A Theoretical Study on the Analytical Solutions for Laterally Loaded Pile

한 국 방 재 학 회 논 문 집

제11권 3호 2011년 6월 pp. 111 ~ 116

지반방재

횡방향 하중을 받는 말뚝의 해석해에 대한 이론적 고찰

A Theoretical Study on the Analytical Solutions for Laterally Loaded Pile

이승현*

Lee, Seung-Hyun

···

Abstract

Analytical solutions for laterally loaded piles were derived. Critical pile length which can be considered as the length for behav-ing as long pile was investigated varybehav-ing with densities of sandy soils. Lateral behaviors obtained from analytical solution and numerical solution were also investigated. Non-dimensional critical pile lengths obtained from analytical solutions for three types of pile head boundary conditions were 2.3~3.2. By comparing analytical solutions with numerical solutions, distribution of pile deflection and that of moment were similar and it can be seen that pile head deflection obtained by analytical method is con-servative. And the values of moments were not too different between analytical solution and numerical solution.

Key words : Analytical solution, Laterally loaded pile, Numerical solution, Critical pile length, Pile head boundary conditions

요

지

본 연구에서는 횡방향 하중을 받는 말뚝의 해석 해를 유도하고 그로부터 말뚝의 거동분석과 더불어 긴 말뚝으로의 거동기준 이 되는 임계 말뚝길이(critical pile length)를 지반조건을 달리하여 구하고 비교 분석하였다. 또한 해석 해에 의한 말뚝의 거 동과 p-y곡선을 적용한 수치해석을 통해 말뚝의 거동을 비교분석하였다. 해석 해에 따르면 밀도를 달리한 지반조건에 대해 무 차원 임계 말뚝길이는 해석에서 고려한 세 가지 말뚝머리 경계조건에 있어 2.3~3.2 사이였다. 해석 해에 의한 결과와 수치해석 에 의한 결과를 비교하면 말뚝길이에 따른 말뚝의 변형과 모멘트 분포양상은 유사하였다. 말뚝머리 변형량은 해석에 의한 경우 가 수치해석에 의한 경우보다 보수적인 값을 보여주었으며 휨모멘트의 값은 해석에 의한 값과 수치해석에 의한 값 사이에 큰 차이를 보이지 않았다. 핵심용어 : 횡방향 하중, 해석 해, 수치해석, 임계 말뚝길이, 말뚝머리 경계조건 ···

1. 서

론

횡방향 하중을 받는 말뚝의 해석에 관해서는 Hetenyi(1946) 가 해석 해를 유도한 이후 꾸준한 발전을 이루어 왔다. 횡방 향 하중을 받는 말뚝의 해석에 있어 최근에 가장 많이 사용 되는 방법인 p-y곡선을 적용한 수치해석이 비교적 신뢰성 있 는 결과를 주는 것으로 알려져 있으나 말뚝의 기본 거동을 파악하는데 있어 여전히 해석 해는 유효하며 특히, 말뚝머리 경계조건, 하중조건, 지반조건에 따른 말뚝머리 변형, 말뚝부 재력(모멘트, 전단력)의 변화양상을 파악하는데 있어 의미를 갖는다. 본 연구에서는 횡방향 하중을 받는 말뚝의 해석 해 를 유도하고 그로부터 말뚝의 거동분석과 더불어 긴 말뚝으 로의 거동기준이 되는 임계 말뚝길이(critical pile length)를 지반조건을 달리하여 구하고 비교분석하였다. 또한 해석 해에 의한 말뚝의 거동과 p-y곡선을 적용한 말뚝의 거동을 비교분 석하였다. 횡방향 말뚝에 대한 미분방정식을 유도하기 위해 그림 1과 같이 미소 말뚝요소에 작용하는 힘들을 고려하게 된다. 그림 1에서 말뚝단면에 작용하는 연직력을 무시하고 O점을 중심으로 모멘트 평형을 고려한 다음 보의 휨이론을 적용하 면 다음과 같다. (1) 식 (1)에서 β 는 말뚝 특성치로서 다음과 같이 주어진다. (2) 식 (2)에서 EI는 말뚝의 휨강성을 의미한다. 또한 Epy는 말뚝 단위길이당 단위 변형이 유발될 때의 지반반력을 의미 d4y dz4 --- 4+ _β4y=0 β4 Epy 4EI ---= *정회원·선문대학교 토목공학과 부교수 (E-mail : shlee02@sunmoon.ac.kr) (교신저자)

하며 해석해를 구할 때는 깊이에 관계없이 일정한 값으로 본 다. 식 (1)의 미분방정식으로부터 일반해는 다음과 같이 주어 진다. (3) 식 (3)에서 C1, C2, C3 그리고 C4는 계수로서 말뚝에 대 한 경계조건으로부터 구할 수 있다. 한편, 말뚝머리 경계조건은 다음의 그림 2와 같이 크게 말 뚝머리 자유(그림 2(a)), 말뚝머리 회전구속(그림 2(b)), 말뚝 머리 부분 회전구속(그림 2(c))으로 나눌 수 있다. 그림 2에서 Mt, Ht, St는 각각 말뚝머리에서의 모멘트, 횡 방향하중 그리고 경사(slope)를 나타낸다. 그림 2에 나타낸 바와 같이 말뚝선단에서는 휨모멘트와 전단력이 0이 된다. 횡 방향 말뚝의 변위에 대한 일반해로부터 그림 2에 나타낸 경 계조건을 적용하여 특수해를 구할 수 있다. 긴 말뚝(long pile)인 경우 일반해에서 계수 C1과 C2가 0이 되는데 말뚝이 긴 경우에는 eβL_{이 상당히 큰 값이 되기 때문이다. 보의 휨} 이론으로부터 말뚝 길이에 따른 경사(S), 모멘트(M), 전단력 (V) 그리고 지반반력(p)은 말뚝길이에 따른 횡방향 변형이 결 정되면 다음의 식들로부터 구할 수 있다. S = y' M = EIy'' V = EIy''' p = EIy'''' 이상의 식들로 나타낸 경사, 모멘트, 전단력 그리고 지반반 력은 그림 1에 나타낸 힘과 방향을 정(+)의 값으로 하게 되 는 부호규약을 따르게 된다. 특히, 경사의 경우 미소말뚝 상 부의 수평변위가 하부보다 크면 부(−)의 값이 되고 지반반력 은 정(+)의 y방향인 경우 정(+)의 값이 된다.

2. 해석 해

해석에 고려한 말뚝 및 지반조건은 표 1에서와 같다. 말뚝은 강관말뚝을 고려하였고 지반은 사질토지반으로 느 슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경우 그리고 조밀한 경우로 나 누어 고려하였다. 표 1에 나타낸 바와 같이 지반의 조밀한 정도에 따른 수평 지반반력계수는 Terzaghi(1955)가 제안한 값을 사용하도록 하였다. 2.1 말뚝머리 자유에 대한 해석해 그림 2로부터 말뚝머리 및 말뚝선단에서의 경계조건을 적 용하면 식 (3)에 나타낸 일반해의 계수들을 다음과 같이 구 할 수 있다. /{2+4sin2_{(βL) − (e}2βL_{+ e}-2βL_)} /{e2βL_+e−2βL_{− 4sin}2_(βL)−2} C4= A − C2 C1= 2C2+ C3− (A+B) y=eβz[C₁cos( ) Cβz + ₂sin( )βz ] e+ –βz[C₃cos( ) Cβz – ₄sin( )βz ]

A Mt 2β2EI ---= B Ht 2β3EI ---=

C₂={A 1 2sin βL[ + ( ) sin βL( ( ) cos βL+ ( )) e– –2βL] B 2sin+ [ 2( )βL ]}

C₃ A e

2βL+2sin( )cos βLβL ( ) sin+ 2( ) cosβL – 2( )βL

[ ] + B e[ 2βL–2sin( )cos βLβL ( ) 1– ] ⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎧ ⎫ = 그림 1. 미소 말뚝요소 그림 2. 말뚝머리 경계조건 표 1. 해석조건 Classification Properties Pile Steel Diameter = 40.64 cm Thickness = 12 mm Area = 148.7 cm2 Moment of inertia = 28,000 cm4 Elastic modulus = 2×108kN/m2 Sandy soil - Submerged condition

- Horizontal subgrade reaction coefficient(kN/m3) ; nh= 1500 (loose sand)

nh= 5200 (medium dense sand) nh= 12500 (dense sand)

긴 말뚝으로 가정할 경우 말뚝머리(z = 0)에서의 경계조건을 적용하여 계수 C3와 C4를 다음과 같이 결정할 수 있다. 일반해에 의한 해석결과와 긴 말뚝으로 보았을 때의 해석 결과를 비교해 보기 위해 말뚝길이에 따른 변형량을 지반의 밀도별로 나타내면 그림 3과 같다. 해석 해의 비교를 위해 고려한 말뚝길이는 15 m이다. 계산시 적용한 수평하중은 20 kN이고 모멘트는 100 kN·m이다. 그림 3을 통해 알 수 있듯이 지반의 조밀한 정도에 상관 없이 일반해에 의한 해석결과와 긴 말뚝으로 가정한 해석결 과는 일치한다. 한계 말뚝길이(critical pile length)를 알아보 기 위해 말뚝 길이를 달리하여 지표면에서의 말뚝머리 변형 량을 구해 보았는데 그림 4에서와 같다. 계산시 적용한 수평 하중은 200 kN이고 모멘트는 100kN·m이다. 그림 4를 통해 알 수 있듯이 짧은 말뚝길이에서는 수평변 위가 크게 계산되고 말뚝길이가 증가함에 따라 수평변위가 감소하다 일정한 값에 수렴함을 알 수 있다. 수평변위의 수 렴여부는 계산에 고려한 각각의 말뚝길이에 대해 이전 말뚝 길이에 대한 변위값과의 차가 1 mm 이내일 때로 하였다. 느 슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경우 그리고 조밀한 경우에 대 한 임계 말뚝길이는 각각 14 m, 10 m 그리고 8 m이었다. 이 들 결과로부터 임계 말뚝길이는 지반이 조밀해짐에 따라 감 소함을 알 수 있다. 임계 말뚝길이를 무차원 말뚝길이(βL)로 나타내면 느슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경우, 조밀한 경우 각각에 대해 3.2, 3.1, 3.1이다. Timoshenko(1951)는 무차원 말뚝길이가 4이상일 경우 긴 말뚝으로 볼 수 있다고 제안하 고 있는데 그림 4의 결과와 비교해 볼 때 Timoshenko의 기 준은 보수적임을 알 수 있다. 2.2 말뚝머리 회전구속에 대한 해석해 말뚝머리 회전구속에 대해서도 경계조건을 적용하여 일반 해의 계수들을 다음과 같이 결정할 수 있다. /{2[e2βL_{− e}-2βL_{+ 4cos(βL)sin(βL)]}} /{2[e-2βL_{− 4cos(βL)sin(βL) − e}2βL_]} C2= B/2 + C4 C3= B/2 + C1 긴 말뚝으로 가정할 경우 말뚝머리(z=0)에서의 경계조건을 적용하여 계수 C3와 C4를 다음과 같이 결정할 수 있다. 일반해에 의한 해석결과와 긴 말뚝으로 보았을 때의 해석 결과를 비교해 보기 위해 말뚝길이에 따른 변형량을 지반의 밀도별로 나타내면 그림 5와 같다. 계산시 적용한 수평하중 은 200 kN이다. 그림 5를 통해 알 수 있듯이 말뚝머리 회전 구속일 경우 일반해에 의한 해석결과와 긴 말뚝으로 가정한 경우의 해석 C₃ Ht+βMt 2EIβ3 ---= C₄ Mt 2EIβ2 ---= B Ht 2β3EI ---=

C₁={B 1 2cos[ + 2( ) eβL + –2βL–2cos( )sin βLβL ( )]}

C₄={B e[ 2βL+sin2( ) 2cos βLβL + ( )sin βL( ) cos– 2( )βL ]}

C₃ C₄ Ht 4EIβ3 ---= = 그림 3. 해석해의 비교(free head) 그림 4. 말뚝길이에 따른 말뚝머리 변형량(free head) 그림 5. 해석해의 비교(fixed head)

결과 사이에는 느슨한 지반인 경우를 제외하고 거의 차이가 없슴을 알 수 있다. 느슨한 지반일 경우 말뚝길이가 10 m를 초과하는 깊이에 대해서는 일반해에 의한 해석결과와 긴 말 뚝으로 가정한 해석결과 사이에 차이가 있음을 알 수 있는데 깊이가 깊어질수록 차이가 커진다. 한계 말뚝길이(critical pile length)를 알아보기 위해 말뚝 길이를 달리하여 지표면에 서의 말뚝머리 변형량을 구해 보았는데 그림 6과 같다. 계산 시 적용한 수평하중은 200 kN이다. 그림 6의 결과 또한 말뚝머리 자유의 경우와 동일한, 말뚝 길이에 따른 말뚝머리 변형 경향을 보여준다. 느슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경우 그리고 조밀한 경우에 대한 임계 말 뚝길이는 각각 14 m, 10 m 그리고 6 m이었다. 이들 결과로 부터 임계 말뚝길이는 지반이 조밀해짐에 따라 감소함을 알 수 있다. 임계 말뚝길이를 무차원 말뚝길이(βL)로 나타내면 느슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경우, 조밀한 경우 각각에 대해 3.2, 3.1, 2.3이다. 2.3 말뚝머리 부분 회전구속에 대한 해석해 말뚝머리 부분 회전구속에 대해서도 경계조건을 적용하여 일반해의 계수들을 다음과 같이 결정할 수 있다. / / C2= δC4+ εB C1= (δ − 1)C4+ C3+ (ε − 1)B 긴 말뚝일 경우 말뚝머리 구속조건(z=0)에 의해 계수 C3와 C4를 구하면 다음과 같다. 일반해에 의한 해석결과와 긴 말뚝으로 보았을 때의 해석 결과를 비교해 보기 위해 계산한 말뚝길이에 따른 변형량을 지반의 밀도별로 나타내면 그림 7과 같다. 계산시 적용한 수 평하중은 200 kN이고 Mt/St 값은 -0.002이다. 그림 7을 통해 알 수 있듯이 일반해에 의한 해석결과와 긴 말뚝으로 가정한 경우의 해석 해와의 사이의 차이가 거의 없다. 한계 말뚝길이(critical pile length)를 알아보기 위해 말뚝 길이를 달리하여 지표면에서의 말뚝머리 변형량을 구해 보았는데 그림 8과 같다. 계산시 적용한 수평하중은 200 kN 이다. 그림 8의 결과 또한 말뚝머리 자유 및 말뚝머리 회전구속 의 경우와 동일한, 말뚝길이에 따른 말뚝머리 변형 경향을 보여준다. 느슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경우 그리고 조밀 F 2βEI k_θ ---, B Ht 2β3EI ---, k_θ M_t⁄S_t = = = δ=(2 F+ ) 2 F⁄( – ) ε, =1 2 F⁄( – ) C₃ B[ε cos

2_{( ) eβL –} 2βL_{–2sin( )cos βLβL ( )–sin}2_(βN)

( ) e2βL+2cos( )sin βNβL ( ) 1]+ δ + ⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎧ ⎫ =

e2βL+2sin( )cos βLβL ( ) 2sin– 2( )βL –1

( )

δ

2sin+ ( )cos βLβL ( ) e– – βL2 +2sin2( ) 1βL +

⎩ ⎭

⎨ ⎬

⎧ ⎫

C₄ B[ε e 2βL

2cos( )sin βLβL ( ) cos– 2( )βL –3sin2( )βL + ( ) 2cos+ 2( )]βL ⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎧ ⎫ =

1 2sin+ 2( ) 2cos βLβL – ( )sin βL( ) e– 2βL

( )

δ

2sin2( ) eβL + 2βL–2sin( )cos βLβL ( ) 1– – ⎩ ⎭ ⎨ ⎬ ⎧ ⎫ C₃ Htβ k( θ+2EIβ) E_py(k_θ+EIβ) ---= C₄ –Htβ E_py(k_θ+EIβ) ---= 그림 6. 말뚝길이에 따른 말뚝머리 변형량(fixed head) 그림 7. 해석해의 비교(restrained head) 그림 8. 말뚝길이에 따른 수평변위량(restrained head)

한 경우에 대한 임계 말뚝길이는 각각 14 m, 10 m 그리고 8 m 이었다. 이들 결과로부터 임계 말뚝길이는 지반이 조밀 해짐에 따라 감소함을 알 수 있다. 임계 말뚝길이를 무차원 말뚝길이(βL)로 나타내면 느슨한 경우, 중간 정도 조밀한 경 우, 조밀한 경우 각각에 대해 3.2, 3.1, 3.1이다.

3. 해석 해와 수치해석결과의 비교

해석 해의 결과와 p-y 곡선을 적용한 수치해석결과를 비교 해 보았다. p-y 곡선을 적용한 수치해석 기법으로는 통상 유 한 차분법(Reese, 2006)이 적용된다. 수치해석은 상용 프로그 램인 LPILE을 이용하여 수행했는데 Reese(1956)가 포화 모 래지반에 대해 제안한 p-y 관계를 적용하였다. 해석 해와 수 치해석에 고려한 지반은 느슨한 모래지반이며 말뚝길이는 15 m이다. 세 가지 말뚝머리 경계조건에 대해 해석결과와 LPILE에 의한 말뚝머리 변형량을 나타내면 그림 9와 같다. 그림 9를 통해 알 수 있듯이 해석해와 수치해석결과에 따 르면 세 가지 경우의 말뚝머리 경계조건에 대해 말뚝머리 변 형양상은 비슷하다. 말뚝머리 자유, 회전구속 그리고 부분 회 전구속에 대해 해석에 의한 말뚝머리 변형량은 수치해석에 의한 경우에 비해 각각 1.5배, 2.6배 그리고 1.6배 큰 값으 로 계산되어 보수적인 결과를 줌을 알 수 있다. 세 가지 경계조건에 대해 말뚝내에 발생하는 휨모멘트 분 포는 그림 10에서와 같다. 그림 10을 통해 알 수 있듯이 말뚝길이에 따른 휨모멘트분 포는 세 가지 경계조건에 있어 대체로 비슷함을 알 수 있다. 최대 휨모멘트 발생 깊이는 말뚝머리 자유인 경우 해석해에 의한 경우와 수치해석에 의한 경우 3 m로 동일하며 최대 휨 모멘트값의 비는 0.76이다. 말뚝머리 회전 구속인 경우 최대 휨모멘트는 해석 및 수치해석에 의할 경우 말뚝머리에서 발 생하며 해석에 의한 값이 수치해석에 의한 값에 비해 1.1배 크다. 말뚝머리 부분 회전구속에 대해서 최대 휨모멘트 발생 위치는 3 m로서 같고 해석에 의한 값은 수치해석에 의한 값 의 0.76배이다. 이상을 통해 알 수 있는 바와 같이 세 가지 경계조건에 대해 말뚝길이에 따른 최대 휨모멘트 발생 위치 는 해석 및 수치해석에 있어 서로 같고 크기에 있어서도 큰 차이를 보이지 않는다. 세 가지 경계조건에 대해 말뚝내에 발생하는 전단력분포는 그림 11에서와 같다. 그림 11을 통해 알 수 있듯이 세 가지 경계조건에 있어 해석에 의할 경우와 수치해석에 의한 경우 모두 최대 전단력 은 말뚝머리위치에서 발생함을 알 수 있고 그 크기는 말뚝머 리에 가해준 횡방향력과 같다.

4. 결

론

본 연구에서는 횡방향 하중을 받는 말뚝의 해석 해를 유도 하고 말뚝머리 경계조건에 따른 해석 해의 거동과 임계 말뚝 길이를 비교분석하였다. 또한 해석 해와 수치해석에 의한 결 과를 비교분석하여 그 차이점을 살펴보았다. 본 연구를 통해 유도된 결론은 다음과 같다. 1) 말뚝머리 자유, 회전구속, 부분 회전구속 조건에 따른 그림 9. 말뚝머리 변형량의 비교 그림 10. 모멘트의 비교 그림 11. 전단력의 비교

조건에 따른 해석 해를 유도하고 긴 말뚝으로 가정한 경우의 말뚝 변형량과 비교하여 보았는데 모든 경우에 있어 두 방법에 의한 말뚝변형 분포가 거의 일치하였다. 2) 긴 말뚝으로의 거동 여부를 판별하는 임계말뚝길이를 말 뚝머리 경계조건별로 비교하여 보았는데 말뚝머리 자유 조건인 경우 느슨한 지반, 보통 밀도의 지반 그리고 조 밀한 지반에 따른 무차원 말뚝길이(βL)는 각각 3.2, 3.1, 3.1이었다. 말뚝머리 회전구속인 경우 지반조건에 따른 무차원 임계말뚝길이는 각각 3.2, 3.1, 2.3 이었고 말뚝머리 부분 회전구속인 경우는 각각 3.2, 3.1, 3.1 이었다. 3) 말뚝머리 자유, 회전구속 그리고 부분 회전구속에 대해 해석에 의한 말뚝머리 변형량은 수치해석에 의한 경우에 비해 각각 1.5배, 2.6배 그리고 1.6배 큰 값으로 계산되 어 보수적인 결과를 나타내었으며 각각의 경우 말뚝의 변형양상은 해석에 의한 경우와 수치해석에 의한 경우 사이에 큰 차이를 보이지 않았다 4) 말뚝길이에 따른 휨모멘트분포는 세 가지 말뚝머리 경계 조건에 있어 대체로 비슷함을 알 수 있었고 말뚝길이에 따른 최대 휨모멘트 발생 위치는 해석 및 수치해석 결 과에 따르면 서로 같고 크기에 있어서도 큰 차이를 보 이지 않았다. 5) 세 가지 말뚝머리 경계조건에 있어 해석에 의할 경우와 수치해석에 의한 경우 모두 최대 전단력은 말뚝머리위치 에서 발생함을 알 수 있고 그 크기는 말뚝머리에 가해 준 횡방향력과 같았다.

참고문헌

Hetenyi, M. (1946) Beams on Elastic Foundation, University of Michigan Press, Ann Arbor.

Reese, L.C. (2006) Isenhower, W.M., Wang, S.T. Shallow and Deep FOUNDATIONS, John Wiley & Sons, Inc., pp. 484-496. Reese, L.C. and Matlock, H. (1956) Non-dimensional Solutions for

Laterally Loaded Piles with Soil Modulus Assumed Propor-tional to Depth, Proceedings, VIII Texas Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Bureau of Engineer-ing Research, University of Texas at Austin, September. Terzaghi, K. (1955) Evaluation of coefficients of subgrade reaction.

Géotechnique, 4, 297-326.

Timoshenko, S. and Goodier, J.N. (1951) Theory of Elasticity, McGraw-Hill, New York.

◎ 논문접수일 : 11년 03월 02일 ◎ 심사외뢰일 : 11년 03월 04일 ◎ 심사완료일 : 11년 03월 08일