우석대학교 에너지전기공학과

미적분학

강의 (8)

우석대학교 에너지전기공학과

이우금 교수

 극한값 계산의 기본형  확정형:

𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥

가 다항함수 일 때

(𝑔(𝑥) ≠ 0)

,

𝑥

의 정해진 값을 대입  불능형: 𝐶 0 형

±∞ (

발산)  부정형 (1) 0 0 형 • 분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분 • 무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화 한다. (2) ∞ ∞ 형 • 분수함수: 분모의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눈다. • 무리함수: 근호 밖의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눈다. (3)

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

형

예제) 다음의 극한값을 구하라 (계속) 5)

lim

𝑥→∞ 𝑥2+2 𝑥+1

=

∞ ∞  주어진 함수는 부정형 case (2)  분수함수: 분모의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눔  무리함수: 근호 밖의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눔

lim

𝑥→∞ 𝑥2+2 𝑥+1

= lim

_𝑥→∞ 𝑥+2_𝑥 1+1_𝑥

=

∞ 1

= ∞

(※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

극한값이 반드시 수렴하는 것은 아님)  만약 주어진 함수를 부정형 case (1)로 취급하면 ※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

부정형 case (1): 0 0 분수함수: 분모, 분자를 인수분해 하여 약분

∴

lim

𝑥→∞ 𝑥2−2 𝑥+1

= lim

_𝑥→∞ (𝑥− 2)(𝑥+ 2) (𝑥+1)

=

∞ ∞

= ? ? ?

부정형: case (2) 1. 함수의 극한

6)

lim

𝑥→∞ 𝑥2 1+𝑥4₋₁

=

∞ ∞  주어진 함수는 부정형 case (2)  분수함수: 분모의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눔  무리함수: 근호 밖의 최고 차

𝑥

로 분모, 분자를 나눔

lim

𝑥→∞ 𝑥2 1+𝑥4₋₁

= lim

_𝑥→∞ 1 1 𝑥4+1− 1 𝑥2

= 1

 만약 주어진 함수를 부정형 case (1)으로 취급하면 ※

𝑛𝑜𝑡𝑒:

부정형 case (1): 0 0 무리함수: 분모, 분자 중 근호가 있는 쪽을 유리화

∴

lim

𝑥→∞ 𝑥2 1+𝑥4₋₁

= lim

_𝑥→∞ 𝑥2 1+𝑥4₋₁

×

1+𝑥4₊₁ 1+𝑥4₊₁

= lim

_𝑥→∞ 𝑥2 1+𝑥4₊₁ 1+𝑥4₋₁

= lim

𝑥→∞ 𝑥2 1+𝑥4₊₁ 𝑥4

= lim

_𝑥→∞ 1+𝑥4₊₁ 𝑥2

=

∞ ∞ 부정형: case (2)

7)

lim

𝑥→1 1 𝑥−1

−

2 𝑥2_+𝑥−2

= ∞ − ∞

 주어진 함수는 부정형 case (3)  기타 (

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

) 형: 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산.

lim

𝑥→1 1 𝑥−1

−

2 𝑥2+𝑥−2

= lim

𝑥→1 1 (𝑥−1)

−

2 (𝑥−1)(𝑥+2)

= lim

𝑥→1 (𝑥+2)−2 (𝑥−1)(𝑥+2)

=

1 0×(1+2)

= ∞

8)

lim

𝑥→ 2 𝑥− 2 𝑥2

×

4 𝑥2−2

= 0 × ∞

 주어진 함수는 부정형 case (3)  기타 (

∞ − ∞ 𝑜𝑟 0 × ∞

) 형: 인수분해 등을 활용하여 간단한 형태로 변형한 후 계산.

lim

𝑥→ 2 𝑥− 2 𝑥2

×

4 𝑥2₋₂

= lim

𝑥→ 2 𝑥− 2 𝑥2

×

4 𝑥− 2 𝑥+ 2

= lim

𝑥→ 2 4 𝑥2 _{𝑥+ 2}

=

4 2 2+ 2

=

1 2 부정형: case (3) 부정형: case (3) 1. 함수의 극한

2. 함수의 연속과 불연속 2-1. 함수의 연속  함수

𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

은

𝑥 = 1

을 포함한 모든

𝑥

에서 정의되며,

𝑥 → 1

일 때, 극한값 또한 존재 

𝑥 = 1

에서

𝑓 1 = 2 𝑥 = 1

에서 연속 

𝑥 → 1

일 때, 극한값 = 2

lim

𝑥→1

(𝑥 + 1) = 2

2-2. 함수의 불연속  함수

𝑓 𝑥 =

𝑥2−1 𝑥−1 는

𝑥 = 1

에서

𝑓(1)

은 정의되지 않으나,

𝑥 → 1

일 때, 극한값은 존재 

𝑥 = 1

에서

𝑓(1)

은 정의되지 않음

𝑥 = 1

에서 불연속 (discontinuous) 

𝑥 → 1

일 때, 극한값 = 2

lim

𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1

= 2

(함수의 연속) 1 𝑦 2 1 𝑦 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 2_{− 1} 𝑥 − 1 (함수의 불연속) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

2-3. 연속함수(continuous function)  연속함수의 조건 

𝑥 = 𝑎

에서 함수의 값

𝑓 𝑎

가 정의 되어야 함. 

𝑥 = 𝑎

에서 극한값

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

가 존재하여야 함. 

𝑥 = 𝑎

에서의 극한값과

𝑓(𝑎)

가 같아야 함.

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

 연속함수  함수

𝑦 = 𝑓(𝑥)

가

𝑥 = 𝑎

에서 연속함수의 조건을 만족하면,

𝑥 = 𝑎

에서 연속  모든

𝑥

에서 연속이면, 이 함수는 연속함수 라고 한다. 예시) 함수

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

+ 1

이

𝑥 = 1

에서 연속임을 보여라 

𝑥 = 1

에서 함수의 값:

𝑓 2 = 1

3

+ 1 = 2

정의됨 

𝑥 = 1

에서 극한값:

lim

𝑥→1

𝑥

3

_{+ 1 = 2}

_존재함 

𝑥 = 1

에서 함수값 = 극한값:

𝑓 1 = lim

𝑥→1

𝑥

3

_{+ 1 = 2}

_일치함

∴

함수

𝑓 𝑥 = 𝑥

3

+ 1

은

𝑥 = 1

에서 연속 2. 함수의 연속과 불연속

 연속함수의 기본성질 및 정리 (1) 두 함수

𝑓 𝑥 & 𝑔(𝑥)

가

𝑥 = 𝑎

에서 연속이면, 다음의 각 함수도

𝑥 = 𝑎

에서 연속이다 

𝑘𝑓 𝑥

(단,

𝑘

는 상수) 

𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)



𝑓 𝑥 · 𝑔(𝑥)

 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) (단,

𝑔 𝑥 ≠ 0

) 2) 최대값·최소값의 정리  함수

𝑓 𝑥

가 폐구간

[𝑎, 𝑏]

에서 연속이면,

𝑓 𝑥

는 그 구간에서 반드시 최소값과 최대값을 갖는다. 3) 중간값 정리  함수

𝑓 𝑥

가 폐구간

[𝑎, 𝑏]

에서 연속이고

𝑓 𝑎 ≠ 𝑓(𝑏)

일 때,

𝑓 𝑎

와

𝑓 𝑏

사이의 임의의 값을

𝑘

라 하면,

𝑓 𝑥 = 𝑘

인

𝑐

가 개 구간

𝑎, 𝑏

안에 적어도 하나 존재한다.

예제) 다음 함수의 주어진 값에서 연속성을 확인하라. 1)

𝑓 𝑥 = 2𝑥

2

, (𝑥 = 2)

 연속함수의 조건



𝑥 = 2

에서 함수 값:

𝑓 2 = 2(2)

2

= 8



𝑥 = 2

에서 극한값:

lim

𝑥→2

2𝑥

2

_{= 8}

※ 연속함수의 조건을 모두 만족

𝑓 𝑥

는

𝑥 = 2

에서 연속. 2)

𝑓 𝑥 =

𝑥2−4 𝑥−2

, (𝑥 = 2)



𝑥 = 2

에서 극한값:

lim

𝑥→2 𝑥2−4 𝑥−2

=

0 0

∴

lim

𝑥→2 𝑥2−4 𝑥−2

= lim

_𝑥→2 (𝑥−2)(𝑥+2) (𝑥−2)

= lim

_𝑥→2

𝑥 + 2 = 4 𝑥 = 2

에서 극한값 존재함 

𝑥 = 2

에서 함수 값:

𝑓 2 =

0 0 정의 되지 않음

∴ 𝑓 𝑥

는

𝑥 = 2

에서 불연속 2. 함수의 연속과 불연속

𝑓 2 = lim

𝑥→2

𝑓 𝑥 = 8

부정형 case (1): 분모, 분자를 인수분해 하여 약분

3. 삼각함수의 극한 3-1. 삼각함수  호도법 (Radian)  반지름 r인 원(그림 1) 에서 반지름과 같은 길이의 원호에 대한 중심각

∠𝐴𝑂𝐵

의 크기를 1호도(radian)라 하고, 1[rad]로 표시함.  호도법과 60분법의 관계

 원의 둘레:

2π𝑟

(반지름의

2π

배)

2π𝑟: 𝑟 = 360

°

: 1 [𝑟𝑎𝑑]

∴ 360° = 2π [𝑟𝑎𝑑]

 부채꼴에서 호의 길이와 면적  중심각

𝜃

인 호의 길이

𝑙

은?

1 𝑟𝑎𝑑

일 때, 호의 길이는

𝑟

이므로,

1: 𝑟 = 𝜃: 𝑙

𝑙 = 𝑟 · 𝜃

 중심각

𝜃

인 부채꼴의 면적

𝑆

: 중심각이

2π

일 때, 면적은

π 𝑟

2 60분법 0° 30° 45° 60° 90° 120° 180° 270° 360° 호도법 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π₃ π 3π₂ 2π (그림 1) 𝑂 𝐴 𝐵 𝑟

∙

𝑟 ※ ∠𝐴𝑂𝐵 = 1 [𝑟𝑎𝑑] θ

∙