서 y=p에서 dydx의 값은 -p이다. 10 실수 a에 대하여 g{8}=a라고 하면 f{a}=8이므로 a#+6a+1=8, {a-1}{a@+a+7}=0 즉, a=1 따라서 f'{x}=3x@+6에서 f'{1}=9이므로 g'{8}= 1 f'{1}= 19 11 ① 12 f'{x}는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 연속 이다. 이때 lim x`! 1{x-1}=0이므로 lim x`! 19f'{f{x}}-10=0, f'{f{1}}=1 f{1}=2이므로 f'{2}=1 이때 lim x`! 1 f'{f{x}}-1 x-1 =lim x`! 1 -f'{f{x}}-f'{2} f{x}-2 \ f{x}-2 x-1 = =f"{2}f'{1}=3f"{2} 따라서 3f"{2}=3이므로 f"{2}=1 13 dydx= b`sec`ha`tan`h이고, h=p6에서 dxdy의 값이 1이므로 2ba=1, 즉 a=2b yy`① 또 h= p6일 때 x=2j3 k 3 a, y= j3 k3 b이므로 접선의 방정식은 y=x-2j3 k3 a+ j3 k3 b 이 접선이 점 {0, j3k}을 지나므로 j3k=- 2j3 k3 a+ j3 k3 b yy`② ①, ②를 연립하여 풀면 a=-2, b=-1 14 양변을 x에 대하여 미분하면 2ydy dx= 1x 즉, dydx= 12xy (단, y=0) 따라서 점 {e, 1}에서 접하는 접선의 기울기는 2e1이 므로 접선의 방정식은 y= 12ex+ 12 15 xy=5의 양변을 x에 대하여 미분하여 정리하면 dydx=- yx (단, x=0) 점 An에서 접하는 접선의 방정식은 y=-yn xnx+2yn 이므로 xn'1=2xn 그런데 점 A1{1, 5}에서 x1=1이므로 xn=2N_! 따라서 xnyn=5에서 yn= 5 2N_!이므로 ?E n=1yn= 5 1- 12 =10 16 1 17 {-1, 0} 18 f"{x}=a-3`sin`x이고, 방정식 f"{x}=0이 실근 을 갖고 그 근의 좌우에서 f"{x}의 부호가 바뀌어야 한다. f"{x}=0에서 3`sin`x=a 곡선 y=3`sin`x와 직선 y=a가 만나야 하므로 -3<a<3 ! a=-3이면 f"{x}<0이므로 방정식 f"{x}=0 의 근의 좌우에서 f"{x}의 부호가 바뀌지 않는다.
@ a=3이면 f"{x}>0이므로 방정식 f"{x}=0의 근의 좌우에서 f"{x}의 부호가 바뀌지 않는다. !, @에서 -3<a<3 따라서 정수 a의 개수는 5이므로 ③이다. 19 f'{x}={ln`x+2}`ln`x, f"{x}=2{ln`x+1} x f'{x}=0에서 x= 1 e@ 또는 x=1 이때 f"[ 1 e@]<0, f"{1}>0이므로 A{1, 0} f"{x}=0에서 x= 1e x= 1e의 좌우에서 f"{x}의 부호가 바뀌므로 변곡점 의 좌표는 [ 1e, 1e ] 또 f'[ 1e ]=-1이므로 변곡점에서 접하는 접선의 방 정식은 y=-x+ 2 e 따라서 B[ 2e, 0], C[0, 2e ]이므로 삼각형 ABC의 넓이는 12\[1- 2 e ]\ 2e= e-2e@ 20 점 B의 좌표를 {x, e_X}, 직사각형의 넓이를 S{x}라 고 하면 S{x}=2xe_X, S'{x}=2{1-x}e_X x>0일 때, S'{x}=0에서 x=1 x 0 y 1 y S '{x} + 0 -S{x} ↗ 2e ↘ 따라서 S{x}는 x=1에서 최대이므로 직사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 2e이다. 21 f{x}= eX+e_X 2 이라고 하면 f'{x}= eX-e_X2 f'{x}=0에서 x=0 x y 0 y f '{x} - 0 + f{x} ↘ 1 ↗ 또 lim x`! Ef{x}=E, lim x`! -Ef{x}=E이다. 따라서 함수 y=f{x}의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으므로 실수 k의 값의 범위는 k>1 x O y y=f{x} k 1 y=k
22 x<0이므로 e_X>ax에서 e_Xx <a f{x}= e_X x 이라고 하면 f'{x}= -e_X{x+1} x@ x<0일 때, f'{x}=0에서 x=-1 x y -1 y 0 f '{x} + 0 - f{x} ↗ -e ↘ 함수 f{x}는 x=-1에서 최대이고 최댓값이 -e이 므로 x<0인 모든 x에 대하여 e_Xx <-e 따라서 a>-e 23 dxdt=eT{cos`t-sin`t}, dydt=eT{sin`t+cos`t}이 고, 점 P의 속력이 j2kep이므로 19eT{cos`t-sin3`t}0@+9eT{si3n`t+cos`t}0@3=j2kep 12e@T3=j2kep, t=p 따라서 d@x dt@=-2eT`sin`t, d@y dt@=2eT`cos`t이므로 t=p에서 점 P의 가속도는 {0, -2ep} 178~181쪽
III
적분법
1 x+8jxk+4`ln`x+C 2 f'{x}=2e@X-eX이므로 f{x}=?{2e@X-eX}`dx =e@X-eX+C 이때 곡선 y=f{x}가 점 {0, 1}을 지나므로 1-1+C=1, C=1 따라서 f{x}=e@X-eX+1 3 ④ 4 f{x}=? 5x+1 x@+x-2`dx =?[ 2x-1+ 3x+2 ]`dx =2`ln`|x-1|+3`ln`|x+2|+C f{2}=3`ln`4에서 C=0 따라서 f{x}=2`ln`|x-1|+3`ln`|x+2|이므로 f{3}=2`ln`2+3`ln`5 5 주어진 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 f{x}=f{x}+xf'{x} -{cos`x-x`sin`x-cos`x} xf'{x}=-x`sin`x그런데 x>0이므로 f'{x}=-sin`x` 양변을 x에 대하여 적분하면 f{x}=?{-sin`x}`dx=cos`x+C ` f{p}=0에서 C=1이므로 f{x}=cos`x+1 따라서 / 2"|f{x}`dx=/2"|{cos`x+1}`dx ` ={sin`x+x} 2"|= p 2-1 6 ln`x=t로 놓으면 dx dt=x이고 x=1일 때 t=0, x=e일 때 t=1이므로 /1E2{ln`x}#+1x `dx=/0!{2t#+1}`dt ={ 12t$+t}0!=32 따라서 ⑤이다. 7 x= 13sin`h[- p2<h< p2 ]로 놓으면 dxdh=13cos`h x=0일 때 h=0, x=16일 때 h=p6이므로 /06! 1 11-9x@3`dx =/06" 1 11-sin@`h3\ 13cos`h`dh =/06"1 3`dh={ 1 3h}0 6" =p 18 따라서 ②이다. 8 /0!{x+3}e@X`dx={x+3 2 e@X}0!-/0! e@X 2 `dx =[2e@- 3 2 ]-{ e@X 4 }0! = 14{7e@-5} 9 f'{x}={ln`x}@이므로 f{x}=?{ln`x}@`dx =x{ln`x}@-2? ln`x`dx =x{ln`x}@-2[x`ln`x-? dx] =x{ln`x}@-2{x`ln`x-x}+C 즉, f{e@}-f{e}=2e@-e 따라서 ①이다. 10 /02"e_X{sin`x+cos`x}`dx ={e_X{-cos`x+sin`x}}02" +/02"e_X{-cos`x+sin`x}`dx ={e-2"+1}+{e_X{-sin`x-cos`x}}02" -/02"e_X{sin`x+cos`x}`dx =2-/02"e_X{sin`x+cos`x}`dx 즉, /02"e_X{sin`x+cos`x}`dx=1 11 f{x}=?sin#`x`dx=?{1-cos@`x}`sin`x`dx t=cos`x로 놓으면 dxdt=-sin`x이므로 ?{1-cos@`x}sin`x`dx =?{t@-1}`dt=13t#-t+C =13`cos#`x-cos`x+C f{p}=1에서 C=13 따라서 f{x}=13`cos#`x-cos`x+13 12 /0Xf{t}`dt=3x+x/0Xf{t}`dt-/0Xtf{t}`dt의 양변을 x에 대하여 미분하면 f{x}=3+/0Xf{t}`dt+xf{x}-xf{x} f{x}=3+/0Xf{t}`dt yy`① 양변을 x에 대하여 미분하면 f'{x}=f{x}` f{x}>0이므로 f '{x} f{x} =1에서 양변을 x에 대하여 적분하면 ln`f{x}=x+C 한편 ①에서 f{0}=3이므로 C=ln`3 따라서 f{x}=ex+ln`3=3eX이므로 f{2}=3e@
13 구하는 극한값은 lim n`! E n ? k=1 3 n+k= limn`! E n ? k=1 3 1+ kn \n1 =/0!1+x3 dx ={3`ln`|1+x|}0! =3`ln`2
14 5- 1e@ 15 e+ 1e-2 16 /0ln`2eX`dx=2/0ln`2ae@X`dx이므로 {eX}0ln`2={ae@X}0ln`2, 1=3a, a= 13 17 an=/02"`n`cos`x`dx+/ 2"|{-n`cos`x}`dx ={n`sin`x}02"+{-n`sin`x} 2"|=2n 따라서 n=1?10 an@=?10 n=14n@ =4\ 10\11\216 =1540 18 구하는 입체도형의 부피는 /0@x@+2x+2x+1 `dx=/0@[x+1+ 1x+1 ]`dx ={ 1 2x@+x+ln`|x+1|}0@ =4+ln`3 19 점 P의 좌표를 {x, 0}이라고 R P Q H 2`sin`x 2j2`sin`x j2`sin`x 하면 PQZ=QRZ=2`sin`x이므 로 PRZ=2j2k`sin`x` 변 PR와 사분원이 접하는 점 을 H라고 하면 QHZ=PHZ= 12 PRZ =j2k`sin`x` 단면의 넓이는 12{2`sin`x}@-p 4{j2k`sin`x}@ =[2- p2 ]`sin@`x 따라서 구하는 입체도형의 부피는 [2- p2 ]/0|sin@`x`dx =[2- p2 ]/0|1-cos`2x2 `dx =[2- p2 ]{12x-sin`2x4 }0|=p- p4@ 20 점 P가 움직인 거리는 /1@r[ cos`t
t@+t]@+y[ sin`tt@+t]@y`dt =/1@[ 1 t- 1t+1 ]`dt={ln`| tt+1 |}1@=ln` 43 따라서 ln` 43=ln`a이므로 a= 43 21 점 P의 속력은 r[ dxdt ]@+y[ dydt ]@y` =1a@{1-cos`t}@3+a@`sin@`t3 =1a@{2-23`cos`t}3 이때 점 P의 속력은 t=p에서 최대이고 최댓값은 2a 이므로 k=p, a=3 따라서 점 P가 움직인 거리는 /0|19{2-23`cos`t}3`dt =/0|r18-1-[cos@` t 2-sin@` t2 ]=y`dt =/0|r36`sin@` t 2y`dt=/0|6`sin` t2`dt ={-12`cos` t2}0|=12 22 dy dx=x1x@+23이므로 곡선의 길이는 /-1@41+{x1x@6+23}@6`dx=/-1@`{x@+1}`dx ={13x#+x}-1@ =6 23 r[ dxdt ]@+y[ dy dt ]@y` =19-2k{sin`t+sin`2t}0@+392k{cos`t+cos`2t}0@3 =2k12+2{sin`t`sin`2t3+cos`t`cos`2t}3 =2kj2+2`cos`tl =2kr2-1+[cos@` t 2-sin@` t2 ]=y =2kr4`cos@` t 2y =4k|cos` t2 | yy ① 따라서 t=0에서 t=p까지의 곡선의 길이를 ①을 이 용하여 구하면 4k/0||cos` t 2 |`dt=4k/0|cos` t2`dt =8k{sin` t2}0|=8k 즉, 8k=16에서 k=2이므로 이를 ①에 대입하면 r[ dxdt ]@+y[ dydt ]@y`=8|cos` t2 | 따라서 t=0에서 t=3p까지의 곡선의 길이는 8/0#||cos` t2 |`dt =8/0|cos` t2`dt+8/\#|[-cos` t2 ]`dt =8{2`sin` t2}0|+8{-2`sin` t2}\#|=48
