우석대학교 에너지전기공학과

미적분학 (2)

우석대학교 에너지공학과

이우금 교수

1-1. 수열  어떤 규칙에 따라 수를 배열해 놓은 것을 수열이라 함. 1-2. 수열의 극한  수렴(convergence)  수열 𝑎𝑛 의 𝑛 이 증가함에 따라 일정한 값 𝛼 에 한없이 가까워지면, 수열 𝑎𝑛 은 𝛼 에수렴.  이때, 𝛼 를 수열 𝑎_𝑛 의 극한 (limit) 이라 하고, 다음과 같이 표시한다. lim 𝑛→∞𝑎𝑛 = 𝛼  발산(divergence)  수렴하지 않는 수열은 발산 한다고 함. 1-3. 수열의 단조증가와 단조감소  단조증가 ( 𝑎_𝑛 ≤ 𝑎_𝑛+1 을 만족할 때)  수열이 뒤로 갈수록 그 값이 계속 커지면서 어떤 값 𝛼 에 수렴 할 때 단조증가.

1. 수열의 극한 (복습)

2-1. 무한급수의 정의  수열 𝑎_𝑛 이 주어졌을 때, 각 항을 아래와 같이 +로 연결한 식을 무한급수(infinite series) 𝑎₁+ 𝑎₂+ 𝑎₃ + ⋯ + 𝑎_𝑛 + ⋯ = ∞_𝑘=1𝑎_𝑘 ※ 이때, 𝑎𝑛을 이 무한급수의 제 𝑛항 또는 일반항이라 함  부분합 (partial sum): 무한급수에서 첫째 항 부터 제 𝑛 항까지의 합. 𝑠_𝑛 = 𝑎₁ + 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛 = 𝑛_𝑘=1𝑎_𝑘 2-2. 무한급수의 수렴 및 발산  부분합의 수열 (𝑠₁, 𝑠₂, 𝑠₃, … , 𝑠_𝑛) 이 극한값 𝑠로 수렴할 때, 즉 lim 𝑛→∞𝑠𝑛 = 𝑠 일 때 무한급수 ∞ 𝑎_𝑘 𝑘=1 는 𝑠로 수렴한다고 하며, 이때, 𝑠를 무한급수의 합이라 한다. 𝑎₁ + 𝑎₂+ 𝑎₃+ ⋯ + 𝑎_𝑛 + ⋯ = 𝑠 or ∞_𝑘=1𝑎_𝑘 = 𝑠  부분합의 수열 {𝑠𝑛}이 발산할 때, 이 무한급수는 발산한다고 함.

2. 무한급수 (복습)

 함수의 좌∙우 극한값이 존재하며, 그 값이 같으면 극한값이 존재함. lim 𝑥→1−0𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+0𝑓(𝑥) = 2 3. 함수의 극한과 연속 -1 1 𝑥 𝑦 0 2 1 𝑓 𝑥 =𝑥 2_{− 1} 𝑥 − 1

3. 함수의 극한과 연속 (복습)

𝑥→2−0𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→2+0𝑓(𝑥) lim𝑥→−0𝑓(𝑥) ≠ lim𝑥→+0𝑓(𝑥)

𝑓 𝑥 =1 𝑥 1 𝑦 2 𝑥 𝑦

예제 3-1) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→02 𝑥 _{= 1} 2) lim 𝑥→0 1 𝑥2 = ∞ 3) lim 𝑥→2(3 − 4 𝑥−2) = −∞ 3. 함수의 극한과 연속

3-6. 극한값의 계산  극한값의 기본성질 (1) lim 𝑥→𝑎𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) (2) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ± lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) (3) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥) ∙ lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) (4)

lim

=

3-6-1. 확정형  𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 가 다항함수이고 분수식의 분모 𝑔(𝑥) ≠ 0 일 때, 𝑥 의 정해진 값을 대입. lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓 𝑎 , lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑎 , lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑔 𝑎 (단, 𝑔(𝑎) ≠ 0) 예제) 다음의 극한값을 구하라 1) lim 𝑥→1(3𝑥 2_{+3) = 6} 2) lim 𝑥→2(𝑥 − 1)(𝑥 2_{+ 2) = 6} 3) lim 𝑥→1( 3𝑥2+2 2𝑥−1) = 5 3-6-2. 불능형  함수에 𝑥 의 정해진 값을 대입하여 𝐶₀ 형 (𝐶는 상수)의 불능이 되는 경우로써 극한값은 다음과 같음  𝐶 > 0 : 분모 → +0 이면 +∞, 분모 → −0 이면 −∞  𝐶 < 0 : 분모 → +0 이면 −∞, 분모 → −0 이면 +∞ 예제) 다음의 극한값을 구하라 3. 함수의 극한과 연속