디딤돌 중학연산 3-2 답지 정답

(1)

정답과풀이

3

₂

(2)

1 ⑴ ;5#;`( BCÓ, 3) ⑵ ;5$;`( ABÓ, 4) ⑶ ;4#;`{ ABÓ, ;4#;} 2 ⑴ '_{2 ⑵ ;2!; ⑶ '3}3 3 ⑴ '_{3 ⑵}3 '6_{3 ⑶}'2₂ 4 ⑴ '_{3 ⑵ ;3@; ⑶}5 '5₂5 ⑴ '_{4 ⑵ ;4#; ⑶}7 '7₃ 6 ⑴ ;1!3@; ⑵ ;1°3; ⑶ ;;Á5ª;; 7 ( 8, 17) ⑴ ;1¥7; ⑵ ;1!7%; ⑶ ;1¥5; 8 ⑴ ;8&; ⑵ '15_{8 ⑶}7'15₁₅ 9 ⑴ '_{3 ⑵}2 '7_{3 ⑶}'14₇ 10 ②

삼각비

1

Ⅰ. 삼각비 2 ⑴ sinÀ= BCÓ ACÓ= '32 ⑵ cosÀ= ABÓ ACÓ=;2!; ⑶ tanÀ= BCÓ ABÓ='3 8 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=¿¹('15 )Û`+7Û`='64=8 ⑴ sin`B= ACÓ BCÓ=;8&; ⑵ cos`B= ABÓ BCÓ= '158 ⑶ tan`B= ACÓ ABÓ= 7'15= 7'1515 본문 8쪽

삼각비

01

9 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=¿¹6Û`-(2'2 )Û`='28=2'7 ⑴ sin`C= ABÓ ACÓ= 2'26 ='23 ⑵ cos`C= BCÓ ACÓ= 2'76 ='73 ⑶ tan`C= ABÓ BCÓ= 2'22'7= '2'7= '147 10 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã10Û`-6Û`='64=8이므로 sin`A= BCÓ ACÓ=;1¥0;=;5$;, tan`C= ABÓ BCÓ=;8^;=;4#; 따라서 sin`A_tan`C=;5$;_;4#;=;5#; 1 9`( x, 9) 2 13 3 3'2`( x, 3'2) 4 15 5 8`( x, 8) 6 12 7 x=2'3, y=2`( 4, 2'3, 2'3, 2) 8 x=9, y=3'5 9 x=2'5, y=6 10 x=10, y=4'6 11 x=2'11, y=12 12 ③ 본문 10쪽

삼각비의 값이 주어질 때 변의 길이

02

3 ⑴ sin`B= ACÓ ABÓ= '2'6= 1'3= '33 ⑵ cos`B= BCÓ ABÓ= 2'6= 2'66 ='63 ⑶ tan`B= ACÓ BCÓ= '22 6 ⑴ sin`B= ACÓ BCÓ=;1!3@; ⑵ cos`B= ABÓ BCÓ=;1°3; ⑶ tan`B= ACÓ ABÓ=;;Á5ª;; 4 ⑴ sin`C= ABÓ ACÓ= '53 ⑵ cos`C= BCÓ ACÓ=;3@; ⑶ tan`C= ABÓ BCÓ= '52 5 ⑴ sinÀ= BCÓ ACÓ= '74 ⑵ cosÀ= ABÓ ACÓ=;4#; ⑶ tanÀ= BCÓ ABÓ= '73 2 sinÀ= BCÓ ACÓ= 11x =;1!3!;이므로 x=13

(3)

4 cosÀ= ABÓ ACÓ= 6'3x =2'35 이므로 x=15 6 tanÀ= BCÓ ABÓ= 3x =;4!;이므로 x=12 8 cosÀ= ABÓ ACÓ= 6x =;3@;이므로 x=9 피타고라스 정리에 의하여 y=¿¹9Û`-6Û`=3'5 9 tanÀ= BCÓ ABÓ= x4 ='52 이므로 x=2'5 피타고라스 정리에 의하여 y=¿¹4Û`+(2'5 )Û`=6 10 cosÀ= ACÓ ABÓ= x14 =;7%;이므로 x=10 피타고라스 정리에 의하여 y=¿¹14Û`-10Û`=4'6 11 tan`B= ACÓ BCÓ= x10 ='115 이므로 x=2'11 피타고라스 정리에 의하여 y=¿¹10Û`+(2'11 )Û`=12 12 sinÀ= BCÓ ABÓ= BCÓ8 =;2!;이므로 BCÓ=4 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ=¿¹8Û`-4Û`=4'3 따라서 △ABC=;2!;_4_4'3=8'3 1 ⑴ 3, 2 ⑵ 3, 2, '5 ⑶ '5_{3 ,}2'5₅ 2 ⑴ 13, 5 ⑵ 13, 5, 12 ⑶ ;1!3@;, ;;Á5ª;; 본문 12쪽

삼각비의 값이 주어질 때 다른 삼각비의 값

03

3 ⑴ 2, 3 ⑵ 2, 3, '13 ⑶ 3'13_{13 ,}2'13₁₃ 4 cosÀ= '11_{6 ,}tanÀ= 5'11₁₁ 5 sinÀ= 2'6_{7 ,}tanÀ= 2'6₅ 6 sinÀ=;1¥7;, cosÀ=;1!7%; 7 cos`C= '7_{3 ,}tan`C= '14₇ 8 sin`C= '11_{4 ,}tan`C= '55₅ 9 sin`C=;2!;, cos`C= '3₂ 10 ③ 4 sinÀ=;6%;이므로 오른쪽 그림과 같이 1411 6 ₅ A B C ACÓ=6, BCÓ=5인 직각삼각형 ABC를 그 리면 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã6Û`-5Û`='11 따라서 cosÀ= ABÓ ACÓ= '116 , tanÀ= BCÓ ABÓ= 5'11= 5'1111 5 cosÀ=;7%;이므로 오른쪽 그림과 같이 216 7 5 A _B C ACÓ=7, ABÓ=5인 직각삼각형 ABC를 그리면 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã7Û`-5Û`=2'6 따라서 sinÀ= BCÓ ACÓ= 2'67 , tanÀ= BCÓ ABÓ= 2'65 6 tanÀ=;1¥5;이므로 오른쪽 그림과 17 15 8 A _B C 같이 ABÓ=15, BCÓ=8인 직각삼각형 ABC를 그리면 피타고라스 정리에 의 하여 ACÓ="Ã15Û`+8Û`=17 따라서 sinÀ= BCÓ ACÓ=;1¥7;, cosÀ= ABÓ ACÓ=;1!7%; 1. 삼각비 3 중학연산(3-2)해설001~048.indd 3 20. 6. 18. 오후 8:00

(4)

8 cos`C= '5_{4 이므로 오른쪽 그림과 같이} 15 4 C B A 1411 ACÓ=4, BCÓ='5인 직각삼각형 ABC를 그리면 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ=¿¹4Û`-('5 )Û`='11 따라서 sin`C= ABÓ ACÓ= '114 , tan`C= ABÓ BCÓ= '11'5 = '555 9 tan`C= '3_{3 이므로 오른쪽 그림과} 13 213 3 C B A 같이 BCÓ=3, ABÓ='3인 직각삼각 형 ABC를 그리면 피타고라스 정리 에 의하여 ACÓ=¿¹3Û`+('3 )Û`=2'3 따라서 sin`C= ABÓ ACÓ= '32'3=;2!;, cos`C= BCÓ ACÓ= 32'3= '32 7 sin`C= '2_{3 이므로 오른쪽 그림과} 12 17 3 C B A 같이 ACÓ=3, ABÓ='2인 직각삼각 형 ABC를 그리면 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=¿¹3Û`-('2 )Û`='7 따라서 cos`C= BCÓ ACÓ= '73 , tan`C= ABÓ BCÓ= '2'7= '147 10 tanÀ=;3!;이므로 오른쪽 그림과 3 1 A _B C 1410 같이 ABÓ=3, BCÓ=1인 직각삼각 형 ABC를 그리면 피타고라스 정 리에 의하여 ACÓ="Ã3Û`+1Û`='10 sinÀ= BCÓ ACÓ= 1'10= '1010 , cosÀ= ABÓ ACÓ= 3'10= 3'1010 따라서 sinÀ+cosÀ= 4'10_{10 =}2'10₅ 1 ⑴ ∠ACB ⑵ ∠ABC ⑶ sin`x=;5#;, cos`x=;5$;, tan`x=;4#; ⑷ sin`y=;5$;, cos`y=;5#;, tan`y=;3$; 2 ⑴ ∠ACB ⑵ ∠ABC ⑶ sin`x=;1!3@;, cos`x=;1°3;, tan`x=;;Á5ª;; ⑷ sin`y=;1°3;, cos`y=;1!3@;, tan`y=;1°2; 3 ⑴ △DEC ⑵ ∠CAB ⑶ sin`x=;5#;, cos`x=;5$;, tan`x=;4#; 4 ⑴ △DBE ⑵ ∠BAC ⑶ sin`x=;1°3;, cos`x=;1!3@;, tan`x=;1°2; 5 ⑴ △EBD ⑵ ∠ACB ⑶ sin`x=;5$;, cos`x=;5#;, tan`x=;3$; 6 ⑴ △EDC ⑵ ∠ABC ⑶ sin`x=;5$;, cos`x=;5#;, tan`x=;3$; b, a, a 7 ⑴ △AED ⑵ ∠ACB ⑶ sin`x=;1!7%;, cos`x=;1¥7;, tan`x=;;Á8°;; 8 ⑴ △AED ⑵ ∠ABC ⑶ sin`x=;5$;, cos`x=;5#;, tan`x=;3$; b, a, b 9 ⑴ 2'5_{5 ⑵}'5_{5 ⑶ 2 ⑷}'5_{5 ⑸}2'5_{5 ⑹ ;2!;} 10 ⑴ '_{3 ⑵ ;3@; ⑶}5 '5_{2 ⑷ ;3@; ⑸}'5_{3 ⑹}2'5₅ 11 ⑴ '_{4 ⑵ ;4#; ⑶}7 '7₃ 본문 14쪽

직각삼각형의 닮음과 삼각비

04

1 B, D, C, D ⑴ BDÓ, BCÓ ⑵ ACÓ, ADÓ, BCÓ ⑶ BCÓ, ADÓ, CDÓ 2 E, D, x ⑴ AEÓ, ACÓ, ;1!7%; ⑵ DEÓ, ABÓ, ;1¥7; ⑶ ADÓ, BCÓ, ;;Á8°;; 원리확인

(5)

12 ⑴ 2'14_{9 ⑵ ;9%; ⑶}2'14₅ 13 ⑴ '_{6 ⑵ ;6%; ⑶}11 '11₅ 14 ⑴ '_{3 ⑵ ;3@; ⑶}5 '5₂ 1 ⑶ sin`x= ABÓ BCÓ=;5#;, cos`x= ACÓ BCÓ=;5$;, tan`x= ABÓ ACÓ=;4#; ⑷ sin`y= ACÓ BCÓ=;5$;, cos`y= ABÓ BCÓ=;5#;, tan`y= ACÓ ABÓ=;3$; 2 ⑶ sin`x= ABÓ BCÓ=;1!3@;, cos`x= ACÓ BCÓ=;1°3;, tan`x= ABÓ ACÓ=;;Á5ª;; ⑷ sin`y= ACÓ BCÓ=;1°3;, cos`y= ABÓ BCÓ=;1!3@;, tan`y= ACÓ ABÓ=;1°2; 3 ⑶ sin`x= BCÓ ACÓ=;1¤0;=;5#;, cos`x= ABÓ ACÓ=;1¥0;=;5$;, tan`x= BCÓ ABÓ=;8^;=;4#; 4 ⑶ sin`x= BCÓ ABÓ=;1°3;, cos`x= ACÓ ABÓ=;1!3@;, tan`x= BCÓ ACÓ=;1°2; 5 ⑶ sin`x= ABÓ BCÓ=;1!5@;=;5$;, cos`x= ACÓ BCÓ=;1»5;=;5#;, tan`x= ABÓ ACÓ=;;Á9ª;;=;3$; 6 ⑶ sin`x= ACÓ BCÓ=;1¥0;=;5$;, cos`x= ABÓ BCÓ=;1¤0;=;5#;, tan`x= ACÓ ABÓ=;6*;=;3$; 7 ⑶ sin`x= ABÓ BCÓ=;1!7%;, cos`x= ACÓ BCÓ=;1¥7;, tan`x= ABÓ ACÓ=;;Á8°;; 8 ⑶ sin`x= ACÓ BCÓ=;5$;, cos`x= ABÓ BCÓ=;5#;, tan`x= ACÓ ABÓ=;3$;

9 △ABC에서 ∠x=∠BAC, ∠y=∠ACB 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=¿¹('5 )Û`-1Û`='4=2 ⑴ sin`x= BCÓ ACÓ= 2'5= 2'55 ⑵ cos`x= ABÓ ACÓ= 1'5= '55 ⑶ tan`x= BCÓ ABÓ=2 ⑷ sin`y= ABÓ ACÓ= 1'5= '55 ⑸ cos`y= BCÓ ACÓ= 2'5= 2'55 ⑹ tan`y= ABÓ BCÓ=;2!;

10 △ABC에서 ∠x=∠BAC, ∠y=∠ABC 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ=¿¹('5 )Û`+2Û`='9=3 ⑴ sin`x= BCÓ ABÓ= '53 ⑵ cos`x= ACÓ ABÓ=;3@; ⑶ tan`x= BCÓ ACÓ= '52 ⑷ sin`y= ACÓ ABÓ=;3@; ⑸ cos`y= BCÓ ABÓ= '53 ⑹ tan`y= ACÓ BCÓ= 2'5= 2'55 1. 삼각비 5 중학연산(3-2)해설001~048.indd 5 20. 6. 18. 오후 8:00

(6)

12 △ABC»△AED이므로 △ABC에서 ∠x=∠ABC 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ="Ã9Û`-5Û`='56=2'14 ⑴ sin`x= ACÓ ABÓ= 2'149 ⑵ cos`x= BCÓ ABÓ=;9%; ⑶ tan`x= ACÓ BCÓ= 2'145

13 △ABC»△AED이므로 △ADE에서 ∠x=∠ADE 피타고라스 정리에 의하여 AEÓ="Ã6Û`-5Û`='11 ⑴ sin`x= AEÓ DEÓ= '116 ⑵ cos`x= ADÓ DEÓ=;6%; ⑶ tan`x= AEÓ ADÓ= '115

14 △ABC»△EBD이므로 △ABC에서 ∠x=∠BAC 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ="Ã3Û`-2Û`='5 ⑴ sin`x= BCÓ ACÓ= '53 ⑵ cos`x= ABÓ ACÓ=;3@; ⑶ tan`x= BCÓ ABÓ= '52 1 '3, '2, 1 ⑴ 1, '3, '3_{3 ⑵ '2, '3,}'6_{3 ⑶ 1, '2,}'2₂ 본문 18쪽

입체도형에서의 삼각비의 값

05

11△ABC»△EBD이므로 △DBE에서 ∠x=∠BDE 피타고라스 정리에 의하여 DEÓ=¿¹4Û`-('7 )Û`='9=3 ⑴ sin`x= BEÓ BDÓ= '74 ⑵ cos`x= DÕEÓ BDÓ=;4#; ⑶ tan`x= BEÓ DEÓ= '73 2 2'3, 2'2, 2 ⑴ 2, 2'3, '3_{3 ⑵ 2'2, 2'3,}'6_{3 ⑶ 2, 2'2,}'2₂ 3 4'3, 4'2, 4 ⑴ 4, 4'3, '3_{3 ⑵ 4'2, 4'3,}'6_{3 ⑶ 4, 4'2,}'2₂ '2a, '3a 4 '11, 5, 6 ⑴ '11_{6 ⑵ ;6%; ⑶}'11₅ 5 5'2, 5'2, 10 ⑴ 5'2, 10, '2_{2 ⑵ 5'2, 10,}'2_{2 ⑶ 5'2, 5'2, 1} 6 4'6, 10, 14 ⑴ 4'6, 14, 2'6_{7 ⑵ 10, 14, ;7%; ⑶ 4'6, 10,}2'6₅ "ÃaÛ`+bÛ`+cÛ`, "ÃaÛ`+bÛ` 1 '2 2 0 3 ;2#; 4 '₂3 5 '₄3 6 '₆6 7 ;2!; 8 '₂2 9 ;2#; 10 0 11 ;2%; 12 ;2!; 1, '2, '3, 증가, '3, '2, 1, 감소, '3, 1, '3, 증가 13 60ù 14 45ù 15 45ù 16 30ù 17 60ù 18 60ù 19 45ù 20 30ù 21 30ù 22 10ù`( 30, 30, 10) 23 50ù 24 75ù 25 10ù 26 10ù 27 ④ 28 4`( 8, 1, 4) 29 6'2 30 12 31 9 32 x=3'3, y=3`( 6, '3, 3'3, 6, 1, 3) 33 x=10'2, y=10'2 34 x=4'3, y=8'3 • • • • • • 본문 20쪽

30°, 45°, 60°의 삼각비의 값

06

'2, 1, '3 1 '2 2 , '22 , 1 2 ;2!;, '3 2 , '33 3 '32 , ;2!;, '3 원리확인

(7)

35 12`( '2, 2, 6, 6, 1, 2, 12) 36 5 37 5'6 38 14'3 39 2'5`( 1, 2, 2'5, 2'5, 1, 2'5 ) 40 16 41 10 42 8'3 43 4`( 1, 4'3, 4'3, '3, 4) 44 22 45 6'3 46 ③ 47 '_{3 `( '3, 3)}3 48 1 49 '3 50 y='3x+8`( '3, '3, 8, 8, '3, 8) 51 y=x+5 52 y= '3_{3 x+2} 53 ④ 1 sin`45ù+cos`45ù= '2_{2 +}'2_{2 ='2} 2 sin`60ù-cos`30ù= '3_{2 -}'3_{2 =0} 3 sin`30ù+tan`45ù=;2!;+1=;2#; 4 tan`60ù-cos`30ù='3- '3_{2 =}'3₂ 5 sin`60ù_cos`60ù= '3_{2 _;2!;=}'3₄ 6 cos`45ù_tan`30ù= '2_{2 _}'3_{3 =}'6₆ 7 sin`60ùÖtan`60ù= '3₂ Ö'3= '3_{2 _}_'31 =;2!; 8 cos`60ùÖsin`45ù=;2!;Ö '2_{2 =;2!;_}_'22 = '2₂ 9 tan`45ù+cos`30ù_tan`30ù=1+ '3_{2 _}'3₃ =1+;2!;=;2#; 10 sin`30ùÖtan`30ù-cos`30ù=;2!;Ö '3_{3 -}'3₂ =;2!;_'3- '3_{2 =0} 11 sin`30ù+tan`60ùÖsin`60ù=;2!;+'3Ö '3₂ =;2!;+'3_ 2_'3=;2%; 12 (sin`30ù+cos`30ù)(sin`60ù-cos`60ù) ={;2!;+ '3_{2 }{}'3_{2 -;2!;}} = (1+'3 )('3-1)₄ =;4@;=;2!; 23 cos`60ù=;2!;이므로 2x-40ù=60ù, 2x=100ù 따라서 x=50ù 24 tan`45ù=1이므로 x-30ù=45ù 따라서 x=75ù 25 sin`45ù= '2_{2 이므로 3x+15}ù=45ù, 3x=30ù 따라서 x=10ù 26 cos`30ù= '3_{2 이므로 5x-20}ù=30ù, 5x=50ù 따라서 x=10ù 27 tan`60ù='3이므로 3x-75ù=60ù, 3x=135ù 즉 x=45ù 따라서 sin`x_cos`(x-15ù)=sin`45ù_cos`30ù = '2_{2 _}'3_{2 =}'6₄ 29 cos`45ù= x_{12 =}'2_{2 이므로 x=6'2} 30 tan`60ù= x 4'3='3이므로 x=12 31 sin`60ù= x 6'3= '32 이므로 2x=18 따라서 x=9 33 sin`45ù= x_{20 =}'2_{2 에서 x=10'2} cos`45ù= y_{20 =}'2_{2 에서 y=10'2} 34 tan`60ù= 12_{x ='3에서 x=4'3} sin`60ù= 12_{y =}'3_{2 에서 y=8'3} 36 직각삼각형 ABD에서 tan`30ù= ADÓ 5'3= '33 이므로 ADÓ=5 직각삼각형 ADC에서 tan`45ù= ADÓ_{x =}_{x =1이므로 x=5}5 37 직각삼각형 ABD에서

sin`60ù= ADÓ_{10 =}'3_{2 이므로}ADÓ=5'3 직각삼각형 ADC에서

sin`45ù= ADÓ_{x =}5'3_{x =}'2_{2 이므로 x=5'6}

1. 삼각비 7

(8)

38 직각삼각형 ABD에서

tan`60ù= ADÓ_{7 ='3이므로}ADÓ=7'3 직각삼각형 ADC에서

sin`30ù= ADÓ_{x =}7'3_{x =;2!;이므로 x=14'3}

40 직각삼각형 ADC에서

tan`60ù= ACÓ_{8 ='3이므로}ACÓ=8'3 직각삼각형 ABC에서 tan`30ù= ACÓ_{x+8 =}_{x+8 =}8'3 '3_{3 이므로 x+8=24} 따라서 x=16 41 직각삼각형 ABC에서 tan`30ù= BCÓ_{15 =}'3_{3 이므로}BCÓ=5'3 직각삼각형 BCD에서 cos`30ù= BCÓ_{x =}5'3_{x =}'3_{2 이므로} x=10 42 직각삼각형 BCD에서 cos`45ù= BCÓ 4'6= '22 이므로 BCÓ=4'3 직각삼각형 ABC에서 sin`30ù= BCÓ_{x =}4'3_{x =;2!;이므로} x=8'3 44 직각삼각형 BCD에서 sin`45ù= BCÓ 11'2= '22 이므로 BCÓ=11 직각삼각형 ABC에서 sin`30ù= BCÓ_{x =}11_{x =;2!;이므로} x=22 45 직각삼각형 ABC에서 tan`60ù= BCÓ 2'3='3이므로 BCÓ=6 직각삼각형 BCD에서 tan`30ù= BCÓ_{x =}_{x =}6 '3_{3 이므로} x=6'3 46 △ABC에서 tan`60ù= BCÓ ABÓ= x'3='3이므로 x=3 △BCD에서 tan`45ù= BCÓ CDÓ= 3y =1이므로 y=3 따라서 xy=9 52 (기울기)=tan`30ù= '3_{3 이므로 a=}'3₃ (y절편)=2이므로 b=2 따라서 y= '3_{3 x+2} 48 a=tan`45ù=1 49 a=tan`60ù='3 51 (기울기)=tan`45ù=1이므로 a=1 (y절편)=5이므로 b=5 따라서 y=x+5

1 ABÓ`( OAÓ, 1, ABÓ) 2 OBÓ 3 CDÓ 4 OBÓ 5 ABÓ 6 OBÓ`( OAB, y, y, OBÓ, OBÓ, OBÓ) 7 ○ 8 × 9 ○ 10 ○ cos`x, sin`x, tan`x 11 ⑴ 0.5299 ⑵ 0.8480 ⑶ 0.6249 ⑷ 0.8480 ⑸ 0.5299 12 ⑴ 0.8988 ⑵ 0.4384 ⑶ 2.0503 ⑷ 0.4384 ⑸ 0.8988 13 ④ 본문 26쪽

임의의 예각의 삼각비의 값

07

2 직각삼각형 AOB에서 cos`x= OBÓ

OAÓ= OBÓ1 =OBÓ

53 오른쪽 그림의 직각삼각형 AOB에서 x y y=13x+3 O B h A tan`h= BOÓ AOÓ=(직선의 기울기)='3 즉 tan`h='3이므로 h=60ù

(9)

3 직각삼각형 COD에서 tan`x= CDÓ

ODÓ= CDÓ1 =CDÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ 직각삼각형 AOB에서 sin`y= OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ 따라서 cos`x=sin`y

4 직각삼각형 AOB에서 sin`y= OBÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ

5 직각삼각형 AOB에서 cos`y= ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ

7 ABÓCDÓ이므로 ∠OAB=∠OCD(동위각) 즉 ∠y=∠z

따라서 cos`z=cos`y= ABÓ

OÕAÓ= ABÓ1 =ABÓ

8 ABÓCDÓ이므로 ∠OCD=∠OAB(동위각)

즉 ∠z=∠y

따라서 tan`y=tan`z= ODÓ CDÓ= 1CDÓ

OÕAÓ= OBÓ1 =OBÓ이므로 BDÓ=ODÓ-OBÓ=1-cos`x 11 ⑴ 직각삼각형 AOB에서 sin`32ù= ABÓ OÕAÓ=0.5299 ⑵ 직각삼각형 AOB에서 cos`32ù= OBÓ OÕAÓ=0.8480 ⑶ 직각삼각형 COD에서 tan`32ù= CDÓ ODÓ=0.6249 ⑷ △AOB에서 ∠OAB=58ù이므로 sin`58ù= OBÓ OÕAÓ=0.8480 ⑸ △AOB에서 ∠OAB=58ù이므로 cos`58ù= ABÓ OÕAÓ=0.5299 12 ⑴ 직각삼각형 AOB에서 sin`64ù= ABÓ OÕAÓ=0.8988 ⑵ 직각삼각형 AOB에서 cos`64ù= OBÓ OÕAÓ=0.4384 ⑶ 직각삼각형 COD에서 tan`64ù= CDÓ ODÓ=2.0503 ⑷ △AOB에서 ∠OAB=26ù이므로 sin`26ù= OBÓ OÕAÓ=0.4384 ⑸ △AOB에서 ∠OAB=26ù이므로 cos`26ù= ABÓ OÕAÓ=0.8988 13 직각삼각형 AOB에서 sin`53ù= ABÓ

OÕAÓ=0.8, cos`53ù= OBÓOÕAÓ=0.6 직각삼각형 COD에서 tan`53ù= CDÓ ODÓ=1.33 따라서 sin`53ù+cos`53ù+tan`53ù =0.8+0.6+1.33 =2.73 1 0 2 0 3 0 4 1 5 1 6 1, 증가, 0, 감소, 0, 증가 7 1 8 1 9 2 10 1 11 '3 12 2 13 '₂2 14 1 0 ;2!; '2₂ '3₂ 1 1 '3 2 '22 ;2!; 0 0 '3 3 1 '3 정할 수 없다. 본문 28쪽

0°, 90°의 삼각비의 값

08

1. 삼각비 9 중학연산(3-2)해설001~048.indd 9 20. 6. 18. 오후 8:00

(10)

7 sin`0ù-cos`90ù+tan`45ù =0-0+1 =1 8 sin`90ù_cos`0ù+cos`90ù_sin`0ù =1_1+0_0 =1 9 (1+sin`90ù)(1-tan`0ù) =(1+1)(1-0) =2 10 (sin`0ù+cos`0ù)(sin`90ù-cos`90ù) =(0+1)(1-0) =1 11 cos`0ù_tan`60ù+sin`0ù_cos`30ù =1_'3+0_ '3₂ ='3 12 sin`90ùÖcos`60ù+tan`0ù =1Ö;2!;+0 =2 14 sin`90ù_cos`60ù+cos`0ù_sin`30ù =1_;2!;+1_;2!; =1 13 sin`45ù_sin`90ù+cos`45ù_cos`90ù = '2_{2 _1+}'2_{2 _0} = '2₂ 15 sin`60ù= '3_{2 ,}cos`45ù= '2_{2 이므로} sin`60ù>cos`45ù 16 tan`45ù=1, cos`30ù= '3_{2 이므로} tan`45ù>cos`30ù 17 ∠x의 크기가 0ù에서 90ù로 증가할 때, sin`x의 값은 증 가하므로 sin`25ù<sin`72ù 18 ∠x의 크기가 0ù에서 90ù로 증가할 때, cos`x의 값은 감 소하므로 cos`16ù>cos`35ù 19 ∠x의 크기가 0ù에서 90ù로 증가할 때, tan`x의 값은 증 가하므로 tan`37ù<tan`56ù 21 cos`53ù<1, tan`53ù>tan`45ù=1이므로 cos`53ù<tan`53ù 20 sin`75ù>sin`45ù= '2_{2 ,}cos`75ù<cos`45ù= '2_{2 이므로} sin`75ù>cos`75ù 22 sin`84ù<1, tan`84ù>tan`45ù=1이므로 sin`84ù<tan`84ù 15 > 16 > 17 < 18 > 19 < 20 > 21 < 22 < 1 0.6293 2 0.8391 3 40 4 39 5 78.8`( 0.7880, 78.8) 6 13.27 7 51`( 62.93, 0.6293, 51, 51) 8 53 9 ④ 본문 30쪽

삼각비의 표

09

6 tan`53ù= x_{10 이므로 1.3270=}₁₀x 따라서 x=13.27 8 sin`xù= 7.986_{10 =0.7986이므로 x}ù=53ù 따라서 x=53 9 sin`67ù= x_{100 =0.9205이므로 x=92.05} cos`67ù= y_{100 =0.3907이므로 y=39.07} 따라서 x+y=92.05+39.07=131.12

(11)

TEST

1. 삼각비 본문 31쪽 1 ③ 2 ⑤ 3 ;1!3&; 4 ⑤ 5 ③ 6 0.3410 1 ABÓ=¿¹5Û`+(2'6 )Û`='49=7 ③ tanÀ= BCÓ ACÓ= 52'6= 5'612 2 sinÀ=;5$;이므로 오른쪽 그림과 같이 5 4 A B C ACÓ=5, BCÓ=4인 직각삼각형 ABC를 그리면 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã5Û`-4Û`=3 따라서 tanÀ= BCÓ ABÓ=;3$; 4 ① sin`90ù+cos`0ù-tan`45ù=1+1-1=1 ② sin`30ù_cos`45ù=;2!;_ '2_{2 =}'2₄ ③ cos`60ùÖsin`45ù=;2!;Ö '2_{2 =;2!;_}_'22 = '2₂ ④ tan`0ù+sin`60ù_cos`30ù=0+ '3_{2 _}'3_{2 =;4#;} ⑤ tan`60ùÖsin`60ù_cos`45ù='3Ö '3_{2 _}'2_{2 ='2} 5 직각삼각형 ABC에서 tan`60ù= BCÓ_{7 ='3이므로}BCÓ=7'3 직각삼각형 DBC에서 sin`45ù= BCÓ BDÓ= 7'3BDÓ= '22 이므로 BDÓ=7'6 6 직각삼각형 COD에서 tan`47ù= CDÓ ODÓ=1.0724 직각삼각형 AOB에서 ∠OAB=43ù이므로 cos`43ù= ABÓ OAÓ=0.7314 따라서 tan`47ù-cos`43ù =1.0724-0.7314 =0.3410

3 △ABC에서 ∠x=∠BAC, ∠y=∠ABC 피타고라스 정리에 의하여

ABÓ="Ã5Û`+12Û`='¶169=13이므로 sin`x= BCÓ

ABÓ=;1!3@;, sin`y= ACÓABÓ=;1°3; 따라서 sin`x+sin`y=;1!3&;

삼각비의 활용

2

Ⅰ. 삼각비 2 sinÀ= x_{10 이므로} x=10`sinÀ=10`sin`35ù 4 tan`_{A= 8x 이므로} x=_{tanÀ =}8 _tan`62ù8 3 tan`_{A= x6 이므로} x=6`tanÀ=6`tan`43ù 5 sin`_{A= 7x 이므로} x=_{sinÀ =}7 _sin`58ù7 1 6`cos`45ù`( 6, 6, 6) 2 10`sin`35ù 3 6`tan`43ù 4 _tan`62ù8 5 _sin`58ù7

6 8`cos`40ù, 8`sin`40ù 7 _{cos`27ù , 9`tan`27ù}9 8 10`cos`60ù, 10`sin`60ù 9 5`tan`65ù, _cos`65ù5 10 _{sin`55ù ,}6 _tan`55ù6 11 6.472 12 4.7672 13 10 14 10

b`cosÀ, b`sinÀ, _{cosÀ , c`tanÀ,}c _{sinÀ ,}a _tanÀa 15 ⑴ BCÓ ABÓ=tan`42ù ⑵ 90`m 16 750`m 17 ⑴ 1.6`m ⑵ 24`m ⑶ 25.6`m 18 43.4`m 19 ⑴ 6.4`m ⑵ 8`m ⑶ 14.4`m 20 14.5`m 21 ⑴ 60`m ⑵ 20'3`m ⑶ (60+20'3 )`m 22 (40+40'3 )`m 본문 34쪽

직각삼각형의 변의 길이

01

1 ABÓ, 20, 20, '3 2 , 10'3 2 BCÓ, 20, 20, ;2!;, 10 원리확인 2. 삼각비의 활용 11 중학연산(3-2)해설001~048.indd 11 20. 6. 18. 오후 8:00

(12)

11 x=8`cos`36ù=8_0.8090=6.472 12 x=4`tan`50ù=4_1.1918=4.7672 13 x=_{cos`40ù =}8 _{0.8 =10}8 14 x=_{tan`30ù =}6 _{0.6 =10}6 15 ⑵ (나무의 높이) =BCÓ=ABÓ`tan`42ù =100_0.90=90(m) 16 (지면으로부터 전망대까지의 높이) =BCÓ=ACÓ`sinÀ =1500_sin30ù=1500_0.5=750(m) 17 ⑵ BCÓ=ABÓ`tanÀ=20_tan`50ù=20_1.2=24(m) ⑶ (나무의 높이)=BHÓ+BCÓ=1.6+24=25.6(m) 18 BCÓ=ABÓ`tanÀ=30_tan`55ù=30_1.4=42(m) 이므로 (건물의 높이)=BHÓ+BCÓ=1.4+42=43.4(m) 19 ⑴ ABÓ=BCÓ`tan`C=4_tan`58ù=4_1.6=6.4(m) ⑵ ACÓ= BCÓ_{cos`C =}_{cos`58ù =}4 _{0.5 =8(m)}4

⑶ (부러지기 전 나무의 높이) =ABÓ+ACÓ =6.4+8

=14.4(m)

20 ABÓ=BCÓ`tan`C=9_tan`25ù=9_0.5=4.5(m) ACÓ= BCÓ_{cos`C =}_{cos`25ù =}9 _{0.9 =10(m)이므로}9 (부러지기 전 깃대의 높이) =ABÓ+ACÓ =4.5+10 =14.5(m) 21 ⑵ ADÓ=BDÓ=60`m이므로 CDÓ=ADÓ`tan(∠CAD)=60_tan`30ù =60_ '3_{3 =20'3 (}m) ⑶ (㈏ 건물의 높이)=BDÓ+CDÓ=60+20'3 (m) 22 ADÓ=BDÓ=40`m이므로 CDÓ =ADÓ`tan(∠CAD)=40_tan`60ù =40_'3=40'3(m) 1 ⑴ 10, 60, 10, '3, 5'3 ⑵ 10, 60, 10, 1, 5 ⑶ BHÓ, 5, 10 ⑷ 5'3, 10, 175, 5'7 2 '37 3 2'13 4 2'21 5 3'7 6 '82 7 3'91`m 8 '21`m 9 20'5`m 본문 38쪽

일반 삼각형의 변의 길이 ⑴

02

2 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 ABH에서 AHÓ=10`sin`30ù=10_;2!;=5 BHÓ=10`cos`30ù=10_ '3_{2 =5'3} 따라서 CHÓ=BCÓ-BHÓ=7'3-5'3=2'3이므로 직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ=¿¹5Û`+(2'3 )Û`='¶37 3 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 ABH에서 AHÓ=6'2`sin`45ù=6'2_ '2_{2 =6} BHÓ=6'2`cos`45ù=6'2_ '2_{2 =6} 따라서 CHÓ=BCÓ-BHÓ=10-6=4이므로 직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ=¿¹6Û`+4Û` ='¶52=2'¶13 4 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 AHC에서 AHÓ=8`sin`60ù=8_ '3_{2 =4'3} CHÓ=8`cos`60ù=8_;2!;=4 따라서 BHÓ=BCÓ-CHÓ=10-4=6이므로 직각삼각형 ABH에서 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ=¿¹(4'3 )Û`+6Û`='¶84=2'¶21 5 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 BCH에서 BHÓ=6'3`sin`30ù=6'3_;2!;=3'3 따라서 (전망대 타워의 높이) =BDÓ+CDÓ =40+40'3(m)

(13)

6 점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 AHC에서 CHÓ=8`sin`45ù=8_ '2_{2 =4'2} AHÓ=8`cos`45ù=8_ '2_{2 =4'2} 따라서 BHÓ=ABÓ-AHÓ=9'2-4'2=5'2이므로 직각삼각형 BCH에서 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ=¿¹(4'2 )Û`+(5'2 )Û`='¶82 CHÓ=6'3`cos`30ù=6'3_ '3_{2 =9} 따라서 AHÓ=ACÓ-CHÓ=15-9=6이므로 직각삼각형 ABH에서 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ=¿¹(3'3 )Û`+6Û`='¶63=3'7 7 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 ABH에서 AHÓ=30`sin`60ù=30_ '3_{2 =15'3(}m) BHÓ=30`cos`60ù=30_;2!;=15(m) 따라서 CHÓ=BCÓ-BHÓ=27-15=12(m)이므로 직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ=¿¹(15'3)Û`+12Û`=3'91 (m) 8 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 ABH에서 AHÓ=6`sin`30ù=6_;2!;=3(m) BHÓ=6`cos`30ù=6_ '3_{2 =3'3(}m) 따라서 CHÓ=BCÓ-BHÓ=5'3-3'3=2'3(m)이므로 직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ=¿¹3Û`+(2'3 )Û`='21 (m) 9 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 삼각형 AHC에서 AHÓ=20'2`sin45ù=20'2_ '2_{2 =20(}m) CHÓ=20'2`cos`45ù=20'2_ '2_{2 =20(}m) 따라서 BHÓ=BCÓ-CHÓ=60-20=40(m)이므로 직각삼각형 ABH에서 피타고라스 정리에 의하여 ABÓ="Ã20Û`+40Û`=20'5 (m) 1 ⑴ 12, 12, 6'3 ⑵ 90, 30 ⑶ 30, 45 ⑷ 6'3, 6'3, 6'6 2 4'3 3 9'2 4 12 5 6'2 6 6'2 7 240'2`m 8 50'6`m 9 100'6`m 본문 40쪽

일반 삼각형의 변의 길이 ⑵

03

2 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H 75ù H 45ù 30ù 45ù 612 B C A 라 하면 BHÓ=6'2`sin`45ù=6'2_ '2_{2 =6} △ABH에서 ∠ABH=75ù-45ù=30ù이므로 ABÓ=_{cos`30ù =6Ö}6 '3_{2 =4'3} 3 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 75ù 60ù 45ù 30ù B C A H 613 하면 BHÓ=6'3`sin`60ù=6'3_ '3_{2 =9} △ABH에서 ∠ABH=75ù-30ù=45ù이므로 ABÓ=_{cos`45ù =9Ö}9 '2_{2 =9'2} 4 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 105ù H 612 45ù 60ù 45ù B C A H라 하면 BHÓ=6'2`sin`45ù=6'2_ '2_{2 =6} △BCH에서 ∠CBH=105ù-45ù=60ù이므로 BCÓ=_{cos`60ù =6Ö;2!;=12}6 5 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 _105ù H 60ù 45ù B C A 12 30ù H라 하면 AHÓ=12`sin`30ù=12_;2!;=6 △ABH에서 ∠BAH=105ù-60ù=45ù이므로 ABÓ=_{cos`45ù =6Ö}6 '2_{2 =6'2} 2. 삼각비의 활용 13 중학연산(3-2)해설001~048.indd 13 20. 6. 18. 오후 8:01

(14)

7 점 A에서 BCÓ에 내린 수 105ù 45ù 30ù 480 m 학교 우체국 집 60ù B H C A 선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AHÓ=480`sin30ù =480_;2!;=240(m) △AHC에서 ∠CAH=105ù-60ù=45ù이므로 ACÓ= 240_{cos`45ù =240Ö}'2_{2 =240'2(}m) 8 점 B에서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H 75ù 30ù_45ù H 45ù B C A 150 m 라 하면 △BCH에서 BHÓ=150`sin`45ù =150_ '2_{2 =75'2(}m) △ABH에서 ∠ABH=75ù-45ù=30ù이므로 ABÓ= 75'2_{cos`30ù =75'2Ö}'3_{2 =50'6(}m) 9 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H 75ù 45ù30ù 45ù H 300 m B A C 라 하면 △ABH에서 AHÓ=300`sin`45ù =300_ '2_{2 =150'2(}m) △ACH에서 ∠CAH=75ù-45ù=30ù이므로 ACÓ= 150'2_{cos`30ù =150'2Ö}'3_{2 =100'6(}m) 1 ⑴ 60 ⑵ 60, '3 ⑶ 45 ⑷ 45, h 본문 42쪽

예각삼각형의 높이

04

2 AHÓ=h라 하면 h 45ù B C A H 60ù 45ù 612 30ù BHÓ=AHÓ`tan`45ù=h, CHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h} BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 6'2=h+ '3_{3 h} 따라서 h=6'2_ 3₃₊_'3=3'2(3-'3) 3 AHÓ=h라 하면 60ù 30ù 60ù 30ù 4 h H B C A BHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h, CHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h} BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 4='3h+ '3_{3 h} 따라서 h=4_ 3 4'3='3 5 AHÓ=h라 하면 _45ù 30ù 45ù 12 h 60ù H B C A BHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h,} CHÓ=AHÓ`tan`45ù=h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 12= '3_{3 h+h} 따라서 h=12_ 3 3+'3=6(3-'3) 6 AHÓ=h라 하면 30ù h 60ù H 30ù B C A _60ù 10 BHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h,} CHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 10= '3_{3 h+'3h} 따라서 h=10_ 3 4'3= 5'32 4 AHÓ=h라 하면 _60ù 45ù 45ù 513 h 30ù H B C A BHÓ=AHÓ`tan`45ù=h, CHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 5'3=h+'3h 따라서 h= 5'3 '3+1= 5'3('3-1)2 = 15-5'32 6 점 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 105ù 45ù 45ù 6 H 60ù B C A 하면 CHÓ=6`sin`45ù=6_ '2_{2 =3'2} △AHC에서 ∠ACH=105ù-45ù=60ù이므로 ACÓ= 3'2_{cos`60ù =3'2Ö;2!;=6'2} ⑸ 6, '3, 6, 3, 1 2 3'2(3-'3) 3 '3 4 15-5₂ '3 5 6(3-'3) 6 5'3₂ 7 150(3-'3 )`m 8 2'3₅ `km 9 (45'2-15'6 )`m

(15)

7 A 지점에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고, AHÓ=h`m라 하면 h m 45ù 30ù H 45ù B 300 m C 60ù A BHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h (}m), CHÓ=AHÓ`tan`45ù=h (m) BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 300= '3_{3 h+h} h=300_ 3 3+'3=150(3-'3 ) 따라서 비행기는 지면으로부터 150(3-'3 )`m 높이에 있다. 8 C에서 ABÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고, CHÓ=h`km라 하면 1.6 km h km 60ù 30ù 집 은행 H A B 60ù 30ù C 학교 AHÓ =CHÓ`tan`60ù ='3h (km), BHÓ=CHÓ`tan`30ù = '3_{3 h (}km) ABÓ=AHÓ+BHÓ이므로 1.6='3h+ '3_{3 h} h=1.6_ 3 4'3= 2'35 따라서 도로의 길이는 2'3₅ `km이다. 9 A 지점에서 CDÓ에 내린 수선의 발을 H라 하고, AHÓ=h`m라 하면 h m 45ùH 3016 m 60ù 45ù 30ù D C B A DÕHÓ=AHÓ`tan`45ù=h(m), CHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h(m) CDÓ=DÕHÓ+CHÓ이므로 30'6=h+'3h h= 30'6 '3+1=15'6('3-1)=45'2-15'6 따라서 BDÓ=45'2-15'6 (m)이다. 1 ⑴ 120, 60, 60, 30 ⑵ 30, 60 ⑶ 30, 3 ⑷ 60, '3 ⑸ CHÓ, 6, '3, 3, 6, 6, 3, 3'3 2 3+'3 3 2(3+'3 ) 4 2('3+1) 5 '2(3+'3 ) 6 4'3 7 15(3+'3 )`m 8 6('3+1)`m 9 10'3`m 본문 44쪽

둔각삼각형의 높이

05

2 AHÓ=h라 하면 45ù 30ù 45ù 60ù 213 h B _C _H A △ACH에서 CHÓ=AHÓ`tan`45ù=h △ABH에서 BHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 2'3='3h-h ('3-1)h=2'3 따라서 h= 2'3_'3-1='3('3+1)=3+'3 3 AHÓ=h라 하면 45ù 30ù 45ù 4 h 60ù B _C _H A △ACH에서 CHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h} △ABH에서 BHÓ=AHÓ`tan`45ù=h BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 4=h- '3_{3 h} 3-₃'3h=4 따라서 h=4_ 3 3-'3=2(3+'3) 4 AHÓ=h라 하면 45ù 30ù 45ù h B _C _H A 135ù 4 60ù △ACH에서 CHÓ=AHÓ`tan`45ù=h △ABH에서 BHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 4='3h-h ('3-1)h=4 따라서 h=_'3-14 =2('3+1) 5 AHÓ=h라 하면 60ù 30ù h C H A 45ù_120ù B ₂ 12 45ù △ACH에서 CHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h} △ABH에서 BHÓ=AHÓ`tan`45ù=h BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 2'2=h- '3_{3 h} 3-₃'3h=2'2 따라서 h=2'2_ 3_3-_'3='2(3+'3) 6 AHÓ=h라 하면 60ù 30ù 60ù h 30ù 8 B _C _H A △ACH에서 CHÓ=AHÓ`tan`30ù= '3_{3 h} △ABH에서 BHÓ=AHÓ`tan`60ù='3h BCÓ=BHÓ-CHÓ이므로 8='3h- '3_{3 h} 2'3_{3 h=8} 2. 삼각비의 활용 15 중학연산(3-2)해설001~048.indd 15 20. 6. 19. 오전 10:37

(16)

7 △ACD에서 45ù 30 m 60ù D C B A 30ù 45ù CDÓ=ADÓ`tan`30ù= '3_{3 `}ADÓ △ABD에서 BDÓ=ADÓ`tan`45ù=ADÓ BCÓ=BDÓ-CDÓ이므로 30=ADÓ- '3_{3 `}ADÓ 3-₃'3_ADÓ=30 따라서 ADÓ=30_ 3 3-'3=15(3+'3)(m) 8 △DBC에서 45ù 30ù 12 m B C A D 60ù 45ù BCÓ=CDÓ`tan`45ù=CDÓ △DAC에서 ACÓ=CDÓ`tan`60ù='3`CDÓ ABÓ=ACÓ-BCÓ이므로 12='3`CDÓ-CDÓ ('3-1)CDÓ=12 따라서 CDÓ= 12 '3-1=6('3+1)(m) 9 △ADB에서 30ù 20 m D60ùB C A 60ù 30ù BDÓ=ABÓ`tan`30ù= '3_{3 `}ABÓ △ACB에서 BCÓ=ABÓ`tan`60ù='3`ABÓ CDÓ=BCÓ-BDÓ이므로 20='3`ABÓ- '3_{3 `}ABÓ 2'3_{3 `}ABÓ=20 따라서 ABÓ=20_ 3 2'3=10'3 (m) 1 14`( 8, 30, 14) 2 9'2 3 15'3 4 24 5 27'3 6 12'3`( 6, 8, 120, 12'3) 7 5'2 8 6 9 18'3 10 12 본문 46쪽

삼각형의 넓이

06

1 sin`45ù, '2 2 , 4'2, 4'2, 22'2 2 60, sin`60ù, '3_{2 , 3'3, 3'3, 6'3} 원리확인 2 △ABC=;2!;_6_6_sin`45ù=9'2 3 △ABC=;2!;_6_10_sin`60ù=15'3 4 △ABC=;2!;_12_8_sin`30ù=24 5 △ABC=_{;2!;_9_12_sin`60ù=27'3} 7 △ABC=;2!;_5_4_sin(180ù-135ù)=5'2 8 △ABC=;2!;_6_4_sin(180ù-150ù)=6 9 △ABC=;2!;_8_9_sin(180ù-120ù)=18'3 10 △ABC=;2!;_8_6_sin(180ù-150ù)=12 12 ;2!;_8_x_sin`30ù=18에서 2x=18 따라서 x=9 13 ;2!;_6'3_x_sin`60ù=54에서 ;2(;x=54 따라서 x=12 14 ;2!;_16_x_sin`45ù=48에서 4'2x=48 따라서 x=6'2 따라서 h=8_ 3 2'3=4'3 11 15`( 8'2, 60, 4, 60, 15) 12 9 13 12 14 6'2 c, ;2!; ac`sin`B 15 6'3`( 12, 120, 54, 3'3, 54, 6'3) 16 8 17 9 18 13 180, ;2!; ac`sin(180ù-B) 19 ⑴ 4'3 ⑵ 12'3 ⑶ 16'3 20 ⑴ 6'3 ⑵ 18'3 ⑶ 12'3 ⑷ 30'3 21 14 22 6+₄'3 23 63₄'3 24 44 25 32'3+36 26 12'3+18 27 ⑤

(17)

16 ;2!;_4'2_x_sin`(180ù-135ù)=16에서 2x=16 따라서 x=8 17 ;2!;_x_12_sin`(180ù-150ù)=27에서 3x=27 따라서 x=9 18 ;2!;_x_8'3_sin`(180ù-120ù)=78에서 6x=78 따라서 x=13 19 ⑴ △ABD=;2!;_4_4_sin(180ù-120ù)=4'3 ⑵ △BCD=;2!;_4'3_4'3_sin`60ù=12'3 ⑶ ABCD=△ABD+△BCD=4'3+12'3=16'3 20 ⑴ ACÓ=BCÓ`sin`60ù=12_ '3_{2 =6'3} ⑵ △ABC=;2!;_6_6'3=18'3 ⑶ △ACD=;2!;_6'3_8_sin`30ù=12'3

⑷ ABCD=△ABC+△ACD=18'3+12'3=30'3

21 ABCD=△ABD+△BCD

=;2!;_2'2_2_sin(180ù-135ù)

+;2!;_4'2_6_sin`45ù

=2+12=14

22 ABCD=△ABC+△ACD

=;2!;_'3_'6_sin`45ù

+;2!;_1_1_sin(180ù-120ù)

=;2#;+ '3_{4 =}6+'3₄

23 ABCD=△ABC+△ACD =;2!;_6_9_sin`60ù +;2!;_3_3'3_sin(180ù-150ù) = 27'3_{2 +}9'3_{4 =}63₄'3 26 BDÓ=_{cos`45ù =6'2이므로}6 ABCD=△ABD+△BCD =;2!;_4'2_6'2_sin`60ù +;2!;_6_6'2_sin`45ù =12'3+18 24 ACÓ="Ã6Û`+8Û`=10이므로 ABCD=△ABC+△ACD

=;2!;_8_6+;2!;_10_8_sin`30ù

=24+20=44

25 ACÓ=16`sin`60ù=8'3이므로 ABCD=△ABC+△ACD

=;2!;_8_8'3+;2!;_8'3_6_sin`60ù =32'3+36 27 정육각형은 가장 긴 세 대각선에 의하여 서로 합동인 6개의 정삼각형으로 나누어 지고 정삼각형 1개의 넓이는 ;2!;_6_6_sin`60ù=9'3(cmÛ`) 따라서 정육각형의 넓이는 6_9'3=54'3(cmÛ`) 6 cm 60ù 1 28'3`( 7, 8, 60, 28'3 ) 2 30'2 3 44 4 18'3 5 90`( 5'3, 12, 120, 90) 6 24 7 45 8 60 ab`sin`x, ab`sin`(180ù-x) 9 ③ 10 33'3`( 12, 11, 60, 33'3 ) 11 40 12 16'3 13 39 14 18'3`( 8, 9, 120, 18'3 ) 15 20'2 16 14 17 30'3 ;2!;ab`sin`x, ;2!;ab`sin (180ù-x) 18 ④ 본문 50쪽

사각형의 넓이

07

1 4, 6, 60, 2, 2, 4, 6, 60, 12'3 2 6, 3'3, 120, 2, 2, 6, 3'3, 120, 27 3 6, 8, 60, ;2!;, ;2!;, 6, 8, 60, 12'3 원리확인 2 ABCD=6_10_sin`45ù=30'2 2. 삼각비의 활용 17 중학연산(3-2)해설001~048.indd 17 20. 6. 18. 오후 8:01

(18)

3 ABCD=8_11_sin`30ù=44 4 ABCD =6_6_sin`60ù=18'3 6 ABCD=4_6'2_sin(180ù-135ù)=24 7 ABCD=9_10_sin(180ù-150ù)=45 8 ABCD=4'6_5'3_sin(180ù-135ù)=60 9 ABCD=8_12_sin`60ù=48'3(cmÛ`)이므로 △AMC=_{;2!;_}△ABC=_{;2!;_;2!;_ABCD} =;4!;_48'3=12'3 (cmÛ`) 12 ABCD =;2!;_8_8_sin`60ù=16'3 13 ABCD =;2!;_12_13_sin`30ù=39 17 ABCD =;2!;_10_12_sin`(180ù-120ù)=30'3 15 ABCD =;2!;_8_10_sin(180ù-135ù)=20'2 16 ABCD =;2!;_8_7_sin(180ù-150ù)=14 18 ACÓ=BDÓ=x`cm라 하면 넓이가 25'3`cmÛ`이므로 ;2!;_x_x_sin(180ù-120ù)=25'3, xÛ`=100 따라서 x=10이므로 대각선 AC의 길이는 10`cm이다. 11 ABCD =;2!;_8'2_10_sin`45ù=40

TEST

2. 삼각비의 활용 본문 53쪽 1 72.4`m 2 ⑤ 3 ① 4 ③ 5 6'2`cmÛ` 6 ④ 1 △ABC에서 120 m 36ù A D B _C 1.6 m ACÓ =ABÓ`sin`36ù =120_0.59=70.8(m) 따라서 애드벌룬의 지면으로부터의 높 이는 ADÓ=ACÓ+CDÓ=70.8+1.6=72.4(m) 2 점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H H 12 cm 60ù 45ù 75ù B C A 라 하면 △AHC에서 AHÓ=ACÓ`sin`45ù=12_ '2_{2 =6'2(}cm)

△ABH에서 ABÓ= AHÓ_{sin`60ù =6'2Ö}'3_{2 =4'6(}cm)

3 나무의 높이를 AHÓ=h`m라 하면 △ABH에서 BHÓ= AHÓ_{tan`45ù =h(m)}

△AHC에서 CHÓ= AHÓ_{tan`30ù ='3h(m)} 이때 BCÓ=BHÓ+CHÓ이므로 40=h+'3h h= 40 1+'3=20('3-1) 따라서 나무의 높이는 20('3-1)`m이다. 4 굴뚝의 높이를 ADÓ=h`m라 하면 30ù B C 60 m 60ùD A h m 30ù 60ù △ABD에서 BDÓ=ADÓ`tan`60ù='3h(m) △ACD에서 CDÓ=ADÓ`tan`30ù= '3_{3 `h(}m) 이때 BCÓ=BDÓ-CDÓ이므로 60='3h- '3_{3 h,}2'3_{3 h=60, h=30'3} 따라서 굴뚝의 높이는 30'3`m이다. 5 △ABC=;2!;_9_8_sin`45ù=18'2(cmÛ`) 따라서 △GBC=;3!;△ABC=;3!;_18'2=6'2(cmÛ`) 6 ABCD=;2!;_12_14_sin`x=42'3`(cmÛ`)이므로 84`sin`x=42'3, sin`x= '3₂ 따라서 ∠x=60ù

(19)

원과 직선

3

Ⅱ. 원의 성질 1 5`( 이등분, AÕMÓ, 5, 5) 2 7 3 22 4 5`cm 5 12`cm 6 9`cm 7 10`cm 8 6`( 5, 4, 3, 이등분, AÕMÓ, 3, 6, 6) 9 2'10 10 5 11 10'5 12 18`( OCÓ, 15, 15, 12, 9, 9, 18, 18) 13 24 14 8 15 5 16 5`cm`( r-2, r-2, 4, 20, 5, 5) 17 9`cm 18 ;;Á2°;;`cm 19 13`cm 20 5`cm`( 4, r-2, r-2, 4, r-2, 4, 20, 5, 5) 21 11`cm 22 15`cm 23 17`cm 24 20_{'3`( x2 , 20, 10, 20, MCÓ, 20, 10, 20, 10,} 10'3, 10'3, 20'3 ) 25 4'3 26 4'3 27 6 본문 56쪽

현의 수직이등분선

01

2 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 AÕMÓ=BÕMÓ=;2!;ABÓÓ=;2!;_14=7(cm) 따라서 x=7 3 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 ABÓ=2AÕMÓ=2_11=22(cm) 따라서 x=22 4 현 CD가 현 AB의 수직이등분선이므로 현 CD는 원의 중심을 지나는 지름이다. 따라서 원의 반지름의 길이는 ;2!;_CDÓ=;2!;_10=5(cm) 5 현 AB가 현 CD의 수직이등분선이므로 현 AB는 원의 중심을 지나는 지름이다. 따라서 원의 반지름의 길이는 ;2!;_ABÓ=;2!;_24=12(cm) 6 현 AB가 현 CD의 수직이등분선이므로 현 AB는 원의 중심을 지나는 지름이다. 7 현 CD가 현 AB의 수직이등분선이므로 현 CD는 원의 중심을 지나는 지름이다. 따라서 원의 반지름의 길이는 ;2!;_CDÓ=;2!;_(7+13)=10(cm) 9 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 MBÓ=;2!;_ABÓ=;2!;_12=6(cm) △OMB가 직각삼각형이므로 OBÓ=¿¹22+62₌_{'¶40=2'¶10(cm)} 따라서 x=2'¶10 10 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 MBÓ=;2!;_ABÓ=;2!;_24=12(cm) △OMB가 직각삼각형이므로 OÕMÓ=¿¹132-122_='25=5(cm) 따라서 x=5 11 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 AÕMÓ=;2!;_ABÓ=;2!;_40=20(cm) △AOM이 직각삼각형이므로 AOÓ=¿¹202+102₌_{'¶500=10'5(cm)} 따라서 x=10'5 13 OAÓ를 그으면 OAÓ=OCÓ=13`cm이므로 직각삼각형 OAM에서 AÕMÓ=¿¹132-52_=12(cm) 따라서 ABÓ=2_12=24(cm)이므로 x=24 14 OAÓ를 그으면 OAÓ=OCÓ=17`cm이고, AÕMÓ=;2!;_ABÓ=;2!;_30=15(cm)이므로 직각삼각형 AOM에서 OÕMÓ=¿¹172-152 =8(cm) 따라서 x=8 따라서 원의 반지름의 길이는 ;2!;_ABÓ=;2!;_(4+14)=9(cm) 15 OAÓ를 그으면 OAÓ=OCÓ=5'2`cm이고, AÕMÓ=;2!;_ABÓ=;2!;_10=5(cm)이므로 직각삼각형 OAM에서 OÕMÓ=¿¹(5'2)2-52_=5(cm) 따라서 x=5 3. 원과 직선 19 중학연산(3-2)해설001~048.indd 19 20. 6. 18. 오후 8:01

(20)

17 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OMÓ=(r-4)`cm OAÓ를 그으면 직각삼각형 OAM에서 r2₌₍₂_'¶14)2_+(r-4)2_{, 8r=72, 즉 r=9} 따라서 원 O의 반지름의 길이는 9`cm이다. 18 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OÕMÓ=(r-3)`cm이고, AÕMÓ=;2!;_12=6(cm) OAÓ를 그으면 직각삼각형 OAM에서 r2 =62 +(r-3)2 , 6r=45, 즉 r=;;Á2°;; 따라서 원 O의 반지름의 길이는 ;;Á2°;;`cm이다. 19 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OÕMÓ=(r-8)`cm이고, AÕMÓ=;2!;_24=12(cm) OAÓ를 그으면 직각삼각형 OAM에서 r2 =122 +(r-8)2 , 16r=208, 즉 r=13 따라서 원 O의 반지름의 길이는 13`cm이다. 21 원의 중심을 O라 하고 CÕMÓ의 연장 선을 그으면 직선 CM은 원의 중 심을 지나므로 점 M은 COÓ 위의 점이다. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OÕMÓ=(r-4)`cm OAÓ를 그으면 직각삼각형 AOM에서 r2 =(6'2 )2 +(r-4)2 , 8r=88, 즉 r=11 따라서 원 O의 반지름의 길이는 11`cm이다. 612 cm r cm (r-4) cm 4 cm A M B C O 22 원의 중심을 O라 하고 CÕMÓ의 연장 선을 그으면 직선 CM은 원의 중 심을 지나므로 점 M은 COÓ 위의 점이다. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 OÕMÓ=(r-6)`cm OBÓ를 그으면 직각삼각형 OBM에서 r2₌₁₂2_+(r-6)2_{, 12r=180, 즉 r=15} 따라서 원 O의 반지름의 길이는 15`cm이다. O r cm (r-6) cm 6 cm 12 cm A _M B C 23 원의 중심을 O라 하고 CÕMÓ의 연장선 을 그으면 직선 CM은 원의 중심을 지나므로 점 M은 COÓ 위의 점이다. 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하 면 OÕMÓ=(r-2)`cm OAÓ를 그으면 직각삼각형 AOM에서 r2₌₈2_+(r-2)2_{, 4r=68, 즉 r=17} 따라서 원 O의 반지름의 길이는 17`cm이다. O 8 cm 2 cm A M B C r cm (r-2) cm 25 원의 중심 O에서 현 AB에 수선을 그 어 ABÓ와의 교점을 M, 원과의 교점을 C라 하면 OAÓ=4`cm MOÓ=MCÓ=;2!; OCÓ=;2!;_4=2(cm) 직각삼각형 OAM에서 ;2{;=¿¹42-22 =2'3(cm) 따라서 x=2_2'3=4'3 O C 4 cm A M B 2 cm ;2{; cm 26 원의 중심 O에서 현 AB에 수선을 그 어 ABÓ와의 교점을 M, 원과의 교점을 C라 하면 OAÓ=x`cm MOÓ=MCÓ=;2!; OCÓ=;2{;`cm AÕMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_12=6(cm) 직각삼각형 OAM에서 62₊_{;2{;}2_=x2_{, 36+ xÛ`} 4 =x2, ;4#;x2=36, 즉 x2=48 x>0이므로 x=4'3 O C x cm A M B ;2{; cm 6 cm 27 원의 중심 O에서 현 AB에 수선을 그어 ABÓ와의 교점을 M, 원과의 교점을 C라 하면 MOÓ=MCÓ=;2!; OCÓ=;2{;`cm AÕMÓ=;2!; ABÓ=;2!;_6'3=3'3(cm) 직각삼각형 OAM에서 (3'3 )2 +{;2{;}2 =x2 , 27+ xÛ`_{4 =x}2 , ;4#;x2=27, 즉 x2 =36 x>0이므로 x=6 O C x cm A M B ;2{; cm 313 cm 1 12`( ABÓ, 12) 2 7 3 14 4 2 5 5 6 4'6`( 7, 5, 2'6, 2'6, 4'6 ) 7 8 8 3'2 9 5 10 6 11 55ù 12 63ù 13 50ù 14 75ù =, =, = 본문 60쪽

현의 길이

02

2 ABÓ=CDÓ=16이므로 x=ONÓ=7

(21)

3 OÕMÓ=ONÓ=3이므로 x=CDÓ=2NDÓ=14 4 ONÓ⊥ACÓ이므로 ANÓ=CNÓ=5 즉 ABÓ=ACÓ=10이므로 x=ONÓ=2 5 OÕMÓ⊥ABÓ이므로 AÕMÓ=BÕMÓ=9 즉 ABÓ=CDÓ=18이므로 x=OMÓ=5 7 직각삼각형 AOM에서 AÕMÓ=¿¹(2'5)2_-22₌₄ OÕMÓ=ONÓ=2이므로 x=ADÓ=2_4=8 8 OÕMÓ=ONÓ=3이므로 CDÓ=ABÓ=6 ONÓ⊥CDÓ이므로 CNÓ=;2!; CDÓ=3 직각삼각형 OCN에서 x=¿¹32₊₃2₌₃_'2 9 직각삼각형 OAM에서 OÕMÓ=¿¹92_-(2_'14)2₌₅ ABÓ=CDÓ=4'14이므로 x=OÕMÓ=5 10 ONÓ⊥CDÓ이므로 CNÓ=;2!; CDÓ=8 직각삼각형 OCN에서 ONÓ=¿¹102 -82 =6 ABÓ=CDÓ=16이므로 x=ONÓ=6 11 OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=∠B=55ù 12 OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=∠C=63ù 13 OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180ù-80ù)=50ù 14 OÕMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이므로 ∠x=;2!;_(180ù-30ù)=75ù 1 50ù 2 35ù 3 145ù 4 75ù 5 45ù 6 110ù 7 8 8 13 9 1 10 7 PTÓ, OTÓ 11 3 12 9 13 8 14 6 15 ④ 본문 62쪽

원의 접선과 반지름

03

1 PAÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=90ù 따라서 직각삼각형 OPA에서 ∠x=180ù-(90ù+40ù)=50ù 2 PAÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=90ù 따라서 직각삼각형 OAP에서 ∠x=180ù-(90ù+55ù)=35ù

3 PAÓ, PBÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90ù 따라서 OAPB에서 내각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠x=360ù-(90ù+90ù+35ù)=145ù

4 PAÓ, PBÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90ù 따라서 AOBP에서 내각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠x=360ù-(90ù+90ù+105ù)=75ù

5 PAÓ, PBÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90ù 따라서 OAPB에서 내각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠x=360ù-(90ù+90ù+135ù)=45ù

6 PAÓ, PBÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=∠PBO=90ù

따라서 AOBP에서 내각의 크기의 합은 360ù이므로 ∠x=360ù-(90ù+90ù+70ù)=110ù 7 PAÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=90ù 따라서 직각삼각형 OAP에서 x=¿¹102 -62 ='¶64=8 8 PAÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=90ù 따라서 직각삼각형 OPA에서 x=¿¹122 +52 ='¶169=13 9 PAÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=90ù 따라서 직각삼각형 OAP에서 x=¿¹('10)2 -32 =1 3. 원과 직선 21 중학연산(3-2)해설001~048.indd 21 20. 6. 18. 오후 8:01

(22)

10 PAÓ가 원 O의 접선이므로 ∠PAO=90ù 따라서 직각삼각형 OAP에서 x=¿¹15Û`-(4'11)Û`='49=7 11 △OPA는 ∠PAO=90ù인 직각삼각형이고 OAÓ=OBÓ=x이므로 (x+3)2_=x2₊₍₃_'3 )2_, 6x=18 따라서 x=3 12 △OPA는 ∠PAO=90ù인 직각삼각형이고 OAÓ=OBÓ=8이므로 x+8=¿¹82 +152 , x+8='¶289=17 따라서 x=9 13 △OPA는 ∠PAO=90ù인 직각삼각형이고 OÕAÓ=OBÓ=6이므로 x=¿¹102 -62 =8 14 △OAP는 ∠PAO=90ù인 직각삼각형이고 OBÓ=OAÓ=9이므로 x+9=¿¹122 +92 , x+9='¶225=15 따라서 x=6 15 ∠OAP=90ù이므로 OAÓ=OBÓ=r`cm라 하면 직각삼각형 APO에서 (4+r)2₌₈2_+r2_{, 8r=48, 즉 r=6} 따라서 원 O의 넓이는 p_62_=36p(cm2₎ 1 6 2 4'3 3 44 4 64 5 5`( AFÓ, BDÓ, 5, 2, CFÓ, 2, 3, 5) 6 4 7 10 8 6 2, 2 9 12`( 9, 4, 9, 4, 13, 4, 4, 5, 13, 5, 12, 12) 10 2'15 11 12 12 ;2%; 본문 64쪽

원과 접선

04

1 PBÓ, 7 2 PAÓ, 15 원리확인

1 PAÓ=PBÓ=6'3이고, △OPA는 ∠PAO=90ù인 직각삼 각형이므로 x=¿¹122 -(6'3)2 ='36=6 2 POÓ=4+4=8 △OAP는 ∠PAO=90ù인 직각삼각형이므로 x="Ã82_-42₌_'¶48=4'3

3 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 ∠PAB=∠PBA인 이등변 삼각형이다.

따라서 x=180-2_68=44

4 PAÓ=PBÓ이므로 △PAB는 ∠PAB=∠PBA인 이등변 삼각형이다. 따라서 x=;2!;_(180-52)=64 6 BEÓ=BDÓ=3 ADÓ=AFÓ=10+3=13이므로 CEÓ=CFÓ=13-12=1 따라서 x=BEÓ+CEÓ=3+1=4 7 BEÓ=BDÓ=18-12=6 AFÓ=ADÓ=18이므로 CEÓ=CFÓ=18-14=4 따라서 x=BEÓ+CEÓ=6+4=10 8 BEÓ=BDÓ=11-7=4 AFÓ=ADÓ=11이므로 CEÓ=CFÓ=11-9=2 따라서 x=BEÓ+CEÓ=4+2=6 10 DEÓ=DAÓ=3, CEÓ=CBÓ=5이므로 DCÓ=DEÓ+CEÓ=3+5=8 점 D에서 CBÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 HBÓ=DAÓ=3이므로 CHÓ=5-3=2 △DHC에서 DHÓ=¿¹82-22 ='¶60=2'¶15 따라서 x=DHÓ=2'¶15 11 DEÓ=DAÓ=12, CEÓ=CBÓ=3이므로 DCÓ=DEÓ+CEÓ=12+3=15 점 C에서 DAÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 HAÓ=CBÓ=3이므로 DHÓ=12-3=9 △DHC에서 CHÓ=¿¹152_-92₌₁₂ 따라서 x=CHÓ=12

(23)

12 DEÓ=DAÓ=x, CEÓ=CBÓ=10이므로 DCÓ=DEÓ+CEÓ=x+10 점 D에서 CBÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 DHÓ=ABÓ=2AOÓ=10이고 HBÓ=DAÓ=x이므로 CHÓ=10-x △DHC에서 102 +(10-x)2 =(x+10)2 , 40x=100 따라서 x=;2%; 1 5 2 8 3 7 4 11 5 7 6 42`cm 7 24`cm 8 50`cm 9 34`cm 2 10 2`( 12, 5, 13, r, r, r, 13, r, r, 2, 4, 2, 2) 11 1 12 3 정사각형 본문 66쪽

삼각형의 내접원

05

1 x, y, z 2 x, y, x, y, z 원리확인 1 BEÓ=BDÓ=4, CFÓ=CEÓ=7-4=3 따라서 x=AFÓ=8-3=5 2 BEÓ=BDÓ=9-6=3 AFÓ=ADÓ=6이므로 CEÓ=CFÓ=11-6=5 따라서 x=BEÓ+CEÓ=3+5=8 3 ADÓ=AFÓ=8-5=3 CEÓ=CFÓ=5이므로 BDÓ=BEÓ=9-5=4 따라서 x=BDÓ+ADÓ=4+3=7 5 CFÓ=CEÓ=12-x BDÓ=BEÓ=x이므로 AFÓ=ADÓ=10-x 4 BEÓ=BDÓ=6 AFÓ=ADÓ=14-6=8이므로 CEÓ=CFÓ=13-8=5 따라서 x=BEÓ+CEÓ=6+5=11 6 (△ABC의 둘레의 길이)=2_(5+7+9)=42(cm) 7 (△ABC의 둘레의 길이)=2_(3+3+6)=24(cm) 8 (△ABC의 둘레의 길이)=2_(6+11+8)=50(cm) 9 AFÓ=ADÓ=9`cm, CEÓ=CFÓ=15-9=6(cm) 따라서 (△ABC의 둘레의 길이) =2_(9+6+2) =34(cm) 12 △ABC는 직각삼각형이므로 ABÓ=¿¹172_-152₌₈ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 ADOF는 한 변의 길이가 r인 정사각형이므로 ADÓ=AFÓ=r, CEÓ=CFÓ=15-r, BDÓ=BEÓ=17-(15-r)=r+2 이때 ABÓ=ADÓ+BDÓ이므로 8=r+(r+2), 2r=6, 즉 r=3 따라서 원 O의 반지름의 길이는 3이다. AFÓ+CFÓ=ACÓ이므로 (10-x)+(12-x)=8, 2x=14 따라서 x=7 11 △ABC는 직각삼각형이므로 ACÓ="Ã32₊₄2₌₅ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면 ODBE는 한 변의 길이가 r인 정사각형이므로 BDÓ=BEÓ=r, AFÓ=ADÓ=3-r, CFÓ=CEÓ=4-r 이때 ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로 5=(3-r)+(4-r), 2r=2, 즉 r=1 따라서 원 O의 반지름의 길이는 1이다. 1 8`( BCÓ, 10, 8) 2 20 3 8 4 10 5 50`cm`( BCÓ, 2, 2, 50) 6 40`cm 7 88`cm 8 58`cm BCÓ, CDÓ, BCÓ 본문 68쪽

외접사각형의 성질

06

1 ASÓ, BQÓ, CQÓ, DSÓ 2 DRÓ, BQÓ, DSÓ, DSÓ, CQÓ, BCÓ 원리확인 3. 원과 직선 23 중학연산(3-2)해설001~048.indd 23 20. 6. 18. 오후 8:01

(24)

3 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (x+7)+9=12+12 따라서 x=8 4 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 13+13=8+(x+8) 따라서 x=10 6 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =2(ADÓ+BCÓ) =2_(7+13) =40(cm) 7 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =2(ABÓ+CDÓ) =2_(24+20) =88(cm) 8 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 (ABCD의 둘레의 길이) =ABÓ+BCÓ+CDÓ+DAÓ =2(ADÓ+BCÓ) =2_(13+16) =58(cm) 10 △ABC는 직각삼각형이므로 ABÓ=¿¹132-122 =5 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 5+14=x+12 따라서 x=7 11 △BCD는 직각삼각형이므로 CDÓ=¿¹172-152 =8 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 x+8=10+15 따라서 x=17 12 △BCD는 직각삼각형이므로 CDÓ=¿¹152-122₌₉ ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 19+9=x+12 따라서 x=16 14 CFÓ=OFÓ=x`cm이므로 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ에서 18+12=10+(13+x) 따라서 x=7 15 ABÓ의 길이는 원 O의 지름의 길이와 같으므로 ABÓ=2_3=6(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 6+x=4+10 따라서 x=8 16 DCÓ의 길이는 원 O의 지름의 길이와 같으므로 DCÓ=2_4=8(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 x+8=5+14 따라서 x=11 18 ABED가 원 O에 외접하므로 ABÓ+DEÓ=ADÓ+BEÓ에서 9+x=12+BEÓ 즉 BEÓ=x-3이므로 CEÓ=12-(x-3)=15-x 직각삼각형 DEC에서 (15-x)2₊₉2_=x2_, 30x=306 따라서 x=;;°5Á;; 19 직각삼각형 ABE에서 AEÓ=¿¹132-122_{=5이므로 BCÓ=5+x} EBCD가 원 O에 외접하므로 EBÓ+CDÓ=EDÓ+BCÓ에서 13+12=x+(5+x) 따라서 x=10 20 ABÓ는 원 O의 지름의 길이와 같으므로 ABÓ=2_5=10(cm) ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 ADÓ+BCÓ=10+16=26(cm) 따라서 ABCD=;2!;_(ADÓ+BCÓ)_ABÓ =;2!;_26_10 =130(cmÛ`) 2 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ이므로 11+15=6+x 따라서 x=20 9 5`( 10, 6, 8, CDÓ, 8, 5) 10 7 11 17 12 16 13 4`( CDÓ, 12, x, 4) 14 7 15 8 16 11 17 5`( DEÓ, x, x-2, x-2, 8-x, 8-x, 80, 5) 18 ;;°5Á;; 19 10 20 ④