우석대학교 에너지전기공학과

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

퀴즈4 검토

문제) 𝑦 = sin(2𝑥 − π) 에서 다음을 구하고, 그래프를 그리시오. 1) 진폭: 2) 주기: 3) 주파수: 4) 위상이동: 5) 그래프 𝑦 = sin(2𝑥 − π) , (단, −π₂ ≤ 𝑥 ≤ 3π₂ ) ※ 각속도: ω= 2 2 𝐴 𝑜𝑟 𝐴 ? 최대값 = 1, 최소값 = -1 𝑇 = 2π ω = π 1 𝑇 = 1 π ∅ ω = 3π 2 -π_{2 0} 𝑦 𝑥 π 1 −1 π 2 위상이동 주기 π 2

5-7. 역 삼각함수 (복습)

 역함수: 오직 1:1 함수에만 존재함. 사인함수 𝑦 = sin 𝑥 의 역함수가 존재하는가?  1:1 함수가 아닌 경우: 정의역을 축소함으로써, 축소된 범위 내에서 1:1 함수가 되도록 할 수 있음. 5-7-1. 사인함수의 역함수  사인함수의 정의역을 (−π₂,π₂) 로 축소하면, 축소된 함수 𝑦 = sin 𝑥, (−π₂ ≤ 𝑥 ≤ π₂ ) 는 1:1 함수이므로 역함수를 갖는다. _𝑦 𝑥 0 −π 2 π 2 2π -π 0 𝑦 𝑥 π 1 −1 𝑏  사인함수의 역함수: 아크사인 함수 (arcsine function) −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, −π ≤ 𝑦 ≤ π 에 대해서 𝑥 = sin 𝑦 𝑦 = sin−1𝑥

5-7-2. 코사인함수의 역함수  코사인함수 𝑦 = cos 𝑥 에서 𝑦 = b 가 되는 𝑥 는 무수히 많으므로, 함수 𝑦 = cos 𝑥 는 구간 (−∞, ∞) 상에서 일대일 함수가 아니다.  그러나, 코사인함수 𝑦 = cos 𝑥 의 정의역 구간을 (0, π) 로 축소하면, 축소된 함수 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 는 1:1 함수이므로 역함수를 갖는다.  이 축소된 코사인함수의 역함수를 역코사인 함수라 하고, 𝑦 = cos−1_{𝑥 로 표기. (아크코사인 𝑥 라 함)} 3π 𝜋 2 0 𝑦 𝑥 π 1 −1 𝑏 2π −𝜋 2 𝑦 𝑥 0 π 2 π 1 −1

 아크코사인 함수 (arccosine function)의 정의 −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π 에 대해서 𝑦 = cos−1_{𝑥 𝑥 = cos 𝑦} ※ note: 아크코사인 함수에서는 축소된 코사인함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로, 𝑥 와 𝑦 의 구간이 변경됨 (−1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π)  또한, 𝑦 = cos−1_{𝑥 는 𝑥 = cos 𝑦 를 의미하므로, 『𝑦 는 코사인함수 값이 𝑥 일 때의 각』}  함수와 그 역함수에 관한 성질에 의해, 다음이 정의 됨. cos−1_{(cos 𝑦) = 𝑦, 0 ≤ 𝑦 ≤ π} cos−1(cos 𝑥) = 𝑥, − 1 ≤ 𝑥 ≤ 1

예제 2) 다음 값을 구하라. (1) co𝑠−1₀ 𝑦 = cos−1_{0 0 = cos 𝑦 코사인함수의 값이 0 이 되기 위한 각}  코사인함수의 값이 0 이 되기 위한 각은 수없이 많음: −π₂,π₂,3π₂ …  아크코사인 정의에 의해 구간은: −1 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ π  따라서, cos−1_{0 =}𝜋 2 (2) cos−1(−1₂) 𝑦 = cos−1₍₋1 2) − 1 2 = cos 𝑦  구간 0 ≤ 𝑦 ≤ π 에서 코사인함수의 값이 −1₂ 이 되기 위한 각은?  따라서, cos−1₍₋1 2) = 2π 3 0 ₀ 𝑦 𝑥 𝜋 2 1 −1 3𝜋 2 −𝜋 2 5𝜋₂ 4𝜋 3 2𝜋 3 8𝜋 3 π −1 2

 아크코사인 함수의 그래프  아크코사인 함수의 정의에 의해 축소된 코사인함수 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 에서 독립변수와 종속변수를 맞바꾸면, 아크사인 함수 𝑥 = cos 𝑦 (𝑜𝑟, 𝑦 = cos−1_{𝑥, 0 ≤ 𝑦 ≤ π , −1 ≤ 𝑥 ≤ 1) 가 됨.}  이것은 축소된 코사인함수 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 의 그래프를 직선 𝑦 = 𝑥 에 관하여 대칭한 것. 𝑦 = cos 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ π 𝑦 = cos−1_{𝑥, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1} 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 π 2 π 1 −1 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 π 2 π 1 −1

5-7-3. 탄젠트함수의 역함수  탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥 에서 𝑦 = b 가 되는 𝑥 는 무수히 많으므로, 함수 𝑦 = tan 𝑥 는 구간 (−∞, ∞) 상에서 일대일 함수가 아니다.  그러나, 탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥 의 정의역 구간을 (−π₂, π₂) 로 축소하면, 축소된 함수 𝑦 = tan 𝑥, −π₂ < 𝑥 < π₂ 는 1:1 함수이므로 역함수를 갖는다.  이 축소된 탄젠트함수의 역함수를 역탄젠트 함수라 하고, 𝑦 = tan−1_{𝑥 로 표기. (아크탄젠트 𝑥 라 함)} 𝑦 𝑥 0 −𝜋 2 1 −1 𝜋 2 𝑦 𝑥 0 1 −1 𝜋 2 −𝜋 2 𝜋 2 3𝜋 2 −3𝜋 2 −π π 𝒚 = 𝒃

 아크탄젠트 함수 (arctangent function)의 정의 −∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ < 𝑦 < π₂ 에 대해서 𝑦 = tan−1_{𝑥 𝑥 = tan 𝑦} ※ note: 아크탄젠트 함수에서는 축소된 탄젠트함수의 독립변수와 종속변수의 역할이 바뀌므로, 𝑥 와 𝑦 의 구간이 변경됨 (−∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ < 𝑦 < π₂)  또한, 𝑦 = tan−1_{𝑥 는 𝑥 = tan 𝑦 를 의미하므로, 『𝑦 는 탄젠트함수 값이 𝑥 일 때의 각』}  함수와 그 역함수에 관한 성질에 의해, 다음이 정의 됨. tan−1_{(tan 𝑦) = 𝑦, −}π 2 < 𝑦 < π 2 cos−1_{(cos 𝑥) = 𝑥, − ∞ < 𝑥 < ∞}

예제 3) 다음 값을 구하라. (1) tan−1₁ 𝑦 = tan−1_{1 1 = tan 𝑦 탄젠트함수의 값이 1 이 되기 위한 각}  탄젠트함수의 값이 1 이 되기 위한 각은 수없이 많음: −3π₄ , π₄ , 5π₄ …  아크탄젠트 정의에 의해 구간은: −∞ < 𝑥 < ∞, −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂  따라서, tan−1_{1 =}𝜋 4 (2) tan−1(− 3) 𝑦 = tan−1_{(− 3) − 3 = cos 𝑦}  구간 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에서 탄젠트함수의 값이 − 3 이 되기 위한 각은?  따라서, tan−1_{(− 3) = −}π 𝑦 𝑥 0 1 −1 𝜋 2 −𝜋 2 𝜋 2 3𝜋 2 −3𝜋 2 −π π π 4 −3π 4 5π 4 −𝜋 3 −4𝜋 3 2𝜋₃ - 3

 아크탄젠트 함수의 그래프  아크탄젠트 함수의 정의에 의해 축소된 탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥, −π 2 < 𝑥 < π 2 에서 독립변수와 종속변수를 맞바꾸면, 아크탄젠트함수 𝑥 = tan 𝑦 (𝑜𝑟, 𝑦 = tan−1_{𝑥, −}π 2 < 𝑦 ≤ π 2, −∞ < 𝑥 < ∞) 가 됨.  이것은 축소된 탄젠트함수 𝑦 = tan 𝑥, −π₂ < 𝑥 < π₂ 의 그래프를 직선 𝑦 = 𝑥 에 관하여 대칭한 것. 𝑦 = tan−1_𝑥 𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 −𝜋 2 1 −1 𝜋 2 𝑦 = 𝑥 𝑦 𝑥 0 −𝜋 2 1 −1 𝜋 2

예제 4) 다음 값을 구하라. (1) sin[(cos−1₍ 3 2)] 𝑦 = cos−1₍ 3 2) 3 2 = cos 𝑦 코사인함수의 값이 3 2 이 되기 위한 각.  아크코사인 정의에 의해 구간 0 < 𝑦 < π 에서 코사인함수의 값이 ₂3 이 되기 위한 각은 π 6 , 따라서 𝑦 = cos −1 3 2 = 𝜋 6  그러므로, sin[(cos−1₍ 3 2)] = sin π 6 = 1 2 (2) cos[tan−1_{(− 1)]} 𝑦 = tan−1_{(− 1) − 1 = tan 𝑦 탄젠트함수의 값이 −1 이 되기 위한 각.}  아트탄젠트 정의에 의해 구간 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 에서 탄젠트함수의 값이 −1이 되기 위한 각은 −π₄ , 따라서 𝑦 = tan−1_{(−1) = −}𝜋 4  그러므로, cos[tan−1_{(− 1)] = cos −}π 4 = 2 2

예제 5) 다음 값을 구하라. (1) sin[(tan−1₍1 2)] 𝑦 = tan−1₍1 2) 1 2= tan 𝑦  𝑦 는 탄젠트함수의 값이 1₂ 이 되기 위한 각.  또한, 1 2= tan 𝑦 > 0 이므로, 각 𝑦 는 1/4분면 또는 3/4분 면의 각.  아크탄젠트 정의에 의해 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 이므로, 각 𝑦 는 4/4분면 또는 1/4분 면의 각.  그러므로, 각 𝑦 는 1/4분 면의 각이 되어야 함. 0 < 𝑦 < π 2  직각삼각형 (피타고라스 정리) 5 𝑦 o 𝑥 𝑦 (양의 삼각함수) sin _all tan cos

예제 6) 다음 값을 구하라. (1) cos[(sin−1₍₋1 3)] 𝑦 = sin−1₍₋1 3) − 1 3= sin 𝑦  𝑦 는 사인함수의 값이 −1₃ 이 되기 위한 각.  또한, −1₃= sin 𝑦 < 0 이므로, 각 𝑦 는 3/4분면 또는 4/4분 면의 각.  아크사인 정의에 의해 −π₂ ≤ 𝑦 ≤ π₂ 이므로, 각 𝑦 는 4/4분면 또는 1/4분 면의 각.  그러므로, 각 𝑦 는 4/4분 면의 각이 되어야 함. −π₂ < 𝑦 < 0  직각삼각형 (피타고라스 정리) sin 𝑦 = −1₃  최종적으로, cos[(sin−1₍₋1 3)] = cos 𝑦 = 2 2 3 3 1 2 2 𝑦 𝑦 𝑥 (2 2, −1) −1 o 𝑥 𝑦 (양의 삼각함수) sin _all tan cos

 집합

1-1. 집합의 정의

(1) 어떤 것이 그 집합에 들어 있는지 아닌지 식별할 수 있다. (2) 그 집합에서 두 개를 뽑아냈을 때, 그것이 서로 같은 것인지 또는 다른 것인지를 식별할 수 있다.

1-2. 집합을 나타내는 방법

 원소나열 법 1, 2, 3 과 같이 대상이 되는 1, 2, 3을 괄호 안에 나열하여 나타내는 방법.  조건제시 법 𝑥|𝑥 는 자연수 와 같이 대상의 공통적인 성질을 설명하여 집합을 나타내는 방법.  𝑥 가 집합 A에 속한 대상일 때, 𝑥 ∈ 𝐴 라 쓰고, 𝑥 를 집합 𝐴 의 원소라 한다.

중간시험 총정리 I

1-3. 집합의 연산

(1) 공집합: 어떤 원소도 갖지 않는 집합, ∅ 로 표기. (2) 두 집합 𝐴, 𝐵 의 원소가 모두 같을 때, 𝐴 와 𝐵 는 같다라고 하며, 𝐴 = 𝐵 로 쓴다. (3) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 합집합은 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 또는 𝑥 ∈ 𝐵 이다. (4) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 교집합은 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 이고 𝑥 ∈ 𝐵 이다. (5) 두 집합 𝐴, 𝐵 가 주어질 때, 𝐴 와 𝐵 의 차집합은 𝐴 − 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 이고 𝑥 ∉ 𝐵 이다. (6) 집합 𝐴 의 모든 원소가 집합 𝐵 의 원소 일 때, 𝐴 는 𝐵 의 부분집합이고, 𝐴 ⊂ 𝐵 로 표기. (7) 𝑈 가 전체집합 이고, 𝐴 ⊂ 𝑈 일 때, 𝑈 − 𝐴 를 𝐴 의 여집합이라 하고, 𝐴𝑐 _{로 표기.} (집합연산 예) 전체집합 𝑈 = 1, 2, 3, 4, 5 이고, 𝐴 = 1, 2, 3 , 𝐵 = 3, 4 라고 하면, 𝐴 ⊂ U 𝐵 ⊂ 𝑈 𝐴 ∪ 𝐵 = 1, 2, 3, 4 𝐴 ∩ 𝐵 = 3 𝐴 − 𝐵 = 1, 2 𝐴𝑐 _{= 𝑈 − 𝐴 = 4, 5} 𝐴 − 𝐴 = ∅ 4 1 2 3 5 A _B U

 두 집합 X, Y에서, X의 각 원소에 Y의 원소가 1:1 매칭 할 때, 이 대응을 X에서 Y로의 함수(function)라 하고 𝑦 = 𝑓(𝑥) 로 표시함.

𝑥 ㆍ ㆍ ㆍ ㆍ 공역 (codomain) 𝑦 ㆍ ㆍ ㆍ ㆍ X Y 정의역 (domain) 함수 𝑓 의 치역 (range)

 함수

𝑓  역함수  함수 𝒇 : X Y 가 일대일 대응일 때, Y의 각 원소 _{𝑦 에 대해 𝑓 𝑥 = 𝑦 인 X의 원소} 𝑥 가 단 하나 존재하므로, Y를 정의역, X를 치역으로 하는 Y 에서 X 로의 함수를 얻을 수 있음.

 위의 그림 중 아래 함수에 해당하는 것은?  𝑦 = 𝑥 + 1  𝑦 = cos 𝑥  아래 그림 중 함수는? (그림 1) (그림 2) (그림 3) X Y 𝑥₀ 𝑥1 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦2 𝑦3 X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦2 X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑦₃ 𝑥₄  위의 함수 중 역함수가 존재하는가? (그림 1-1) (그림 2-1) (그림 3-1) X Y 𝑥0 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥₃ 𝑦₁ 𝑦₀ 𝑦₂ 𝑥 X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥3 𝑦₁ 𝑦0 𝑦₂ 𝑦₃ X Y 𝑥₀ 𝑥₁ 𝑥2 𝑥3 𝑦1 𝑦₀ 𝑦₂

 1차 함수 (직선 방정식)

1) 기울기가 𝑚 이고, 𝑦 절편이 𝑏 인 직선 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 2) 기울기가 𝑚 이고, 점 (𝑥₁, 𝑦₁) 을 지나는 직선 𝑦 − 𝑦₁ = 𝑚(𝑥 − 𝑥₁) 3) 두 점 (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2) 을 지나는 직선 𝑦 − 𝑦₁ =𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 𝑥 − 𝑥1 (단, 𝑥1 ≠ 𝑥2) 4) 𝑥 절편이 𝑎, 𝑦 절편이 𝑏 인 직선 𝑥 𝑎+ 𝑦 𝑏 = 1 (단, 𝑎𝑏 ≠ 0)

 2차 함수 그래프의 성질

1) 기본형: 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 2) 위의 기본형을 완전제곱 꼴로 바꾸면, 𝑦 = 𝑎 𝑥2₊𝑏 𝑎𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑎𝑥 + 𝑏2 4𝑎2 + 𝑐 − 𝑏2 4𝑎 = 𝑎(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 _{+ 𝑐 −}𝑏2 4𝑎 = 𝑎(𝑥 + 𝑏 2𝑎)2 + 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎 ※ 함수의 평행이동  함수 𝑦 − 𝑛 = 𝑓 𝑥 − 𝑚 𝑦 = 𝑓 𝑥 의 그래프를 𝑥축 방향으로 m , 𝑦 축방향으로 n 만큼 평행 이동한 그래프. 3) 이차함수의 완전제곱 꼴 𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑏 2𝑎) 2 ₊ 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎  𝑦 = 𝑎𝑥2 _{을 𝑥축 방향으로 −} 𝑏 2𝑎 만큼, 𝑦축 방향으로 4𝑎𝑐−𝑏2 4𝑎 만큼 평행 이동한 그래프.  대칭축: 𝑥 = −_2𝑎𝑏 , 꼭지점: (−_2𝑎𝑏 , 4𝑎𝑐−𝑏_4𝑎 2)

𝑥

𝑦

𝑛 𝑦 = 𝑎𝑥2 _{(𝑎 > 0)} 𝑚

0

𝑦 = 𝑎(𝑥 − 𝑚)2_{+ 𝑛}

4) 2차 함수의 그래프  이차 함수 𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 의 그래프는 좌표평면에서 포물선의 형태로 나타남.}  𝑎 > 0 이면, 아래로 볼록한 포물선  𝑎 < 0 이면, 위로 볼록한 포물선 예제) 다음 2차 함수에서 대칭축과 꼭지점을 구하라.

𝑦 = −𝑥

2

+ 2𝑥 + 3 = − 𝑥 − 1

2

+ 4

𝑦 = 𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐}

𝑥

𝑦

0

𝑥

𝑦

0 𝑎 > 0 𝑎 < 0

 근의 공식

𝑦 = 0 일 경우 이차함수의 식을 이차방정식 이라 함. 0 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 위의 이차방정식을 만족하는 근을 구하기 위해, 위의 식을 변형하면, _{0 = 𝑎𝑥}2 _{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 +} 𝑏 2𝑎) 2 _{+ 𝑐 −}𝑏2 4𝑎 = 𝑥 + 𝑏 2𝑎 2 − 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐₂ 𝑥 + _2𝑎𝑏 2 = 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐₂ 위의 식을 𝑥 에 대해 풀면, 근의 공식을 구할 수 있음. 𝑥 = ± 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐₂ −_2𝑎𝑏 = −𝑏± 𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐

 판별식

1) 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 > 0 : 𝑥 는 서로 다른 두 개의 실근} 2) 𝑏2_{− 4𝑎𝑐 = 0 : 𝑥 = −} 𝑏 2𝑎 인 한 개의 실근 3) _𝑏2_{− 4𝑎𝑐 < 0 : 𝑥 는 허근 (공액복소근)}

 정수의 지수법칙 (m, n 이 정수 일 때)

1) 𝑎𝑚 _{× 𝑎}𝑛 _{= 𝑎}𝑚+𝑛 2) (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 3) _(𝑎𝑏)𝑚_{= 𝑎}𝑚_𝑏𝑚 4) (𝑏_𝑎)𝑚 = 𝑏_𝑎𝑚_𝑚 5) 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑜𝑟 1 (𝑚 = 𝑛 일 때) * 단, 4, 5 에서 a ≠ 0

 유리수의 지수법칙 ( a>0 이고 m, n 이 정수 일 때)

1) 𝑛 𝑎 _{= 𝑎𝑛}1 2) 𝑛 𝑎𝑚 _{= 𝑎}𝑚_𝑛

 지수함수(exponential function)

 지수방정식 (복습)

1) 𝑎𝑥 _{(𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1) 로 표시되는 방정식을 지수방정식이라 함.} 2) 지수 방정식 풀이 방법 가) 각항에서 지수의 밑을 동일하게 만듦. 나) 각각의 지수를 지수법칙을 활용하여 정리. 다) 좌우 등식을 통해 𝑥 에 대한 값을 구한다. 예제) 지수법칙을 활용하여 다음의 지수 방정식을 풀어라. 32𝑥 _{· 9}𝑥+1 _{= 1}

 로그

 로그의 기본 성질 ( 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1 이고, 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 일 때) 증명

1)

𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑎 = 1, 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

1 = 0

2)

𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥𝑦 = 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥 + 𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑦

증명: 위 식에서 로그의 정의로부터 𝑥𝑦 = 𝑎(log𝑎𝑥+log𝑎𝑦) = 𝑎log𝑎𝑥· 𝑎log𝑎𝑦

𝑎log𝑎𝑥 = 𝑥 _에서 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 = 𝑛 이라하면 𝑎𝑛 = 𝑥 _{로그의 정의:} 𝑛 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥

3) 𝑙𝑜𝑔

_𝑎 𝑥 𝑦

= 𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑥 − 𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑦, (즉, 𝑙𝑜𝑔

𝑎 1 𝑦

= −𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑦 )

4)

𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥

𝑛

= 𝑛𝑙𝑜𝑔

_𝑎

𝑥 (n 은 실수), (그러므로, 𝑙𝑜𝑔

_𝑎𝑛

𝑥

₌

1 𝑛

𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑥 )

증명:

𝐴 = 𝑙𝑜𝑔_𝑎𝑥 라하면, 𝑥 = 𝑎𝐴_{. 이를 위 식에 좌변에 대입하면, log} 𝑎𝑥𝑛 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎𝐴𝑛 = 𝐴𝑛

 로그방정식

1) log_𝑎𝑥, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 항을 포함하는 방정식을 로그방정식이라 함. 2) 로그방정식 풀이방법 가) 각항에서 로그의 밑을 같게 만듦 나) 각각의 로그를 로그의 성질을 이용하여 간단하게 정리 다) 로그의 정의에 의해 로그를 지수형태로 변환 라) 좌우 등식을 활용하여 𝑥 에 대한 값을 구한다 마) 원래의 로그함수로 부터 로그의 진수가 양이라는 조건을 활용하여 𝑥 의 범위를 체크함. 예제) 로그의 여러 가지 성질을 활용하여 다음의 로그방정식을 풀어라.

log

₃

𝑥 + log

₃

(2𝑥 − 1) = 0

※

𝑥

의 조건: 2𝑥 − 1 > 0