수학 2 기출문제 - [2020-2] 수학 2 기말고사

2020학년도 2학기 수학 2

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.

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2

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영향을

_주지

_않는

사소한 계산

실수는 감점없음

2020년 수학2 기말고사 답안 및 채점기준 [문제 4.] [20점] 좌표평면에서 벡터장 F = x x2_{+ y}2i + y x2_{+ y}2j 가 극좌표계로 주어진 곡선 r = 1 + cos θ + sin θ, −π 6 ≤ θ ≤ π 3  을 수직으로 통과하는 양(flux)의 절댓값을 구하시오. [풀이1] 벡터장 F의 발산함수를 계산하면, divF = 0 이다. 이제 다음의 경계로 둘러싸인 영역 D를 생각하자: 1. α는 주어진 곡선 2. L1은 α(π₃)에서  · (cosπ₃, sinπ₃)에 이르는 직선

3. β는 원을 따라 (cosπ₃, sinπ₃)에서 반시계방향으로 (cos(−π₆, sin(−π₆))에 이르는 원호 4. L2는  · (cos(−π₆, sin(−π₆))부터 α(−π₆)에 이르는 직선 으로 둔다. 이 경우 벡터장 F는 원점으로부터 방사형으로 뻗어나가는데, L1과 L2 위에서의 법벡터는 그 벡터와 수직한 모양이 된다. 이를 내적하여 선적분을 하면 값이 0이 된다. 발산정리로부터 Z X F · nds = Z Z intX divFdV2= 0 를 얻고, 좌변은 Z X F · nds = Z X1 F · nds + Z X2 F · nds 1

이므로, 구하고자 하는 적분은 Z X1 F · nds = − Z X2 F · nds 이다. X2을 따라 단위 법벡터는 (cos θ, sin θ)로 주어지기 때문에, Z X2 F · nds = Z −π 6 π 3 cos θ  , sin θ   · (cos θ, sin θ)dθ = Z −π 6 π 3 dθ = −π 2 이므로, 구하고자 하는 값의 절댓값은 π 2이다. [풀이2]주어진 곡선을 X1(θ) = (r cos θ, r sin θ); −π/6 ≤ θ ≤ π/3로 매개화하 자. 이 경우 시작점을 P1, 끝점을 P2라고 하자. 그러면, P1=  r  −π 6  cos  −π 6  , r  −π 6  sin  −π 6  = 3 + √ 3 4 , − 1 +√3 4  P2=  rπ 3  cosπ 3  , rπ 3  sinπ 3  =3 + √ 3 4 , 3 + 3√3 4  임을 알 수 있다. 이 경우 P1에서 P2로이르는 직선경로 X2를 구성할 수 있다. 이 직선경로를 추가하여 닫힌 폐곡선 X = X1+ X2를 구성할 수 있다. 발산정리에 의해 Z X F · nds = Z Z intX divFdV2 이고, divF = 0이므로,R XF · nds = 0 ⇒ R X1F · nds = − R X2F · nds이다. 한편, X2를 따라 단위법벡터는 n = (−1, 0)이므로, − Z X2 F · nds = − Z 3 √ 3+3 4 −1+ √ 3 4 3+√3 4  3+√3 4 2 + y2 dy 2

이때, y = 3+ √ 3 4 tan θ로 치환하면, dy = 3+√3 4 sec 2_{θdθ로 두어} Z −π 6 π 3 sec2θ 1 + tan2_θdθ 이므로, 원하는 값의 절댓값은 π₂라고 결론짓는다. [풀이3] X(θ) = r(cos θ, sin θ)

= (1 + cos θ + sin θ)(cos θ, sin θ) 이다. 이 곡선의 접벡터를 계산하면,

T (θ) = X0(θ) = (− sin θ + cos θ)(cos θ, sin θ) + (1 + cos θ + sin θ)(− sin θ, cos θ) = (cos2θ − sin2θ − 2 sin θ cos θ − sin θ, cos2θ − sin2θ + 2 sin θ cos θ + cos θ) 이 벡터를 90도 회전하면 주어진 곡선 X(θ)에 수직한 벡터를 얻을 수 있다. 이를 N (θ)라고 두면,

N (θ) = (sin2θ − cos2θ − 2 sin θ cos θ − cos θ, − sin2θ + cos2θ − 2 sin θ cos θ − sin θ) 이다. 이때, 피적분함수는

F X(θ)
· N (θ) = 1

1 + cos θ + sin θ − sin

2_{(1 + cos θ + sin θ) − cos}2_{θ(1 + cos θ + sin θ)}
= −1 이므로, 구하고자 하는 적분값의 절댓값은    Z π 3 −π₆ F X(θ)
· N (θ)dθ = π 2 이다. [풀이4] 주어진 벡터장은 2차원 입체각 벡터장이므로 입체각 벡터장의 플럭스는 각 원소 벡터장을 곡선을 따라 적분한 것과 같다. 따라서 해당 적분값의 절댓값은 π 2이다. 3

[채점기준] 1. 폐곡선 C를 지정하고 발산정리를 이용하여 Z C F · nds = Z Z intC divFdV2 로 두는 경우 5점 부여. 2. 올바른 계산을 통해 답을 올바르게 구한 경우 15점 부여 그외에 적절한 논증과정을 거쳐 답을 도출한 경우 만점 부여. 채점기준에 대한 상세. 1. 발산정리를 이용할 때 폐곡선을 구성하지 않은 상태에서 적용한 경우 이해하지 못한 것으로 판단하여 점수부여를 하지 않음. 2. 원점을 포함하는 경로를 지정하는 경우에는 선적분조차 정의되지 않으 므로 적절한 폐곡선을 지정하지 못한 것으로 판단. 3. 적절한 논증을 통해 결론을 얻어낸 경우에는 만점 부여. 4. 각원소 벡터장임을 밝히지 않고, 단지 값을 π₂라고 기술한 경우는 점수를 부여하지 않음. 4

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S를

나타낼

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경우

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특히

반구만

나타내면

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,

반구

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나타내면

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.

-↳

_이

_경우

,

반구의

경계가

포함되지

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.