빨리 강해지는 수학 중2-2 교사용 자료

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교사용 지도 자료

정답 및 풀이

01 65! 02 36! 03 100! 04 64! 05 7 06 90 07 8 08 40 09 35 10 45 11 75! 12 12! 13 38! 14 72! 15 35! 16 32! 17 8 18 10 19 7 20 3

이등변삼각형의 성질

01

2쪽

THEME

별 계산력 문제

13 sABC에서 2Cb=76!+2Ca이므로 Cb=38!+Ca yy㉠ sDBC에서 Cb=Cx+Ca yy㉡ ㉠, ㉡에서 Cx=38!

16 sABD+sACE ( SAS 합동)이므로 ADZ=AEZ

sADE에서 CAED=CADE=74!이므로 Cx=180!-{74!+74!}=32! A B C D x a a b b 76! 01 RHA 합동 02 RHS 합동 03 sABC+sFED` 04 RHA 합동 05 4`cm 06 sABC+sDEF` 07 RHS 합동 08 12`cm 09 3 10 3 11 5 12 10 13 70 14 25 15 9 16 30 17 65 18 52 19 67.5 20 3

직각삼각형의 합동

02

3쪽 19 sABD+sAED ( RHS 합동)이므로 CBAD=CEAD= 12\45!=22.5! sABD에서 CADB =180!-{90!+22.5!}=67.5! / x=67.5 01 × 02 ◯ 03 ◯ 04 ◯ 05 × 06 × 07 28! 08 120! 09 35! 10 22! 11 30! 12 30! 13 115! 14 70! 15 60! 16 124! 17 4 18 3 19 7 20 6

삼각형의 내심

04

5쪽 20 BDZ=BEZ=x`cm이므로 AFZ=ADZ=11-x{cm}, CFZ=CEZ=14-x{cm} ACZ=AFZ+CFZ=13{cm}이므로 {11-x}+{14-x}=25-2x=13 2x=12 / x=6 01 x=5, y=50 02 x=4, y=110 03 x=5, y=4 04 x=6, y=70 05 70! 06 60! 07 85! 08 105! 09 110! 10 80! 11 18`cm 12 28`cm 13 13`cm 14 19`cm 15 × 16 ◯ 17 ◯ 18 × 19 ◯ 20 ◯

평행사변형의 성질

05

6쪽 08 Cx=180!-75!=105! 10 {Cx+65!}+{Cy+35!}=180! 이므로 Cx+Cy=80! x A B C D 100! 75! 75! 25! y x y A B C D 35! 65! 01 ◯ 02 × 03 ◯ 04 ◯ 05 × 06 ◯ 07 3 08 5 09 4 10 6 11 25! 12 35! 13 20! 14 84! 15 20! 16 35! 17 55! 18 35! 19 110! 20 43!

삼각형의 외심

03

4쪽 14 OAZ=OBZ이므로 COAB=COBA=42! sABO에서 Cx=42!+42!=84! 17 오른쪽 그림에서 Cx=25!+30!=55! 25! 25! 35! 35! 30! 30! A B C O

(2)

정답 및 풀이 01 DCZ, BCZ 02 DCZ, BCZ 03 CC, CD 04 OCZ, ODZ 05 DCZ, DCZ 06 ㄴ 07 ㄹ 08 ㄱ 09 ㅁ 10 ㄷ 11 3`cm@ 12 3`cm@ 13 6`cm@ 14 6`cm@ 15 12`cm@ 16 sAPE 17 sFBP 18 sEPD 19 sPGC 20 10`cm@

평행사변형의 성질의 응용

06

7쪽 20 sAPD+sPBC =12 fABCD =12 \20=10{cm@} 01 sABCTsCBD ( SSS 닮음) 02 sABCTsADE ( AA 닮음) 03 sABCTsEDC ( SAS 닮음) 04 sABCTsEDC ( SAS 닮음) 05 sABCTsDBA ( SAS 닮음) 06 sABCTsDEC ( AA 닮음) 07 6 08 6 09 2 10 163 11 12 12 2 13 6 14 15 15 16 16 8 17 5 18 9 19 4 20 163

삼각형의 닮음 조건의 응용

10

11쪽 10 sABDTsCBA ( SAS 닮음)이고 닮음비가 2:3이므로 2:3=x:8 / x=163 01 8 02 6 03 8 04 8 05 92 06 9 07 6 08 92 09 × 10 ◯ 11 ◯ 12 ◯ 13 3 14 9 15 8 16 3211 17 10 18 7 19 6 20 4

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

11

12쪽 19 5:3={4+x}:x이므로 12+3x=5x, 2x=12 / x=6 01 50 02 5 03 Cx=55!, Cy=35! 04 Cx=60!, Cy=60! 05 x=5, y=110 06 x=90, y=3 07 x=30, y=30 08 x=25, y=65 09 x=4, y=8 10 x=65, y=25 11 x=8, y=45 12 x=6, y=90 13 110 14 100 15 50 16 105 17 7 18 8 19 ◯ 20 ×

여러 가지 사각형

07

8쪽 01 EFZ 02 30! 03 GHZ 04 150! 05 ㄱ, ㄹ, ㅂ 06 2:1 07 3`cm 08 30! 09 12`cm 10 60! 11 1:2 12 4`cm 13 2:3 14 3`cm 15 81p`cm#`

닮은 도형

09

10쪽 01 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ, ㅂ 02 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 03 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 04 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 05 ㄹ, ㅁ 06 ㄷ, ㅁ 07 ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ 08 ㄷ, ㅁ, ㅂ 09 ㄹ, ㅁ 10 ㄹ, ㅁ 11 마름모 12 직사각형 13 직사각형 14 마름모 15 정사각형 16 평행사변형 17 평행사변형 18 마름모 19 직사각형 20 마름모 21 정사각형 22 sDBC 23 sACD 24 sDOC 25 20`cm@

여러 가지 사각형 사이의 관계

08

9쪽 25 sDOC =sDBC-sOBC =sABC-sOBC =60-40=20{cm@} 01 6 02 9 03 2 04 9 05 5 06 103 07 8 08 356 09 20 10 4 11 x=8, y=4 12 x=4, y=103 13 x=4, y=10 14 x=24, y=15 15 x=3, y=4 16 x=2, y=12 17 1 18 2 19 10 20 5

평행선 사이의 선분의 길이의 비

12

13쪽

(3)

01 16 02 10 03 x=9, y=12 04 x=45, y=6 05 x=4, y=3 06 x=4, y=2 07 12`cm 08 30`cm 09 4 10 15 11 10 12 16 13 6 14 12 15 10 16 9

두 변의 중점을 연결한 선분

13

14쪽 11 BCZ|EGZ가 되도록 ACZ 위에 점 G를 잡으면 sDEG+sDFC ( ASA 합동) 이므로 EGZ=FCZ 이때 sABC에서 EGZ= 12BCZ=10{cm}이므로 FCZ=10`cm / x=10 x`cm 20`cm A B C F E D G 01 10 02 12 03 x=10, y=15 04 x=5, y=13 05 x=8, y=17 06 fACHI=4, fBFGC=9, fADEB=13 07 fADEB=fACHI+fBFGC 08 30 09 36 10 15`cm 11 7`cm 12 49`cm@ 13 5 14 ㄱ, ㄹ, ㅁ

피타고라스 정리

16

17쪽 13 점 D에서 BCZ에 내린 수선의 발을 H라 하면 fABHD는 직사각형이므로 BHZ=ADZ=2`cm, DHZ=ABZ=4`cm sDHC에서 4@+HCZ@=5@, HCZ@=9 / HCZ=3{cm} BCZ=2+3=5{cm} / x=5 B H C D A 2`cm 2`cm 4`cm 5`cm x`cm 01 2 02 11 03 6 04 4 05 12 06 6 07 12 08 12 09 16 10 3

경우의 수

18

19쪽 01 ㄴ, ㅁ 02 ㅂ 03 ㄱ, ㄷ, ㄹ 04 x=12, y=16 05 x=20, y=15 06 x=8, y=185 07 x=12, y=6013 08 100 09 65 10 41 11 136 12 80 13 61 14 26`cm@ 15 10`cm@ 16 24`cm@

피타고라스 정리와 도형

17

18쪽 01 x=6, y=4 02 x=3, y=4 03 x=8, y=3 04 x=4, y=10 05 x=8, y=4 06 x=4, y=6 07 x=4, y=2 08 x=4, y=163 09 x=4, y=4 10 x=2, y=6 11 x=16, y=16 12 x=6, y=6 13 8`cm@ 14 30`cm@ 15 1`cm@ 16 10`cm@ 17 3 18 163 19 9 20 3

삼각형의 무게중심

14

15쪽 16 sAGC=13 sABC=13 \45=15{cm@} / sAGE= 23 sAGC=23\15=10{cm@} 17 sBDGTsEHG ( AA 닮음)이므로 DGZ:HGZ=BGZ:EGZ 2:HGZ=2:1 / HGZ=1{cm} AHZ=HDZ=1+2=3{cm} 01 54`cm@ 02 2`cm 03 75`cm@ 04 16p`cm@ 05 9p`cm@ 06 1:4 07 1:27 08 4`cm@ 09 54`cm#‹` 10 2:3 11 9:16 12 3:5 13 1.5`km 14 1:250000 15 5`km@ 16 0.24`km@ 17 3:4 18 108p`cm#‹

닮은 도형의 성질의 활용

15

16쪽 19 4:{4+8}=EGZ:16이므로 EGZ= 16 3 `{cm} 8:{8+4}=GFZ:7이므로 GFZ= 143 `{cm} / EFZ= 163 +143 =10{cm} A 16`cm 8`cm 7`cm 4`cm B C D E F G

(4)

정답 및 풀이 01 38 02 56 03 36 5 04 34 05 107 06 100 7 07 10 1 08 12 09 49 10 569

확률의 계산

20

21쪽 09 6의 약수는 1, 2, 3, 6이므로 6의 약수의 눈이 나올 확률은 4 6= 2 3 따라서 두 번 모두 6의 약수의 눈이 나올 확률은 2 3\ 2 3= 4 9 01 25 6 02 15 1 03 15 4 04 58 05 49 06 12 1 07 10 3 08 1120 09 18 10 12

여러 가지 확률

21

22쪽 08 토요일에만 비가 올 확률은 1 4\[1- 35 ]= 1 10 일요일에만 비가 올 확률은 [1- 14 ]\35=209 따라서 구하는 확률은 101 +209 =1120 10 꽝일 확률은 12 이고, 꽝이 아닐 확률은 1-12 =12 이므로 두 번 쏘았을 때, 한 번만 꽝을 맞힐 확률은 1 2\ 1 2+ 1 2\ 1 2= 1 4+ 1 4= 1 2 01 6 02 24 03 48 04 12 05 6 06 20 07 6 08 10 09 15 10 4

경우의 수의 응용

19

20쪽 04 ! 일의 자리의 수가 1인 경우 231, 241, 321, 341, 421, 431의 6개 @ 일의 자리의 수가 3인 경우 123, 143, 213, 243, 413, 423의 6개 !, @에서 세 자리 홀수의 개수는 6+6=12

유형별 문제

01 ③ 02 ㈎ CC ㈏ CC 03 80! 04 30! 05 65! 06 12`cm@` 07 120! 08 ② 09 65! 10 ① 11 6`cm 12 ③ 13 50! 14 44! 15 5`cm 16 ⑤ 17 4`cm 18 39`cm@ 19 20! 20 40`cm@ 21 ②, ⑤ 22 ③ 23 3`cm

01

삼각형의 성질

24~26쪽 08 CABD=Ca, CACD=Cb라 하면 sABC에서 2Cb=40!+2Ca / Cb=Ca+20! yy`㉠ sDBC에서 Cb=Ca+CD yy`㉡ ㉠, ㉡에서 CD=20! 12 오른쪽 그림에서 sABD, sBCD는 이등변삼각형이므로 ADZ=BDZ=BCZ=5`cm / ADZ+BDZ =5+5 =10{cm} 14 CA=Cx라 하면 CABC=Cx+24!이므로 Cx+2{Cx+24!}=180! 3Cx=132! / Cx=44! 18 sBDM+sCEM ( RHA 합동)이므로 BDZ=CEZ=6`cm, DMZ=EMZ=3`cm / sABD= 12\ADZ\BDZ =12 \{10+3}\6 =39{cm@} 20 sBCE+sBDE ( RHS 합동)이므로 DEZ=CEZ=5`cm / sABE= 12\16\5=40{cm@} D 5`cm 36! 36! 36!72!72! A C B 01 63! 02 ②, ④ 03 26! 04 16`cm 05 ④ 06 53! 07 ⑤ 08 60! 09 ②, ③ 10 120! 11 ② 12 70! 13 68! 14 ① 15 4`cm 16 18`cm 17 ② 18 6`cm@ 19 ② 20 2`cm 21 ⑤ 22 12! 23 232 `cm 24 84p`cm@

02

삼각형의 외심과 내심

27~29쪽 10 두 수의 곱이 홀수가 되려면 두 수가 모두 홀수이어야 하므로 {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}가 적힌 카드를 뽑아야 한다. 따라서 구하는 경우의 수는 3이다.

(5)

06 OBZ를 그으면 OAZ=OBZ이므로 sOAB에서 COBD=COAD=23! COBC=90!-{23!+37!}=30! / CB=23!+30!=53! 07 OCZ를 그으면 OAZ=OBZ=OCZ이므로 COCA=COAC=36! COCB=COBC=34! / CC=36!+34!=70! / CAOB=2CC=2\70!=140! 14 CAIB=360!\11+12+13 =110!이므로 11 1 2CC+90!=110! / CC=40! / CICA=12CC= 12\40!=20! 16 CADE=CB (동위각), CAED=CC (동위각)이고 CB=CC이므로 CADE=CAED / ADZ=AEZ=6`cm BIZ, CIZ를 그으면 CDBI=CIBC, CDIB=CIBC(엇각)이므로 CDBI=CDIB DBZ=DIZ=9-6=3{cm} 마찬가지로 EIZ=ECZ=3`cm 따라서 sADE의 둘레의 길이는 6+{3+3}+6=18{cm} 18 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 1 2\r\{10+8+6}= 1 2\8\6 / r=2 / sICA= 12\6\2=6{cm@} 22 점 O, I는 CA의 이등분선 위에 있다. CBOC=2CA=2\44!=88!이므로 COBC= 12\{180!-88!}=46! CB= 12\{180!-44!}=68!이므로 CIBC= 12CB=34! / COBI =COBC-CIBC =46!-34!=12! 24 외접원의 반지름의 길이는 12 BCZ=10{cm} 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 1 2\r\{12+16+20}= 1 2\12\16 / r=4 / (어두운 부분의 넓이} ={외접원의 넓이)-(내접원의 넓이) =p\10@-p\4@ =100`p-16`p =84p{cm@} 01 ③ 02 93! 03 15 04 ④ 05 ① 06 14`cm 07 ② 08 66! 09 30`cm 10 12`cm 11 ㈎ SAS ㈏ BCZ 12 Cx=110!,Cy=70! 13 ② 14 ⑤ 15 ① 16 ㈎ CDQC ㈏ CBQD 17 ② 18 26`cm 19 9`cm@ 20 32`cm@ 21 ③ 22 ①

03

평행사변형의 성질

30~32쪽 06 sABE+sDFE ( ASA 합동)이므로 DFZ=ABZ=7`cm 또, CDZ=ABZ=7`cm이므로 CFZ=CDZ+DFZ=7+7=14{cm} 08 CD=CB=48!이므로 CADF=12 \48!=24! sAFD에서 CDAF=180!-{90!+24!}=66! CBAD=180!-48!=132! / CBAF=132!-66!=66! 10 CCBE=CDEB`(엇각)이므로 CDBE=CDEB 따라서 sDBE는 DBZ=DEZ인 이등변삼각형이므로 DEZ=DBZ=2BOZ=2\6=12{cm} 13 3x+2y=17 yy`㉠

2x+y=3x-4y에서 x-5y=0 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=5, y=1 / x+y=6 15 ① ADZ|BCZ, ADZ=BCZ, 즉 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이 가 같으므로 fABCD는 평행사변형이다. 17 CBAD+48!=180!이므로 CBAD=132! / CBAE=12\132!=66! 이때 fAECF는 평행사변형이므로 CAFC =CAEC=CBAE+CABE =66!+48!=114! 18 CDAE=CAEB`(엇각)이므로 sABE는 BAZ=BEZ인 이등변삼각형이다. 그런데 CB=60!이므로 sABE는 정삼각형이다. / AEZ=ABZ=BEZ=8`cm 또, sABE+sCDF이므로 DFZ=BEZ=8`cm / AFZ=13-8=5{cm} 이때 fAECF는 평행사변형이므로 둘레의 길이는 5+8+5+8=26{cm} 20 sAOE+sCOF ( ASA 합동)이므로 sAOE+sBOF =sCOF+sBOF =sOBC=8{cm@} / fABCD=4\8=32{cm@} 21 sPAB+sPCD=sPAD+sPBC이므로 sPDA=8+20-17=11{cm@}

(6)

정답 및 풀이 01 ④ 02 ④ 03 ② 04 ④ 05 ⑤ 06 ② 07 ② 08 ④ 09 ⑤ 10 ④ 11 ② 12 ③ 13 9`cm 14 ③ 15 ② 16 125 `cm 17 16`cm@ 18 ② 19 ⑤ 20 354 `cm 21 ④

05

도형의 닮음

37~39쪽 08 두 원기둥의 닮음비는 9:12=3:4이므로 큰 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 3:4=6:r에서 r=8 따라서 큰 원기둥의 밑면의 넓이는 p\8@=64p{cm@} 11 sABDTsACB`( SAS 닮음)이므로 6:{4+5}=BDZ:11 / BDZ= 223 {cm} 13 sABC`TsEAD ( AA 닮음)이므로 BEZ=x`cm라 하면 {6+x}:6=10:4 / x=9 16 ABZ\ACZ=BCZ\ADZ이므로 3\4=5\ADZ / ADZ= 125 {cm} 17 ADZ@=BDZ\CDZ이므로 4@=BDZ\2 / BDZ=8{cm} / sABD= 12\8\4=16{cm@} 18 sDEO`TsDBA ( AA 닮음)이므로 10:16=EDZ:20 / EDZ= 25 2 {cm} 19 ADZ@=HDZ\BDZ이므로 17@=15\BDZ BDZ= 289 15 {cm}이므로 BHZ= 6415{cm} AHZ@=BHZ\HDZ이므로 AHZ@= 64 15\15=64 / AHZ=8{cm} 20 정삼각형 ABC의 한 변의 길이는 15`cm이므로 A'CZ=10{cm} sDBA'TsA'CE`( AA 닮음)이므로 8:10=7:A'EZ / A'EZ= 354 {cm} 01 20! 02 62.5! 03 ④ 04 ③, ④ 05 ③ 06 ③ 07 ⑤ 08 43 09 50`cm@ 10 ④ 11 ②, ⑤ 12 ①, ④ 13 ④, ⑤ 14 ④ 15 ① 16 ① 17 ② 18 ① 19 ② 20 ④, ⑤ 21 ④ 22 ③, ⑤ 23 ⑤ 24 ① 25 22`cm@ 26 28`cm@ 27 ④ 28 6`cm@ 29 6`cm@ 30 ④ 31 75`cm@ 32 30`cm@

04

여러 가지 사각형

33~36쪽 02 CAFE=CEFC=CAEF이고 CEAF=90!-35!=55! 이므로 CAFE= 12\{180!-55!}=62.5! 16 DCZ에 평행한 AEZ를 그으면 sABE는 정삼각형이다. BCZ =BEZ+ECZ=9+7=16{cm} 26 sADF=sCDF이므로 sABF =sDBF+sADF=sDBF+sCDF =sDBC=sDBE+sDEC =12+16=28{cm@} 28 BPZ:PCZ=1:2이므로 sDPC=2sABP=2\5=10{cm@} sAPD=sABP+sDPC=5+10=15{cm@}이고 AQZ:QDZ=3:2이므로 sPDQ=15\ 25=6{cm@} 30 sAFC=sAEC=sAED 31 sAOD:sCOD=2:3이므로 12:sCOD=2:3 / sCOD=18{cm@} 이때 sABD=sACD이므로 sAOB =sABD-sAOD =sACD-sAOD =sCOD=18{cm@} 또, sAOB:sBOC=2:3이므로 18:sBOC=2:3 / sBOC=27{cm@} / fABCD=12+18+18+27=75{cm@} 32 sAOD:sABO=2:3이므로 sABO= 35 sABD=3 5\20=12{cm@} 또, sCDO:sBCO=2:3이고 sCDO=sABO=12`cm@이므로 12:sBCO=2:3 / sBCO=18{cm@} / sABC =sABO+sBCO =12+18=30{cm@} 7`cm 9`cm 60! 60! 60! A B C E D 60! 01 ③ 02 ② 03 ③ 04 ⑤ 05 ② 06 ③ 07 ③ 08 6`cm 09 ④ 10 ③ 11 ③ 12 ③ 13 425 `cm 14 ⑤ 15 6 16 ② 17 ② 18 ① 19 ③ 20 ③ 21 ⑤ 22 ④ 23 21`cm 24 74 25 ③ 26 5`cm 27 6`cm 28 ③ 29 9`cm 30 4`cm 31 36`cm 32 5`cm 33 ⑤ 34 ② 35 ⑤ 36 3`cm 37 ① 38 10`cm

06

평행선 사이의 선분의 길이의 비

40~44쪽

(7)

01 36`cm@ 02 ④ 03 12`cm 04 ③ 05 9`cm 06 ④ 07 ③ 08 9`cm@ 09 4`cm 10 ① 11 64`cm@ 12 ⑤` 13 ⑤ 14 ⑤ 15 ④ 16 16`cm@ 17 ④` 18 ③ 19 ④ 20 ④ 21 4`m 22 10`m` 23 ② 24 1000

07

닮음의 활용

45~47쪽 08 BGZ:GEZ=2:1이므로 sDBG=2sGED=2\3=6{cm@} ADZ=BDZ이므로 sADE =sDBE=sDBG+sGED =6+3=9{cm@} 10 대각선 AC와 BD의 교점을 O라 하면 sABC= 12 fABCD=21{cm@} / sEMC =sECO =16 sABC=72 {cm@} sACD= 12 fABCD=21{cm@} / sFCN=sOCF= 16 sACD=7 2{cm@} 따라서 오각형 EMCNF의 넓이는 7 2\4=14{cm@}

12 sADETsABC ( AA 닮음)이고 sADE와 sABC의 닮

음비가 1:3이므로 넓이의 비는 1@:3@=1:9이다. 따라서 sADE와 fDBCE의 넓이의 비는 1:8이므로 1:8=3:fDBCE / fDBCE=24{cm@} 16 원래 도형과 축소된 도형의 닮음비가 100:80=5:4이므로 넓 이의 비는 5@:4@=25:16이다. 따라서 축소된 도형의 넓이는 16`cm@이다. 18 큰 구슬 1개와 작은 구슬 1개의 닮음비는 4:1이므로 겉넓이의 비는 4@:1@=16:1이다. 따라서 두 상자에 들어 있는 구슬 전체의 겉넓이의 비는 16\1:1\64=1:4 24 1000`m@=10000000`cm@이고 지도에서의 땅의 넓이는 2\5=10{cm@}이므로 10\k@=10000000, k@=1000000 / k=1000 A D B M C N F O E 01 ④ 02 96 03 5 04 103 `cm 05 144`cm@ 06 32`cm@ 07 ③ 08 441`cm@ 09 100`cm@ 10 45 11 ② 12 98`cm@ 13 60`cm@ 14 70`cm 15 ③ 16 20 17 ③ 18 ④ 19 ② 20 ③ 21 ① 22 ② 23 ④ 24 ④ 25 185 `cm 26 ③ 27 ④ 28 ① 29 ③ 30 68 31 36p`cm@ 32 ②

08

피타고라스 정리

48~51쪽 12 BDZ:CDZ=9:6=3:2이므로 sABD:sACD=3:2 / sABD = 3 5 sABC= 3 5\30=18{cm@} 14 BDZ:CDZ=5:4이므로 BCZ:CDZ=1:4 / sABC:sACD=1:4 17 fAHCD는 평행사변형이므로 BHZ=9-5=4{cm} sAEGTsABH ( AA 닮음)이므로 EGZ:4=3:8 / EGZ= 3 2{cm} 19 sABDTsEBG ( AA 닮음)이므로 3:1=8:EGZ / EGZ= 83{cm} sAEHTsABC ( AA 닮음)이므로 2:3= 263 :BCZ / BCZ=13{cm}

28 sABF에서 ADZ=DBZ, AEZ=EFZ이므로

DEZ|BFZ, BFZ=2DEZ

sCDE에서 CFZ=FEZ이고 PFZ|DEZ이므로 DEZ=2PFZ / BFZ=2DEZ=4PFZ 따라서 BFZ의 길이는 PFZ의 길이의 4배이다. 30 점 D를 지나고 BFZ에 평행한 직선이 AEZ와 만나는 점을 P라 하면 점 P는 AFZ의 중점이 된다. sEFC+sEPD ( ASA 합동)`이므 로 PEZ=FEZ PEZ=a`cm라 하면 EFZ=a`cm이므로 APZ=PFZ=2a`cm 2a+a=3 / a=1 / AFZ=4a=4{cm} 38 ADZ|MNZ이므로 sABD에서 MPZ= 12ADZ=3{cm} / BCZ=2MQZ=2\5=10{cm} a`cm a`cm A B E C F D 2a`cm P

(8)

정답 및 풀이 03 ABZ=5-1=4, BCZ=5-2=3이므로 ACZ@=4@+3@=25 / ACZ=5 04 ABZ@=8@+6@=100 / ABZ=10{cm} 점 G가 직각삼각형 ABC의 무게중심이므로 점 D는 직각삼각형 ABC의 외심이다. CDZ =ADZ=BDZ =12 ABZ=12 \10 =5{cm} / CGZ=5\ 23=103 {cm} 05 sABC에서 ABZ@+5@=13@이므로 ABZ@=144 / ABZ=12{cm} / fBFML =fADEB =12\12=144{cm@} 06 sBPG =12 fPQGB =1 2 fCBHI =12\8\8=32{cm@} 07 DCZ|EBZ이므로 sEBA=sEBC

sABF+sEBC ( SAS 합동)이므로 sABF=sEBC BFZ|AMZ이므로 sABF=sBFL / sEBA=sEBC=sABF=sBFL 따라서 넓이가 나머지 넷과 다른 하나는 ③ sBCH이다. 17 점 C에서 ADZ에 내린 수선의 발을 H 라 하면 AHZ=BCZ=3`cm DHZ=7-3=4{cm} sHCD에서 CHZ@+4@=5@ CHZ@=9 / CHZ=3{cm} 따라서 사다리꼴 ABCD의 넓이는 1 2\{7+3}\3=15{cm@} 18 점 D에서 BCZ에 내린 수선의 발을 H라 하면 BHZ=ADZ=5`cm / HCZ=14-5=9{cm} sDHC에서 DHZ@+9@=15@ DHZ@=144 / DHZ=12{cm} sDBH에서 BDZ@=5@+12@=169 / BDZ=13{cm} 26 일차방정식 3x+4y=12의 그래프에서 x절편은 4, y절편은 3 이므로 B C D A H 3`cm 4`cm 5`cm 3`cm B H C D A 5`cm 15`cm 5`cm 9`cm 01 4 02 ② 03 ③ 04 ⑤ 05 ③ 06 ④ 07 4 08 ② 09 7 10 ③ 11 ③ 12 6 13 ③ 14 ⑤ 15 ⑤ 16 30 17 6 18 42 19 6 20 ③ 21 24 22 ⑤ 23 12 24 ① 25 48 26 ⑤ 27 ③ 28 ④ 29 10 30 ④ 31 6 32 ⑤ 33 72 34 ④ 35 ② 36 ① 37 ③ 38 ② 39 ② 40 ②

09

경우의 수

52~56쪽 04 따라서 2000원을 지불하는 방법은 9가지이다. 05 삼각형을 만들 수 있는 경우는 {2`cm, 3`cm, 4`cm}, {2`cm, 4`cm, 5`cm}, {3`cm, 4`cm, 5`cm}의 3개이다.

07 x+2y=12를 만족시키는 x, y의 순서쌍 {x, y}는

{8, 2}, {6, 3}, {4, 4}, {2, 5}의 4가지이다. 08 일차방정식 ax+by=9의 해가 x=1, y=3이므로 a+3b=9 이 식을 만족시키는 a, b의 순서쌍 {a, b}는 {6, 1}, {3, 2}의 2가지이다. 09 ! 눈의 수의 합이 3인 경우는 {1, 2}, {2, 1}의 2가지이다. @ 눈의 수의 합이 6인 경우는 {1, 5}, {2, 4}, {3, 3}, {4, 2}, {5, 1}의 5가지이다. !, @에서 구하는 경우의 수는 2+5=7 1000원 500원 100원 2 0 0 1 2 0 1 1 5 1 0 10 0 4 0 0 3 5 0 2 10 0 1 15 0 0 20 OAZ=4, OBZ=3 sBOA에서 ABZ@=3@+4@=25 / ABZ=5 OAZ\OBZ=ABZ\OHZ이므로 4\3=5\OHZ / OHZ= 125

(9)

01 ① 02 ② 03 ① 04 14 05 1 06 0 07 ⑤ 08 ③ 09 ④ 10 ④ 11 ① 12 ② 13 ① 14 18 15 ⑤ 16 25 8 17 ② 18 25 4 19 ④ 20 35 21 ③ 22 ② 23 10 1 24 2425 25 ② 26 78 27 23 28 ② 29 ⑤ 30 ④ 31 58 32 1625

10

확률

57~60쪽 04 모든 경우의 수는 6\6=36

3x+y<10을 만족시키는 x, y의 순서쌍 {x, y}는 {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 1}, {2, 2}, {2, 3}의 9가지이므로 구하는 확률은 9 36= 1 4 09 10명 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 10\9=90 여학생 5명 중에서 회장 1명, 부회장 1명을 뽑는 경우의 수는 5\4=20이므로 두 명 모두 여학생일 확률은 2090=29 / (적어도 한 명이 남학생일 확률) =1-(두 명 모두 여학생일 확률) =1-29=79 10 후보자 5명에서 2명을 스카우트하는 경우의 수는 5\4 2 =10 T팀에서 2명이 뽑힐 경우의 수는 3\2 2 =3이므로 T팀에서 2 명을 스카우트할 확률은 103 / ( D팀에서 적어도 한 명을 스카우트할 확률) =1-( T팀에서 두 명을 스카우트할 확률) =1-10 =3 107 14 주사위 1개에는 6가지 경우, 동전 1개에는 각각 2가지의 경우가 있으므로 구하는 경우의 수는 6\2\2\2=48 15 자음과 모음이 각각 3개씩 있으므로 만들 수 있는 글자는 3\3=9(개) 18 올라갈 때는 7가지 길, 내려올 때는 올라간 길을 제외한 6가지 길로 내려올 수 있으므로 구하는 경우의 수는 7\6=42 19 버스 정류장에서 집까지 가는 최단 거리는 h-g-f-e, a-b-c-d, h-k-j-e, h-k-l-d, a-i-l-d, a-i-j-e 의 6가지이다. 20 A 지점에서 P 지점으로 최단 거리로 가는 방법의 수는 3, P 지 점에서 B 지점으로 최단 거리로 가는 방법의 수는 6이므로 A 지점에서 P 지점을 거쳐 B 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는 3\6=18 25 국어책, 영어책을 하나로 묶어 4권을 일렬로 꽂는 경우의 수는 4\3\2\1=24 하나로 묶은 책 2권을 일렬로 꽂는 경우의 수는 2\1=2 따라서 구하는 경우의 수는 24\2=48 26 각각의 커플을 한 묶음으로 생각하여 3묶음을 일렬로 나열하는 경우의 수는 3\2\1=6 이때 각 커플들끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 2\2\2=8 따라서 구하는 경우의 수는 6\8=48 29 짝수가 되려면 일의 자리의 숫자가 0 또는 2이어야 한다. ! 0인 경우: 3\2=6(가지) @ 2인 경우: 2\2=4(가지) !, @에서 구하는 경우의 수는 6+4=10 30 ! 1인 경우는 101, 111, 131, 301, 311, 331의 6개 @ 3인 경우는 103, 113, 133, 303, 313, 333의 6개 !, @에서 구하는 홀수의 개수는 6+6=12 a b c d e f g h i j k L 집 버스 정류장 32 A에 칠할 수 있는 색은 4가지, B에 칠할 수 있는 색은 3가지, C에 칠할 수 있는 색은 2가지, D에 칠할 수 있는 색은 2가 지이므로 구하는 경우의 수는 4\3\2\2=48 A D B C

(10)

정답 및 풀이 16 첫째 날은 지각을 하고 둘째 날은 지각을 하지 않을 확률은 1 5\[1- 15 ]= 1 5\ 4 5= 4 25 첫째 날은 지각을 하지 않고 둘째 날은 지각을 할 확률은 [1- 15 ]\15=45\15=254 따라서 구하는 확률은 254 +254 =258 20 ! ♠ 그림의 카드가 첫 번째에 나올 확률은 3 6\ 3 5= 3 10 @ ♠ 그림의 카드가 두 번째에 나올 확률은 3 6\ 3 5= 3 10 !, @에서 구하는 확률은 3 10+ 3 10= 3 5 22 경태가 늦을 확률은 104 =25이므로 늦지 않을 확률은 1-25=35 은정이가 늦을 확률은 102 =15 이므로 늦지 않을 확률은 1-1 5= 4 5 따라서 구하는 확률은 35\4 5= 12 25 24 (적어도 한 사람이 합격할 확률) =1-(세 명 모두 불학격할 확률) =1-103 \15\23 =1-251 =2425 28 모든 경우의 수는 3\3\3=27 B 혼자 이기는 경우는 3가지 A, B가 이기는 경우는 3가지 B, C가 이기는 경우는 3가지 따라서 구하는 확률은 279 =13 29 모든 경우의 수는 6\6=36 승패가 결정되지 않는 경우는 두 주사위의 눈의 수가 같은 경우 이므로 {1, 1}, {2, 2}, {3, 3}, {4, 4}, {5, 5}, {6, 6}의 6가 지이고 그 확률은 6 36= 1 6 따라서 승패가 결정될 확률은 1-1 6= 5 6 30 서울과 부산에 모두 비가 오지 않을 확률은 60 100\ 30 100= 18 100 따라서 구하는 확률은 1-10018 = 82 100 , 즉 82`%

중단원 실전 테스트

01 ③ 02 ④ 03 60! 04 4`cm 05 20! 06 ④ 07 ② 08 ③ 09 12`cm 10 ② 11 4`cm 12 ③ 13 ④ 14 ① 15 ④

삼각형의 성질

기본

01

62~63쪽 08 CB=CC=12 \{180!-76!}=52! CBED=CCEF= 12\{180!-52!}=64! / CDEF=180!-{64!+64!}=52! 10 CBAC=Cx (접은 각), CBCA=Cx (엇각)이므로 sABC에서 Cx= 12\{180!-70!}=55! 15 sBCD+sBED ( RHA 합동)이므로 CDZ=EDZ=3`cm / sBCD= 12\8\3=12{cm@} 01 ② 02 ② 03 45! 04 ④ 05 38! 06 5`cm 07 25! 08 ③ 09 ④ 10 ⑤ 11 ③ 12 ④ 13 ③ 14 98`cm@

삼각형의 성질

발전

01

64~65쪽 07 CABD=CADB=Ca, CCBE=CCEB=Cb라 하자. CB=130!이므로 Ca+Cb-CDBE=130! / Ca+Cb=130!+CDBE sBDE에서 Ca+Cb+CDBE=180! {130!+CDBE}+CDBE=180! / CDBE=25! 10 CB=CC=12 \{180!-48!}=66! sBDF+sCED ( SAS 합동)이므로 CBDF=CCED, CBFD=CCDE / CEDF =180!-{CBDF+CCDE} =180!-{CBDF+CBFD} =CB=66! 이때 sDEF는 DEZ=DFZ인 이등변삼각형이므로 CDEF= 12\{180!-66!}=57! b b a a A B C ED 130!

(11)

11 sADC와 sCEB에서 CADC=CCEB=90!, ACZ=CBZ CDAC=90!-CACD=CECB이므로 sADC+sCEB ( RHA 합동) 따라서 CDZ=BEZ=9`cm, CEZ=ADZ=4`cm이므로 DEZ=CDZ-CEZ=9-4=5{cm} 14 CDBA+CDAB=90!, CEAC+CDAB=90!에서 CDBA=CEAC sDBA와 sEAC에서 CADB=CCEA=90! CDBA=CEAC, ABZ=CAZ이므로 sDBA+sEAC ( RHA 합동) DBZ=EAZ=6`cm, DAZ=ECZ=8`cm이므로 DEZ=DAZ+AEZ=8+6=14{cm} 따라서 사각형 DBCE의 넓이는 1 2\{6+8}\14=98{cm@} 01 5`cm 02 ③ 03 52! 04 ④ 05 ② 06 ⑤ 07 27! 08 ⑤ 09 ④ 10 ⑤ 11 26`cm 12 3`cm 13 ⑤ 14 ④ 15 ③

삼각형의 외심과 내심

기본

02

66~67쪽 10 CB=CC=12 \{180!-36!}=72!이므로 CABI=CCBI= 12\72!=36! CBAI= 12\36!=18!이므로 sABI에서 CAIB=180!-{36!+18!}=126! 15 외접원의 반지름의 길이는 OAZ=12 \10=5{cm} 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 sABC = 12\r\{6+8+10}=12\8\6에서 r=2 따라서 외접원과 내접원의 반지름의 길이의 합은 5+2=7{cm} 01 110! 02 8`cm 03 ③ 04 ② 05 100! 06 ④ 07 ⑤ 08 28`cm 09 9`cm 10 13`cm@ 11 ④ 12 7`cm 13 ③ 14 ④ 15 ③

삼각형의 외심과 내심

발전

02

68~69쪽 07 CDIE=CBIC=12 CA+90! CADI=88!, CAEI=92! 따라서 사각형 ADIE에서 CA+[ 12CA+90!]+88!+92!=360! 3 2CA=90! / CA=60! 11 sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 sIAB= 12\8\r=4r{cm@} sIBC= 12\12\r=6r{cm@} sICA= 12\10\r=5r{cm@} / sIAB:sIBC:sICA=4r:6r:5r=4:6:5 13 sABC의 내접원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 sABC= 12\r\{6+8+10}=1 2\6\8 / r=2 따라서 어두운 부분의 넓이는 1 2\{2+6}\2=8{cm@} 14 OBZ=OCZ이므로 COBC=COCB=20! CICB= 12\20!=10! sPBC에서 CBPC=180!-{20!+10!}=150! 15 ABZ=2\132 =13{cm}이므로 오른쪽 그림에서 a+b=13 / sABC =12 \2\{ABZ+BCZ+CAZ} =12 \2\{13+a+2+b+2} =a+b+17 =13+17=30{cm@} A B C b`cm b`cm 2`cm a`cm a`cm O I 01 ⑤ 02 ② 03 ⑤ 04 ④ 05 5 06 ② 07 126! 08 16 09 ⑤ 10 ③ 11 ④ 12 ④ 13 ③ 14 ③

평행사변형의 성질

기본

03

70~71쪽 07 CDAE=12 \{180!-72!}=54!이므로 CAEB=CDAE=54! (엇각) / CAEC=180!-54!=126! 13 CDZ=ABZ=6`cm sABE+sFCE ( ASA 합동)이므로 FCZ=ABZ=6`cm / DFZ=6+6=12{cm} 14 fEPFQ =14 fABCD =14 \36=9{cm@}

(12)

정답 및 풀이 01 ⑤ 02 ② 03 3`cm 04 ①, ⑤ 05 ⑤ 06 ㈎ DEZ, ㈏ CDEC, ㈐ 이등변삼각형 07 70! 08 ③ 09 ④ 10 ③ 11 ③ 12 ③ 13 ④

여러 가지 사각형

기본

04

74~75쪽 07 CAMB=180!-{90!+35!}=55! sABM+sDCM ( SAS 합동)이므로 CDMC=CAMB=55! / CBMC=180!-{55!+55!}=70! 09 fABED =sABE+sAED =sABE+sAEC =sABC =12 \{6+4}\5 =25{cm@} 10 ABZ|CDZ이므로 (어두운 부분의 넓이) =(부채꼴 OAB의 넓이) =14 \p\8@=16p{cm@} 01 ④ 02 10`cm@ 03 ④ 04 96! 05 ③ 06 5`cm 07 ⑤ 08 ② 09 ② 10 ① 11 ④ 12 ② 13 ⑤

평행사변형의 성질

발전

03

72~73쪽 02 sAPO+sCQO{ASA 합동)이므로 CQZ=APZ=10-6=4{cm}, QOZ=POZ=5`cm / sOCQ= 12\4\5=10{cm@} 03 ㄹ의 조건으로 fBFED가 평행사변형이고, ㅁ의 조건으로 fACED, fABFC가 평행사변형이다. 04 CFDB=CBDC=42! (접은 각) CFBD=CBDC=42! (엇각) / CAFE =180!-( CFBD+CFDB} =180!-{42!+42!} =96! 05 CBCD=180!-70!=110!이므로 CACB=110!-50!=60!, CCAD=CACB=60! (엇각) CDAE= 12\60!=30!이므로 CAEC=CDAE=30! (엇각) 06 오른쪽 그림에서 CADE=CDEC (엇각), CCDE=CBGE (엇각), CBEG=CDEF (맞꼭지각)이므로 sAGD, sBGE, sCDE는 이등변 삼각형이다. AGZ=ADZ=9`cm / BEZ=BGZ=9-7=2{cm} 이때 AHZ\GDZ이므로 CGAH=CDAH이고 CHAD=CHFE (엇각)이므로 sABF는 이등변삼각형이다. 즉, BFZ=BAZ=7`cm이므로 EFZ=7-2=5{cm} 07 sABE+sCDF, sABF+sCDE sAEF+sCFE, sAED+sCFB sAFD+sCEB, sABD+sCDB 08 sAOF+sDEF ( ASA 합동)이므로 OFZ=EFZ= 12\6=3{cm} AFZ=DFZ= 12\8=4{cm} / AFZ+OFZ=4+3=7{cm} 09 AQZ|PCZ가 되려면 fAPCQ가 평행사변형이어야 하므로 APZ=CQZ이어야 한다. 점 Q가 출발한 지 x초 후에 APZ=CQZ가 된다고 하면 5{x+6}=8x, 3x=30 / x=10 따라서 점 Q가 출발한 지 10초 후에 AQZ|PCZ이다. 7`cm 9`cm A D B G C F E H 01 ④ 02 ② 03 5:3 04 ③ 05 ④ 06 ③ 07 ⑤ 08 ② 09 75! 10 ④ 11 136`cm 12 ④ 13 ③

여러 가지 사각형

발전

04

76~77쪽 10 ADZ와 BEZ의 연장선의 교 점을 F라 하면 sAHF는 CAHF=90!인 직각삼각 형이다. sFDE+sBCE ( ASA 합동) 이므로 FDZ=BCZ=ADZ 따라서 점 D는 직각삼각형 AHF의 빗변의 중점이므로 sAHF의 외심이다. 즉, ADZ=DHZ=DFZ이므로 CADH =CDFH+CDHF =2CDFH=2CCBE =2\20!=40! 13 오른쪽 그림과 같이 세 점 P, E, Q를 지나고 ABZ에 평행한 세 선분을 각각 그으면 sPEQ =sPEH+sHEQ =18 \{fABEI+fIECD} =18 fABCD / fABCD:sPEQ=8:1 A H F D E B 60! C 20! A I D B E C P H Q G F

(13)

04 sBDC=sEDC이므로 sDBF=sBDC-sFDC=sEDC-sFDC=sEFC / sABF=sDBF=sEFC 05 오른쪽 그림의 sABC에서 90!-2Ca+2{Ca+Cx}=180! 2Cx=90! / Cx=45! 06 sBCE+sDCE ( SAS 합동)이므로 CCBE=CCDE=90!-25!=65!, CBCE=45! / CBEC=180!-{65!+45!}=70! 11 fAFCE는 두 쌍의 대변이 각각 평행하고, ACZ⊥EFZ이므로 마름모이다. AEZ=50-16=34{cm} 따라서 fAFCE의 둘레의 길이는 4\34=136{cm} 12 fABCD =12 \BDZ\ACZ =12 \6\8=24{cm@} fABCD =sABP+sBCP+sCDP+sDAP =12 \ABZ\l1+12 \BCZ\l2 +12 \CDZ\l3+12 \DAZ\l4 =52 \{l1+l2+l3+l4}=24 / l1+l2+l3+l4=485 {cm} 13 fABCD의 넓이를 x라 하면 sACD=12x ADZ|CEZ이므로 sAED=sACD= 12x sAFD = 23 sACD=23\12x=13x / sDFE =sAED-sAFD =12 x-13 x=16 x x A a 90!-2a a E C D B 01 3`cm 02 ②, ⑤ 03 ④ 04 20 05 6p`cm 06 ③ 07 ② 08 ② 09 ⑤ 10 ① 11 ④ 12 ④ 13 ② 14 ④ 15 ①

도형의 닮음

기본

05

78~79쪽 14 sABETsDAE이므로 BEZ:6=6:8 BEZ= 92{cm} / BDZ= 92+8=252 {cm} 15 sABFTsDFE이고 DFZ=10-8=2{cm}이므로 BFZ:FEZ=ABZ:DFZ에서 10:EFZ=6:2 / EFZ= 103 {cm} 01 ③ 02 ③ 03 ③, ④ 04 ① 05 ⑤ 06 ③ 07 ⑤ 08 ④ 09 ③ 10 ② 11 ① 12 ④ 13 13`cm 14 ④ 15 ②

평행선 사이의 선분의 길이의 비

기본

06

82~83쪽 11 sABD에서 EGZ= 12`ADZ= 12\6=3{cm} sABC에서 EHZ= 1 2`BCZ= 12\18=9{cm} / GHZ=EHZ-EGZ=9-3=6{cm} 01 ② 02 ①, ⑤ 03 ③ 04 16 05 8p`cm# 06 ④ 07 ④ 08 ② 09 ⑤ 10 ③ 11 ① 12 263 `cm 13 60`cm@ 14 245 `cm 15 6524 `cm

도형의 닮음

발전

05

80~81쪽 09 sABCTsDCE이므로 6:CDZ=4:8 / CDZ=12{cm} sABETsFCE이므로 6:FCZ=12:8 / FCZ=4{cm} / DFZ=CDZ-FCZ=12-4=8{cm} 10 마름모 BEFD의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 sABCTsADF이므로 ABZ:ADZ=BCZ:DFZ 6:{6-x}=4:x / x=125 15 CCAD=CACB=CACB'이므로 EAZ=ECZ / CFZ= 12ACZ= 132 {cm} sABCTsEFC이므로 5:EFZ=12: 132 / EFZ= 6524{cm} 01 ① 02 ② 03 ③ 04 ④ 05 ③ 06 24`cm@ 07 ⑤ 08 ③ 09 ② 10 ⑤ 11 24`cm 12 ② 13 ④ 14 ② 15 ④

평행선 사이의 선분의 길이의 비

발전

06

84~85쪽 07 sABCTsCBD이므로 ABZ:CBZ=BCZ:BDZ 6:4=4:BDZ / BDZ= 8 3{cm}

(14)

정답 및 풀이 DAZ=6- 83=103 {cm} ACZ:4= 10 3 : 8 3 / ACZ=5{cm} 10 BEZ=x`cm라 하면 sABC에서 5:{5+x}=EGZ:12 / EGZ= 60x+5{cm} sACD에서 x:{x+5}=GFZ:10 / GFZ= 10x x+5{cm} EGZ:GFZ=3:2이므로 3:2=60:10x / x=4 14 sBCE에서 BDZ=DCZ, CFZ=FEZ이므로 BEZ=2DFZ=2\6=12{cm}이고, DFZ|BEZ sADF에서 AGZ=2GDZ이므로 AGZ:ADZ=GEZ:DFZ=2:3 GEZ= 23`DFZ= 23\6=4{cm} / BGZ =BEZ-GEZ =12-4=8{cm} 15 점 E에서 BCZ에 평행한 직선을 그어 ADZ와 만나는 점을 P라 하면 sPEF+sDBF ( ASA 합동) / PFZ=DFZ sADC에서 AEZ=ECZ, PEZ|DCZ이므로 APZ=PDZ=2DFZ이고 AFZ =APZ+PFZ=2DFZ+DFZ=3DFZ =24{cm} / DFZ=8{cm} / ADZ=AFZ+FDZ=24+8=32{cm} A B C D E P F 24`cm 01 5`cm@ 02 ④ 03 ④ 04 ③ 05 ② 06 ② 07 ③ 08 28`cm@ 09 ② 10 24`cm@ 11 259 배 12 ⑤ 13 4`cm 14 ⑤ 15 ④ 16 ④

닮음의 활용

기본

07

86~87쪽 09 AGZ:GFZ=2:1이므로 sDGA=2sDFG, sAGE=2sGFE / sADE=2sDFE=2\4=8{cm@} sABC와 sADE의 닮음비는 3:2이므로 넓이의 비는 9:4 이다. sABC:sADE=9:4, sABC:8=9:4 / sABC=18{cm@} 01 12`cm 02 ④ 03 30`cm@ 04 ⑤ 05 54`cm@ 06 36`cm@ 07 30`cm@ 08 1`cm# 09 15 `cm@7 10 34 `cm@ 11 ⑤ 12 26:7

닮음의 활용

발전

07

88~89쪽 06 sABC∽sQRP이고 닮음비가 3:1이므로 넓이의 비는 9:1 이다. / sABC=9sPQR=9\4=36{cm@}

07 sABE=sCDF=13 sABC=16 fABCD=12{cm@}

sGEFTsGAD이고 닮음비가 1:3이므로 넓이의 비는 1:9이다. 이때 fAEFD=72-{12+12}=48{cm@}이고 sGEF와 fAEFD의 넓이의 비는 1:8이므로 sGEF:48=1:8 / sGEF=6{cm@} 따라서 어두운 부분의 넓이는 6+12+12=30{cm@} 08 C'DZ:C'A'Z=1:3이므로 sDEC':sA'B'C'=1:9 sDEC'을 밑면으로 하는 삼각기둥과 주어진 삼각기둥의 높이 는 같으므로 부피의 비는 1:9 / (삼각뿔 C-DEC'의 부피)=13\[ 19\27]=1{cm#} 09 대각선 BD를 그어 ACZ와 만나는 점을 O라 하면 sDBC= 12 fABCD=12\4=2{cm@} 점 H가 sDBC의 무게중심이므로 sCFH= 16 sDBC=13{cm@} sAHF=sACF-sCFH=1- 13=2 3{cm@} sHGF= 15 sAHF=1 5\ 2 3= 2 15{cm@} / fCFGH =sCFH+sHGF =13 +15 =2 15 {cm@}7 10 fCDFG=12 \{2+3}\3=152 {cm@} sCGE = 14 sABC =14 \[12 \6\3]=94 {cm@} 14 물이 채워진 부분과 원뿔 모양의 그릇의 닮음비가 1:3이므로 부피의 비는 1:27이다. 따라서 물이 채워진 부분과 채워지지 않은 부분의 부피의 비가 1:26이므로 그릇에 물을 가득 채우려면 3\26=78(분) 동안 물을 더 넣어야 한다.

(15)

fCDFE = 34 sACD =34 \[12 \4\3]=92 {cm@} / sEFG =fCDFG-{sCGE+fCDFE} =152 -[94 +92 ]=34 {cm@} 12 컵의 모선을 연장하여 원뿔을 만들면 fABCD는 사다리꼴이고 ADZ|EFZ|BCZ이다. ACZ와 EFZ의 교점을 G라 하면 AEZ=EBZ, EGZ|BCZ이므로 AGZ=GCZ / EGZ= 12BCZ= 12\4=2{cm} 또, CFZ=FDZ, GFZ|ADZ이므로 CGZ=GAZ / GFZ= 12ADZ= 12\12=6{cm} / EFZ=EGZ+GFZ=2+6=8{cm} 세 원뿔의 밑면의 반지름의 길이가 각각 12`cm, 8`cm, 4`cm이 므로 닮음비는 12:8:4=3:2:1 부피의 비는 3#:2#:1#=27:8:1 따라서 처음 음료수의 양과 남은 음료수의 양의 비는 {27-1}:{8-1}=26:7 4`cm A E B F C G D 12`cm 01 ④ 02 6`cm@ 03 15`cm 04 ① 05 ④ 06 ④ 07 8425 `cm@ 08 12 09 ①, ③ 10 ② 11 ④ 12 ③ 13 ⑤

피타고라스 정리

발전

08

92~93쪽 02 sBCE에서 15@=12@+CEZ@ CEZ@=81 / CEZ=9{cm} / DEZ=12-9=3{cm} sDEFTsCEB ( AA 닮음)이고 닮음비가 DEZ:CEZ=3:9=1:3이므로 DFZ:CBZ=1:3에서 DFZ:12=1:3 / DFZ=4{cm} / sDEF= 12\3\4=6{cm@} 07 sABD에서 BDZ@=3@+4@=25 / BDZ=5{cm}

sABD= 12\ABZ\ADZ= 1

2\BDZ\AEZ에서 3\4=5\AEZ / AEZ= 125 {cm} ABZ@=BEZ\BDZ이므로 3@=BEZ\5 / BEZ= 95{cm}

sABE+sCDF ( RHA 합동)이므로 DFZ=BEZ= 95`cm EFZ=5-2\ 9 5= 7 5{cm} / fAECF =2sAEF =2\[12 \125 \75 ] =8425 {cm@} 08 ADZ가 CA의 이등분선이므로 ABZ:ACZ=BDZ:CDZ=10:6=5:3

ABZ=5a, ACZ=3a{a>0}라 하면 sABC에서 {5a}@=16@+{3a}@, 16a@=256 a@=16 / a=4 / ACZ=3\4=12 10 BDZ@+8@=17@, BDZ@=225 / BDZ=15 sABD에서 10@+12@>15@이므로 sABD는 예각삼각형이다.

11 sABC에서 ACZ@=6@+8@=100 / ACZ=10

sACD에서 ADZ\CDZ=ACZ\DEZ이므로 8\6=10\DEZ / DEZ= 245 sACD에서 ADZ@=AEZ\ACZ이므로 8@=AEZ\10 / AEZ= 32 5 CDZ@=CEZ\ACZ이므로 6@=CEZ\10 / CEZ= 185 01 ① 02 ③ 03 ④ 04 52`cm 05 192`cm@ 06 ⑤ 07 5`cm 08 ④ 09 ③, ⑤ 10 ①, ④ 11 165 `cm 12 100 13 11 14 ⑤

피타고라스 정리

기본

08

90~91쪽 07 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCZ에 내린 수선의 발을 H라 하면 sABH에서 ABZ@=3@+4@=25 / ABZ=5{cm} 08 sABC+sCDE이므로 ACZ=CEZ CBAC+CACB=CDCE+CACB=90!이므로 CACE=90! 따라서 sACE는 직각이등변삼각형이다. sACE= 12ACZ@=50 / ACZ=10{cm} sABC에서 10@=6@+BCZ@, BCZ@=64 / BCZ=8{cm} CDZ=ABZ=6`cm, DEZ=BCZ=8`cm이므로 fABDE= 12\{6+8}\14=98{cm@} C H D A 2`cm 4`cm 3`cm 2`cm B

(16)

정답 및 풀이 AEZ@+CEZ@=BEZ@+DEZ@이므로

[ 325 ]@+[ 18

5 ]@=BEZ@+[ 245 ]@ / BEZ@= 77225

12 직각삼각형 ABC에서 BCZ=a, ACZ=b, ABZ=c라 하면

a@=b@+c@ yy`㉠ P=a@-p 2 [ a 2 ]@=a@ [1-p 8 ] Q=b@-p 2 [ b 2 ]@=b@ [1-p 8 ] R=c@-p2 [c2 ]@=c@[1-p8 ] Q+R =b@[1-p8 ]+c@[1-p8 ]={b@+c@}[1-p8 ] =a@[1-p8 ]=P ( ? ㉠ ) / P=Q+R 13 오른쪽 그림과 같이 BDZ를 그으면 ㉠+㉡=ⓐ ㉢+㉣=ⓑ 따라서 어두운 부분의 넓이는 ⓐ+ⓑ=3\6=18{cm@} ㉠ ⓐ ⓑ ㉢ ㉡ ㉣ A D B C 3`cm 6`cm 01 ② 02 81 03 9 04 6 05 12 06 ④ 07 ② 08 72 09 120 10 6 11 ③ 12 12 13 120 14 12 15 ④ 16 ④

경우의 수

기본

09

94~95쪽 08 ! 서울에서 대전을 거쳐 부산까지 갈 때는 4\3=12(가지) @ 부산에서 대전을 거쳐 서울까지 올 때는 갈 때와는 다른 길 로 돌아오므로 2\3=6(가지) !, @에서 구하는 경우의 수는 12\6=72 10 2자루씩 나누어 주는 방법은 9(연필, 볼펜), (사인펜, 형광펜)0, 9(연필, 사인펜), (볼펜, 형광펜)0, 9(연필, 형광펜), (볼펜, 사인펜)0 의 3가지이고, 각각의 경우에 대해 두 사람에게 나누어 주는 방 법이 2가지이므로 구하는 방법의 수는 3\2=6 01 ③ 02 ② 03 ④ 04 180 05 ② 06 33 07 ③ 08 12 09 ④ 10 10 11 ④ 12 324 13 ⑤ 14 ⑤ 15 ② 16 ①

경우의 수

발전

09

96~97쪽 06 직선 y=ba x가 점 B를 지날 때 기울기가 최대이고, 점 A를 지날 때 기울기가 최소 이므로 1 2< ba< 32 a=1일 때, b=1 a=2일 때, b=1, 2, 3 a=3일 때, b=2, 3, 4 a=4일 때, b=2, 3, 4, 5, 6 a=5일 때, b=3, 4, 5, 6, 7 a=6일 때, b=3, 4, 5, 6, 7, 8 a=7일 때, b=4, 5, 6, 7, 8 a=8일 때, b=4, 5, 6, 7, 8 따라서 구하는 경우의 수는 33이다. 09 전체 경우의 수에서 다음과 같은 경우의 수를 빼면 된다. 여 여 남 남 여 남 남 여 여 여 남 여 여 여 남 여 남 여 여 남 / 5\4\3\2\1-4\3\2\1\2\1=72 10 ! a가 홀수인 경우 b가 홀수이어야 하므로 {a, b}는 {1, 9}, {3, 9}, {5, 9}, {7, 9}의 4가지 @ a가 짝수인 경우 b가 짝수이어야 하므로 {a, b}는 {2, 8}, {2, 10}, {4, 8}, {4, 10}, {6, 8}, {6, 10}의 6가지 !, @에서 3a+b가 짝수인 경우의 수는 4+6=10 16 둔각삼각형이 되는 경우는 오른쪽 그림과 같이 6개의 점 중에서 이웃하는 세 점을 연결할 때이므로 {A, B, C}, {B, C, D}, {C, D, E}, {D, E, F}, {E, F, A}, {F, A, B} 의 6개이다. A O B 6 3 4 6 x y C D E F A B 01 34 02 38 03 ② 04 10 7 05 56 06 12 07 18 1 08 ④ 09 25 4 10 15 11 ② 12 15 4 13 ⑤ 14 ④ 15 1936 16 ②

확률

기본

10

98~99쪽 08 ! 두 문제를 모두 맞힐 확률은 0.8\0.9=0.72 @ 두 문제를 모두 틀릴 확률은 0.2\0.1=0.02 !, @에서 구하는 확률은 0.72+0.02=0.74

(17)

01 ⑤ 02 1920 03 ① 04 ④ 05 ③ 06 35 07 1120 08 ②

확률

발전

10

100쪽 02 각 모둠에서 대표 2명씩을 뽑는 경우의 수는 4\3 2 \ 5\4 2 =60 뽑힌 4명이 모두 여학생일 경우의 수는 1\3\2 2 =3 따라서 뽑힌 4명 중에서 적어도 한 명은 남학생일 확률은 1-603 =1920 08 월요일에 눈이 오고 이 주의 목요일에도 눈이 오는 경우는 다음 의 4가지이다. ! (눈, ×, ×, 눈)일 확률 [1- 13 ]\[1- 1 4 ]\ 1 4 = 2 3\ 3 4\ 1 4 =18 @ (눈, ×, 눈, 눈)일 확률 [1- 13 ]\14\13 =23\14\13 =181 # (눈, 눈, ×, 눈)일 확률 1 3\[1- 13 ]\ 1 4 = 1 3\ 2 3\ 1 4 =181 $ (눈, 눈, 눈, 눈)일 확률 1 3\ 1 3\ 1 3= 1 27 따라서 구하는 확률은 1 8+ 1 18+ 1 18+ 1 27= 59 216 15 ! 첫날, 둘째 날, 마지막 날 모두 이길 확률은 2 3\ 2 3= 4 9 @ 첫날, 마지막 날에는 이기고 둘째 날에는 질 확률은 [1- 23 ]\14 =13\14 =121 !, @에서 구하는 확률은 4 9+ 1 12= 19 36 01 ⑤ 02 69! 03 ③ 04 ① 05 10! 06 103 `cm

삼각형의 성질

102쪽

01

01 CABC=CACB=12 \{180!-28!}=76!이므로 CDBC= 12CABC= 12\76!=38! CACE=180!-CACB=180!-76!=104! 이때 CACD:CDCE=1:3이므로 CDCE= 34CACE= 34\104!=78! sBCD에서 CDCE=CCBD+CCDB=38!+Cx=78! / Cx=40! 02 AB'Z과 BFZ의 교점을 P라 하면 sABC를 점 A를 중심으로 회전 시켰으므로 CAB'F=CABC=42! BAZ|B'C'Z이므로 CBFB'=CB=42! (엇각) CBAB'=CPB'F=42! (엇각) / PAZ=PBZ, PB'Z=PFZ BFZ=BPZ+PFZ=APZ+PB'Z=AB'Z=ABZ 따라서 sBFA는 이등변삼각형이다. / Cx=12\{180!-42!}=69! 03 sABC와 sDCB는 합동이므로 CDBC=CACB=30! 점 E에서 BCZ에 내린 수선의 발을 F라 하면 sEBC는 이등변삼각형이므로 sEBF+sECF ( RHA 합동) sDBC에서 CDCE=180!-{90!+30!+30!}=30!이므로 sCFE+sCDE ( RHA 합동) 따라서 sABC=sDCB=3sCDE이므로 sABC:sCDE=3:1 04 sCBD+sCED ( RHS 합동)이므로 DEZ=DBZ=6`cm 이때 sDCF=12`cm@이므로 1 2\CFZ\6=12 / CFZ=4{cm} 05 sAED+sCFD ( RHS 합동)이므로 CCDF=CADE=35! CEDC=CADC-CADE=90!-35!=55!이므로 CEDF=55!+35!=90! / CDFE=12\{180!-90!}=45! sCFD에서 Cx=180!-{90!+35!+45!}=10! 42! 42! 42! 42! A C F B P B' C' x A D E F B 30! 30! C

중단원 심화 테스트

(18)

정답 및 풀이 06 점 D에서 BCZ에 내린 수선의 발을 E라 하면 sADC+sEDC {RHA 합동) / DEZ=DAZ yy㉠ sABC=sADC+sDBC이므로 1 2\12\5= 1 2\5\ADZ+ 12\13\DEZ ㉠에 의해 30=52ADZ+ 13 2 ADZ=9ADZ / ADZ= 10 3 {cm} 5`cm 12`cm 13`cm A D B E C 01 ③ 02 ⑤ 03 116! 04 ① 05 65! 06 ⑤

삼각형의 외심과 내심

103쪽

02

01 sABC는 직각이등변삼각형이므로 CACB=45! 점 I가 sABC의 내심이므로 CPAC = 12CBAC =12 \90!=45! ACZ|BDZ이므로 CCBD=CACB=45! (엇각) sCBD에서 CBCD=180!-{45!+55!}=80! 또, 점 I'이 sCBD의 내심이므로 CBCP= 12CBCD= 12\80!=40! 따라서 sAPC에서 Cx=180!-{45!+45!+40!}=50! 02 CIBA=CIBC=Ca, CICA=CICB=Cb라 하면 sADC에서 Cx=80!+Cb sABE에서 Cy=80!+Ca IAZ를 그으면 CIAD= 12\80!=40! 이때 Ca+Cb+40!=90!이므로 Ca+Cb=50! / Cx+Cy ={80!+Cb}+{80!+Ca} =160!+{Ca+Cb} =160!+50!=210! 03 점 P가 sABC의 내심이므로 CAPB=90!+ 12\76!=128! PDZ를 그으면 PAZ=PDZ=PBZ이므로 CPBD=CPDB=Ca, CPDA=CPAD=Cb라 하면 CD=Ca+Cb 사각형의 내각의 크기의 합은 360!이므로 사각형 ADBP에서 2{Ca+Cb}+128!=360! 2CD+128!=360! / CD=116! x 55! 45! 45! 40! 45! I I' A B C D P x y b b a a I 80! A D E B C b b a a D 76! B C A P

04 IBZ, ICZ를 그으면 점 I는 sABC의

내심이고, ABZ|IPZ, ACZ|IQZ이므로 CABI=CPBI=CPIB / BPZ=IPZ CACI=CQCI=CQIC / QCZ=QIZ / {sIPQ의 둘레의 길이} =IPZ+PQZ+QIZ=BPZ+PQZ+QCZ =BCZ=10{cm} 05 sABC에서 ABZ=ACZ이므로 CABC= 12\{180!-80!}=50! 점 I가 sABC의 내심이므로 CIBA= 12CABC= 12\50!=25! 점 O가 sABC의 외심이므로 CODB=90! sDBP에서 CDPB=180!-{90!+25!}=65! / CIPO=CDPB=65! (맞꼭지각)

06 sABC에서 CABC=90!-52!=38!

점 I가 sABC의 내심이므로 CIBO= 12CABC= 12\38!=19! 점 O가 sABC의 외심이므로 OAZ=OCZ sAOC에서 COAC=COCA=52!이므로 CAOB=COAC+COCA=52!+52!=104! sDBO에서 Cx=180!-{19!+104!}=57! 13`cm 13`cm 10`cm I A B C P Q 01 ③ 02 ③ 03 135! 04 ④ 05 54`cm@ 06 49`cm@

평행사변형의 성질

104쪽

03

01 BEZ의 연장선과 ADZ의 연장 선이 만나는 점을 G라 하면 sBCE+sGDE ( ASA 합동) 이므로 BCZ=GDZ=ADZ 즉, 점 D는 직각삼각형 AFG의 외심이므로 ADZ=DFZ=DGZ 따라서 sDAF는 이등변삼각형이므로 CDFA=CDAF=75! / Cx=90!-75!=15! 02 BEZ의 연장선과 CDZ의 연장선이 만 나는 점을 G라 하면 sBEA+sGED`{ASA 합동) 즉, ABZ=DGZ=DCZ이므로 점 D 는 직각삼각형 CGF의 외심이다. / DFZ=DCZ=6`cm A D G E C B 75! F x A E F D G C B 6`cm 9`cm

(19)

01 ⑤ 02 ⑤ 03 ④ 04 ④ 05 ③ 06 ②

여러 가지 사각형

105쪽

04

01 fAFDE는 두 쌍의 대변이 각각 평행하므로 평행사변형이다. AEZ|FDZ이므로 CEAD=CFDA (엇각) / CFAD=CFDA

즉, sFDA는 FAZ=FDZ인 이등변삼각형이므로 fAFDE는 이웃하는 두 변의 길이가 같다. 따라서 fAFDE는 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형 이므로 마름모이다. ⑤는 마름모에 대한 설명으로 옳지 않다. 01 ④ 02 24`cm 03 ③ 04 ⑤ 05 ③ 06 525 `cm

도형의 닮음

106쪽

05

03 CEBC=Ca라 하면 CABE=3Ca CECB=Cb라 하면 CDCE=3Cb 이때 CABC+CBCD=180!이므로 4Ca+4Cb=180! / Ca+Cb=45! sEBC에서 Cx+Ca+Cb=180! Cx+45!=180! / Cx=135! 04 sEFB+sCAB ( SAS 합동) sCAB+sCDE ( SAS 합동) 즉, sEFB+sCAB+sCDE 따라서 EFZ=CAZ=DAZ, EDZ=BAZ=FAZ이므로 fEFAD는 평행사변형이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 05 MNZ을 그으면 fABNM, fMNCD는 모두 평행사변형이므로 sGNM=sABG=6`cm@ fMNCD =4sABG =4\6=24{cm@} sABN+sECN ( ASA 합동)이므로 sECN =2sABG=2\6=12{cm@} sABM+sDFM ( ASA 합동)이므로 sDFM =2sABG=2\6=12{cm@} / sGEF =sGNM+fMNCD+sECN+sDFM =6+24+12+12=54{cm@} 06 HFZ를 긋고 점 E와 점 G에서 ADZ에 평 행한 선분을 그어 HFZ와 만나는 점을 각 각 J, I라 하면 fAEJH, fHIGD, fEBFJ, fIFCG는 모두 평행사변형 이다. 이때 sAEH=sHEJ, sHIG=sDHG, sEBF=sJEF, sIFG=sGFC이므로 fEFGH = 12 fABCD=1 2\98=49{cm@} A D B C E x 3a a b 3b A M F D C E N B G A H D G C F I J B E 02 fABCD는 정사각형이므로 CBAD=90! sAED는 정삼각형이므로 CDAE=60! / Cx=90!-60!=30! 또, sABE와 sDEC는 모두 이등변삼각형이고 서로 합동이다. / CABE =CAEB=CDEC=CDCE =12 \{180!-30!}=75! 이때 CAEB+Cy+CDEC+CAED=360!이므로 Cy=360!-{75!+75!+60!}=150! / Cy-Cx=120! 03 sABP+sCBP ( SAS 합동)이므로 CBPA=CBPC=75! / CCPE=180!-75!\2=30! 따라서 sPBE에서 45!+75!+30!+CCEP=180!이므로 CCEP=180!-150!=30!

04 sHAB+sHDF ( ASA 합동)이므로 AHZ=DHZ

이때 ADZ=2ABZ이므로 ABZ=AHZ 마찬가지 방법으로 ABZ=BGZ 따라서 AHZ|BGZ, AHZ=BGZ이므로 fABGH는 평행사변형 이고, 이웃하는 두 변의 길이가 같으므로 마름모이다. ④ AGZ=HFZ 05 ADBCZZ=32이므로 ADZ:BCZ=2:3 이때 sACD와 sABC는 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변 의 길이의 비와 같다. / sACD:sABC=2:3 ADZ|BEZ이므로

sAED =sACD= 25 fABCD =25 \155=62{cm@} 이때 fACED가 평행사변형이므로 sDPE= 12 sAED=1 2\62=31{cm@} 06 4APZ=3PEZ이므로 APZ:PEZ=3:4 sAPD+sPBC=sAED이므로 sPED=sAED-sAPD=sPBC=20{cm@} 이때 sAPD:sPED=APZ:PEZ=3:4이므로 sAPD= 34 sPED=34\20=15{cm@}

(20)

정답 및 풀이 01 ADZ=AEZ이므로 CAED=CADE sABE와 sCBD에서 CAEB =180!-CAED =180!-CADE=CCDB CABE=CCBD / sABETsCBD ( AA 닮음) ADZ=AEZ, ADZ:DCZ=3:5이므로 AEZ:CDZ=3:5, 즉 닮음비는 3:5이다. BAZ:BCZ=3:5에서 15:BCZ=3:5 / BCZ=25{cm} 02 CEDF =CABD+CBAD =CCAF+CBAD =CBAC 마찬가지 방법으로 CDEF=CABC이므로 sABCTsDEF ( AA 닮음) ABZ:DEZ=20:10=2:1이므로 BCZ:EFZ=16:EFZ=2:1 / EFZ=8{cm} ACZ:DFZ=12:DFZ=2:1 / DFZ=6{cm} 따라서 sDEF의 둘레의 길이는 10+8+6=24{cm} 03 sACD와 sDBF에서 CACD=CDBF=60! CCAD =180!-{CADC+CACD} =180!-{CADC+CADF} =CBDF / sACDTsDBF ( AA 닮음) 따라서 ACZ:DBZ=CDZ:BFZ이므로 a:23a=13a:BFZ, a\BFZ= 23a\13a / BFZ= 29a 04 sDBCTsHBF {AA 닮음)이고 BCZ:BFZ=3:12=1:4이므로 닮음비는 1:4이다. DCZ:HFZ=1:4에서 2:HFZ=1:4 / HFZ=8{cm} EDZ=ECZ-DCZ=9-2=7{cm}, EGZ=9`cm GHZ=GFZ-HFZ=9-8=1{cm} / fEDHG= 12\{7+1}\9=36{cm@} 05 AEZ@=EBZ\EDZ, 3@=EBZ\4 / BEZ= 94{cm} ABZ@=BEZ\BDZ= 94\[ 94+4]= 22516 / ABZ= 154 {cm} ADZ@=DEZ\DBZ=4\[4+ 94 ]=25 / ADZ=5{cm} 따라서 fABCD의 둘레의 길이는 2\[ 154 +5]= 352 {cm} 01 ⑤ 02 ③ 03 11`cm 04 1:2 05 587 `cm 06 ④ 07 20`cm@ 08 45`cm@ 09 563 `cm 10 12`cm 11 ④ 12 ③

평행선 사이의 선분의 길이의 비

107~108쪽

06

01 AEZ:ACZ=4:7이므로 AEZ:ECZ=4:3

sABC에서 BCZ|DEZ이므로 ADZ:DBZ=4:3 ADZ=4a, DBZ=3a {a>0}라 하면

sAFC에서 FCZ|BEZ이므로 ABZ:BFZ=4:3 7a:BFZ=4:3 / BFZ= 21 4 a / ADZ:DBZ:BFZ=4a:3a: 21 4 a=16:12:21 02 ABZ:ACZ=BDZ:CDZ이므로 BDZ:CDZ=12:8=3:2 이때 ACZ|EDZ이므로 BEZ:EAZ=3:2 즉, sBDE:sAED=3:2이므로 sAED=18\ 23=12{cm@} / sABD=18+12=30{cm@} sABD:sADC=3:2이므로 sADC=30\ 23=20{cm@} 03 점 A를 지나고 DCZ에 평행한 직선이 IJZ, BCZ와 만나는 점을 각각 P, Q라 하면 PJZ=QCZ=ADZ=8`cm이므로 BQZ=12-8=4{cm} sABQ에서 AIZ:ABZ=IPZ:BQZ 이므로 3:4=IPZ:4 / IPZ=3{cm} / IJZ=IPZ+PJZ=3+8=11{cm} 04 EGZ:GFZ:BCZ=4:1:6이므로

GFZ=a, EGZ=4a, BCZ=6a{a>0}라 하면 sABC에서 EGZ:BCZ=4a:6a=2:3이므로 ACZ:GCZ=3:1 sACD에서 CGZ:CAZ=GFZ:ADZ이므로 1:3=a:ADZ / ADZ=3a / ADZ:BCZ=3a:6a=1:2 05 3AEZ=7EBZ이므로 AEZ:EBZ=7:3 sABD에서 BEZ:BAZ=EPZ:ADZ이므로 A B Q P I G 4`cm 8`cm 8`cm 8`cm E F H J C D 06 sABCTsFBD {AA 닮음)이므로 sABCTsFB'D

BCZ:B'DZ=20:8=5:2이므로 닮음비는 5:2이다. ABZ:FB'Z=5:2에서 12:FB'Z=5:2

/ FB'Z= 245 {cm}

(21)

10 BFZ:CFZ=EBZ:ECZ=8:6=4:3 sABC에서 CFZ:CBZ=EFZ:ABZ이므로 3:7=EFZ:16 / EFZ= 48 7 {cm} sBCD에서 BFZ:BCZ=FEZ:CDZ이므로 4:7=487 :CDZ / CDZ=12{cm}

11 sADC에서 CFZ=FAZ, CEZ=EDZ이므로

ADZ|FEZ, ADZ=2FEZ yy㉠ sBEF에서 BDZ=DEZ, DPZ|EFZ이므로 FEZ=2PDZ yy㉡ ㉠, ㉡에서 ADZ=2FEZ=2\2PDZ=4PDZ / APZ=ADZ-PDZ=4PDZ-PDZ=3PDZ sAPQTsEFQ ( AA 닮음)이므로 PQZ:FQZ=APZ:EFZ=3PDZ:2PDZ=3:2 sBEF에서 BPZ=PFZ이므로 BPZ:PQZ:QFZ=5:3:2 12 BCZ:EFZ=6:5이므로

BCZ=6a, EFZ=5a {a>0}라 하자. ACZ를 그으면

sABC에서 AEZ:ABZ=1:2이므로 1:2=EGZ:6a / EGZ=3a / GFZ=5a-3a=2a

sACD에서 GFZ:ADZ=1:2이므로 2a:12=1:2, 4a=12 / a=3{cm} / EFZ=5a=5\3=15{cm} 2a 3a 6a E F G 12`cm A B C D 01 ③ 02 ㄱ, ㄷ, ㅁ 03 34`cm@ 04 20`cm@ 05 ③ 06 오후 3시 19분

닮음의 활용

109쪽

07

01 정삼각형 ABC에서 ADZ\BCZ이면 BDZ=CDZ이므로 ADZ는

BCZ의 수직이등분선이고, 마찬가지 방법으로 CEZ는 ABZ의 수직 이등분선이다. 즉, 점 F는 sABC의 외심이고, AFZ가 외접원의 반지름이다. 또, 점 F는 sABC의 무게중심이므로 AFZ=2FDZ=2\6=12{cm} 따라서 sABC의 외접원의 둘레의 길이는 2p\12=24p{cm}

02 ㄱ, ㅁ. sABE에서 AFZ=FBZ, FIZ|AEZ이므로

FIZ= 1 2`AEZ sBCE에서 BDZ=DCZ, IDZ|ECZ이므로 IDZ= 12`ECZ 이때 AEZ=ECZ이므로 FIZ=IDZ 마찬가지 방법으로 FHZ=HEZ, EJZ=JDZ 3:10=EPZ:6 / EPZ= 95{cm} sABC에서 AEZ:ABZ=EQZ:BCZ이고 EQZ= 9 5+4= 29 5 {cm}이므로 7:10=29 5 :BCZ / BCZ= 587 {cm} 06 EFZ의 연장선이 ABZ와 만나는 점을 G라 하면 CFZ:FAZ=1:3이므로 AFZ:ACZ=3:4 sABC에서 3:4=GFZ:18 / GFZ= 27 2 {cm} BEZ:EDZ=1:3이므로 BEZ:BDZ=1:4

sABD에서 1:4=GEZ:12 / GEZ=3{cm} / EFZ =GFZ-GEZ= 272 -3=212 {cm} 07 sDBC에서 DFZ:DCZ=OFZ:BCZ=3:12=1:4이므로 CFZ:CDZ=3:4 sACD에서 CFZ:CDZ=OFZ:ADZ이므로 3:4=3:ADZ / ADZ=4{cm} sABD와 sDBC의 높이가 같으므로 sABD:sDBC=ADZ:BCZ=4:12=1:3 / sABD=60\ 13=20{cm@} 08 점 E에서 BCZ에 내린 수선의 발을 F라 하면 sABETsCDE ( AA 닮음)이 므로 AEZ:CEZ=6:18=1:3 sABC에서 CEZ:CAZ=EFZ:ABZ이므로 3:4=EFZ:6 / EFZ= 9 2{cm} / sEBC= 12\20\9 2=45{cm@} 09 sEAGTsCDG ( AA 닮음)이고 EAZ:CDZ=6:8=3:4이므로 AGZ:DGZ=3:4 sBAGTsFDG ( AA 닮음)이므로 AGZ:DGZ=BAZ:FDZ 즉, 3:4=8:FDZ / FDZ= 323 {cm} / CFZ=CDZ+DFZ=8+ 323 =56 3 {cm} | 다른 풀이 | ADZ|BCZ이므로 sEBC에서 6:14=5:BCZ / BCZ= 35 3 {cm} GDZ=ADZ-AGZ= 353 -5=203 {cm} sFBC에서 CFZ=x`cm라 하면 x:{x-8}=353 :203 , x:{x-8}=7:4 4x=7{x-8} / x=563 {cm} E G F O 12`cm 18`cm A B C D D A E B F C 6`cm 20`cm 18`cm

(22)

정답 및 풀이 따라서 FJZ, DHZ, EIZ는 모두 sDEF의 중선이므로 점 G는

sDEF의 무게중심이다.

ㄷ, ㄹ. 점 G는 sABC의 무게중심이므로 세 점 F, D, E는 각각 ABZ, BCZ, ACZ의 중점이다.

따라서 ABZ|EDZ, BCZ|FEZ, ACZ|FDZ이고 ABZ=2EDZ, BCZ=2FEZ, ACZ=2FDZ이다. ㄴ. GDZ=2HGZ, AGZ=2GDZ이므로 AGZ=4HGZ / AHZ=AGZ-HGZ=4HGZ-HGZ=3HGZ 즉, AHZ:HGZ=3:1 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다. 03 점 G는 sABC의 무게중심이므로 sAGP = 12 sAGC=1 2\ 1 3 sABC =16 \sABC =16 \51=172 {cm@} 마찬가지 방법으로 sBGP= 172 `cm@ sGAB= 13 sABC=13\51=17{cm@} / sABP =sGAB+sAGP+sBGP =17+[172 +172 ] =34{cm@}

04 sEFD =12 sEBD=12 \12 sEBC

=12 \12 \12 sABC =18 sABC =18 \96=12{cm@} CGZ:GEZ=2:1이므로 sEDG = 12 sGDC=12\16 sABC =12 sABC 1 =12 \96=8{cm@}1 / fEFDG =sEFD+sEDG =12+8=20{cm@} 05 큰 구 모양의 초콜릿과 작은 구 모양의 초콜릿의 닮음비가 3:1 이므로 부피의 비는 3#:1#=27:1 따라서 큰 초콜릿 1개를 녹여 작은 초콜릿 27개를 만들 수 있다. 이때 큰 초콜릿 1개와 작은 초콜릿 1개의 겉넓이의 비는 3@:1@=9:1 이므로 큰 초콜릿 1개의 겉넓이와 작은 초콜릿 27개의 겉넓이의 합의 비는 {9\1}:{1\27}=1:3 따라서 작은 구 모양의 초콜릿의 겉넓이의 합은 큰 구 모양의 초 콜릿 1개의 겉넓이의 3배이다. 06 물이 그릇의 높이의 23 만큼 채워져 있으므로 물의 깊이와 그릇 의 깊이의 비는 2:3이다. 01 20`cm 02 ⑤ 03 ② 04 5 05 89 06 40

피타고라스 정리

110쪽

08

01 sABC에서 13@=5@+BCZ@ BCZ@=144 / BCZ=12{cm} 점 A에서 CDZ의 연장선 위에 내린 수선의 발을 E라 하면 AEZ=BCZ=12`cm sADE에서 ADZ@ =AEZ@+EDZ@=12@+{5+11}@=400 / ADZ=20{cm} 02 sEBK와 sABJ에서 EBZ=ABZ, CEBK=CABJ=90! sEBC+sABF에서 CBEC=CBAF 즉, CBEK=CBAJ이므로 sEBK+sABJ ( ASA 합동) sEBKTsCAK ( AA 닮음)이고 닮음비는 EBZ:CAZ=4:3이므로 BKZ=8\ 47=327 {cm}, BJZ=BKZ= 327 {cm} / sABJ= 12\327 \8=1287 {cm@} 03 sABC에서 BCZ@=8@+15@=289 / BCZ=17{cm} AMZ =BMZ=CMZ =12 BCZ=172 {cm} 점 G는 sABC의 무게중심이므로 AGZ= 23\172 =173 {cm} 점 M에서 ABZ에 내린 수선의 발을 D라 하면 MDZ= 12ACZ= 12\8=4{cm} sAGH와 sAMD는 닮음비는 2:3이므로 GHZ= 2 3MDZ= 23\4= 8 3{cm} B 5`cm D C 5`cm E A 13`cm 11`cm G 8`cm M B 15`cm C H D A 그릇에 물을 가득 채웠을 때의 부피를 x`cm#라 하면 물의 부피 와 그릇의 부피의 비는 2#:3#=8:27이므로 16:x=8:27 / x=54 즉, 그릇에 물을 가득 채우려면 54-16=38{cm#}만큼 더 넣 어야 한다. 이때 분당 2`cm#씩 물이 채워지므로 38_2=19(분) 후에 가득 채워진다. 따라서 그릇에 물이 가득 채워지는 시각은 오후 3시 19분이다.

(23)

sAGH에서 AHZ@+[ 83 ]@=[ 173 ]@ AHZ@=25 / AHZ=5{cm} / sAHG= 12\5\8 3= 20 3 {cm@} 04 두 점 M, N에서 ABZ, BCZ에 내린 수 선의 발을 각각 P, Q, R, S라 하고 MRZ와 QNZ의 교점을 T라 하면 APZ=PQZ=QBZ, BRZ=RSZ=SCZ 이때 APZ=PQZ=QBZ=x, BRZ=RSZ=SCZ=y라 하면 sBRM에서 BMZ@={2x}@+y@=4x@+y@=3@ sBSN에서 BNZ@=x@+{2y}@=x@+4y@=4@ 즉, BMZ@+BNZ@=5{x@+y@}=3@+4@=25이므로 x@+y@=5 따라서 sMTN에서 MNZ@=x@+y@=5 05 다음 그림과 같이 두 점 P, Q를 지나고 ABZ에 평행한 두 직선 이 ADZ, BCZ와 만나는 점을 각각 E, F, G, H라 하자. EFZ와 HGZ를 잘라서 fEFGH를 오려 내고 두 점 P, Q가 만나 도록 붙이면 새로운 직사각형 ABCD가 된다. A E H F G B D P 3 5 8 Q C A B D 5 8 C P{Q} / BPZ@+DQZ@ =APZ@+CQZ@=5@+8@=89

06 ABZ=c, ACZ=b, BCZ=a라 하면 ABZ, ACZ, BCZ를 한 변으로

하는 세 정삼각형의 닮음비는 c:b:a이므로 넓이의 비는 S1:S2:S3=c@:b@:a@ 이때 S1=kc@, S2=kb@, S3=ka@ {k>0}라 하면 S3=ka@=20이고 sABC에서 c@+b@=a@이므로 S1+S2=k{c@+b@}=ka@=20 / S1+S2+S3=40 C N M B R T S x x x y y y A P Q 01 6 02 81 03 118번째 04 ③ 05 ① 06 30

경우의 수

111쪽

09

01 ! 점 B를 지나는 경우: A-B-C-G, A-B-F-G의 2가지 @ 점 D를 지나는 경우: A-D-C-G, A-D-H-G의 2가지 # 점 E를 지나는 경우: A-E-F-G, A-E-H-G의 2가지 !, @, #에서 구하는 경우의 수는 2+2+2=6 | 다른 풀이 | 각 꼭짓점에 최단 거리로 가는 경우의 수를 표시하면 오른쪽 그림과 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 6이다. 02 주사위를 3번 던져서 점 P가 -1의 위치에 있으려면 짝수는 한 번, 홀수는 두 번 나와야 한다. ! (짝, 홀, 홀)인 경우: 짝수는 2, 4, 6의 3가지, 홀수는 1, 3, 5의 3가지이므로 3\3\3=27(가지) @ (홀, 짝, 홀)인 경우: 3\3\3=27(가지) # (홀, 홀, 짝)인 경우: 3\3\3=27(가지) !, @, #에서 구하는 경우의 수는 27\3=81 03 ! Effff인 경우: 4\3\2\1=24(개) 또한, 문자 I, L, M으로 시작하는 단어도 각각 24개이므로 24\4=96(개) @ SEfff, SIfff, SLfff인 경우: 각각 3\2\1=6(개)이므로 6\3=18(개) # SMEff인 경우: 2\1=2(개) $ SMIff인 경우: SMIEL, SMILE의 2개 !~$에서 SMILE은 96+18+2+2=118(번째) 단어이다. 04 4명을 한 줄로 세울 때, A, B가 서는 두 자리를 선택하는 경우 의 수는 4\32 =6 또, 나머지 두 자리에 C, D를 세우는 경우의 수는 2\1=2 따라서 구하는 경우의 수는 6\2=12 | 다른 풀이 | 4명을 한 줄로 세우는 경우의 수는 4\3\2\1=24 이 중에서 A가 B보다 앞에 서는 경우의 수는 B가 A보다 앞에 서는 경우의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는 24_2=12 05 3의 배수는 각 자리 숫자의 합이 3의 배수인 수이므로 그 합이 3의 배수가 되는 것은 0, 1, 5와 1, 3, 5의 두 가지이다. ! 0, 1, 5로 만들 수 있는 세 자리 자연수: 2\2\1=4(개) @ 1, 3, 5로 만들 수 있는 세 자리 자연수: 3\2\1=6(개) !, @에서 구하는 3의 배수의 개수는 4+6=10 06 ! 야구 동아리 학생 6명 중에서 3명을 뽑는 경우: 6\5\4 6 =20(가지) @ 축구 동아리 학생 5명 중에서 3명을 뽑는 경우: 5\4\3 6 =10(가지) !, @에서 구하는 경우의 수는 20+10=30 A D C B 1 1 1 2 2 2 H E F G6

(24)

정답 및 풀이 01 5 02 ③ 03 ③ 04 215 05 ② 06 367

확률

112쪽

10

01 처음 주머니에 들어 있던 빨간 공의 개수를 x, 파란 공의 개수 를 y라 하면 빨간 공을 꺼낼 확률이 58 이므로 x x+y= 5 8 , 즉 8x=5x+5y / 3x-5y=0 yy㉠ 또, 처음 주머니에 빨간 공을 한 개 더 넣은 후 파란 공을 꺼낼 확률이 13 이므로 y x+y+1= 1 3 , 즉 3y=x+y+1 / x-2y=-1 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=5, y=3 따라서 처음 주머니에 들어 있던 빨간 공은 5개이다. 02 모든 경우의 수는 6\6\6=216 두 직선 ax+by+c=0과 x+3y+2=0이 평행하려면 a 1= b 3= c2 이어야 한다. 조건을 만족시키는 경우를 순서쌍 {a, b, c}로 나타내면 ! a=1, b=3, c=2인 경우: {1, 3, 1}, {1, 3, 3}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}의 5가지이므로 그 확률은 2165 @ a=2, b=6, c=4인 경우: {2, 6, 1}, {2, 6, 2}, {2, 6, 3}, {2, 6, 5}, {2, 6, 6}의 5가지이므로 그 확률은 5 216 !, @에서 구하는 확률은 5 216+ 5 216= 5 108 03 공이 B로 들어가는 경우는 다음과 같다. ! @ # $ !과 같은 경로로 이동할 확률은 1 2\ 1 2\ 1 2= 1 8 A B C 입구 A B C 입구 A B C 입구 A B C 입구 @, #, $와 같은 경로로 이동할 확률도 18 로 같다. 따라서 구하는 확률은 1 8\4= 1 2 04 C가 이기는 경우는 다음과 같이 2가지이다. A B C A B C ! 빨간 공 빨간 공 노란 공 @ 빨간 공 빨간 공 빨간 공 빨간 공 빨간 공 노란 공 !에서 C가 이길 확률은 5 7\ 4 6\ 2 5= 4 21 @에서 C가 이길 확률은 5 7\ 4 6\ 3 5\ 2 4\ 1 3\ 2 2= 1 21 !, @에서 구하는 확률은 4 21+ 1 21= 5 21 05 주사위를 세 번 던져서 점 P에 대응하는 수가 1이려면 오른쪽 으로 1만큼씩 두 번, 왼쪽으로 1만큼 한 번 움직여야 한다. 즉, 2의 배수의 눈이 두 번, 5의 약수의 눈이 한 번 나와야 한다. ( 2의 배수의 눈이 나올 확률}=36=1 2 ( 5의 약수의 눈이 나올 확률}=26=13 2의 배수의 눈이 두 번, 5의 약수의 눈이 한 번 나오는 경우는 ( 5의 약수, 2의 배수, 2의 배수), ( 2의 배수, 5의 약수, 2의 배수), ( 2의 배수, 2의 배수, 5의 약수)의 3가지이고, 각각의 확률은 1 2\ 1 2\ 1 3= 1 12 로 같으므로 구하는 확률은 3\121 =14 06 화살이 B 부분을 맞힐 확률은 1-[ 1 3+ 1 2 ]= 1 6 화살을 3발 쏘아 7점을 얻는 경우를 순서쌍으로 나타내면 ( 3점, 3점, 1점), ( 3점, 1점, 3점), ( 1점, 3점, 3점), ( 3점, 2점, 2점), ( 2점, 3점, 2점), ( 2점, 2점, 3점) ! ( 3점, 3점, 1점)일 확률은 1 3\ 1 3\ 1 2= 1 18 ( 3점, 1점, 3점), ( 1점, 3점, 3점)일 확률도 18 로 같으므로1 1 18\3= 1 6 @ ( 3점, 2점, 2점)일 확률은 1 3\ 1 6\ 1 6= 1 108 ( 2점, 3점, 2점), ( 2점, 2점, 3점)일 확률도 108 로 같으므로1 1 108\3= 1 36 !, @에서 구하는 확률은 1 6+ 1 36= 7 36

수치

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참조

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