중급문제
작성자 : 장지경
1. 명제 ‘정사각형은 네 변의 길이가 같은 사각형이다.’ 에 대하여 다음 물음에 답하여라. ⑴ 이 명제는 참인가, 거짓인가? ⑵ 이 명제의 역을 구하여라. ⑶ 이 명제의 역은 참인가, 거짓인가? 2. 다음 중 역이 거짓인 명제는? ① a = b이면 a2 = b2이다. ② 2x+3 = 9이면 x = 3 ③ x2 = 1이면 x =- 1이다. ④ a > b이면 a - b > 0이다. ⑤ x > 1이면 x - 2 > 0이다. 3. 다음 명제의 역을 말하여라. 또 명제와 그 역의 참 과 거짓을 각각 말하여라. ⑴ a = b이면 ac = bc이다.( c /= 0) ⑵ a > 0, b > 0이면 a + b > 0이다.⑶ △ABC에서 AB = BC = CA이면 ∠A = 60◦ 이다. ⑷ 3의 배수는 6의 배수이다. 4. 다음 그림과 같이 ∠ABC = ∠DCB, ∠ACB = ∠DBC일 때, 다음 중 옳지 않은 것은? B C D A P ① AC = DB ② AP = CP ③ AB = DC ④ ∠A = ∠D ⑤ PB = PC 5. 다음 중 명제도 참이고 그 역도 참인 것은? ① 정삼각형은 예각삼각형이다. ② a = b 이면 ac = bc 이다. ③ x = 2이면 3x-5 = x -1이다. ④ x - 2 > 0이면 x > 3이다. ⑤ a, b 가 짝수이면 ab 도 짝수이다. 6. 다음 중 이등변삼각형의 정리가 아닌 것은? ① 두 변의 길이는 같다. ② 두 밑각의 크기는 같다. ③ 밑변의 수직이등분선은 꼭지각을 이등분한다. ④ 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. ⑤ 두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. 7. 다음 중 그 성격이 다른 한 문장은? ① 네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모이다. ② 맞꼭지각의 크기는 같다. ③ 공간에서 두 직선이 만나지도 않고, 평행하지도 않은 경우는 꼬인 위치이다. ④ 모든 변의 길이가 같고, 모든 각의 크기가 같은 다각형은 정다각형이다. ⑤ 공간 위의 한 점에서 일정한 거리에 있는 점들의 집한은 구이다. 8. 다음 그림과 같이 AB의 수직이등분선 위에 한 점 P가 있을 때, △PAM≡△PBM이다. 두 삼각형 이 합동이 되는 이유를 설명하여라. A B P M
9. 다음 명제 중 역이 참인 것은? ① 직사각형의 두 대각선의 길이는 같다. ② 직사각형은 평행사변형이다. ③ 넓이가 같은 사각형은 합동이다. ④ △ABC가 예각삼각형이면 ∠A < 90◦이다. ⑤ a, b가 자연수이면 a+b는 자연수이다. 10. 다음 명제 중 주어진 명제도 참이고 역도 참인 것은? ① 정사각형은 직사각형이다. ② a > 0, b > 0이면 a + b > 0이다. ③ 두 삼각형이 합동이면 그 넓이도 같다. ④ a, b가 홀수이면 ab도 홀수이다. ⑤ 소수는 홀수이다. 11. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① x = 2이면 3x - 1 = -5 ② 합동인 두 삼각형의 넓이는 같다. ③ a > b이면 a + c > b + c ④ 두 수 a, b가 홀수이면 ab는 홀수이다. ⑤ x - 5 > 3 12. 다음 그림과 같은 △ABC에서 ∠B = ∠C일 때, AB = AC임을 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 수를 써 넣어라. B C A D [가정] ∠B = ∠C [결론] AB = AC [증명] ∠A의 이등분선과 BC의 교점을 D라 하면 ∠ABD = ∠ACD(가정) ……㉠ ∠BAD = ∠CAD ……㉡ ㉠, ㉡에서 ∠BAD = ∠CAD ……㉢ AD는 공통 ……㉣ ㉡, ㉢, ㉣에서 ( ASA합동) ∴ AB = AC 13. 다음 명제의 역을 구하고, 그 역이 참인지 거짓인 지 써라. x = 3이면 2x = 6이다. 14. 다음에서 명제가 아닌 것은? ① x + 3 = 5이면 x = 2이다. ② a > b이면 ac > bc이다. (단, c > 0) ③ 2x + 4 < x + 8 ④ 독도는 대한민국의 영토이다. ⑤ a + b가 짝수이면 a, b는 짝수이다. 15. 다음은 「삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦ 이다. 」를 증명하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써 넣어라. [가정] △ABC가 있다. [결론] ⑴ A B C D E [증명] 위 그림과 같이 점 A를 지나 변 BC에 평행한 직선 DE를 긋는다. 이 때, BCꁚ DE이므로 ∠B = ∠DAB(엇각), ∠C = ⑵ (엇각)
따라서, ∠A + ∠B + ∠C = ∠A + ∠DAB + ⑶ = 180◦ 16. ‘두 수 a, b에 대하여 ab = 0이면 a = 0 또는 b = 0이다’의 결론을 부정하면? ① a = 0 그리고 b /= 0 ② a /= 0 또는 b /= 0 ③ a /= 0 그리고 b /= 0 ④ a /= 0 또는 b = 0 ⑤ ab /= 0이다.
17. 다음 중 명제는 참이고, 그 역은 거짓인 것을 모두 고르면? ① 정수는 유리수이다. ② a > b 이면 1a > 1 b 이다. ③ 3x-6 = x 이면 x = 3이다. ④ 두 수 a, b 가 짝수이면 ab 도 짝수이다. ⑤ 마름모는 정사각형이다. 18. 삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180◦임을 다음 그 림과 같이 증명하는데 다음 중 사용되지 않은 성질은? B C D E A ① 평각의 크기는 180◦이다. ② 평행선이 한 직선과 만날 때, 동위각의 크기는 같다. ③ 평행선이 한 직선과 만날 때, 엇각의 크기는 서 로 같다. ④ 삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. ⑤ 맞꼭지각의 크기는 같다. 19. 다음 중 주어진 명제와 그 역이 모두 참인 것은? (정답 2개) ① 정삼각형의 세 내각의 크기는 같다. ② 2의 배수이면 4의 배수이다. ③ 정삼각형은 이등변삼각형이다. ④ 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다. ⑤ a = b이면 ac = bc이다. 20. 선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점 P는 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있음을 증명하여라. A B P 21. 두 선분 AC, BD가 점 O에서 만날 때, OA = OC, OB = OD이면 ABꁚ CD임을 다음과 같이 증명하였다. □ 안에 알맞은 것을 써 넣어라. A D C B O [가정] OA = OC, OB = OD [결론] ABꁚ DC [증명] △ABO와 △CDO에서 OA = ……㉠ OB = ……㉡ (맞꼭지각) ……㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 △ABO≡ ( SAS합동) 이 때, ∠OAB = 이므로 엇각의 크기는 같다. 따라서, ABꁚ CD이다. 22. 다음 중 명제인 것은? ① 수학은 재미있다. ② 우리 학교 화장실은 참 좋다. ③ 우리 반 반장은 미남이다. ④ 다각형의 정의는 세 각으로 이루어진 도형 ⑤ 3x - 1 = 2x 23. 다음 용어의 정의 중 잘못된 것은? ① 삼각형이란 세 개의 선분으로 둘러싸인 도형이다. ② 평각이란 크기가 180◦인 각이다. ③ 소수는 1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신 만을 약수로 갖는 수이다. ④ 집합은 어떤 주어진 조건에 의하여 그 대상을 분 명히 알 수 있는 모임이다. ⑤ 평행선은 동위각의 크기가 같은 두 직선이다.
24. 다음 그림과 같이 AB = AC인 이등변삼각형 ABC에서 AB, AC의 중점을 각각 D, E라 할 때, 다음 <보기>에서 옳은 것을 모두 고르면? B C A E O D <보기> ㉠ △BEC≡△CDB ㉡ ∠ABE = ∠CBE ㉢ △OBC는 이등변삼각형 ㉣ BE = CD ① ㉠, ㉡ ② ㉢, ㉣ ③ ㉠, ㉡, ㉢ ④ ㉠, ㉢, ㉣ ⑤ ㉡, ㉢, ㉣ 25. 다음 중에서 명제인 것을 고르시오. ① 2 + 5 = 10 ② x + 4 > 7 ③ 3 + 7 ④ 꽃은 아름다운가? ⑤ 날씨가 매우 덥구나! 26. 명제 ‘ a2 + b2= 0이면 a = 0 그리고 b = 0이다.’ 의 역을 쓰고 참인지 거짓인지 판별하여라. 27. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① 2x + 1 < 5 ② 12는 3의 배수이다. ③ 모든 정삼각형은 서로 합동이다. ④ 평행선이 한 직선과 만날 때, 한 쌍의 동위각의 크기는 서로 같다. ⑤ x = 1이면 2x + 3 = 5이다. 28. 다음 중 참인 명제는? ① 2는 4의 배수이다. ② 5 - 2 = -3 ③ 2는 소수이다. ④ 2x + 3 = 1 ⑤ 열심히 공부해라. 29. 다음 중 명제도 참이고 그 역도 참인 것은? ① 두 삼각형이 합동이면 넓이가 같다. ② a = b 이면 a+c = b+c 이다. ③ 두 수 a, b 가 짝수이면 a+b 는 짝수이다. ④ △ABC≡△DEF이면 ∠A = ∠D이다. ⑤ 정삼각형은 이등변삼각형이다. 30. 다음 명제 중 명제와 그 역이 모두 참인 것은? ① △ABC≡△DEF이면 AB = DE ② x = 1, y = 3이면 2x +y = 5이다. ③ 정수는 유리수이다. ④ a, b 가 짝수이면, ab 는 짝수이다. ⑤ 두 각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. 31. 다음 명제의 역이 참인가 거짓인가? x = 2, y = 3이면 x + y = 5이다. 32. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 세 변의 길이가 같은 삼각형은 정삼각형이다. ② 두 밑각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다. ③ 평행한 두 직선에서 한 쌍의 동의각의 크기는 같다. ④ 평행한 두 직선에서 한 쌍의 엇각의 크기는 같다. ⑤ 다각형의 외각의 합은 360◦이다. 33. 다음 주어진 명제와 그 역이 모두 참인 것은? ① 정삼각형은 이등변삼각형이다. ② 2의 배수이면 4의 배수이다. ③ 6의 약수이면 12의 약수이다. ④ 넓이가 같은 두 삼각형은 합동이다. ⑤ x = 2이면 x + 3 = 5이다.
34. 다음 중 정의는 어느 것인가? ① 이등변삼각형은 두 각의 크기가 같은 삼각형이다. ② 삼각형은 세 내각의 합이 180◦인 도형이다. ③ 합성수는 소수도 아니고 1도 아닌 자연수이다. ④ 유리수는 유한소수 또는 순환하는 무한소수이다. ⑤ 삼각형에서 한 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같은 각이다. 35. 다음 중 정리가 아닌 것은? ① 이등변삼각형은 두 내각의 크기가 같다. ② 정삼각형의 세 내각의 크기는 같다. ③ 예각삼각형은 세 내각의 크기는 같다. ④ 사각형의 외각의 크기의 합은 360◦이다. ⑤ 엇각의 크기가 같은 두 직선은 평행하다. ※ 다음 그림은 명제 ‘선분 AB의 수직이등분선 위의 한 점 P는 두 점 A, B로부터 같은 거리에 있다.’를 증명하기 위해 그린 것이다. 다음 물음에 답하여라. A P B M 36. 가정과 결론을 기호로 나타내어라. 37. 위 명제를 증명하여라. 38. 다음 명제 중에서 역이 참인 명제를 모두 고르면? ① 8의 약수는 24의 약수이다. ② a = b이면 ac = bc이다. ( c /= 0) ③ x = 3이면 2x-1 = 5이다. ④ x = 1, y = 5이면 x+y = 6이다. ⑤ 정삼각형은 이등변삼각형이다. 39. 다음 중 용어의 정으로 적당하지 않은 것은? ① 이등변삼각형 : 두 변의 길이가 같은 삼각형 ② 정삼각형 : 세 내각의 크기가 같은 삼각형 ③ 예각삼각형 : 모든 내각의 크기가 예각인 삼각형 ④ 직사각형 : 네 내각의 크기가 모두 같은 사각형 ⑤ 정사각형 : 네 변의 길이가 모두 같은 사각형 40. 다음 중 명제 ‘ a > b이고 c < 0이면 ac < bc이다.’ 의 역은? ① c < 0이고 ac < bc이면 a > b이다. ② ac < bc이면 a > b이고 c < 0이다. ③ a > b이고 c < 0이면 ac > bc이다. ④ a > b이고 ac < bc이면 c < 0이다. ⑤ ac < bc이면 a > b 또는 c < 0이다. 41. □ABCD에서 ∠A와 ∠B의 이등분선의 교점 을 P, ∠C와 ∠D의 이등분선의 교점을 Q라고 하 면, ∠P + ∠Q = 180◦임을 다음과 같이 증명하였다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어라. B A D C P Q a a dd c c b b
[가정] ∠DAP = ∠BAP, ∠ABP = ⑴ ∠BCQ = ∠DCQ, ∠CDQ = ∠ADQ [결론] ∠P+∠Q = 180◦ [증명] □ABCD에서 2∠a + 2∠b + 2∠c + 2∠d = ⑵ 따라서, ∠a + ∠b + ∠c + ∠d = ⑶ …… ㉠ △ABP에서 ∠a + ∠b + ∠ P = ⑷ …… ㉡ △CDQ에서 ∠c + ∠d + ∠ Q = ⑷ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 ∠P+∠Q = ⑸
42. 다음 중 명제가 아닌 것은? ① 2x + 1 < 5 ② x = 2이면 x + 3 = 5이다. ③ 12는 3의 배수이다. ④ 모든 정삼각형은 서로 합동이다. ⑤ 삼각형의 세 내각의 합은 180◦이다. 43. 다음 명제의 역을 써라. a = b이면 a + c = b + c
(해답) 1. ⑴ 참 ⑵ 네 변의 길이가 같은 사각형은 정사각형 이다. ⑶ 거짓 [해설] ⑴ 이 명제는 참이다. ⑵ 역 : 네 변의 길이가 같은 사각형은 정사각형이다. ⑶ 네 변의 길이가 같은 사각형은 마름모도 있으므로 거짓이다. 2. ① [해설] ① 역 : a2= b2이면 a = b이다. 그런데 12= ( - 1)2이지만 1 /= ( - 1) 3. ⑴ 명제 : 참, 역 : ac = bc이면 a = b이다. ( c /= 0) (참) ⑵ 명제 : 참, 역 : a + b > 0이면, a > 0, b > 0이다. (거짓) ⑶ 명제 : 참, 역 : △ABC에서 ∠A = 60◦이면 AB = BC = CA이다. (거짓) ⑷ 명제 : 거짓, 역 : 6의 배수는 3의 배수이다. (참) [해설] ⑵의 반례 : ( - 2) + 5 > 0 ⑶의 반례 : B C A 60° 20° 4. ② [해설] △ABC≡△DCB( ASA합동)이므로 AC = DB, AP = DP, ∠A = ∠D 5. ③ [해설] ①, ②, ⑤는 명제 : 참, 역 : 거짓 ④는 명제 : 거짓, 역 : 참 6. ① [해설] ① 이등변삼각형의 정의 ②, ③, ④, ⑤ : 이등변삼각형의 성질(정리) 7. ② [해설] ②는 정리이고 ①, ③, ④, ⑤는 정의이다. 8. 해설참조 [해설] PM은 공통, AM = BM, ∠PMA = ∠PMB이 므 로 △PAM≡△PBM( SAS 합동) 따라서, 대응하는 두 변의 길이와 끼인각의 크기가 같 으므로 △PAM과 △PBM은 합동이다. 9. ③ [해설] ① 역 : 두 대각선의 길이가 같은 사각형은 직 사각형이다. (거짓) ② 역 : 평행사변형은 직사각형이다. (거짓) ③ 역 : 합동인 사각형은 넓이가 같다. (참) ④ 역 : △ABC에서 ∠A < 90◦이면 예각삼각형이 다. (거짓) ⑤ 역 : a+b가 자연수이면 a, b는 자연수이다. (거 짓) 10. ④ 11. ⑤ 12. △ABD≡△ACD 13. 역: 2x = 6이면 x = 3이다, 참 14. ③ 15. ⑴ ∠A + ∠B + ∠ C = 180◦ ⑵ ∠EAC ⑶ ∠EAC 16. ③ [해설] 주어진 명제의 결론은 ‘ a = 0 또는 b = 0’이 므로 부정은 ‘ a /= 0 그리고 b /= 0’ 17. ①, ④ [해설] ① 명제 : 참, 역 : 거짓 ② 명제 : 거짓, 역 : 참 ③ 명제 : 참, 역 : 참 ④ 명제 : 참, 역 : 거짓 ⑤ 명제 : 거짓, 역 : 참 18. ⑤
20. 해설참조 [해설] [가정] AM = MB, AB⊥ PM [결론] PA = PB [증명] △PAM과 △PBM에서 AM = MB, ∠PMA = ∠PMB = 90◦, PM : 공통 ∴ 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므 로 △PAM≡△PBM( SAS 합동) △ PA = PB
21. OC, OD, ∠AOB = ∠COD, △CDO,∠OCD
22. ④ 23. ⑤ [해설] ⑤ 평행선의 정의는 한 평면에서 만나지 않은 두 직선이다. 24. ④ 25. ① 26. 해설참조 [해설] 명제의 역은 ‘ a = 0 그리고 b = 0이면 a2+ b2= 0이다.’이므로 참이다. 27. ① 28. ③ 29. ② 30. ⑤ [해설] ① 대응하는 한 변의 길이가 같다고 합동인 것은 아니다.(거짓) ② 2x + y = 5이면 x = 0, y = 5일 때도 성립하므로 거짓 ③ 유리수는 정수이다.(거짓) ④ (홀수) × (짝수) = (짝수)이므로 역이 거짓 31. 거짓 32. ① 33. ⑤ 34. ③ [해설] ① 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각 형이다. ② 삼각형은 세 개의 선분으로 이루어진 도형이다. ④ 유리수는 a, b가 정수이고 b /= 0일 때, a b 인 분 수로 나타낼 수 있는 수이다. 35. ③ [해설] ③은 예각삼각형에 대한 정의이다. 36. 해설참조 [해설] 가정 : AB의 수직이등분선과 AB의 교점 을 M이라고 하면 PM⊥AB, AM = BM 결론 : PA = PB 37. 해설참조 [해설] △PAM과 △PBM에서 AM = BM(가정), PM은 공통인 변, ∠PMA = ∠PMB = 90◦( 가 정 ) 이 므 로 △PAM≡△PBM( SAS 합동) ∴ PA = PB 38. ②, ③ [해설] ① 역 : 24의 약수는 8의 약수이다. (거짓) ② 역 : ac = bc이면 a = b이다. ( c /= 0) (참) ③ 역 : 2x -1 = 5이면 x = 3이다. (참) ④ 역 : x + y = 6이면 x = 1, y = 5이다. (거짓, x = 2, y = 4일 때도 성립) ⑤ 이등변삼각형은 정삼각형이다. (거짓) 39. ② 40. ② [해설] 가정 : a > b이고 c < 0이다. 결론 : ac < bc 이다. ∴ 역 : ac < bc이면 a > b이고 c < 0이다.
41. ⑴ ∠CBP ⑵ 360◦ ⑶ 180◦ ⑷ 180◦ ⑸ 180◦
42. ①
