급수_1
수학의정상M A T H P E A K
⋯ 1. 1)무한수열
에 대하여
∞
일 때,lim
→ ∞ 의 값을 구하면? 2. 2)어떤 수족관에 L 의 물이 들어있는데, 물 L 당 의 무기물질이 골고루 퍼져있다. 매주 L 의 물이 증발하 며, 매주 말에 L 의 물을 빼내고, L 의 물을 보충하 여 일정한 양을 유지한다. 이와 같은 물의 교체를 한없 이 계속할 때, 수족관에 들어 있는 무기물질의 양은 몇 인가?(단, 증발하는 물에는 무기물질이 없으며, 보충하 는 물에는 L 당 의 무기물질이 퍼져 있다.) 3. 3)다음 무한급수의 합을 구하면? 4. 4)한 변의 길이가 인 정삼각형 모양의 종이를 다음과 같 은 방법으로 색칠한다. (1) 삼각형의 중점을 이어서 만든 정삼각형에 색칠한다. (2) 색칠하지 않은 정삼각형의 각 변의 중점을 이어서 만든 작은 정삼각형에 색칠한다. 아래의 그림은 번 시행한 결과이다. 이와 같은 방법으 로 번 시행 후 색칠한 도형의 넓이를 구하여라.5. 5)그림과 같이 직선
⋯과 두 곡선
의 교점을 각각 A B이라 할 때,
∞ AB의 값을 구하면? 6. 6)첫째항이 이고 공비가 각각 인 무한등비급수
∞
∞ 이 있다. 이들 각 무한등비급수의 합이 이차방정식 의 두 근일 때, 의 값을 구하면? 7. 7)자연수 에 대하여 을 로 나누었을 때의 나머지를 이라 한다. 이 때,
∞ 의 값을 순환소수로 나타내면? 8. 8)그림과 같이 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC 의 내 접원을 O이라고 한다. 또, 변 AB BC 와 원 O에 접 하는 원을 O라 하고, 변 AB BC 와 원 O에 접하는 원을 O이라고 한다. 이와 같이 차례로 원을 만들어 나갈 때, 이들 원의 넓 이의 합을 구하면? 9. 9)수열
이 ⋯ 을 만족시킨다. 무한급수
∞ 의 값을 구하 면? 10. 10)좌표평면에서 점 P 이 다음 그림과 같이 P P P⋯ 으로 움직인다. O P PP PP
PP
⋯ 일 때, 점 P이 한 없이 가까워지는 점의 좌표를 구 하면?
11. 11)다음 물음에 답하여라. (1) 자연수 에 대하여 다항식 을 으로 나눈 나머지를 각각 이라 할 때,lim
→ ∞ 의 값을 구하여라. (2) 공비가 같은 두 무한등비수열
에 대하여 이고
∞
∞ 일 때,
∞ 의 값을 구하여라. (3) 수렴하는 수열
에 대하여 ⋯ 이 성립할 때,lim
→ ∞ 의 값을 구하여라.12. 12)[그림1]은 길이가 인 철근 개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다. [그림2]는 길이가 인 철근 개를 가지고 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 조형물이다. ⋯ [그림1] [그림2] [그림3] 이와 같이 길이가 인 철근의 끝점과 끝점을 용접하여 만든 번째 조형물에 사용된 인 모든 철근의 수를 , 용접한 모든 지점의 수를 이라 하자. 예를 들어, 이다. 이 때,
lim
→ ∞ 의 값을 구하여라. 13. 13)그림과 같이 반지름의 길이가 인 두 원 C C′은 점 P 에서 접하고, 직선 을 공통접선으로 갖는다. 두 원 C C′와 직선 에 동시에 접하는 원을 C이라 하고, 두 원 C C′과 원 C에 동시에 접하는 원을 C라 하 자. 이와 같은 과정을 계속 반복하여 원 C C′ C에 동시에 접하는 원을 C 이라 하고 원 C의 지름의 길이를 R이라 할 때,
∞ R의 값은? (단, 모든 자연 수 에 대하여 R R 이다.) ① ② ③ ④ ⑤ 14. 14)그림과 같이 반지름의 길이가 인 원에 내접하는 정사각형을 그린다. 이 원의 내부와 정사각형의 외부에 모두 접하는 가정 큰 원 개를 그린 후 그 안에 접하는 정사각형을 그리고, 다음의 과정을 반복한다. (가) 안에 있는 가장 큰 정사각형에 내접하는 원을 그리고 그 원에 내접하는 정사각형을 그린다. (나) 새로 그려진 원의 내부와 정사각형 외부에 모두 접하는 가장 큰 원 개를 그린 후 그 안에 접하는 정사각형을 그린다. 위와 같은 과정을 번 반복한 후 그려진 모든 정사각형의 넓이의 합을 S이라 할 때,lim
→ ∞ S의 값은? ①
②
③
④
⑤
15. 15)무한급수
⋯
⋯ 을 구하면? ∞ 로 발산 ∞ 로 발산정답 (급수_1) 1) 2) 3) 4)
