우석대학교 에너지전기공학과

공학수학 (29)

우석대학교 전기에너지공학과

이우금 교수

기말시험 총정리

7. 벡터 7-1-2. 단위벡터와 기본벡터  단위벡터 (unit vector)  크기가 1인 벡터  벡터 𝐴 와 방향이 같고 크기가 1인 벡터를 𝑎 라 하면, 𝐴 = 𝐴𝑎  크기가 1이고 방향이 같은 벡터를 단위벡터 𝑎  기본벡터 (fundamental vector)  특히 좌표 계에서 𝑥, 𝑦, 𝑧 각 축의 양의 방향으로 크기가 1인 단위벡터  𝑖, 𝑗, 𝑘 (또는 𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧 )로 표시하며,  서로의 각도가 90𝑜 _{의 관계를 이루고 있음.}

7-1-3 벡터의 성분  직교 좌표 계  위치벡터 𝐴 의 𝑥, 𝑦 축 방향성분이 각각 𝐴_𝑥, 𝐴_𝑦 이면 _{𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 로 표시하고, 𝐴 의 크기는} 𝐴 = 𝐴_𝑥2 + 𝐴_𝑦2  벡터 𝐴 의 단위 벡터 𝑎 는? 𝑎 = 𝐴 𝐴 = 𝐴_𝑥𝑖+𝐴_𝑦𝑗 𝐴 = 𝐴𝑥 𝐴 𝑖 + 𝐴_𝑦 𝐴 j 𝑖 𝑗 𝑦 𝑥

𝐴 (𝐴

_𝑥

,

𝐴

_𝑦

)

𝐴

_𝑥

𝐴

_𝑦

𝒂

0

 벡터 𝐴 가 각 축 𝑥, y 와 이루는 각을 α, β 라고 하면, cos α = 𝐴𝑥 𝐴 , cos β = 𝐴𝑦 𝐴  벡터 𝐴 의 단위 벡터 𝑎 = 𝐴 _𝐴 = 𝐴𝑥𝑖+𝐴_𝐴 𝑦𝑗 = 𝐴𝑥 𝐴 𝑖 + 𝐴_𝑦 𝐴 j 𝑎 = (cos α) 𝑖 + (cos β) 𝑗 𝑎 = (cos α)2_{+(cos β)}2_{= 1} 그러므로, cos2_{α + cos}2_{β = 1} 𝑖 𝑗 𝑦 𝑥

α

β

𝐴

𝐴

_𝑥

𝐴

_𝑦 0

7-3-1. 스칼라적 (scalar product)  스칼라적 (or 내적)의 정의 - 두 벡터 A와 B의 스칼라적은 𝐴 ㆍ𝐵 로 표기하며, 𝐴 ㆍ𝐵 = 𝐴𝐵 cos θ 로 주어지는 스칼라 량. ※ θ는 두 벡터 A와 B의 사이각  스칼라적의 의미 - 벡터 𝐴 의 벡터 𝐵방향 성분 또는 벡터 𝐵의 벡터 𝐴 방향 성분 - 그러므로 스칼라적은 교환법칙이 성립함: 𝐴 ㆍ𝐵 = 𝐵ㆍ𝐴 7-3 벡터의 곱

𝐴

𝐵

𝑂 θ 𝐵 cos θ

_𝐴

𝐵

𝑂 θ 𝐴 cos θ

예제) 두 벡터 𝐴 = 2𝑖 + 𝑗 + 2𝑘 와 𝐵 = 4𝑖 − 2𝑗 + 𝑘 에서 두 벡터의 내적과 사이각을 구하라.  두 벡터의 스칼라적 𝐴 ㆍ𝐵 = 2 × 4 + 1 × −2 + 2 × 1 = 8  두 벡터의 사이각 𝐴 ㆍ𝐵 = 𝐴𝐵 cos θ, 𝐴 = 22_{+ 1}2_{+ 2}2 _{= 3, 𝐵 = 4}2_{+ (−2)}2₊₁2 _{= 21} cos θ =𝐴 ㆍ_𝐴𝐵𝐵 = _{3 21}8

7-3-2. θ 에 따른 스칼라적의 변화  𝐴 와 𝐵 가 평행 (즉, θ = 0°) 일 때: 𝐴 ㆍ𝐵 = 𝐴𝐵  𝐴 와 𝐵 가 직각 (즉, θ = 90°) 일 때: 𝐴 ㆍ𝐵 = 0  이것을 기본벡터에 적용하면, 𝑖 ㆍ𝑖 = 𝑗 ㆍ𝑗 = 𝑘ㆍ𝑘 = 1 𝑖 ㆍ𝑗 = 𝑗 ㆍ𝑘 = 𝑘ㆍ𝑖 = 0  벡터의 성분을 이용하여 두 벡터 𝐴 , 𝐵의 스칼라적을 구하면, 𝐴 ㆍ𝐵 = (𝐴_𝑥𝑖 + 𝐴_𝑦𝑗 + 𝐴_𝑧𝑘)ㆍ(𝐵_𝑥𝑖 + 𝐵_𝑦𝑗 + 𝐵_𝑧𝑘) = 𝐴_𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧

7-3-3. 스칼라적의 응용  스칼라적은 물리적 현상에서 변위방향의 유효성분을 나타내는데 응용됨. - 오른쪽 그림에서 지점 0에 위치한 물체에 일정한 힘 𝐹 가 작용하여 ℓ만큼 이동하는 경우, 이때 한 일을 구하면, 물체의 이동방향 ℓ에 대한 힘 𝐹 의 유효성분은 𝐹 cos θ 그러므로 이때 한 일은 ?  일의 단위 및 정의 - 일의 정의: 물체에 힘을 작용하여 일정한 거리만큼 이동시킬 때 필요한 에너지 - 힘의 단위: 1N = 1kgㆍm/𝑠2 - 일의 단위: Joule (J) = Nㆍm ℓ 𝐹 𝑂 _{𝐹 cos θ} θ ℓ

7-3-4. 벡터적 (vector product)  벡터적 (or 외적)의 정의 - 두 벡터 A와 B의 벡터적은 𝐴 × 𝐵 로 표기하며, 그 결과는 크기와 방향을 갖는 벡터 량. - 벡터적의 크기: 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵 sin θ 즉, 두 벡터 A와 B를 두 변으로 하는 평행사변형의 면적 ※ θ는 두 벡터 A와 B의 사이각 - 벡터적의 방향: 두 벡터 A와 B가 이루는 평행사변형에 수직이며, A에서 B로 회전하는 오른나사의 진행방향. - 벡터적의 방향의 단위벡터를 𝑛 이라 하면,

𝐴 × 𝐵 = 𝑛𝐴𝐵 sin θ

- 두 벡터의 곱 𝐴 × 𝐵 의 순서를 바꾸면, 벡터적 정의에 의해 크기는 같지만 방향이 반대가 되므로, 벡터적은 교환법칙이 성립하지 않음:

𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴

𝐴 𝐵 𝑂 θ 𝐵 𝑠𝑖𝑛 θ 𝑛

𝐴 × 𝐵 = 𝑛𝐴𝐵 sin θ

7-3-5. θ 에 따른 벡터적의 변화  𝐴 와 𝐵 가 평행 (즉, θ = 0°) 일 때, 𝐴 × 𝐵 = 0  𝐴 와 𝐵 가 직각 (즉, θ = 90°) 일 때, 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝐵  이것을 기본벡터에 적용하면, 𝑖 × 𝑖 = 𝑗 × 𝑗 = 𝑘 × 𝑘 = 0 𝑖 × 𝑗 = 𝑘 , 𝑗 × 𝑘 = 𝑖 , 𝑘 × 𝑖 = 𝑗 𝑗 × 𝑖 = −𝑘 , 𝑘 × 𝑗 = −𝑖 , 𝑖 × 𝑘 = −𝑗

𝑖

𝑗

𝑘

+

𝑖

𝑗

𝑘

−

 벡터의 성분을 이용하여 두 벡터 𝐴 , 𝐵의 벡터적을 구하면,

𝐴 × 𝐵 = (𝐴

_𝑥

𝑖 + 𝐴

_𝑦

𝑗 + 𝐴

_𝑧

𝑘) × (𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘)

= 𝐴

_𝑥

𝑖 × (𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘) + 𝐴

_𝑦

𝑗 × (𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘) + 𝐴

_𝑧

𝑘 × (𝐵

_𝑥

𝑖 + 𝐵

_𝑦

𝑗 + 𝐵

_𝑧

𝑘)

= (𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑥

𝑖 × 𝑖 + 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑦

𝑖 × 𝑗 + 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑧

𝑖 × 𝑘) + (𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑥

𝑗 × 𝑖 + 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑦

𝑗 × 𝑗 + 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑧

𝑗 × 𝑘) +

(𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑥

𝑘 × 𝑖 + 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑦

𝑘 × 𝑗 + 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑧

𝑘 × 𝑘)

= (𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑦

𝑖 × 𝑗 + 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑧

𝑖 × 𝑘) + (𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑥

𝑗 × 𝑖 + 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑧

𝑗 × 𝑘) + (𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑥

𝑘 × 𝑖 + 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑦

𝑘 × 𝑗 )

= (𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑦

𝑘 − 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑧

𝑗 ) + (−𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑥

𝑘 + 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑧

𝑖 ) + (𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑥

𝑗 − 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑦

𝑖 )

= (𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑧

− 𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑦

) 𝑖 + (𝐴

_𝑧

𝐵

_𝑥

− 𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑧

)𝑗 + (𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑦

− 𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑥

)𝑘

=

𝑖

𝑗

𝐴

_𝑥

𝐵

_𝑥

𝐴

_𝑦

𝐵

_𝑦

_𝐴

𝑘

_𝑧

𝐵

_𝑧

𝑖

𝑗

𝑘

+

𝑖

𝑗

𝑘

−

예제) 두 벡터 A, B가 다음과 같을 때

𝐴 = 𝑖 − 2𝑗 + 4𝑘

,

𝐵 = 2𝑖 − 1𝑗 − 𝑘

1-1) 벡터적 𝐴 × 𝐵 를 구하라.

𝐴 × 𝐵 =

𝑖

𝑗

1

2

−2

−1

𝑘

₄

−1

= 6𝑖

+ 9𝑗 +

3𝑘

1-2) A와 B를 두 변으로 하는 평행사변형의 면적, S S = 𝐴 × 𝐵 = 62_{+ 9}2 _{+ 3}2 _{= 126} 1-3) A와 B의 사이각, θ 𝐴 × 𝐵 = AB sin θ

sin θ =

𝐴 ×𝐵 AB

=

126 12+(−2)2+42× 22+(−1)2+(−1)2

=

126 21× 30

θ = sin

−1

₍

126 21× 30

)

𝐴 𝐵 𝑂 θ 𝐵 𝑠𝑖𝑛 θ 𝑛

𝐴 × 𝐵 = 𝑛𝐴𝐵 sin θ

예제) 세 점 A(3, 4, 6), B(6, -4, 3), C(5, 4, 0)를 정점으로 하는 삼각형 ABC의 면적을 구하라.  세 점 A, B, C의 위치벡터 (즉, 𝑂𝐴 , 𝑂𝐵 , 𝑂𝐶 ) _{𝑂𝐴 = 3𝑖 + 4𝑗 + 6𝑘} 𝑂𝐵 = 6𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘 𝑂𝐶 = 5𝑖 + 4𝑗  변위벡터 𝐴𝐵 와 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 − 𝑂𝐴 = 6𝑖 − 4𝑗 + 3𝑘 − 3𝑖 + 4𝑗 + 6𝑘 = 3𝑖 − 8𝑗 − 3𝑘 𝐴𝐶 = 𝑂𝐶 − 𝑂𝐴 = 5𝑖 + 4𝑗 − 3𝑖 + 4𝑗 + 6𝑘 = 2𝑖 − 6𝑘  삼각형 ABC의 면적, S S = 1₂ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = (3𝑖 − 8𝑗 − 3𝑘) × (2𝑖 − 6𝑘) = 3𝑖 𝑗 2 −80 −3𝑘 −6 = 48𝑖 − 6𝑗 − −16𝑘 − 18𝑗 = 48𝑖 + 12𝑗 + 16𝑘 S = 1₂ 𝐴𝐵 × 𝐴𝐶 = 1₂ 48𝑖 + 12𝑗 + 16𝑘 = 1₂ 482 _{+ 12}2 _{+ 16}2 _{= 26}

예제) 세 벡터 A, B, C 가 아래와 같을 때 스칼라 3중적 𝐴 ㆍ(𝐵 × 𝐶 ) 를 구하라 𝐴 = 𝐴_𝑥𝑖 + 𝐴_𝑦𝑗 + 𝐴_𝑧𝑘, 𝐵 = 𝐵_𝑥𝑖 + 𝐵_𝑦𝑗 + 𝐵_𝑧𝑘, 𝐶 = 𝐶_𝑥𝑖 + 𝐶_𝑦𝑗 + 𝐶_𝑧𝑘, 𝐵 × 𝐶 = 𝑖 𝑗 𝐵_𝑥 𝐶_𝑥 𝐵_𝑦 𝐶_𝑦 𝑘 𝐵_𝑧 𝐶_𝑧 𝐴 ㆍ 𝐵 × 𝐶 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧𝑘 ㆍ 𝑖 𝑗 𝐵𝑥 𝐶_𝑥 𝐵_𝑦 𝐶_𝑦 𝑘 𝐵_𝑧 𝐶_𝑧 = 𝐴_𝑥 𝐴_𝑦 𝐵_𝑥 𝐶_𝑥 𝐵_𝑦 𝐶_𝑦 𝐴_𝑧 𝐵𝑧 𝐶𝑧  스칼라 3중적의 기하학적 의미 𝐴 𝐵 𝑂 θ 𝐵 × 𝐶 𝐶 (스칼라 3중적)

7-6. 벡터의 미분연산 7-6-1. 미분연산자 (del)  벡터계의 미분계산에는 𝑥, 𝑦, 𝑧 방향으로의 변화율과 방향으로 표시되는 미분연산자 (del)를 사용함. 𝛻 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘  기울기 (gradient)  스칼라함수 𝑉 𝑥, 𝑦, 𝑧 의 공간영역에서 기울기는 다음과 같이 표현된다. 𝛻𝑉 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘 𝑉 = 𝜕𝑉_𝜕𝑥𝑖 +𝜕𝑉_𝜕𝑦𝑗 +𝜕𝑉_𝜕𝑧𝑘  이것은 스칼라함수 V의 𝑥, 𝑦, 𝑧 각 방향의 거리에 대한 변화율을 나타내며, 벡터량으로 얻어진다.

예제) 스칼라함수 _{V =} 1 2𝑥 2_𝑦𝑧4 _{의 점 p(2, 2, 1)에서의 기울기를 구하라.}  스칼라함수 V의 기울기 식은: 𝛻𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 𝛻𝑉 = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑉 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘 𝑉 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘 (1₂𝑥2_𝑦𝑧4₎ = _𝜕𝑥𝜕 (1₂𝑥2_𝑦𝑧4_{)𝑖 +} 𝜕 𝜕𝑦( 1 2𝑥2𝑦𝑧4)𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧( 1 2𝑥2𝑦𝑧4)𝑘 = 𝑥𝑦𝑧4_{𝑖 +}1 2𝑥2𝑧4𝑗 + 2𝑥2𝑦𝑧3𝑘 = (2 × 2 × 14_{)𝑖 + (}1 2× 22× 14)𝑗 + (2 × 22× 2 × 13)𝑘 = 4𝑖 + 2𝑗 + 16𝑘

7-6-2. 벡터의 발산(Divergence)  미분연산자 (del)  벡터계의 미분계산에는 𝑥, 𝑦, 𝑧 방향으로의 변화율과 방향으로 표시되는 미분연산자 (del)를사용함. 𝛻 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘  임의의 벡터 𝐸 = 𝐸_𝑥𝑖 − 𝐸_𝑦𝑗 + 𝐸_𝑧𝑘 와의 미분연산자와의 스칼라적 계산 𝛻ㆍ𝐸 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘 ㆍ𝐸 = (_𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘)ㆍ 𝐸_𝑥𝑖 − 𝐸_𝑦𝑗 + 𝐸_𝑧𝑘 = 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐸_𝑧 𝜕𝑧  이 관계식은 벡터 E 방향으로 진행하는 단위체적에서 발산하는 선속수의 물리적 의미를 가지며, 스칼라 량이 된다.  즉, 공간에 분포하고 있는 임의의 한 점에서 단위 체적당 발산하는 선속수를 의미하므로, 공간전하 분표에서 발생하는 전기력선의 수를 계산하는데 이용됨..

예제) 𝐴 = 𝑥2𝑖 − 𝑦2𝑗 + 𝑧2𝑘 일 때 점 P(1, 2, 3)에서의발산을 구하라.  벡터 A의발산은 𝛻ㆍ𝐴 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘 ㆍ𝐴 = _𝜕𝑥𝜕 𝑖 +_𝜕𝑦𝜕 𝑗 +_𝜕𝑧𝜕 𝑘 ㆍ(𝑥2_{𝑖 − 𝑦}2_{𝑗 + 𝑧}2_𝑘) = _𝜕𝑥𝜕 (𝑥2) +_𝜕𝑦𝜕 (𝑦2) +_𝜕𝑧𝜕 (𝑧2) = 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧  점 P(1, 2, 3)을 대입하면, 𝛻ㆍ𝐴 = 2𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 2 + 2 × 2 + 2 × 3 = 12

7-6-3. 벡터의 회전(Rotation or Curl)  미분연산자 (del)와 임의의 벡터 𝐻 = 𝐻_𝑥𝑖 − 𝐻_𝑦𝑗 + 𝐻_𝑧𝑘 와의 외적은

𝛻 × 𝐻 = (

𝜕 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘) × 𝐻𝑥𝑖 − 𝐻𝑦𝑗 + 𝐻𝑧𝑘 = 𝑖 𝑗 𝜕 𝜕𝑥 𝐻_𝑥 𝜕 𝜕𝑦 𝐻_𝑦 𝑘 𝜕 𝜕𝑧 𝐻𝑧  이 관계식은 벡터 장 H가 회전하는 원천의 크기를 나타내는 물리적 의미를 가지며, 회전의 성격을 갖는 벡터 량이 된다.  전류에 의한 자력 선이 전류를 중심으로 회전하는 양을 수식화하는데 이용됨.

예제) 𝐴 = 𝑥𝑦𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 + 𝑧𝑥𝑘 일 때 점 P(1, 2, 3)에서의 회전을 구하라.  벡터 A의회전은

𝛻 × 𝐴 = (

𝜕 𝜕𝑥𝑖 + 𝜕 𝜕𝑦𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧𝑘) × (𝑥𝑦𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 + 𝑧𝑥𝑘) = 𝑖 𝑗 𝜕 𝜕𝑥 𝑥𝑦 𝜕 𝜕𝑦 𝑦𝑧 𝑘𝜕 𝜕𝑧 𝑧𝑥 = 𝜕 𝜕𝑦 𝑧𝑥 𝑖 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑥𝑦 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑦𝑧 𝑘 − ( 𝜕 𝜕𝑦 𝑥𝑦 𝑘 + 𝜕 𝜕𝑥 𝑧𝑥 𝑗 + 𝜕 𝜕𝑧 𝑦𝑧 𝑖 ) = −(𝑥𝑘 + 𝑧𝑗 + 𝑦𝑖 )  점 P(1, 2, 3)를대입하면,

𝛻 × 𝐴 = −(𝑥𝑘 + 𝑧𝑗 + 𝑦𝑖 )= − 𝑘 − 3𝑗 − 2𝑖

8. 미분방정식(differential equation)  미분방정식의 계수(order): 미지함수의 최고계 도함수의 계수.  미분방정식의 차수(degree): 최고계 도함수의 차수 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 5𝑥 : 1계 1차 상미분방정식 𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂ + 3𝑑𝑦_𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 : 2계 1차 상미분방정식 (𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂)3₊₃₍𝑑𝑦 𝑑𝑥)4+4𝑦 = 0 : 2계 3차 상미분방정식 𝜕2𝑧 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑧 𝜕𝑦2 = 𝑥𝑦 : 2계 1차 편미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

8-2-4. 1계 선형 미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

 미지함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′_{, 𝑦" , … 등에 관하여 1차인 미분방정식}  특히, 1계 도함수 (즉, 𝑦′ ) 와 𝑦 로 주어지는 선형 미분방정식을 1계 선형 미분방정식 이라 함. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑜𝑟 𝑦′ + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) ※ 이때, 𝑄 𝑥 = 0 : 1계 제차 선형 미분방정식 𝑄 𝑥 ≠ 0 : 1계 비제차 선형 미분방정식  1계 제차 선형 미분방정식의 해 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 0  case 1) 변수분리형  case 2) 동차형  case 3) 완전 미분방정식

8-2-1. 변수 분리형  변수 𝑥 와 𝑦 및 𝑦 의 함수 𝑓(𝑥) 가 각각 좌우로 분리 가능한 형태  변수분리 𝑑𝑦_𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 0 𝑑𝑦_𝑦 = −𝑃 𝑥 𝑑𝑥  양쪽을 적분하면, 𝑑𝑦_𝑦 = − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥+𝐶 = 𝐴𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 예제) 다음 1계 선형 미분방정식의 일반해를 구하라 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 2𝑥𝑦 = 0  변수분리 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −2𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = −2𝑥𝑑𝑥 적분: 𝑑𝑦_𝑦 = − 2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝐶𝑒−𝑥2

 1계 비제차 선형 미분방정식의 해  일반형: 𝑑𝑦_𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑜𝑟 𝑦′ _{+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)}  1계 비제차 선형미분방정식의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥_{𝑑𝑥 + 𝐶}} 예제) 다음의 미분방정식을 풀어라 𝑦 = 𝑥(3 −𝑑𝑦_𝑑𝑥)  1계 선형 미분방정식의 형태로 변형: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 1 𝑥𝑦 = 3 1계 선형 비제차 미분방정식  𝑃 𝑥 와 𝑄(𝑥) 를 확인: 𝑃 𝑥 = 1_𝑥, 𝑄 𝑥 = 3  1계 선형 비제차 미방의 해: 𝑦 = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 { 𝑄 𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝐶} _{𝑝 𝑥 𝑑𝑥 =} 1 𝑥𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑦 = 𝑒−𝑙𝑛 (𝑥) _{{ 3𝑒}𝑙𝑛 (𝑥)_{𝑑𝑥 + 𝐶} = 𝑥}−1 _{{ 3𝑥𝑑𝑥 + 𝐶} =} 1 𝑥 { 3𝑥2 2 + 𝐶) = 3𝑥 2 + 𝐶 𝑥

8-3. 2계 선형 미분방정식

 선형 미분방정식 (linear differential equation)

- 미지함수 𝑦 및 그 도함수 𝑦′_{, 𝑦" , … 등에 관하여 1차인 미분방정식}  2계 선형 미분방정식: 2계 도함수 (즉, 𝑦′′ _{), 1계 도함수 및 𝑦 로 주어지는 선형 미분방정식.} 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑃 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑅 𝑥 𝑜𝑟 𝑦′ ′ _{+ 𝑃 𝑥 𝑦}′ _{+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑅(𝑥)} ※ 이때, R 𝑥 = 0 : 2계 제차 선형 미분방정식 R 𝑥 ≠ 0 : 2계 비제차 선형 미분방정식 ※ 또한, 𝑃 𝑥 & 𝑄 𝑥 = 상수 : 2계 상계수 제차 선형 미분방정식  2계 상계수 제차 선형 미분방정식

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑏𝑦 = 0 (𝑎, 𝑏 는 상수)

8-3-1. 2계 제차 선형 미분방정식의 해  2계 상계수 제차 선형 미분방정식

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑎 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑏𝑦 = 0 (𝑎, 𝑏 는 상수) --- (1)  위 식1에서, 2계 도함수 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2가 0이 되기 위해서는 (즉, 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 0) 𝑎𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 𝑏𝑦 = 0, (단 𝑎, 𝑏 는 상수)  변수분리: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑏 𝑎𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = − 𝑏 𝑎𝑑𝑥  적분: 𝑑𝑦_𝑦 = − 𝑏_𝑎𝑑𝑥 + 𝐶 𝑙𝑛 𝑦 = −_𝑎𝑏𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑒−(𝑏 )𝑥+𝑐𝑎 _{= 𝐴𝑒}λ𝑥_{, 단, −}𝑏 𝑎 = λ  1계 제차선형미분방정식의 해 𝑦 = 𝐴𝑒λ𝑥 _{를 주어진 방정식 (식1) 에 대입하여 λ 를 구함.}  1계 도함수: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐴λ𝑒λ𝑥  2계 도함수: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝐴λ2𝑒λ𝑥  식(1)에 대입: 𝐴λ2_𝑒λ𝑥 _{+ 𝑎𝐴λ𝑒}λ𝑥_{+ 𝑏𝐴𝑒}λ𝑥 _{= 0 𝐴𝑒}λ𝑥 _λ2 _{+ 𝑎λ + 𝑏 = 0}  특성방정식: 𝐴 ≠ 0, 𝑒λ𝑥 ≠ 0 이므로 (λ2+ 𝑎λ + 𝑏) = 0

8-3-2. 특성방정식(characteristic equation)의 근  특성방정식: λ2_{+ 𝑎λ + 𝑏 = 0 근의 공식: λ =} −𝑎± 𝑎2−4𝑏 2  판별식: 𝑎2_{− 4𝑏}  두 개의 서로 다른 실근: 𝑎2_{−4𝑏 > 0}  중근: 𝑎2_{− 4𝑏 = 0}  두 개의 허근: 𝑎2_{− 4𝑏 < 0}  1계 선형 미분 방정식의 해: 𝑦 = 𝐴𝑒λ𝑥  두 개의 서로 다른 실근: λ₁, λ₂ 𝑦 = 𝐴₁𝑒λ₁𝑥 _{𝑜𝑟 𝑦 = 𝐴} 2𝑒λ2𝑥 일반해는 두 개의 합으로 표현됨: 𝑦 = 𝐴1𝑒λ1𝑥 + 𝐴2𝑒λ2𝑥  중근: λ = λ₁ = λ₂ 𝑦 = 𝐴₁𝑒λ𝑥 _{+ 𝐴} 2𝑒λ𝑥 = (𝐴1+ 𝐴2) 𝑒λ𝑥 = 𝐴𝑒λ𝑥 그러나 2계 미분방정식은 임의의 상수가 두 개 인 항을 포함해야 하기 때문에 나머지 하나의 근도 생각해야 함. 이 경우 나머지 근은 적분인수법에 의해 𝑦 = 𝐵𝑥𝑒λ𝑥 _{가 얻어진다. 따라서,} 𝑦 = 𝐴₁𝑒λ𝑥 + 𝐴₂𝑥𝑒λ𝑥 = 𝐴₁+ 𝐴₂𝑥 𝑒λ𝑥

 두 개의 허근: λ = α ± 𝛽𝑖, (단, 𝛽 ≠ 0) 𝑦 = 𝐵₁𝑒(α+β𝑖)𝑥 _{+ 𝐵} 2𝑒(α−𝛽𝑖)𝑥 = 𝑒α𝑥(𝐵1𝑒𝛽𝑖𝑥+ 𝐵2𝑒−𝛽𝑖𝑥)  오일러의 공식: 𝑒±𝛽𝑖 _{= 𝑐𝑜𝑠𝛽 ± 𝑗𝑠𝑖𝑛𝛽} 𝑦 = 𝑒α𝑥_{𝐵 1(𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥) + 𝐵2(𝑐𝑜𝑠β𝑥 − 𝑗𝑠𝑖𝑛β𝑥)} = 𝑒α𝑥{(𝐵1+ 𝐵2)𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝑗(𝐵1− 𝐵2)𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥}  𝐵₁ + 𝐵₂ = 𝐴₁ & 𝑗 𝐵₁− 𝐵₂ = 𝐴₂ 라 하면, 𝑦 = 𝑒α𝑥 _(𝐴 1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐴2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥)

예제) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 2𝑦 = 0 의 미분방정식을 풀어라.  1계 제차선형미분방정식의 해 𝑦 = 𝐴𝑒λ𝑥 _{를 주어진 방정식에 대입하여 λ 를 구함.}  1계 도함수: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐴λ𝑒 λ𝑥  2계 도함수: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 = 𝐴λ2𝑒λ𝑥  식에 대입: 𝐴λ2_𝑒λ𝑥_{+ 𝐴λ𝑒}λ𝑥_{− 2𝐴𝑒}λ𝑥 _{= 0 𝐴𝑒}λ𝑥 _λ2_{+ λ − 2 = 0}  특성방정식: 𝐴 ≠ 0, 𝑒λ𝑥 _{≠ 0 이므로 (λ}2_{+ λ − 2) = 0}  미분연산자: 𝑑 𝑑𝑥 = 𝐷, 𝑑2 𝑑𝑥2 = 𝐷2 를 주어진 방정식에 대입하면, 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 0 𝐷 2_{𝑦 + 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 0 (𝐷}2_{+ 𝐷 − 2)𝑦 = 0}  이것은 특성방정식과 같은 형태로 나타남.  그러므로 미분연산자를 활용하여 특성방정식을 쉽게 구할 수 있음.

 특성방정식은

: λ2 _{+ λ − 2 = λ − 1 λ + 2 = 0} λ₁ = 1, λ₂ = −2 𝑦 = 𝐴₁𝑒λ₁𝑥 _{+ 𝐴} 2𝑒λ2𝑥 = 𝐴1𝑒𝑥 + 𝐴2𝑒−2𝑥

예제) 다음의 미분방정식을 풀어라. (1) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+ 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 0  미분연산자: 𝑑 𝑑𝑥 = 𝐷, 𝑑2 𝑑𝑥2 = 𝐷2 를 주어진 방정식에 대입하면, 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 0 𝐷2𝑦 + 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 0 (𝐷2+ 𝐷 − 2)𝑦 = 0  이것은 특성방정식과 같은 형태이며, 미분연산자를 활용하여 특성방정식을 쉽게 구할 수 있음.



특성방정식은: λ2 _{+ λ − 2 = λ − 1 λ + 2 = 0} λ1 = 1, λ2 = −2 𝑦 = 𝐴1𝑒λ1𝑥 + 𝐴2𝑒λ2𝑥 = 𝐴1𝑒𝑥 + 𝐴2𝑒−2𝑥 (2) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑦 = 0  미분연산자 활용: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 4𝑦 = 0 𝐷 2_{𝑦 + 4𝐷𝑦 + 4𝑦 = 0 (𝐷}2_{+ 4𝐷 + 4)𝑦 = 0}

 그러므로 특성방정식은: λ2+ 4λ + 4 = λ + 2 2 = 0 𝜆 = −2  중근 이므로, 𝑦 = 𝐴₁𝑒−2𝑥 _{+ 𝐴} 2𝑥𝑒−2𝑥 = 𝐴1+ 𝐴2𝑥 𝑒−2𝑥

(3) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 10𝑦 = 0  미분연산자: 𝑑 𝑑𝑥 = 𝐷, 𝑑2 𝑑𝑥2 = 𝐷 2 _{를 주어진 방정식에 대입하면,} 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 10𝑦 = 0 𝐷 2_{𝑦 − 2𝐷𝑦 + 10𝑦 = 0 (𝐷}2 _{− 2𝐷 + 10)𝑦 = 0}  특성방정식: λ2_{− 2λ + 10 = λ + 2} 2 _{= 0} 𝜆 = 1 ± 3𝑖 (두 개의 허근) 𝑦 = 𝐵₁𝑒(1+3𝑖)𝑥 _{+ 𝐵} 2𝑒(1−3𝑖)𝑥 = 𝑒𝑥(𝐵1𝑒3𝑖𝑥 + 𝐵2𝑒−3𝑖𝑥)  오일러의 공식: 𝑒±3𝑖 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 ± 𝑖𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑦 = 𝑒𝑥_{𝐵 1(𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑖𝑠𝑖𝑛3𝑥) + 𝐵2(𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑖𝑠𝑖𝑛3𝑥)} = 𝑒𝑥{(𝐵1+ 𝐵2)𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑖(𝐵1 − 𝐵2)𝑠𝑖𝑛3𝑥}  𝐵₁+ 𝐵₂ = 𝐴₁ & 𝑗 𝐵₁− 𝐵₂ = 𝐴₂ 라 하면, 𝑦 = 𝑒𝑥 _(𝐴 1𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐴2𝑖𝑠𝑖𝑛3𝑥)

8-3-3. 2계 상계수 비제차 선형 미분방정식

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 𝑎

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑏𝑦 = 𝑄(𝑥) (𝑎, 𝑏 는 상수)

 비제차 미분방정식의 일반해(general solution)는 보조해(complimentary solution) 와 특수해(particular solution)로 구성됨.

일반해 (𝑦) = 보조해 (𝑦_𝑐) + 특수해 (𝑦_𝑝)

 보조해: 제차미분방정식의 해법과 같은 방법의 특성방정식으로 부터 구함.

 특수해: 미정계수를 포함한 특수해 𝑦_𝑝 를 추정하여, 이를 비제차 미분방정식에 대입하여

예제 1) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 3𝑦 = 6 의 미분방정식을 풀어라 (1) 주어진 식의 제차 미분방정식의 해를 구함.  미분연산자: 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 + 4 𝑑𝑦 𝑑𝑥+ 3𝑦 = 0 𝐷2𝑦 + 4𝐷𝑦 + 3𝑦 = 0 (𝐷2 + 4𝐷 + 3)𝑦 = 0  특성방정식: λ2_{+ 4λ + 3 = λ + 1 λ + 3 = 0} 𝜆₁ = −1, 𝜆₂ = −3 (두 개의 실근): 𝑦_𝑐 = 𝐴₁𝑒−𝑥 + 𝐴₂𝑒−3𝑥  추정 특수해: 𝑦_𝑝 = 𝐴 𝑑𝑦𝑝 𝑑𝑥 = 0 & 𝑑2𝑦_𝑝 𝑑𝑥2 = 0  이를 주어진 미분방정식에 대입하여 미정계수 𝐴 를 결정. 𝑑2𝑦𝑝 𝑑𝑥2 + 4 𝑑𝑦𝑝 𝑑𝑥 + 3𝑦𝑝 = 6 3𝐴 = 6 𝐴 = 2 ∴ 𝑦_𝑝 = 2  일반해는 보조해와 특수해의 합으로 구함. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝=𝐴1𝑒−𝑥 + 𝐴2𝑒−3𝑥 + 2

예제 2) 3𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂ +𝑑𝑦_𝑑𝑥− 4𝑦 = 2𝑒−3𝑥 의 미분방정식을 풀어라 (1) 주어진 식의 제차 미분방정식의 해를 구함.  미분연산자: 3𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂ +𝑑𝑦_𝑑𝑥 − 4𝑦 = 0 3𝐷2_{𝑦 + 𝐷𝑦 − 4𝑦 = 0 (3𝐷}2 _{+ 𝐷 − 4)𝑦 = 0}  특성방정식: 3λ2_{+ λ − 4 = λ − 1 3λ + 4 = 0} 𝜆₁ = 1, 𝜆₂ = −4₃ (두 개의 실근): 𝑦_𝑐 = 𝐴₁𝑒𝑥 _{+ 𝐴} 2𝑒− 4 3𝑥  추정 특수해: 𝑦_𝑝 = 𝐴𝑒−3𝑥 𝑑𝑦𝑝 𝑑𝑥 = −3𝐴𝑒−3𝑥 & 𝑑2𝑦𝑝 𝑑𝑥2 = 9𝐴𝑒−3𝑥  이를 주어진 미분방정식에 대입하여 미정계수 𝐴 를 결정. 3𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂ +𝑑𝑦_𝑑𝑥− 4𝑦 = 2𝑒−3𝑥 _27𝐴𝑒−3𝑥_{− 3𝐴𝑒}−3𝑥_{− 4𝐴𝑒}−3𝑥 _{= 2𝑒}−3𝑥 _20𝐴𝑒−3𝑥 _{= 2𝑒}−3𝑥 ∴ A = ₁₀1 𝑦_𝑝 =₁₀1 𝑒−3𝑥  일반해는 보조해와 특수해의 합으로 구함. 𝑦 = 𝑦_𝑐 + 𝑦_𝑐 = 𝐴₁𝑒𝑥 _{+ 𝐴} 2𝑒− 4 3𝑥 + 1 10𝑒−3𝑥

 추정 특수 해  일반적으로 주어진 함수 𝑄(𝑥) 로 부터 선택할 특수해의 형식은 아래표와 같으며, 추정한 특수해(1안)가 보조해에 포함된 경우에는 대안 특수해(2안)를 적용하여 구함. 𝑄(𝑥) 추정 특수해 (1안) 대안 특수해 (2안) 𝑎 (상수) 𝑦_𝑝 = 𝐴 𝑦_𝑝 = 𝐴𝑥 𝑘𝑥3 _𝑦 𝑝 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2+ 𝑐𝑥 + 𝑑 - 𝑎𝑒𝑎𝑥 𝑦_𝑝 = 𝐴𝑒𝑎𝑥 _𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥𝑒𝑎𝑥, 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2𝑒𝑎𝑥 𝑎 cos 𝑝𝑥 𝑜𝑟 𝑏 sin 𝑝𝑥 𝑎 cos 𝑝𝑥 + 𝑏 sin 𝑝𝑥

𝑦_𝑝 = 𝐴₁cos 𝑝𝑥 +𝐴₂sin 𝑝𝑥 𝑦_𝑝 = 𝐴₁cos 𝑝𝑥 +𝐴₂sin 𝑝𝑥

𝑥 + 1 − 𝑒−𝑥 _𝑦

𝑝 = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐𝑒−𝑥

2𝑥2+ 5 cos 3𝑥 𝑦𝑝 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 + 𝑑cos 3𝑥 + 𝑘 sin 3𝑥

3𝑒2𝑥_{sin 4𝑥 𝑦}

예제 3) 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥− 2𝑦 = 6𝑒 −𝑥 _{의 미분방정식을 풀어라} (1) 주어진 식의 제차 미분방정식의 해를 구함.  미분연산자: 𝑑_𝑑𝑥2𝑦₂ −𝑑𝑦_𝑑𝑥− 2𝑦 = 0 𝐷2_{𝑦 − 𝐷𝑦 − 2𝑦 = 0 (𝐷}2_{− 𝐷 − 2)𝑦 = 0}  특성방정식: λ2_{− λ − 2 = λ − 2 λ + 1 = 0} 𝜆₁ = 2, 𝜆₂ = −1 (두 개의 실근): 𝑦_𝑐 = 𝐴₁𝑒2𝑥 + 𝐴₂𝑒−𝑥  추정 특수해: 𝑦_𝑝 = 𝐴𝑒−𝑥 _{이나, 보조해 𝑦} 𝑐 에 포함되어있어 이를 적용하지 못함. ∴ 𝑦_𝑝 = 𝐴𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑦𝑝 𝑑𝑥 = 𝐴𝑒−𝑥(1 − 𝑥) & 𝑑2𝑦𝑝 𝑑𝑥2 = −𝐴𝑒−𝑥(2 − 𝑥)  이를 주어진 미분방정식에 대입하여 미정계수 𝐴 를 결정. 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 6𝑒 −𝑥 _{− 𝐴𝑒}−𝑥 _{2 − 𝑥 − 𝐴𝑒}−𝑥 _{1 − 𝑥 − 2𝐴𝑥𝑒}−𝑥 _{= 6𝑒}−𝑥 −3𝐴𝑒−𝑥 _{= 6𝑒}−𝑥 _{∴ A = −2 𝑦} 𝑝 = −2𝑥𝑒−𝑥  일반해는 보조해와 특수해의 합으로 구함. 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 = 𝐴1𝑒2𝑥+ 𝐴2𝑒−𝑥− 2𝑥𝑒−𝑥