공학함수
목포해양대학교 김 용 화개요
함수
공학적 현상의 수학적 모델링 시스템에 대한 입력과 출력의 관계 표시 다양한 함수들의 개념과 정의 습득 2수와 구간
집합
정수 Z={…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} 자연수 N={0, 1, 2, 3, …} 유리수 Q={ p/q ; p ∈ Z, q ∈ Z, q ≠ 0} 무리수 p/q 의 형태로 나타낼 수 없는 수 (예; π, 등)계승 표현
n! = n*(n-1)*(n-2)* … *2*1 3 2수와 구간
실수
R : 실수의 집합, 유리수와 무리수 포함 실선 상에 점으로 표시 가능 그림 2.1복소수
수와 구간
구간 (interval)
실선 상의 일부를 표현 그림 2.2닫힘(closed) & 열림(open), 반개구간(semi-open)
상계 (upper bound) & 하계 (lower bound)
5 ] 1 , 1 [ 1 1≤ ≤ → − − x 2≤ x<3 →[ 2,3)
함수
기본 개념
입력과 출력의 관계 표시 입력의 두 배를 출력하는 시스템의 경우함수의 변수
함수로 표현된 시스템의 입력 (argument) 6 시스템 x f( )x( )
x x f x x f : →2 또는 =2함수의 그래프
함수의 입출력 관계를 그래프로 표시
그림 2.4 x: 독립변수 (independent variable) y: 종속변수 (dependent variable) 영역 (domain)과 범위 (range) 7( )
x x f y= =2 31 14 10 5 , 1 3 ≤ ≤ − ≤ ≤ − + = y x x y 0 0함수의 규칙
하나의 입력에 대하여 하나의 출력을 발생시켜야 함
일대일 (one-to-one) 함수
하나의 입력에 하나의 출력일대다 (one-to-many)
하나의 입력에 다수의 출력다대일 (many-to-one) 함수
다수의 입력이 같은 출력을 발생( )
x x f =2 x x→±( )
x x2 f =함수의 매개변수&합성
매개변수
입력 x와 출력 y를 제3의 변수로 표현 가능 예:합성
9( )
t y g( )
t f x= , = t y t x= 2, =2 입력의 제곱의 두 배 x ( ) 2 2x x f = 입력의 제곱 x ( ) 2 x x g = 입력의 두 배 h(g( )x)=2g( )x역함수
g(x): f 의 역 (inverse), f
-1 이 역시 함수이므로, 이를 역함수로 부름 일대일 함수만 역함수를 가짐 10 f x ( )x f g g(f( )x)=x( )
(
g x)
g(
f( )
x)
x f = =( )
x x2 f = g( )
x2 =x g( )
z =± z연속과 구간연속
함수 f(x)가 불연속 (discontinuous)하다면
f(x)의 그래프에서 갈라진 곳이 있음 그림 2.11함수 f(x)가 연속 (continuous)하다면
f(x)의 그래프에서 갈라진 곳이 없음구간 연속
임의의 구간 내에서 유한 개수의 불연속점을 갖는 경우 그림 2.12 11주기함수 (P
ERIODIC
F
UNCTION
)
일정한 간격을 갖고 반복적인 형태를 갖는 함수
그림 2.14상용 공학 함수
다항함수 (polynomial function)
분수함수 (rational function)
지수함수 (exponential function)
로그함수 (log function)
쌍곡선함수 (hyperbolic function)
절대값함수 (modulus function)
램프함수 (ramp function)
단위계단함수 (unit step function)
델타함수 (delta function)
13다항함수
n차 다항 함수
n: 음이 아닌 정수 an: 상수 차수: 다항함수의 가장 높은 거듭곱표 2.1
14( )
1 0 2 2 1 1x ... a x ax a a x a x P n n n n + + + + + = − −다항함수
전형적인 다항함수의 그래프
그림 2.16 15분수함수
분수함수의 표현
P(x), Q(x): 다항함수 P(x): 분자 (numerator), Q(x): 분모 (denominator)분수함수에 대한 의미 있는 질문들
x가 양의 값으로 커지면 함수는 어떻게 되는지( )
( )
( )
x Q x P x R =분수함수
예
x가 양의 무한대가 될 경우 x가 음의 무한대가 될 경우 x=0일 때 함수의 값은 그림 2.20 점근선 (asymtotic) 17 2 1 + = x y 2 → ±∞ → y x 이면 ±∞ → → y x 0 이면분수함수
다양한 분수 함수의 그래프
그림 2.21 경사 점근선 (oblique asymtotic) 분자의 차수가 분모의 차수보다 한 차수 높을 때 극점 (pole) 분모를 0으로 만드는 x의 값 18 3 1 + = x y 2 1 + − = x x y 1 1 3 + − + = x x y지수함수
지수 (exponent)
거듭곱 또는 멱 지수 법칙 지수함수의 형태 공학에서 많이 쓰이는 지수함수 e: 무리수 (e=2.71828…) 그림 2.26, 그림 2.27 19( )
0 1 , , 1, , m n m n m n m n m m mn n m a a a a a a a a a a a + − − = = = = =( )
x a x f =( )
x e x f = f( )
x =e−x로그함수
로그 표현
밑수가 2인 로그 16은 4와 같다 주로 밑수가 2, 10, 또는 e를 사용함 자연로그 (natural logarithm)로그 법칙
4 16 log2 = 2 16 4= b c a = log ab=c x x log log10 → logex → lnx log log logaA+ aB= aAB로그함수
로그함수
a: 밑수, 양의 상수 그림 2.31로그함수의 역함수
지수함수와 로그함수는 역함수의 관계 21( )
x =log x, x>0 f a( )
x a f( )
x x f x a log 1 = → = −( )
( )
x ax f x a x f =log → −1 =로그함수
로그-선형 그래프
함수의 입력 또는 출력의 한 쪽을 로그 스케일로 그린 그래프로그-로그 그래프
함수의 입출력을 모두 로그 스케일로 그린 그래프 22 a x y Y a y x log log = = → = nX x n y Y x y= n→ =log = log =쌍곡선함수
Hyperbolic cosine & hyperbolic sine
cosh는 다대일 함수 X의 영역을 [0,∞)로 제한하면 역함수 정의 가능 sinh와 tanh는 일대일 함수 역함수 정의 가능 23 x x x y e e x y e e x y x x x x cosh sinh tanh 2 sinh , 2 cosh = = − = = + = = − − -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y cosh(x) tanh(x) sinh(x)
절대함수
절대값
절대함수
그림 2.37 실선 상의 두 점 사이의 거리 절대값을 활용한 구간 표시 3 3 , 3 3= − = < − ≥ = = 0 , 0 , x x x x x y a b b a− = − − = = =램프함수
정의
그림 2.45 25( )
< ≥ = 0 , 0 , 0 , x c x cx x f 는상수단위계단함수
정의
그림 2.47 26( )
< ≥ = 0 , 0 0 , 1 t t t u델타함수 또는 단위 임펄스 함수
면적이 1인 사각함수
그림 2.55
h의 값이 작아지면, 높이는 커지고 밑변은 감소하며 면적은 1로 유지 h 0 일 때의 사각함수δ(t)를 델타함수 (delta function) 또는 단
위 임펄스 함수 (unit impulse function)로 정의
27
